Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.

Transkriptio

1 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon =. (6.3.4) f Suurennus lasketaan tarkastelemalla taas äärellisen kokoista (korkeus y) nuolta ja tutkimalla miten sen korkeus muuttuu: Nuolen korkeus on y ja sen kärjen kuvan paikka etsitään kahden säteen avulla. Verteksiin tulevan säteen lähtökulma on sama kuin tulokulma ja optisen akselin suuntainen säde taittuu siten, että sen jatke leikkaa polttopisteen F. Kuva muodostuu heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen. Kuvan kolmioiden avulla kirjoitamme y y' =. s - Suurennus määritellään suhteena m= y'/ y, joka etäisyyksien avulla saa muodon m =-. (6.3.5) s

2 136 Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 3.0 cm on 0 cm:n etäisyydellä pallopeilistä, jonka polttoväli on 10 cm. Laske kuvan paikka ja luonne, kun peili on a) kupera b) kovera Ratkaisu: a) kupera peili: f =- 10 cm ja s =+ 0 cm s + = f Þ sf (0) - ( 10) 0 s ' = = cm =- cm»-6.7cm. s- f (0) -(-10) 3 (-0/3) 1 m=- =- =+» s (0) 3 Kuva on oikeinpäin ( m > 0) oleva valekuva ( s ' < 0) peilin takana 6.7 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on kolmasosa esineen koosta, ts. 1.0 cm korkea. b) kovera peili: f =+ 10 cm ja s =+ 0 cm. sf (0) (10) s ' = = cm = 0cm s- f (0) -(10) s ' (0) m =- =- =- 1. s (0) Kuva on kääntynyt ( m < 0) todellinen kuva ( s ' > 0) peilin edessä 0 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on sama kuin esineen koko, ts. 3.0 cm korkea. Kun peilin kaarevuuskeskipiste C (ja siten polttopiste F) on annettu, kuvautuminen voidaan konstruoida graafisesti piirtämällä vähintään kaksi seuraavista "helpoista" säteistä: 1. Optisen akselin suuntainen säde heijastuu siten, että se tai sen jatke kulkevat polttopisteen kautta.. Peilin huippupisteeseen tuleva säde on helppo piirtää heijastuslain mukaan.

3 Kohti polttopistettä tuleva säde heijastuu optisen akselin suuntaiseksi. Esimerkki: Piirrä edellisen esimerkin kuvautumiset mittakaavassa. Ratkaisu: a) kupera peili b) kovera peili Huom! Paraksiaalisessa approksimaatiossa tarkastellaan säteitä, jotka kulkevat hyvin lähellä optista akselia. Tämän vuoksi peilejä ei saa piirtää kaareviksi vaan ne on piirrettävä tasomaisiksi. Vain tällöin graafisesti etsitty kuva saadaan kuvausyhtälön (6.3.4) osoittamaan paikkaan suurennusyhtälöstä (6.3.5) lasketun kokoisena.

4 TAITTUMINEN PALLOPINNASSA Viereinen kuva esittää kahden materiaalin (taitekertoimet n 1 ja n ) pallomaista koveraa rajapintaa. Pinnan kaarevuuskeskipiste on C, esinepiste O ja kuvapiste I. Kaksi sädettä lähtee esinepisteestä. Toinen läpäisee pinnan huippupisteessä V eikä muuta suuntaansa. Toinen osuu pisteeseen P ja taittuu Snelliuksen lain mukaan n sinq = n sinq. 1 1 Materiaalissa säteet etääntyvät toisistaan, mutta näyttävät tulevan yhteisestä kuvapisteestä I. Kolmiosta CPO ja CPI kirjoitamme j + q1 + (180 - a) = 180 j + q + (180 - a') = 180 ja näistä q1 = a - j ja q = a' - j. Paraksiaalisen approksimaation hengessä kirjoitamme kuvausyhtälön muotoon n1q1 = nq, joka nyt siis saa asun n ( a - j) = n ( a' - j). 1 Kuvan kolmioista saamme (approksimoidaan taas QV» 0) h h h tana» a», tan a'» a'» ja tanj» j». s R Kuvausyhtälöksi tulee n æh h h h 1ç - ö = n æ ç - ö è s Rø è Rø josta

5 139 n1 n ( n - n1) - =-. R Tässä taas kaikki etäisyydet on ajateltu positiivisiksi. Kun sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin peileille (s. 134) (positiiviset etäisyydet todellisille esineille ja kuville), edellisen sivun kuvassa virtaalisen kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < 0) ja kaarevuussäde on negatiivinen ( R < 0). Edellä johdettu kuvausyhtälö voidaan yleistää muotoon n1 n n - n1 + =, (6.4.1) R joka pätee siis myös kuperalle rajapinnalle. Kun R pallopinnasta tulee tasopinta ja n =- s, n1 mikä on sama kuin aikaisemmin johtamamme tulos (6..1). Tässä todellisille esineille ( s > 0) kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < 0) tarkoittaen sitä, että kuva on virtuaalinen (vale)kuva, joka muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Lauseke poikittaiselle suurennukselle johdetaan seuraavan kuvan avulla. Pienten kulmien approksimaatiossa Snelliuksen laki on esimerkiksi tangenttien avulla muotoa n 1 tanq 1 = n tanq, joten ho hi n1 = n.

6 140 Suurennukseksi tulee siis hi ns 1 ' m = =-, (6.4.) h o ns mihin (-)-merkki on lisätty edustamaan kuvan kääntymistä. Tasopinnalle (laske) m =+ 1, joten kuva on esineen kokoinen ja samoin päin. Esimerkki: Esine on 30 cm:n etäisyydellä ilmassa ( n 1 = 1) lasiputken edessä. Putken kuperan pallopintaisen pään kaarevuussäde on 5 cm ja putki on täytetty vedellä, jonka taitekerroin on n = 1.33» 4/3. Laske kuvan sijainti ja laatu. Ratkaisu: Kuvausyhtälö on (6.4.1) n1 n n - n1 1 4/3 4/3-1 + = Þ + = R 30 cm 5 cm Þ 4/3 = 1-1 = 1 15 cm 30 cm 30 cm Þ s ' =+ 40 cm. Suurennus yhtälöstä (6.4.) (1)( + 40) m1 =- =-1. (4 /3)( + 30) Kuva on putken sisällä ( s ' > 0) 40 cm:n etäisyydellä putken päästä. Kuva on todellinen mutta kääntynyt ( m < 0) esineeseen verrattuna. Se on saman kokoinen kuin esine.

7 141 Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen materiaali ulottuu vain 10 cm:n päähän? Olkoon tällaisen paksun linssin jälkimmäinen pinta kovera pallopinta, jonka kaarevuussäde on sama 5 cm kuin etupinnallakin (kuva alla). Lasketaan mihin kuva nyt muodostuu ja mikä on sen luonne. Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n päähän. Nyt kuitenkin toinen pinta taittaa säteet uudelleen ja lopullinen kuva muodostuukin eri paikkaan. Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii tässä virtuaalisena esineenä toiselle pinnalle. Virtuaalinen esine on pinnan oikealla puolella, kun taas säteet tulevat pintaan vasemmalta. Merkkisääntöjen mukaan esineen etäisyys pinnasta on negatiivinen ja suuruudeltaan (40-10) cm= 30cm. Myös kaarevuussäde on negatiivinen (kaarevuuskeskipiste on eri puolella kuin pinnasta lähtevät säteet), joten kuvautuminen toisessa pinnssa saa muodon 4/ /3 + = Þs ' =+ 9 cm. -30 cm -5 cm Suurennus toisen pinnan kuvautumisessa on (6.4.):n mukaan (- 4/3)( + 9) m = =+. (1)(- 30) 5

8 14 Kokonaissuurennukseksi laskemme luonnollisesti tulon m= m1 m = (- 1)( + /5) =-. 5 Lopullinen kuva on todellinen kuva ja etäisyydellä 9 cm jälkimmäisestä pinnasta. Kuvan koko on /5 esineen koosta ja kuva on kääntynyt. 6.5 OHUET LINSSIT Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaan sovelletaan edellisen esimerkin menetelmää. Linssin taitekerroin olkoon n ja pintojen kaarevuussäteet R 1 ja R. Linssiä ympäröivien materiaalien taitekertoimet olkoon esinetilassa n 1 ja kuvatilassa n 3. Peräkkäiset kuvaukset ovat (6.4.1):n ja (6.4.):n mukaan n1 n n - n1 + =, R m n n3 n3-n + =, m R 1 n =- n s n =- n s 3 Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joten voidaan kirjoittaa s = t- 1, missä t on linssin paksuus. Ohuen linssin approksimaatiossa s =- 1.

9 Tulee joista 143 n1 n n - n1 + =, s1 1 R1 n3 n n3-n - =, R 1 n ( ') 1 1 m= m1 m = n s 1 n 3 - s 1 n1 n3 n -n1 n3 -n + = +, R R 1 1 n n m=- n s Kun vielä merkitään s 1 = s ja 1 = saadaan n1 n3 ( n -n1) ( n -n3) + = - ja R R n1 s ' m =- n s, (6.5.1) missä siis linssin taitekerroin on n. Tavallisesti linssiä ympäröi sama väliaine (esimerkiksi ilma), jolloin n3 = n1 ja kuvausyhtälö saa muodon 1 1 n -n1 é 1 1 ù + = ê - ú ja m =-. n1 ër1 Rû s (6.5.) Ohuen linssin polttoväli f saadaan, kun esine (s) tai kuva ( s ') asetetaan äärettömyyteen. Tulee 1 n -n1 é 1 1 = ê - f n ër R ù ú, (6.5.3) û joka on ns. linssintekijän yhtälö (lensmaker's equation). Polttovälin avulla kuvausyhtälö (6.5.) saa kätevän muodon = ja f m =-. (6.5.4) s

10 144 Kokoava linssi (converging lens) Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan ns. toisen polttopisteen (second focal point) F kautta. Ensimmäisestä polttopisteestä (first focal point) F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Linssi toimii näin, jos sen polttoväli on f > 0. Tämän vuoksi kokoavaa linssiä sanotaan myös positiiviseksi linssiksi. Linssin polttoväli on positiivinen, kun n > n 1 (esim. lasilinssi ilmassa) ja linssi on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, ts. (katso linssintekijän yhtälö) > 0. R1 R Viereisen kuvan ns. meniskuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi ovat kaikki kokoavia linssejä. Hajottava linssi (diverging lens) Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli on f < 0 ja sitä sanotaankin usein negatiiviseksi linssiksi. Tämä toteutuu, kun n > n1 ja linssi on reunoilta paksumpi kuin keskeltä. Vieressä esimerkki negatiivisesta meniskuslinssistä.

11 145 On huomattava, että jos linssi siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin itse linssin taitekerroin, niin kokoava linssi muuttuu hajottavaksi ja hajottava kokoavaksi. Esimerkiksi ilmakupla vedessä on kupera linssi, mutta se on hajottava. Kuvautumisen graafisessa analyysissä tärkeiden säteitä ovat: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee polttopisteen kautta.. Polttopistettä kohti kulkeva säde taittuu optisen akselin suuntaiseksi. 3. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde ei muuta suuntaansa. Esimerkki: Käytössä on hajottava linssi, jonka polttoväli on 0 cm. Halutaan muodostaa oikein päin oleva valekuva, jonka koko on 1/3 esineen koosta. Mihin esine on sijoitettava? Esitä kuvan muodostuminen myös graafisesti. Ratkaisu: Hajottava linssi: f =- 0 cm. Suurennuksen oltava: m=+ 1/ 3 =-/ s Þ =-s/3 Kuvausyhtälöstä: = 1 Þ 1-3 = 1 Þ - = 1 f s s f s f josta s=- f =+ 40 cm. Esine on sijoitettava 40 cm linssin eteen. Graafinen esitys: Mittakaavan määrittämiseksi lasketaan kuvan paikka s ': =- s/3 =- 40 /3 cm» cm (myös linssin edessä) Tarvittavat etäisyydet ovat siis: s on 40 cm linssin edessä s ' on 13.3 cm linssin edessä F on 0 cm linssistä (edessä olevaa tarvitaan kuvaajassa)

12 Hahmotellaan "suttupaperille": 146 z-suunnassa kaikki mahtuu 40 cm:n matkalle Valitaan mittakaavaksi: z-suunnassa 1:3 (1 cm kuvassa on 3 cm todellisuudessa) y-suunnassa 1:1 (olkoon esineen korkeus 1 cm) 40 cm à 13.3 cm 0 cm à 6.7 cm 13.3 cm à 4.4 cm piirretään:

13 147 Kun kuvaavassa optisessa systeemissä on useita komponentteja (linssejä, peilejä, pintoja, ), säteiden etenemistä systeemin läpi seurataan vaihe vaiheelta komponentti kerrallaan. Edellisen komponentin muodostama kuva on aina seuraavan komponentin esine, jne Lopullinen suurennus lasketaan komponenttien suurennuksien tulona. Esimerkki: Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden polttovälit ovat f 1 =+ 15 cm ja f =- 15 cm. Linssien välimatka on 30 cm ja esine sijaitsee 5 cm kokoavan linssin edessä. Laske kuvan paikka ja laatu. Ratkaisu: Hahmotellaan systeemi: Kuvaus 1. linssillä: s 1 = 5cm, f 1 = 15cm s + = f Þ s m = sf = (5)(15) =+ 1 1 ' 1 cm 37.5 s1- f =- =- =- s Välikuva on siis 37.5 cm ensimmäisestä linssistä oikealle, kääntynyt ja kooltaan 1.5 kertainen esineeseen nähden. Kuva on todellinen. Tämä välikuva toimii toiselle linssille esineenä. Se on 7.5 cm:n etäisyydellä toisesta linssistä. cm

14 148 Kuvaus toisella linssillä: f =-15cm, s =-( ) =-7.5cm. s m s f (-7.5)(-15) ' = = cm =+ 15 s - f (-7.5) -(-15) 15 =- =- =+ s -7.5 Systeemin kokonaissuurennus on m= m1 m = (- 1.5)() =-3 Lopullinen kuva on kääntynyt ( m < 0) ja todellinen ( s ' > 0). Sen koko on 3 esineen koko ja se sijaitsee 15 cm jälkimmäisen linssin takana. cm 6.6 KUVAUSVIRHEET Jokainen esine (valaistu tai itsevalaiseva) koostuu pistelähteistä, jotka lähettävät palloaaltoja. Viereisessä kuvassa esinepisteestä S lähtevä palloaalto etenee kohti optista systeemiä, joka puolestaan fokusoi aallon kuvapisteeseen P. Kuvapiste P ei ole esinepisteen S täydellinen kuva, koska kuvautumiseen vaikuttaa 1. Sironta. Diffraktio 3. Kuvausvirheet Sironnassa osa säteistä muuttaa suuntaansa esimerkiksi optisissa materiaaleissa olevista tiheysvirheistä. Tämä lähinnä vain vähentää kuvan kirkkautta. Toisaalta kuvapisteeseen saattaa tulla sironneita säteitä muualta kuin esinepisteestä. Kuvan laatu huononee. Diffraktio häiritsee kuvan tarkkuutta, koska optiset systeemit ovat aina äärellisen kokoisia. Diffraktio asettaa perustavaa laatua olevan rajan kuvan tarkkuudelle, eikä sitä voida koskaan ylittää.

15 149 Kuvausvirheet (aberrations) syntyvät kun optinen systeemi ei itsessään pysty tuottamaan yksi-yhteen vastaavuutta esineestä lähtevän ja kuvaan tulevan säteen välille. Täydellisesti kuvaavia pintoja on olemassa. Tällaisia ovat esimerkiksi ns. kartioleikkauspinnat (ellipsoidi, paraboloidi,...), joista alla esimerkkinä hyperboloidi-pintainen linssi, joka kuvaa täydellisesti (sirontaa ja diffraktiota lukuunottamatta) pisteen F 1 pisteeksi F. Tällaisia pintoja käytetään vain tarkkuusoptiikassa, koska niiden valmistus on kallista ja ne ovat epäkäytännöllisiä. Esimerkiksi edellisessä kuvassa vain yhdellä tietyllä etäisyydellä oleva piste F 1 kuvautuu tarkasti F :ksi. Toisaalta pallopintoja on helppo valmistaa, ne ovat käytännöllisiä ja kuvausvirheitäkin voidaan eliminoida hyvin tehokkaasti. Kuvausvirheet pallopintojen käytössä Paraksiaalinen kuvausyhtälö on täydellinen kuvaaja. Piste kuvautuu täydelliseksi pisteeksi. Tämän vuoksi poikkeamat paraksiaalisen kuvausyhtälön antamista ratkaisuista ovat kuvausvirheitä. Paraksiaalisessa kuvautumisessa: sinj = j Kolmannen kertaluvun teoriassa: 3 sin j = j -j / 3! Kolmannen kertaluvun teorian käyttäminen kuvausyhtälöiden johtamisessa paljastaa viisi kuvausvirhettä, jotka ovat ns. Seidelin aberraatiot: