6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

Transkriptio

1 127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan eri paikassa ja mahdollisesti eri kokoisena kuin missä se todellisuudessa on. Kuvan muodostuminen voidaan ymmärtää mallintamalla valo säteillä ja soveltamalla yksinkertaisia geometrisen optiikan peruslakeja, geometriaa ja trigonometriaa. 6.1 HEIJASTUMINEN TASOPEILISTÄ Kun valo saapuu kahden aineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin tuloväliaineeseen. Jos rajapinta on karkea (kuva b), heijastuneet säteet lähtevät satunnaisiin suuntiin eikä tapahtumaa voida hallita tarkastelemalla yksittäisiä säteitä. Kysymys on ns. diffuusista heijastumisesta. Diffuusi pinta ei pysty tuottamaan varsinaista optista kuvaa, vaikkakin kaikki esineet ympäristössämme (vaatteet, ihmiset, kirjat, yms.) ovat näkyviä juuri sen ansiosta. Tässä kappaleessa tarkastelemme heijastumista ja optisen kuvan muodostumista hyvin sileästä pinnasta (kuva a). Yhdensuuntainen sädekimppu heijastuu yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Puhutaan peilimäisestä heijastuksesta (specular reflection).

2 128 Tasopeilissä esinepisteestä (object point) P lähtevät säteet heijastuvat peilistä. Jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa kuvapisteestä P (image point). Säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Yleisesti kuvausteoriassa säteiden jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). Tällaisia valekuvia ei voida projisoida varjostimelle, vaan niitä on katsottava suoraan silmällä. Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty kuvassa alla: s on esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta s ' on kuvan etäisyys Geometrian avulla saadaan tasopeilin ns.kuvausyhtälö: s' = s. (6.1.1)

3 129 Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä. Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen esineen piste kuvau- tuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q ', jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y ' on sama kuin esineen korkeus y, ts. y' = y. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y' m=. (6.1.2) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y = y ', joten suurennukseksi tulee yksi. Tasopeili ei siis suurenna tai pienennä. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin. Tasopeilin suurennus on aina siis m = +1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin Esimerkki: Nainen, jonka pituus on 160 cm, näkee itsensä juuri ja juuri kokonaan seinäpeilistä. Naisen silmät ovat 150 cm:n korkeudella lattiasta. Määritä peilin korkeus ja alareunan etäisyys lattiasta.

4 Ratkaisu: 130 Peilin korkeus on 80 cm. Alareuna on 75 cm:n etäisyydellä lattiasta. Mielenkiintoinen yksityiskohta: tulokset eivät riipu peilin ja katsojan etäisyydestä s TAITTUMINEN TASOPINNASSA Kuva voi muodostua myös tasomaisen rajapinnan läpi taittuneilla säteillä (esim. vesi-ilma-rajapinnassa): Kulmat q ovat pieniä ja molemmat säteet menevät silmään.

5 131 Taittumislaki: n1 sin q1 = n2 sin q 2. Pienillä kulmilla sin q» tan q, ja taittumislaki voidaan kirjoittaa n1 tan q1» n2 tan q 2, joka kuvan perusteella saadaan muotoon x x n1» n2. s s' Tästä kirjoitamme kuvausyhtälöksi n s ' = 2 s. n1 (6.2.1) Suurennuksen tutkimme myöhemmin taittavan pallopinnan yhteydessä Esimerkki: Kala ui 1 m:n syvyydessä. Kuinka syvällä se näyttää uivan? Ratkaisu: Ilman taitekerroin: n2 = 1.00 Veden taitekerroin: n1 = 1.33» 4 / 3 Esine: s = 1.00 m n 3 Kuva: s ' = 2 s = s = 75 cm n

6 HEIJASTUMINEN PALLOPEILISTÄ Pallopeili on esinepisteen O suhteen joko kovera (concave) tai kupera (convex) riippuen siitä onko peilin kaarevuuskeskipiste C samalla tai vastakkaisella puolella kuin esine. Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuperaa peiliä. O = esinepiste, I = kuvapiste, V = vertex (huippupiste), s = esineen etäisyys ja s' = kuvan etäisyys V:stä. Jana OC on systeemin ns. optinen akseli. Piste P on mielivaltainen piste pinnalla korkeudella h. Kuvaan on piirretty kaksi esinepisteestä lähtevää sädettä. Toinen, optisen akselin suuntainen säde heijastuu huippupisteestä V suoraan takaisin ja toinen pisteestä P heijastuslain mukaisesti. Heijastuneet säteet divergoivat, mutta niiden jatkeet leikkaavat muodostaen virtuaalisen kuvapisteen I. Etsimme yhtälöä, joka kytkee toisiinsa esineen etäisyyden s kuvapisteen etäisyyden s ' ja peilin kaarevuussäteen R. Kolmiosta OPC kirjoitamme ensin siis a + j + (180 - q ) = 180 ja kolmiosta OPI saamme a + a '+ (180-2q ) = 180. Sieventämällä tulee q = a + j ja 2q = a + a ' ja nämä yhdistämällä tulee a - a ' = -2j. (6.3.1)

7 133 Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h tana =, tan a' s + d = s' - d ja tan j = missä d on pieni väli VQ. h R - d, Seuraavaksi teemme tärkeän approksimaation. Jos piste P on lähellä huippupistettä V, kulmat a, a ' ja j ovat pieniä ja sarjakehitelmistä (esim. j :lle) 3 5 j j sinj = j- + -L 3! 5! 2 4 j j cosj = L 2! 4! riittää ottaa huomioon vain ensimmäiset termit. Voidaan kirjoittaa (esim. j :lle) tanj» sin j» j» h/ R. Tässä siis myös pieni väli d on approksimoitu nollaksi. Yhtälö (6.3.1) saa nyt muodon h - h =- 2 h, s s' R mistä pisteen P korkeus h supistuu pois. Kaikki etäisyydet ovat positiivisia ja tulos pätee kuperalle peilille. Vastaava tarkastelu, positiivisia suureita soveltaen johtaa samantapaiseen yhtälöön koveralle peilille. Kun sovelletaan jäljempänä esitettyjä merkkisääntöjä, yhteinen yhtälö molemmille peilityypeille on s + s' = R. (6.3.2) Tämä on ensimmäisen kertaluvun teorian mukainen kuvausyhtälö. Säteiden suunnat poikkeavat vain vähän optisesta akselista, joten puhutaan myös ns. paraksiaalisesta approksimaatiosta. Kuvausyhtälön esitti ensimmäisen kerran Gauss vuonna 1841 ja hänen mukaansa sitä sanotaan myös Gaussin kuvausyhtälöksi.

8 134 Merkkisäännöt: 1. Esineen etäisyys s > 0, kun esine on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. 2. Kuvan etäisyys s ' > 0, kun kuva on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. 3. kaarevuussäde R > 0, kun kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. - kovera peili R > 0 - kupera peili R < 0 Yhteenvetona merkkisäännöistä voidaan todeta, että positiiviset kuvan ja esineen etäisyydet muodostuvat todellisilla säteillä ja vastaavat siten todellisia esineitä ja kuvia. Negatiiviset etäisyydet muodostuvat säteiden jatkeilla ja vastaavat virtuaalisia (vale-) esineitä ja kuvia. Pallopeilistä saadaan tasopeili asettamalla R. Kuvausyhtälö (6.3.2) antaa tällöin s ' = - s, joka on tuloksen (6.1.1) yleisempi muoto. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että kuva on virtuaalinen kuva, joka siis muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Polttoväli f Jos esine on äärettömän kaukana ( s = ), säteet tulevat peiliin optisen akselin suuntaisina ja fokusoituvat polttopisteeseen F kuvausyhtälön (6.3.2) mukaan etäisyydelle s ' = R / 2.

9 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) 2 î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon =. (6.3.4) s s' f Suurennus lasketaan tarkastelemalla taas äärellisen kokoista (korkeus y) nuolta ja tutkimalla miten sen korkeus muuttuu: Nuolen korkeus on y ja sen kärjen kuvan paikka etsitään kahden säteen avulla. Verteksiin tulevan säteen lähtökulma on sama kuin tulokulma ja optisen akselin suuntainen säde taittuu siten, että sen jatke leikkaa polttopisteen F. Kuva muodostuu heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen. Kuvan kolmioiden avulla kirjoitamme y y' =. s - s' Suurennus määritellään suhteena m= y'/ y, joka etäisyyksien avulla saa muodon s' m =-. (6.3.5) s

10 Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 3.0 cm on 20 cm:n etäisyydellä pallopeilistä, jonka polttoväli on 10 cm. Laske kuvan paikka ja luonne, kun peili on a) kupera b) kovera Ratkaisu: a) kupera peili: f = -10 cm ja s = +20 cm sf (20) (-10) 20 + = Þ s' = = cm = - cm» -6.7 cm. s - f (20) - ( -10) s s' f 3 s' (-20 / 3) 1 m=- == +» s (20) 3 Kuva on oikeinpäin ( m > 0 ) oleva valekuva ( s ' < 0 ) peilin takana 6.7 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on kolmasosa esineen koosta, ts. 1.0 cm korkea. b) kovera peili: f = +10 cm ja s = +20 cm. sf (20) (10) s' = = cm = 20 cm s - f (20) - (10) s' (20) m=- == -1. s (20) Kuva on kääntynyt ( m < 0 ) todellinen kuva ( s ' > 0 ) peilin edessä 20 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on sama kuin esineen koko, ts. 3.0 cm korkea Kun peilin kaarevuuskeskipiste C (ja siten polttopiste F) on annettu, kuvautuminen voidaan konstruoida graafisesti piirtämällä vähintään kaksi seuraavista "helpoista" säteistä: 1. Optisen akselin suuntainen säde heijastuu siten, että se tai sen jatke kulkevat polttopisteen kautta. 2. Peilin huippupisteeseen tuleva säde on helppo piirtää heijastuslain mukaan.

11 Kohti polttopistettä tuleva säde heijastuu optisen akselin suuntaiseksi Esimerkki: Piirrä edellisen esimerkin kuvautumiset mittakaavassa. Ratkaisu: a) kupera peili b) kovera peili Huom! Paraksiaalisessa approksimaatiossa tarkastellaan säteitä, jotka kulkevat hyvin lähellä optista akselia. Tämän vuoksi peilejä ei saa piirtää kaareviksi vaan ne on piirrettävä tasomaisiksi. Vain tällöin graafisesti etsitty kuva saadaan kuvausyhtälön (6.3.4) osoittamaan paikkaan suurennusyhtälöstä (6.3.5) lasketun kokoisena.

12 TAITTUMINEN PALLOPINNASSA Viereinen kuva esittää kahden materiaalin (taitekertoimet n 1 ja n 2 ) pallomaista koveraa rajapintaa. Pinnan kaarevuuskeskipiste on C, esinepiste O ja kuvapiste I. Kaksi sädettä lähtee esinepisteestä. Toinen läpäisee pinnan huippupisteessä V eikä muuta suuntaansa. Toinen osuu pisteeseen P ja taittuu Snelliuksen lain mukaan n1 sin q 1 = n 2 sin q 2. Materiaalissa 2 säteet etääntyvät toisistaan, mutta näyttävät tulevan yhteisestä kuvapisteestä I. Kolmiosta CPO ja CPI kirjoitamme j + q 1 + (180 - a ) = 180 j + q 2 + (180 - a ') = 180 ja näistä q 1 = a - j ja q 2 = a '- j. Paraksiaalisen approksimaation hengessä kirjoitamme kuvausyhtälön muotoon n 1q 1 = n 2q 2, joka nyt siis saa asun n1 (a - j ) = n 2 (a '- j ). Kuvan kolmioista saamme (approksimoidaan taas QV» 0 ) h h h tan a» a», tan a '» a '» ja tan j» j». s s' R Kuvausyhtälöksi tulee æh hö æh hö n1 ç - = n 2 ç - ès Rø è s' R ø josta

13 139 n1 n2 ( n2 - n1) - =-. s s' R Tässä taas kaikki etäisyydet on ajateltu positiivisiksi. Kun sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin peileille (s. 134) (positiiviset etäisyydet todellisille esineille ja kuville), edellisen sivun kuvassa virtaalisen kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < 0) ja kaarevuussäde on negatiivinen ( R < 0). Edellä johdettu kuvausyhtälö voidaan yleistää muotoon n1 n2 n2 - n1 + =, (6.4.1) s s' R joka pätee siis myös kuperalle rajapinnalle. Kun R pallopinnasta tulee tasopinta ja n 2 s' =- s, n1 mikä on sama kuin aikaisemmin johtamamme tulos (6.2.1). Tässä todellisille esineille ( s > 0) kuvan etäisyys on negatiivinen ( s ' < 0) tarkoittaen sitä, että kuva on virtuaalinen (vale)kuva, joka muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Lauseke poikittaiselle suurennukselle johdetaan seuraavan kuvan avulla. Pienten kulmien approksimaatiossa Snelliuksen laki on esimerkiksi tangenttien avulla muotoa n 1 tanq 1 = n 2 tanq 2, joten ho hi n1 = n2. s s'

14 Suurennukseksi tulee siis 140 n1s ' hi =, (6.4.2) ho n 2s mihin ( - )-merkki on lisätty edustamaan kuvan kääntymistä. Tasopinnalle (laske) m = +1, joten kuva on esineen kokoinen ja samoin päin Esimerkki: Esine on 30 cm:n etäisyydellä ilmassa ( n1 = 1) lasiputken edessä. Putken kuperan pallopintaisen pään kaarevuussäde on 5 cm ja putki on täytetty vedellä, jonka taitekerroin on n2 = 1.33» 4 / 3. Laske kuvan sijainti ja laatu. m= Ratkaisu: Kuvausyhtälö on (6.4.1) n 1 n 2 n 2 - n1 1 4 / 3 4 / = Þ + = s s' R 30 cm s' 5 cm 4/ Þ = = s ' 15 cm 30 cm 30 cm Þ s ' = + 40 cm. Suurennus yhtälöstä (6.4.2) (1)(+40) = -1. m1 = (4 / 3)( +30) Kuva on putken sisällä ( s ' > 0 ) 40 cm:n etäisyydellä putken päästä. Kuva on todellinen mutta kääntynyt ( m < 0 ) esineeseen verrattuna. Se on saman kokoinen kuin esine