Mustan kappaleen säteily
|
|
- Teemu Koskinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi termistä säteilyä (lämpösäteilyä), jonka spektri riippuu ainoastaan kappaleen lämpötilasta. Säteilyyn ei vaikuta lainkaan kappaleen materiaali ja muoto. Mustan kappaleen lähettämä lämpösäteily on jatkuvaspektristä sähkömagneettista säteilyä. Vaikka musta kappale on ideaalinen säteilijän malli, käytännössä monet kappaleet säteilevät lähes kuten musta kappale. Esimerkiksi uuni, jossa on pieni reikä, keittolevy, Aurinko ja muut tähdet säteilevät mustan kappaleen tavoin. Myös avaruudesta tuleva ja maailmankaikkeuden varhaisajoilta peräisin oleva ns. kolmen kelvinin (2,73 K) terminen taustasäteily noudattaa varsin tarkoin mustan kappaleen säteilyspektriä. Mustan kappaleen säteily syntyy (reiällisessä) ontelossa, jonka seinämät absorboivat kaiken niihin osuvan säteilyn. Säiliön sisällä oleva säteily ja seinämät ovat termodynaamisessa tasapainotilassa. Lämpötila pysyy vakona ja ympäristön lämpötilassa oleva musta kappale säteilee yhtä paljon kuin se absorboi energiaa. Koska säteilyenergia muuttuu koko ajan seinämien atomien lämpöliikkeeksi ja tämä takaisin säteilyksi, käytetään säteilystä Kuva 1. Musta kappale nimitystä terminen säteily. Säteilystä käytetään muulloinkin nimitystä terminen säteily, jos se noudattaa likimain Planckin säteilylakia. Musta kappale nimitys ei siis tarkoita väriltään mustaa kappaletta, vaan se on ainoastaan nimitys. Tiettyä lämpötilaa vastaa aina tietty säteilyn jakauma, joka noudattaa Planckin säteilylakia. Planckin laki voidaan johtaa kvanttistatistiikasta: Max Planck johti tämän lain vuonna 1900 olettamalla atomaariset kiinteän aineen lämpövärähtelyt kvantittuneiksi. Kvanttifysiikan perusprinsiippi on, että säteilijän, atomin, energia on kvantittunut. Säteilykvantin eli fotonin energia saadaan Planckin vakion h ja taajuuden f tulona E = hf (Planckin laki). Planckin säteilylain mukaan lämpötilassa T oleva kappale säteilee taajuudella ν intensiteetillä
2 I f (T) = 2hf3 c 2 1 e hf/kt 1 (1) missä If = säteilyn intensiteetti (energiatiheys, /m 2 ), f = säteilyn taajuus (Hz), f = c (λ = aallonpituus, c = valon nopeus), λ T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), h = Planckin vakio = 6, Js, c = valon nopeus = 2, m/s, k = Boltzmannin vakio = 1, J/K, e = Neperin luku = 2, Planckin säteilylaki voidaan kirjoittaa myös aallonpituuden funktiona, kun asetetaan: I f df = I λ dλ (2) Miinusmerkki johtuu siitä, että aallonpituus λ pienenee, kun taajuus f kasvaa aaltoliikeopin yhtälön f = c/ λ mukaisesti. df = c dλ λ 2, joten yhtälöstä (1) saadaan: I df λ = I f = I dλ f Planckin säteilylaki (1) saadaan näin muotoon c λ 2. I λ (T) = 2hf3 c 2 c λ 2 1 e /λkt 1 I λ (T) = 2h(c λ )3 c 2 c λ 2 1 e /λkt 1 I λ (T) = 23 λ 3 c 1 c 2 λ 2 e /λkt 1 I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 (3) Kuva 2. Mustan kappaleen säteilyspektri eri lämpötiloissa. Planckin lain (3) keksiminen ja säteilyn kvantittumisen periaate ratkaisi klassista fysiikkaa vaivaan ns. ultraviolettikatastrofiongelman, jonka mukaan lyhyillä aallonpituuksilla lämpösäteilyn intensiteetti olisi noussut äärettömän suureksi ns. Rayleigh n Jeansin lain mukaan:
3 I λ (T) = 2ckT λ 4 (4) Kuva 3. Mustan kappaleen säteilyspektri (Planck) ja ultraviolettikatastrofi klassisen mallin mukaan. T1 < T2 < T3. Rayleigh n Jeansin laki on approksimaatio eli likimääräistys Planckin säteilylaista (3), kun aallonpituus λ on suuri (λ >> λ max ). Suurilla aallonpituuksilla (λ >> λ max ) on /λkt << 1 ja sarjakehitelmällä saadaan e /λkt 1 /λkt = /λkt (MAOL s. 21), jolloin Planckin säteilylaki laki (3) tulee muotoon I λ (T) 22 λ 5 1 /λkt joka on Rayleigh n Jeansin laki. I λ (T) = 22 λkt λ 5 = 2ckT λ 4, Klassinen fysiikka antoi mustan kappaleen säteilylaiksi pelkästään Rayleig n Jeansin lain. Rayleigh n Jeansin laista (4) nähdään, että aallonpituuden pienentyessä säteilyn intensiteetti kasvaa rajatta (lähenee ääretöntä! ks. kuva 3). Havaintojen mukaan näin ei käynyt. Tämä ristiriita oli nimeltään ultraviolettikatastrofi, johon vasta Planckin kvanttihypoteesi E = hf ja kvanttimekaaninen Planckin säteilylaki (3) antoi ratkaisun.
4 Planckin säteilylaista voidaan johtaa myös ns. ienin siirtymälaki, joka ilmoittaa mustan kappaleen säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λ max yhteyden annetussa lämpötilassa T. ienin siirtymälaki voidaan kirjoittaa muotoon: Tλ max = b (5) missä T = mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila (K), λ max = säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus (m), c = λf (aaltoliikkeen perusyhtälö), b = ienin siirtymälain vakio, b = 2, m K. (MAOL s.71) ienin siirtymälain avulla voidaan määrittää esim. tähtien pintalämpötiloja. Kuva 4. ienin siirtymälaki Tλ max = b ilmoittaa mustan kappaleen spektrin intensiteetin maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax ja absoluuttisen lämpötilan T yhteyden. ienin siirtymälaki (5) voidaan puolestaan johtaa Planckin säteilylaista (3) derivoimalla. Intensiteettijakauman I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 maksimikohta löydetään derivaatan nollakohdasta, joka saadaan riittävällä tarkkuudella käyttämällä likimääräistystä: e /λkt 1. Tällöin saadaan e /λkt 1 e /λkt, kun aallonpituus λ on sopivan pieni. Derivoidaan Planckin säteilylaki I λ (T) = 22 λ 5 1 e /λkt 1 aallonpituuden suhteen, jolloin saadaan
5 dλ = d dλ ( 2 2 λ 5 (e /λkt ) ) = d dλ [22 λ 5 (e 1 λkt 1) ] dλ = 22 [ 5λ 6 (e λkt 1) 1] + λ 5 [ (e 2 λkt 1) e dλ = 22 [ 5λ 6 (e λkt 1) 1] + λ 5 [ (e 2 λkt 1) e λkt ( λkt ( λ 2 kt )] λ 2 kt )] Derivoinnissa on käytetty derivoimissääntöjä: Dkf = kdf, Dfg = Df+Dg, Dx n = nx n-1, Dg(f(x)) = g (f(x))f (x), De f(x) = e f(x) f (x). (ks. MAOL s. 41). Sieventämällä (ottamalla yhteinen tekijä) edellä olevaa lauseketta saadaan edelleen dλ = 22 λ 5 (e 1 λkt 1) [ 5λ λ 2 (eλkt 1) e λkt ] kt dλ = 22 λ 5 (e λkt 1) 1 [ 5λ 1 + kt λ 2 e e λkt λkt 1 ] dλ = 22 λ 5 (eλkt) 1 [ 5λ 1 + e /λkt 1 e /λkt (λ pieni) kt λ 2 e dλ = 22 λ 5 (eλkt) 1 [ 5λ 1 + kt λ 2 ] dλ = 22 e λkt λ 7 ( 5λ + kt ) λkt e λkt Derivaatan nollakohta: I λ = = 0 dλ Derivaatan yhtälössä sulkulausekkeen edessä olevat termit ovat kaikki positiivisia, joten derivaatan nollakohta I λ = 0 on likimain = dλ ]
6 sulkulausekkeen sisällä olevan yhtälön 5λ + kt = 0 ratkaisu. 5λ + kt = 0 5λ = kt λ = 5kT. Funktion f(λ) = 5λ + kt suoran kulmakerroin k = -5 < 0. Derivaatan I λ nollakohta λ = kuvaaja on laskeva suora, koska 5kT on maksimikohta, koska derivaatta muuttaa tässä kohdassa etumerkkinsä positiivisesta negatiiviseksi (ks. merkkikaavio). I λ MAX + - I λ λ Kuva 5. Kulkukaavio. 5kT ienin siirtymälaki saadaan tästä derivaatan nollakohdasta: λ max = 5kT T Sijoitetaan tarvittavat luonnonvakiot h, c ja k (MAOL s ) edellä olevaan yhtälöön, jolloin saadaan Tλ max = 5k 5kT = 6, m Js 2, s 5 1, J K Tλ max 2, m K Tλ max 2,878 μm K. Tämä on ienin siirtymälaki, joka on muotoa Tλ max = b, missä b = ienin siirtymälain vakio, b = 2, m K. (MAOL s. 71).
7 Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetille pätee ns. Stefanin ja Boltzmannin laki I = σt 4 (6) missä I on mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (/m 2 ) T = mustan kappaleen termodynaaminen lämpötila (K) σ = Stefanin-Boltzmannin vakio; σ = 5, m 2 K 4 (MAOL s. 71). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Johdetaan Stefanin ja Boltzmannin laki Planckin säteilylaista. Kummankin funktion I f (T) ja I λ (T) avulla voidaan laskea mustan kappaleen säteilijän kokonaisintensiteetti integroimalla. I f df = I λ dλ 0 Kokonaisintensiteetti I on suoraan verrannollinen säteilyspektrin I = I(λ) pinta-alaan. Kuva 6. Mustan kappaleen säteilyspektri. Integroidaan Planckin laki (3) I f (T) = 2hf3 c 2 1 e hf/kt 1 kokonaisintensiteetin laskemiseksi. 0 I(T) = I f df = 0 2h f 3 df c 2 0 e hf/kt 1 (*) Otetaan uudeksi integroimismuuttajaksi x = hf/kt, jolloin dx = hdf df = kt h dx.taajuus f = ktx h. Näillä sijoituksilla integraali (*) tulee muotoon kt ja I(T) = 2h ( c 2 0 ktx h )3 kt h dx e x 1 = 2h ( c 2 0 ktx h )3 kt h dx e x 1 b I(T) = 2h c 2 0 k3t3x3 kt h 3 h dx e x 1 = 2h c 2 0 k4t4x3 h 4 dx e x 1
8 I(T) = 2hk4 c 2 h 4 T4 x3 dx 0 e x 1 (**) Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on x3 dx = π4. Sijoittamalla tämä integraalin arvo edellä olevaan 0 e x 1 15 lausekkeeseen (**) saadaan mustan kappaleen kokonaisintensiteetille lauseke 2k 4 4 = 2k 4 π 4 15 I(T) = c 2 h 3 T4 π 15c 2 h 3 T4 Edellä olevassa kokonaisintensiteetin lausekkeessa esiintyy lukuun ottamatta tekijää T 4 pelkkiä vakioita, joten kokonaisintensiteetille pätee lauseke I(T) = A T 4, missä I(T) = mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti (/m 2 ), A = 2k4 π 4 on vakio, 15c 2 h3 T = mustan kappaleen säteilijän absoluuttinen lämpötila (K). Mustan kappaleen säteilemän energiavuon tiheys on isotrooppiselle eli suunnasta riippumattomalle säteilylle on π I f (T), joten Stefanin Ja Boltzmannin laki voidaan nyt kirjoittaa muotoon I(T) = σ T 4 missä σ = πa = Stefanin-Boltzmannin vakio; σ = 5, m 2 K 4. (MAOL s. 71). Mustan kappaleen säteilyn kokonaisintensiteetti on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin. Lasketaan vakio A ja Stefanin Boltzmannin vakio σ = πa. A = 2k4 π 4 15c 2 h 3 = 2 (1, J/K) 4 π 4 15 (2, m/s) 2 (6, Js) 3 (liian pieniä lukuja laskimeen!) A = 1, m 2 K 4. σ = π A = π 1, , m 2 K 4. m 2 (Vihje: laske luvut erikseen ja 10-potenssit erikseen). K4
9 Yksikkötarkastelu. A = A = 2[k]4 π 4 15[c] 2 [h] 3 = J K 4 m 2 s = J m 2 s K 4 = σ = 5, m 2 K 4. Oikein. 4 J [k]4 [c] 2 [h] 3 = ( K ) ( m = s )2 (Js) 3 J 4 K 4 m 2 s 2 J3 s 3 m 2 K4. σ = πa = Stefanin-Boltzmannin vakio; ******************************************************************************** Esim. 1. 1) Mikä on Rigel-tähden lämpötila, kun sen säteilyn intensiteetillä on maksimi aallonpituudella 145 nm? Ratkaisu. Tähteä voidaan pitää ns. mustan kappaleen säteilijänä, jolla säteilyn intensiteetin maksimikohtaa vastaava aallonpituus λ max ja lämpötila T noudattavat ienin siirtymälakia: Tλ max = b. Tλ max = b T = b λ max = 2, m K m 19984,61 K T K. Vastaus: Rigel-tähden lämpötila on K.
10 Esim. 2. ienin siirtymälaki Tλ max = b ilmoittaa mustan kappaleen absoluuttisin lämpötilan T ja säteilyn intensiteettijakauman maksimikohtaa vastaavan aallonpituuden λmax välisen riippuvuuden. Millä aallonpituuden arvolla kosmisella taustasäteilyllä, joka vastaa lämpötilaa 2,73 K, on intensiteettimaksiminsa? (ienin siirtymislain vakio b = 2, m K). Ratkaisu. Tλ max = b λ max = b T = 2, m K 2,73 K 1, m λmax 1,1 mm. (Radioaallot, ks. MAOL s. 88). Vastaus: 1,1 mm. Esim. 3. Maanpinnan nopea jäähtyminen kirkkaina talviöinä johtuu siitä, että maanpinnasta säteilee energiaa avaruuteen. Jos taivas on pilvessä, suuri osa säteilystä heijastuu pilvistä, jolloin lämpöenergian menetys pienenee. Oletetaan, että maanpinnan lämpötila on 10 o C ja se säteilee kuin musta kappale. Mikä on maanpinnan lähettämän säteilyn kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti? Ratkaisu. Stefanin ja Boltzmannin lain mukaan kokonaisintensiteetti on suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin: I(T) = σ T 4. Lämpötila T = ( ,15) K = 283,15 K. I(T) = 5, I(T) 364 /m 2. m 2 K 4 (283,15 K)4 364,49 m 2. Vastaus: Kokonaisintensiteetti eli säteilyteho neliömetriä kohti on noin 360 /m 2.
Mustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotLuento 6. Mustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Luento 6 Pintaa, joka absorboi kaiken siihen osuvan sähkömagneettisen säteilyn, kutsutaan mustaksi kappaleeksi. Tällainen pinta myös säteilee kaikilla aallonpituuksilla. Sen sanotaan
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLÄMPÖSÄTEILY. 1. Työn tarkoitus. Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 2
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 LÄMPÖSÄTEILY 1. Työn tarkoitus Kun panet kätesi lämpöpatterille, käteen tulee lämpöä johtumalla patterin seinämän läpi. Mikäli pidät
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotLÄMPÖSÄTEILY. 1 Johdanto. Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 2. Perustietoa työstä
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 2 1 Perustietoa työstä Mihin fysiikan osa-alueeseen työ liittyy? Termofysiikkaan ja aaltoliikeoppiin. Mistä löytyy työssä tarvittava
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotXFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotKokeellisen tiedonhankinnan menetelmät
Kokeellisen tiedonhankinnan menetelmät Ongelma: Tähdet ovat kaukana... Objektiivi Esine Objektiivi muodostaa pienennetyn ja ylösalaisen kuvan Tarvitaan useita linssejä tai peilejä! syys 23 11:04 Galilein
LisätiedotInfrapunaspektroskopia
ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista
Lisätiedot3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMikroskooppisten kohteiden
Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6
Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan
LisätiedotOsa 5. lukujonot ja sarjat.
Osa 5. lukujonot ja sarjat. Summamerkintä Kurssilla on jo tullut vastaan ns. summamerkintä (kreikkalainen iso sigma): n k=1 Indeksin loppuarvo Indeksi jonka suhteen summataan a k =a 1 +a +a 3 +...+a n
Lisätiedot1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä
1 Perussuureiden kertausta ja esimerkkejä 1.1 Vuontiheys ja pintakirkkaus Vuontiheys ( flux density ) kertoo, kuinka paljon säteilyenergiaa taajuskaistassa [ν,ν+1hz] virtaa 1 m 2 pinta-alan läpi sekunnissa.
LisätiedotTähtitieteelliset havainnot -sähkömagneettisen säteilyn vastaanottoa ja analysointia. Fotonin energia (E=hc/λ) vaikuttaa detektiotapaan
Tähtitieteelliset havainnot -sähkömagneettisen säteilyn vastaanottoa ja analysointia Fotonin energia (E=hc/λ) vaikuttaa detektiotapaan Ilmakehän läpäisykyky - radioikkuna: λ 0.3mm 15 m Radioastronomia
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotXFYS4336 Havaitseva tähtitiede II
XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva
Lisätiedot2. Modernin fysiikan perusta
2. Modernin fysiikan perusta Luento 4 Mustan kappaleen säteily Valon emissio ja absorptio Säteilyn spektri Elektronin löytyminen Ytimen löytyminen 1 2 Mustan kappaleen säteily Pintaa, joka absorboi kaiken
LisätiedotASTROFYSIIKAN KAAVOJA:
ASTROFYSIIKAN KAAVOJA: Hum! Mustassa ja keltaisessa taulukssa n hieman ei lunnnakiiden aja. Mustan taulukn at at päiitettyjä aja. Useimmat alla leat suueyhtälöt at myös taulukssa: MAOL s. 4-30, 34-35,
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotTTY FYS-1010 Fysiikan työt I Asser Lähdemäki, S, 3. vsk. AA 3.3 Lämpösäteily Antti Vainionpää, S, 3. vsk.
TTY FYS-1010 Fysiikan työt I 25.1.2010 205348 Asser Lähdemäki, S, 3. vsk. AA 3.3 Lämpösäteily 205826 Antti Vainionpää, S, 3. vsk. Sisältö 1 Johdanto 1 2 Työn taustalla oleva teoria 1 3 Työn suoritus 4
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
LisätiedotValon hiukkasluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 3. Elektroniikan ja nanotekniikan laitos
Valon hiukkasluonne Harris luku 3 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos Kevät 2018 Johdanto Valolla myös hiukkasluonne fotoni Tarkastellaan muutamia ilmiöitä joiden kuvaamiseen
Lisätiedota) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =
S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotBOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio
BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotLIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ
LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ Valosähköisellä ilmiöllä ymmärretään tässä oppikirjamaisesti sitä, että kun virtapiirissä ja tyhjiölampussa olevan anodi-katodi yhdistelmän katodia säteilytetään fotoneilla,
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lisätiedotlnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
LisätiedotFYSA240/4 (FYS242/4) TERMINEN ELEKTRONIEMISSIO
FYSA240/4 (FYS242/4) TERMINEN ELEKTRONIEMISSIO Työssä tutkitaan termistä elektroniemissiota volframista, todetaan Stefanin - Boltzmannin lain paikkansapitävyys ja Richardsonin - Dushmanin yhtälön avulla
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotAtomien rakenteesta. Tapio Hansson
Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot2. Fotonit, elektronit ja atomit
Luento 4 2. Fotonit, elektronit ja atomit Valon kvanttiteoria; fotoni Valosähköinen ilmiö ja sen kvanttiselitys Valon emissio ja absorptio Säteilyn spektri; atomin energiatasot Atomin rakenne Niels Bohrin
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotSMG-4450 Aurinkosähkö
SMG-4450 Aurinkosähkö Ensimmäisen luennon aihepiirit Auringonsäteily: Auringon säteilyintensiteetin mallintaminen: mustan kappaleen säteily Sähkömagneettisen säteilyn hiukkasluonne: fotonin energia Aurinkovakio
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotKuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa.
Kuva : Etäisestä yrskystä tulee 00 etrisiä sekä 20 etrisiä aaltoja kohti rantaa. Myrskyn etäisyys Kuvan ukaisesti yrskystä tulee ensin pitkiä sataetrisiä aaltoja, joiden nopeus on v 00. 0 tuntia yöhein
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotRadioaktiivisen säteilyn läpitunkevuus. Gammasäteilty.
Fysiikan laboratorio Työohje 1 / 5 Radioaktiivisen säteilyn läpitunkevuus. Gammasäteilty. 1. Työn tavoite Työn tavoitteena on tutustua ionisoivaan sähkömagneettiseen säteilyyn ja tutkia sen absorboitumista
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot