Teoreettisia perusteita I

Transkriptio

1 Teoreettisia perusteita I

2 - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran optiikka saattaa koostua hyvinkin monesta linssistä, joiden rajapinnoissa tapahtuu aina taittuminen - tämän luennon aikana on tarkoitus käydä läpi sädeoptiikan perusteita ja sen perusteella todeta, että kollineaarisuusperiaatetta voidaan käyttää monimutkaisissakin optisissa systeemeissä

3 (Nämä kalvot sisältävät poimintoja Erkki Ikosen kirjasta Optiikan perusteet ) Taitekerroin n : n=c 0 /c c 0 : valon nopeus tyhjiössä c : valon nopeus väliaineessa -- eri väriset valot etenevät väliaineessa eri nopeuksilla Snellin laki (taittumislaki): sin 1 = sin 2 Kuva 1. Valon taittuminen.

4 Taittuminen pallopinnalla: sinilauseen perusteella: x r = sin 2 sin 1 2 jos kulmat pieniä: x 2 r 1 2 josta kertomalla: x r 2 1 2

5 x r Snellin lain mukaan: 2 1 josta saadaan: 2 1 Sijoittamalla tämä ylimpään yhtälöön saadaan: x r / 1

6 x r / 1 Edellä esitetyn perusteella x ei ole riippuvainen tulokulmasta 1. Kaikki säteet taittuvat siis samaan pisteeseen (polttopiste). Tulos pätee säteille, jotka kulkevat optisen akselin suuntaisesti ja ovat lisäksi lähellä sitä (jolloin 1 on pieni).

7 Taittuminen tasapaksussa lasilevyssä: Tasapaksu lasi aiheuttaa säteelle yhdensuuntaissiirtymän.

8 Ohut linssi Edellä esitetyn kaltaisilla geometrisillä päätelmillä voidaan tutkia myös kahden pallopinnan muodostamaa linssiä. Voidaan esim. päätellä, että ohut linssi taittaa kaikki optisen akselin suuntaiset säteet polttopisteeseen. Kuva 2. Ohut linssi. Ohuelle linssille (paksuus = 0) siis pätee: 1. Optisen akselin suuntainen säde taittuu polttopisteen kautta 2. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde etenee suoraan

9 h f = h' b f h h ' = f b f h a = h ' b h h ' = a b a b = f b f ab af =bf abf 1 f = 1 a 1 b (linssiyhtälö)

10 Mutta jospa linssi ei olekaan ohut? - säteen kulkua optisessa systeemissä voidaan kuvata kätevästi matriisiesityksen avulla - sädettä kuvataan pystyvektorilla x missä x on säteen etäisyys optisesta akselista ja on säteen kulma optisen akselin suhteen - jokaiseen taitospintaan liittyy kaksi pystyvektoria, toinen kuvaa tilannetta ennen taittumista ja toinen tilannetta heti taittumisen jälkeen

11 Taittomatriisit: x:n ja :n alaindeksi 1 kuvaa tilannetta ennen taittumista ja alaindeksi 2 tilannetta taittumisen jälkeen: 1 1 = 2 2 x 1 /r 1 Snellin lain mukaan: = 1 / 1 1 x 1 /r 1 1 x 1 / r / 2 x 1 /r 1 1 x 1 n 2 2 = 1 x r r 1

12 Taittomatriisi R: x 2 2 = 1 x 2 =x 1 2 = r 1 x 1 1 Eli matriisimuodossa: 0 P 1 x 1 1 =R 1 x 1 1 jossa P on taittokyky: P 1 = /r 1

13 Translaatiomatriisi T: Alaindeksi 2 kuvaa tilannetta taittumisen jälkeen ennen etenemistä linssin läpi ja alaindeksi 3 tilannetta etenemisen jälkeen juuri ennen toista taittumista. x 3 =x 2 D = 2 Säteen edetessä linssin sisällä sen suunta ei muutu. Sen sijaan etäisyys optisesta akselista muuttuu. x 3 = 1 D 12 x =T 2 12 x 2 2

14 Säteen tullessa linssistä ulos tapahtuu taas taittuminen. Eli linssin aiheuttaa säteelle seuraavan muunnoksen: x 4 4 =R 2T 12 R 1 x 1 1 =M x 1 1 R 1 ja T 12 on esitelty aiemmin ja R 2 on pinna taittomatriisi: = 1 R 2 0 P 2 P 2 =, missä ja r r 2 on toisen pinnan kaarevuussäde. 2

15 Ohuen linssin muunnosmatriisi: = 1 M=R 2 T 12 R 1 0 P 2 P 1 = r = 1 0 P 1 P 2 = P 2 P 1 Sijoittamalla ja saadaan r 2 M= f 1 1, missä (linssintekijän yhtälö). f = r 1 r 2

16 Taittuminen ohuessa linssissä: Oletetaan, että optisen akselin suuntainen säde ( =0) kulkee ohuen linssin läpi. Säteen etäisyys optisestaakselista olkoon x. Mikä on säteen etäisyys optisesta akselista sen edettyä matkan f linssin jälkeen? 1 f f 1 x 0 = 0 x f Yllä esitetyn perusteella ohut linssi taittaa kaikki optisen akselin suuntaiset säteet polttopisteeseen (tulosvektorin ensimmäinen elementti on 0). Tämä sama tulos olisi voitu johtaa myös geometrisesti, mutta matriisiesitystä käyttämällä päästiin paljon helpommalla.

17 Päätasot: Muunnosmatriisin determinantti: det M=det R 2 T 12 R 1 =det R 2 det T 12 det R P D n 1 0 P 1 = 1 =1 Muunnosmatriisin molemmille puolille voidaan lisätä translaatiomatriisit ilman, että muodostuneen muunnosmatriisin determinantti muuttuu.

18 Tarkastellaan optista systeemiä B 1 B 2, jonka muunnosmatriisi on: M= m 11 m 12 m 21 m 22 Tasojen H 1 ja H 2 suhteen muunnosmatriisi on: M H = 1 D m 11 m 12 m 21 m 22 1 D 1 0 1

19 M H = m 11 D 2 m 21 m 11 D 1 m 12 D 2 m 21 D 1 m 22 m 21 m 21 D 1 m 22 Asetetaan D 1 ja D 2 sellaisiksi, että diagonaalielementit saavat arvo: D 1 = 1 m 22 /m 21 D 2 = 1 m 11 /m 21 Sijoittamalla D 1 ja D 2 yllä olevaan matriisiin ja käyttämällä determinanttiehtoa saadaan: M H = 1 0 m 21 1 Saadaan siis ohutta linssiä vastaava muunnosmatriisi, jossa polttoväliksi saadaan f=-1/m 21.

20 Saatu tulos on merkittävä. Tasojen H 1 ja H 2 suhteen tarkasteltuna systeemi käyttäytyy siis ohuen linssin tavoin. Ts. jos etäisyydet mitataan tasoista H 1 ja H 2 ja polttovälinä käytetään optisen systeemin polttoväliä, voidaan esim. systeemin muodostaman kuvan paikka laskea kuten ohuen linssinkin tapauksessa. Tasoa H 1 kutsutaan ensimmäiseksi päätasoksi ja tasoa H 2 toiseksi päätasoksi. Päätasojen väliin jäävä alue voidaan unohtaa.

21 Linssivirheet: Linssivirheet voidaan luokitella seuraavasti: Monokromaattinen valo: - palloaberraatio - astigmatismi - huntu (coma) - kentän kaarevuus (field curvature) - vääristymä (distortion) Värillinen valo: -kromaattinen aberraatio

22 Palloaberraatio: - kaukana optisesta akselista kulkeva säde taittuu eri paikkaan kuin lähempänä optista akselia kulkeva säde - korjataan käytännössä yhdistelemällä kuperia ja koveria linssejä, joilla on erimerkkiset virheet Astigmatismi: - ei-aksiaalisesta pisteestä lähtevillä säteillä on eri polttopiste pysty- ja vaakatasossa Palloaberraatio. Kuva: Wikipedia Astigmatismi. Kuva: Wikipedia

23 Huntu (coma): - ei-aksiaalisesta pisteestä lähtevät säteet kokevat eri taittovoiman läpäistessään linssin eri kohdissa - vaikea erottaa astigmatismista Huntu. Kuva: Wikipedia

24 Kentän kaarevuus (field curvature): - polttotaso ei olekaan taso vaan kaareva pinta - voidaan korjata sopivilla linssiyhdistelmillä Vääristymä (distortion): - kuvan eri osilla eri suurennos - kuva terävä mutta vääristynyt - aiheuttaa kuvaan tynnyrimäisen tai tyynymäisen efektin Erilaisia vääristymiä.

25 Kromaattinen aberraatio: - valon aallonpituus vaikuttaa taitekertoimeen, joten eri värinen valo fokusoituu eri etäisyydelle linssistä -voidaan jakaa lateraaliseen ja aksiaaliseen - korjatavissa sopivien taitekertoimien omaavien kuperan ja koveran linssin yhdistelmällä (akromaattinen linssi) tai pinnotteilla Aksiaalinen aberraatio. Lateraalinen aberraatio.

26 Yhteenveto: - monimutkainenkin optinen systeemi, kuten esim. useasta linssistä koostuva kameran optiikka, on palautettavissa ohutta linssiä vastaavaksi systeemiksi - jos linssivirheet otetaan huomioon voidaan kameran muodostamaa kuvaa pitää keskusprojektiona, jossa kohdepiste kuvautuu linssin keskipisteen kautta kuvatasolle (kollineaarisuusehto) Kirjallisuutta: - Erkki Ikonen: Optiikan perusteet, 2001, TKK, Mittaustekniikan laboratorio, ISBN , Pica-set Oy