Greenin ja Stokesin lauseet

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212

Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin luseet Pro grdu -tutkielm, 38 s. Mtemtiikk Toukokuu 212 Tiivistelmä Tutkielm käsittelee vektorirvoisten funktioiden integrointi. Tutkielmn luksi plutetn mieleen, mitä ovt vektorirvoiset funktiot, j esitetään käyrän j pinnn määritelmät. Tämän jälkeen käydään lyhyesti läpi sileän käyrän, sileän pinnn, suunnistetun käyrän, suunnistetun pinnn, tkisinvetosijoituksen j differentilisen k-muodon määritelmät. Ennen tutkielmn pääiheen esittämistä ktsotn, miten määritetään funktion integrli yli kksiulotteisen joukon j määritellään viivintegrli j pintintegrli. Tutkielmn pääiheen on Greenin j Stokesin luseet. Molemmt luseet väittävät, että ω = dω, S missä ω on differentilinen 1-muoto j S on suunnistettu kksiulotteinen joukko. Luseet erovt inostn ympäröivän vruuden oslt. Greenin lusett trkstelln kolmess eri tpuksess j Stokesin lusett khdess eri tpuksess. Luseille esitetään todistukset kusskin tpuksess. Lukijlt oletetn differentili- j integrlilskennn perusosmist sekä vektoreiden lskutoimitusten hllint. Päälähteenä tutkielmss käytetään Jmes Cllhnin kirj Advnced Clculus: A Geometric View. i

Sisältö 1 Johdnto 1 2 Vlmistelevi trksteluj 2 2.1 Vektorirvoiset funktiot..................... 2 2.2 Käyristä j pinnoist....................... 3 2.3 Suunnistetut käyrät, tsolueet j pinnt............ 5 2.4 Sijoitusmenetelmistä j differentilimuodoist......... 7 3 Integrleist 1 3.1 Tsointegrli........................... 1 3.2 Viivintegrli........................... 13 3.3 Pintintegrli.......................... 15 4 Greenin j Stokesin luseet 18 4.1 Greenin luse........................... 19 4.2 Stokesin luse........................... 3 Viitteet 38 ii

1 Johdnto Tämä tutkielm käsittelee vektorirvoisten funktioiden integrointi. Tutkielmss keskitytään Greenin j Stokesin luseisiin j niiden todistuksiin. Molemmt luseet väittävät, että ω = dω, S missä ω on differentilinen 1-muoto j S on suunnistettu kksiulotteinen joukko. Luseet erovt inostn ympäröivän vruuden oslt. Ennen kuin esitetään tutkielmn pääihe, käydään läpi pääiheen knnlt tärkeitä määritelmiä j luseit. Luvun 2 luss plutetn mieleen, mitä trkoitetn vektorirvoisill funktioill, j ktsotn käyrän j pinnn määritelmät. Tämän jälkeen määritellään sileä käyrä j sileä pint sekä suunnistettu käyrä j suunnistettu pint. Luvun lopuss määritellään differentilinen k-muoto j tkisinvetosijoitus. Luvuss 3 ktsotn ensin lyhyesti, miten integroidn yli kksiulotteisen joukon j yli suunnistetun kksiulotteisen joukon. Luvun 3 kppleiss 3.2 j 3.3 määritellään viiv- j pintintegrli j esitetään muutm luse näihin liittyen. Luvuss 4 Greenin lusett trkstelln kolmess eri tpuksess: kun suunnistettu kksiulotteinen joukko S on sekä muuttujn x että muuttujn y funktioiden rjoittm, kun joukko S on vin toisen muuttujn funktioiden rjoittm j kun joukko S on näiden khden edellä minitun tyyppisten joukkojen yhdiste. Luseelle esitetään todistukset kusskin tpuksess. Stokesin luse esitetään differentilimuotojen vull j todistetn differentilimuotoj j tkisinvetokuvust käyttäen. Stokesin luse todistetn ensin suunnistetulle pintpllle j sitten suunnistetulle pinnlle. Tutkielmss lukijlt oletetn differentili- j integrlilskennn perusosmist sekä vektoreiden lskutoimitusten hllint. Tällä trkoitetn yliopiston nlyysin kurssien sioit. Nämä sit voi kerrt esimerkiksi Tom Apostolin kirjoist Clculus, Volume 1: One-Vrible Clculus, with n Introduction to Liner Algebr j Clculus, Volume 2: Multi-Vrible Clculus nd Liner Algebr, with Applictions to Differentil Equtions nd Probbility. 1

Päälähteenä tutkielmss käytetään Jmes Cllhnin kirj Advnced Clculus: A Geometric View. Päälähteen lisäksi teorin tukemiseen j esimerkkeihin käytetään Tom Apostolin kirj Clculus, Volume 2: Multi-Vrible Clculus nd Liner Algebr, with Applictions to Differentil Equtions nd Probbility, Robert Admsin j Christopher Essexin kirj Clculus: A Complete Course, Steven Weintrubin kirj Differentil Forms: A Complement to Vector Clculus j Jerrold Mrsdenin j Anthony Trombn kirj Vector Clculus. 2 Vlmistelevi trksteluj Tässä luvuss esitetään tutkielmn iheeseen liittyviä määritelmiä j luseit. 2.1 Vektorirvoiset funktiot Trkstelln funktiot f : R n R m, missä n, m N = {1, 2,... }. Kun funktion f sekä määrittely- että rvojoukko on R, puhutn relirvoisest relimuuttujn funktiost. Kun n = 1 j m > 1, kutsutn funktiot vektorirvoiseksi relimuuttujn funktioksi. Kun n > 1 j m = 1, on funktio relirvoinen vektorimuuttujn funktio, j kun n > 1 j m > 1, on funktio vektorirvoinen vektorimuuttujn funktio eli vektorikenttä. Tässä tutkielmss käsitellään vektorirvoisi funktioit. Määrittelyjoukko kerrotn kunkin sin yhteydessä. Jtkoss vektorirvoisi funktioit merkitään lihvoiduill kirjimill. Tutkielmss vektoreill i, j j k trkoitetn luonnollisen knnn vektoreit. Siis, jos i, j, k R 3, niin i = (1,, ), j = (, 1, ) j k = (,, 1), j jos i, j R 2, niin i = (1, ) j j = (, 1). Esimerkki 2.1. Funktio f(t) = t i + t j + t 3 k on vektorirvoinen funktio, 2 missä vektorit i, j j k ovt vruuden R 3 vektoreit. Siis funktio f on funktio f : R R 3. Funktion f komponenttifunktiot f 1, f 2, f 3 : R R ovt f 1 = t 2, f 2 = t j f 3 = t 3. 2

Relimuuttujn vektorirvoisten funktioiden rj-rvot, jtkuvuus, derivtt j integrli voidn tutki funktion komponenttifunktioiden vull. Nämä oletetn tunnetuksi. Asit voi kerrt esimerkiksi Tom Apostolin kirjoist Clculus, Volume 1 j Clculus, Volume 2. Ktsotn kppleen lopuksi, millisist funktiost käytetään nimitystä upotus. Määritelmä 2.1. Olkoon f : T R 3 jtkuvsti differentioituv kuvus, missä T R 2. Kuvus f on upotus pisteessä T, jos funktion derivtt pisteessä on injektio. [3, s. 212] 2.2 Käyristä j pinnoist Kppleess määritellään sileä j ploittin sileä käyrä sekä sileä j ploittin sileä pint. Aluksi esitetään käyrän määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoon f : J R n vektorirvoinen funktio, missä J = [, b] j, b R. Jos funktio f on jtkuv joukoss J, niin funktion f rvojoukko f(j) kutsutn käyräksi. Käyrää merkitään kirjimell C. [2, s. 323] Käyrää C snotn kreksi, jos se ei leikk itseään. Siis toisin snoen rvojoukko f(j) snotn kreksi, kun funktio f on injektio. Käyrästä voidn käyttää myös nimitystä viiv ti polku. Jos käyrän ti kren C lku- j päätepiste ovt smt, niin käyrä ti kri on suljettu. Suljetust itseään leikkmttomst käyrästä käytetään usein nimitystä Jordnin käyrä. Huomutus 2.1. Määritelmässä 2.2 muuttuj t J nimitetään prmetriksi j funktion f snotn prmetrisoivn käyrän C ti ntvn käyrän C prmetriesityksen. Käyrän prmetriesitys ei ole yksikäsitteinen. Esimerkki 2.2. Yksikköympyrän prmetrisoiv funktio on f : [, 2π] R 2, f(t) = cos t i + sin t j. Määritellään seurvksi sileä käyrä j ploittin sileä käyrä. 3

Määritelmä 2.3. Olkoon f : [, b] R n vektorirvoinen jtkuv funktio, missä, b R. Funktion f prmetrisoim käyrä C on sileä, jos funktion f derivtt on jtkuv j f (t), kun t ], b[. Käyrää C kutsutn ploittin sileäksi, jos käyrän C = C 1 C 2... C k jokinen komponenttikäyrä C 1,..., C k on sileä j käyrän C i+1 lkupiste on käyrän C i päätepiste, kun i = 1,..., k 1 j k N. [3, s. 7] [2, s. 323] Siis jtkuvn yhden muuttujn funktion kuvjst käytetään nimitystä käyrä, viiv ti polku. Kun kyseessä on khden muuttujn funktio, käytetään funktion kuvjst nimitystä pint. Kppleess esitetään pintpln määritelmä prmetrisoidun pinnn määritelmän sijst. Prmetrisoidun pinnn määritelmä (ks. [1, s. 87] ti [2, s. 417]) on lähes sm kuin pintpln määritelmä. Esitetään nyt pintpln määritelmä j määritellään sen jälkeen ploittin sileä pint j sileä pint. Tsolueell trkoitetn yhtenäistä joukko, jonk reunviiv on suljettu eikä leikk itseään [2, s. 42]. Määritelmä 2.4. Olkoon f : T R 3 jtkuvsti differentioituv injektiivinen upotus voimess joukoss T R 2. Olkoon U T suljettu j rjoitettu tsolue. Pint S on pintpl, jos S = f(u). [3, s. 392] Siis funktio f nt pintpln S prmetriesityksen. Huomutus 2.2. Määritelmästä 2.4 voidn päätellä, että pintplll S on reunt. Reunviivojen kokonisuudest käytetään merkitään S. Määritelmässä 2.4 oletus siitä, että funktio f on upotus, tk sen, että funktion kuv on kksiulotteinen kikkill [3, s. 392]. Huomutus 2.3. Pintplt S i, i N, sopivt yhteen, jos seurvt pätevät (i) jokinen reunviiv S i on ploittin sileä suljettu käyrä, jok koostuu äärellisestä määrästä komponenttikäyriä, (ii) pintploill S i j S j on yhteisiä pisteitä inostn niiden reunoill j (iii) kolmen ti usemmn pintpln yhteiset pisteet ovt eristettyjä j niitä on äärellinen määrä. [3, s. 412] 4

Määritelmä 2.5. Joukko S R 3 on ploittin sileä pint, jos se koostuu äärellisestä määrästä pintploj siten, että pintplt sopivt yhteen. [3, s. 412] Esimerkki 2.3. (Vrt. [3, s. 412 413].) Trkstelln yksikköpllon pint S, jok on ploiteltu neljään pintpln siten, että pintpl S 1 on itäinen vyö, pintpl S 2 on läntinen vyö j pintplt S 3 j S 4 ovt pohjoinen knsi j eteläinen knsi (ks. kuv [3, s. 413]). Pint S on ploittin sileä pint. Määritelmä 2.6. Olkoon S ploittin sileä pint. Ploittin sileä pint S on sileä, jos pinnll S on olemss jokiselle mielivltiselle pisteelle p S\ S sellinen hjoitelm S = S 1 S 2 S n, n N, että piste p on pinnn S jonkin pintpln S i sisäpiste. [3, s. 415] 2.3 Suunnistetut käyrät, tsolueet j pinnt Käyrällä, tsoll j pinnll voi oll suunt. Tässä kppleess käydään lyhyesti läpi, millinen on suunnistettu käyrä, suunnistettu tsolue j suunnistettu pint. Määritelmä 2.7. Olkoon C sileä käyrä vruudess R n. Käyrän C suunnistus osoitt suunnn, mihin käyrä kulkee. Suunnistettu käyrää merkitään nuolell C. [5, s. 45] Siis sileät käyrät ovt suunnistettuj. Ploittin sileä käyrä C on suunnistettu, jos sen komponenttikäyrillä on sm suunnistus. Oletetn, että funktio f : [, b] R n prmetrisoi suunnistetun käyrän C. Jos käyrän C suunnistus on pisteestä f() pisteeseen f(b), piste f() on käyrän C lkupiste j f(b) loppupiste. Suunnistettu käyrä on suunnistettu kri, jos funktio f on injektio. Huomutus 2.4. Jos käyrän C suunt on oikelle käyrän siinä pisteessä, joss käyrän prmetrisoiv funktio s pienimmän rvons, snotn käyrän olevn positiivisesti suunnistettu. Kun käyrän suunt on kyseisessä pisteessä vsemmlle, on käyrä negtiivisesti suunnistettu. Jos käyrä C on suljettu, niin positiivisell suunnistuksell trkoitetn, että suunt on vstpäiväinen. 5

Jos käyrä on ploittin sileä, suunnn määrää se funktio, jok s pienimmän pienimmän rvon. Seurvksi esitetään tsolueen suunnistuksen määritelmä. Määritelmä 2.8. Olkoon T R 2 tsolue. Tsolueen T suunnistus on järjestetyn vektoriprin, joss vektorit ovt linerisesti riippumttomi, pyörähdyssuunt mielivltisess pisteessä p T. Suunnistetust tsolueest käytetään merkintää T. [3, s. 353] Siis jokinen tsolue on suunnistettu. Huomutus 2.5. Vektoriprin pyörähdyssuunt on ensimmäisestä vektorist vektoreiden muodostmn pienemmän kulmn kutt toiseen vektoriin. Tsolue T on positiivisesti suunnistettu, jos järjestetyn vektoriprin pyörähdyssuunt on vstpäivään. Jos tsolue T on suunnistettu, niin jokisell tsolueen T polkuyhtäinen osjoukoll on sm suunnistus [3, s. 354]. Polkuyhtenäisellä joukoll trkoitetn sellist joukko ti pint, jonk kksi mielivltist pistettä voidn yhdistää käyrällä. Huomutus 2.6. Tsolueen T suunnistus määrää reunviivn T suunnistuksen. Pinnn S suunnistus määrää sen reunviivn S suunnistuksen. [3, s. 355, s. 389] Määritellään seurvksi suunnistettu pintpl j suunnistettu ploittin sileä pint. Määritelmä 2.9. Pintpl S on suunnistettu, jos pintpln määritelmässä (määritelmä 2.4) tsolue U on suunnistettu. Suunnistettu pintpl merkitään nuolell S. Tsolueen U suunnistus määrää pintpln S suunnistuksen. [3, s. 392] Määritelmä 2.1. Olkoon S on ploittin sileä polkuyhtenäinen pint. Oletetn, että pinnn S jokinen pintpl on suunnistuv j, että khden vierekkäisen yhteenliitetyn pintpln yhteisten reunkäyrien suunnistukset ovt vstkkiset. Tällöin pint S on suunnistuv j pinnn suuntuksen määrää sen pintplt. [3, s. 42] 6

Ploittin sileä suunnistettu pint j sen reunviiv kirjoitetn missä k N. = S 1 S k = S 1 + + S k = 1 k = 1 + + k, Huomutus 2.7. Suunnistetull pinnll S on olemss mielivstisess pisteessä p S\ S yksikäsitteinen normlivektori n(p), missä n(p) = v 1(p) v 2 (p) v 1 (p) v 2 (p) j vektorit v 1, v 2 R 3 ovt linerisesti riippumttomi tngenttivektoreit pisteessä p. [3, s. 388, s. 417] Huomutus 2.8. Pinnll on kksi puolt. Pinnn S sen puolen suunt, missä n(p) sijitsee, on vstpäiväinen eli positiivinen. [3, s. 388] Ktsotn vielä lopuksi esimerkki. Esimerkki 2.4. (i) Kuution pint on suunnistuv, jos sen khden vierekkäisen yhteenliitetyn pintpln yhteisten reunkäyrien suunnistukset ovt vstkkiset [3, s. 421]. (ii) Möbiuksen nuh ei ole suunnistettu pint [3, s. 415 416]. 2.4 Sijoitusmenetelmistä j differentilimuodoist Joskus integrlin määrittäminen voi oll hnkl joko lueen muodon ti integroitvn funktion tki. Tällöin integrlin määrittämistä voidn helpott viemällä integrli toiseen koordinttisysteemiin. Tämä voi tphtu khdell tvll: ilmisemll muuttuj itse jonkin differentioituvn funktion ti ilmisemll funktio uuden muuttujn vull [3, s. 2]. Kppleess esitetään lyhyesti näistä ensimmäinen. Tämän tyyppistä sijoitust kutsutn tkisinvedoksi. Tkisinvetosijoituksess muuttuj ilmistn uuden muuttujn differentioituvn funktion x = φ(s). Tällöin dx = φ (s) ds j f(x) dx = f(φ(s))φ (s) ds = Φ, 7

missä Φ(s) on funktion f(φ(s))φ (s) integrlifunktio. Tsisinvetosijoituksess oletetn, että funktioll φ(s) on olemss käänteisfunktio φ 1 (s). Sijoituksess hlutn määräämättömäksi integrliksi F (x) = Φ(φ 1 (x)), missä s = φ 1 (x) on funktion x = φ(s) käänteisfunktio. [3, s. 2] Lisää tkisinvetosijoituksest voi luke esimerkiksi Jmes Cllhnin kirjst Advnced Clculus: A Geometric View [3]. Tkisinvetosijoituksess esitettyä funktiot f(φ(s))φ (s) ds kutsutn tkisinvetokuvukseksi j siitä käytetään merkintää f. Tkisinvetokuvus f kuv funktion f differentilimuodot funktion f rvojoukost funktion f määrittelyjoukkoon. Määritellään nyt lyhyesti mitä trkoitetn differentilimuodoill. Lisää differentilimuodoist voi luke esimerkiksi Steven H. Weintrubin kirjst Differentil Forms: A Complement to Vector Clculus [5]. Differentilimuodot ovt viiv- j pintintegrlin integrndej sekä suunnistetun yksi- ti kksoisintegrlin integrndej. Määritellään differentilimuodot vruudess R 3 j käytetään yleisiä koordinttikseleit x, y j z. Differentilimuotojen määritys vruudelle R n tphtuu vstvsti. Määritelmä 2.11. A = α. (i) Astett olev differentilimuoto α on funktio (ii) Astett 1 olev differentilimuoto on α = A dx + B dy + C dz, missä A, B j C ovt funktioit. (iii) Astett 2 olev differentilimuoto on α = A dydz + B dzdx + C dxdy, missä A, B j C ovt funktioit. (iv) Astett 3 olev differentilimuoto on α = A dxdydz, missä A on funktio. [5, s. 1] Jtkoss stett k olevst differentilimuodost käytetään lyhennettä differentilinen k-muoto ti k-muoto. Huomutus 2.9. Differentilisell 1-muodoll trkoitetn integroituv viivintegrli (kpple 3.2), siis integroidn yli yksiulotteisen suunnistuvn lueen. Differentilisell 2-muodoll integroidn yli kksiuloitteisen 8

suunnistetun lueen (kpple 3.3) j 3-muodoll integroidn yli kolmiulotteisen suunnistetun lueen. [3, s. 423] Esimerkki 2.5. Differentilimuoto α = 2x 2 dx + (yz + 3) dz on stett 1. Huomutus 2.1. Differentilimuotojen kertolskuiss sovelletn seurvi sääntöjä: (i) dxdx = dydy = dzdz =, (ii) dxdy = dydx, dxdz = dzdx, dydz = dzdy. [5, s. 2] Määritellään nyt diffentilimuodon jtkuvuus j differentioituvuus. Määritelmä 2.12. Olkoon T R 3 yhtenäinen joukko. (i) Differentilimuoto α on jtkuv joukoss T, jos sen jokinen komponenttifunktio on jtkuv joukoss T. (ii) Differentilimuoto α on differentioituv joukoss T, jos sen jokinen komponenttifunktio on differentioituv joukoss T. (iii) Differentilimuoto α on jtkuvsti differentioituv joukoss T, jos sen [5, s. 6] jokinen komponenttifunktio on jtkuvsti differentioituv joukoss T. Seurvksi esitetään differentilimuodon ulkoisen derivtn määritelmä j tämän jälkeen ktsotn lyhyesti, miten tkisinvetokuvus kuv diffentilimuotoj. Määritelmä 2.13. Olkoon A -muoto eli funktio. Funktion A ulkoinen derivtt da on 1-muoto [5, s. 5] da = A A A dx + dy + x y z dz = A x dx + A y dy + A z dz. Määritelmä 2.14. Olkoon α k-muoto. Differentilisen k-muodon ulkoinen derivtt dα on (k+1)-muoto, missä jokiseen k-muodon funktioon sovelletn määritelmää 2.13. [5, s. 5] 9

Luse 2.1. Olkoon f : R 2 R 3, f(u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)) funktio, missä f 1, f 2, f 3 ovt komponenttifunktioit. Oletetn, että funktion f rvojoukko on sileä pint. Olkoon α = A(x, y, z) dx + B(x, y, z) dy + C(x, y, z) dz funktion f rvojoukoss määritelty 1-muoto. Tällöin f (α) = A(f(u, v)) f 1(u, v) u Todistus. Ks. [5, s. 81]. + C(f(u, v)) f 3(u, v) u + B(f(u, v)) f 2(u, v) v du + B(f(u, v)) f 2(u, v) u du + A(f(u, v)) f 1(u, v) v dv + C(f(u, v)) f 3(u, v) v Seurus 2.1. Luseen 2.1 perusteell tkisinvetokuvus korv ulkoisen derivtn. du dv dv. 3 Integrleist Luvuss käsitellään integrointi yli kksiulotteisen joukon, yli käyrän j yli pinnn. Kosk vektorirvoiset funktiot usein koostuvt relirvoisist komponenttifunktioist integrointi yli kksiulotteisen joukon esitetään relirvoisille funktioille. Integrointi yli käyrän j yli pinnn esitetään vin vektorirvoisille funktioille. Relirvoisten funktioiden viiv- j pintintegrlist voi luke esimerkiksi Tom Apostolin kirjst Clculus, Volume 2: Multi- Vrible Clculus nd Liner Algebr, with Applictions to Differentil Equtions nd Probbility. 3.1 Tsointegrli Kppleess käydään läpi, minkä tyyppisiä kksiulotteisi joukkoj on j miten niiden yli integroidn. Kppleen funktiot ovt relirvoisi vektorimuuttujn funktioit. Plutetn ensin mieleen, miten integroidn yli suorkulmion muotoisen tsolueen. Määritelmä funktion integrlist yli suorkulmion muotoisen tsolueen oletetn tunnetuksi, ks. [1, s. 793] ti [2, s. 357]. Funktion tsointegrlin määrittämiseen käytetään seurv lusett. 1

Luse 3.1. Olkoon f(x, y) suorkulmion muotoisell tsolueell R = {(x, y) : x b j c y d, missä, b, c, d R} määritelty jtkuv funktio. Funktion f tsointegrli yli joukon R on b d d b f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy. R c c Todistus. Ks. [3, s. 319 321]. Trkstelln seurvksi joukkoj, jotk ovt jtkuvien funktioiden rjoittmi. Olkoon S (x, y)-tsoss olev jtkuvien funktioiden rjoittm yhtenäinen joukko. Nyt S voi oll khden muuttujn x funktion rjoittm (kuv 1) ti khden muuttujn y funktion rjoittm (kuv 2). Kuv 1: Muuttujn x funktioiden rjoittm joukko. Kuv 2: Muuttujn y funktioiden rjoittm joukko. Jos S on khden muuttujn x funktion rjoittm, voidn S ilmist 11

seurvsti: S : x b, γ(x) y δ(x), missä funktiot y = γ(x) j y = δ(x) ovt välillä [, b] jtkuvi j γ(x) δ(x). Jos S on khden muuttujn y funktion rjoittm, voidn S ilmist seurvsti: S : c y d, α(y) x β(y), missä funktiot x = α(y) j x = β(y) ovt välillä [c, d] jtkuvi j α(y) β(y). Joukko voi myös oll sekä muuttujn x funktioiden rjoittm että muuttujn y funktioiden rjoittm. Ktsotn nyt miten määritetään tsointegrli yli edellä minittujen joukkojen. Luse 3.2. Olkoon S (x, y)-tsoss olev joukko siten, että x b j γ(x) y δ(x), missä γ(x) j δ(x) ovt jtkuvi funktioit välillä [, b]. Olkoon f(x, y) joukoss S määritelty jtkuv funktio. Funktion f(x, y) tsointegrli yli joukon S on S f(x, y) dxdy = b δ(x) γ(x) f(x, y) dy dx. Smn tpn voidn määrittää integrli yli joukon, jot rjoittvt muuttujn y funktiot. Todistus. Ks. [3, s. 321]. Jos joukko on suunnistettu, tsointegrli määritetään seurvsti: Määritelmä 3.1. Olkoon joukko S suunnistettu j olkoon f(x, y) joukoss S määritelty jtkuv funktio. Tällöin funktion f integrli yli joukon S on f(x, y) dxdy = sgn S f(x, y) dxdy, S missä sgn S = +1, kun joukon S suunnistus on positiivinen, j sgn S = 1, kun suunnistus on negtiivinen. [3, s. 356] 12

Esimerkki 3.1. (Vrt. [1, s. 8].) Olkoon S negtiivisesti suunnistettu joukko, jonk pisteet toteuttvt seurvt epäyhtälöt: y 1 j x y 2. Trkstelln funktiot f(x, y) = e y3 joukoss S. Funktio on selvästi jtkuv joukoss S, joten funktiolle voidn määrittää integrli yli suunnistetun joukon S. Siis e y3 dxdy = 1 e y3 dxdy = y2 1 e y3 dxdy = y 2 e y3 dy S = / 1 e y3 3 = e 1 3. 3.2 Viivintegrli Kppleess käydään läpi, miten integroidn funktio yli käyrän. Määritelmä 3.2. Olkoon C sileä positiivisesti suunnistettu käyrä, jonk prmetrisoi funktio g(t), missä g : [, b] R n j t [, b]. Olkoon F käyrällä C määritelty jtkuv vektorikenttä. Tällöin vektorikentän F viivintegrli yli käyrän C on C b F dg = F [g(t)] g (t) dt. [2, s. 324] [3, s. 1] [4, s. 288] Jos käyrä on negtiivisesti suunnistettu, integrlin eteen tulee miinusmerkki. Huomutus 3.1. Trkstelln määritelmää 3.2, kun funktiot g j F ilmistn komponenttifunktioidens vull. Olkoon nyt g = (g 1, g 2,..., g n ), missä g 1, g 2,..., g n : R R, j olkoon F = (f 1, f 2,..., f n ), missä f 1, f 2,..., f n : R n R ovt jtkuvi funktioit j n N. Tällöin viivintegrli on F dg = (f 1 dg 1 + + f n dg n ) = n b f k [g(t)] g k(t) dt. C C k=1 13

Kun käsitellään kksiulotteist vruutt, on tpn merkitä funktion g komponenttifunktioit g 1 = x j g 2 = y. Tällöin viivintegrli on f 1 dx + f 2 dy. [2, s. 324] Esimerkki 3.2. (Vrt. [4, s. 29].) Määritetään integrli cos z dx + e x dy + e y dz, C C kun sileän positiivisesti suunnistetun käyrän C prmetrisoi funktio g : [, 2] R 3, missä g(t) = i + tj + e t k. Määritetään ensin F(g) j g (t): F(g) = F(1, t, e t ) = cos e t i + e 1 j + e t k j g (t) = j + e t k. Funktioiden sisätulo on F(g(t)) g (t) = (cos e t i + e 1 j + e t k) (j + e t k) = ( cos e t )i + (1 e)j + (e t e t )k = e j + e 2t k. Viivintegrliksi sdn cos z dx + e x dy + e y dz = 2 (e + e 2t ) dt = 2e + 1 4 e4 1 2. C Aiemmin todettiin, ettei käyrän prmetriesitys ole yksikäsitteinen. Esitetään seurvksi luse tpuksest, joss käyrällä on kksi prmetriesitystä. Luse 3.3. Olkoon C vruuden R n sileä suunnistettu käyrä, jonk prmetrisoi sekä funktio g(t) että funktio h(t). Olkoon F on jtkuv vektorikenttä käyrällä C. Jos funktiot g j h piirtävät käyrän C smn suuntn, niin F dg = F dh. C C Jos funktiot piirtävät käyrän eri suuntn, F dg = F dh. C C 14

Todistus. Ks. [2, s. 327]. Esitetään seurvksi määritelmä integrlist yli ploittin sileän suunnistetun käyrän. Määritelmä 3.3. Olkoot m N j C = C 1 C m ploittin sileä positiivisesti suunnistettu käyrä, jonk prmetrisoi funktio g. Käyrällä C määritellyn jtkuvn vektorikentän F viivintegrli yli käyrän C on F dg = F dg = F dg + F dg + + F dg. C 1 + C 2 + + C m C 1 C 2 C [3, s. 9] Määritelmä 3.3 voidn yleistää tpukseen, joss käyrät ovt erillisiä. Symboli käytetään yleensä silloin, kun integroidn yli suljetun käyrän. C m 3.3 Pintintegrli Kppleess määritellään vektorirvoisten funktioiden pintintegrli yli sileän suunnistetun pintpln j yli ploittin sileän suunnistetun pinnn. Kppleen määritelmissä oletetn, että pintpln suunnistus on positiivinen. Jos suunnistus on negtiivinen, tulee integrlin eteen miinusmerkki. Määritelmä 3.4 (pintintegrli). Olkoon S sileä suunnistettu pintpl. Olkoon F(x, y, z) = (f 1, f 2, f 3 ) pintplll S määritelty jtkuv vektorikenttä, missä f 1, f 2 j f 3 ovt komponenttifunktioit. Vektorikentän F pintintegrli yli pintpln S merkitään f 1 (x, y, z) dydz + f 2 (x, y, z) dzdx + f 3 (x, y, z) dxdy. Olkoon funktio g(u, v) : T R 3 pintpln S = g (U) prmetriesitys, missä T R 2 j U T. Tällöin vektorikentän F pintintegrlin rvo on ( ) (y, z) f 1 (g(u, v)) (u, v) + f (z, x) 2(g(u, v)) (u, v) + f (x, y) 3(g(u, v)) dudv. (u, v) U [3, s. 42] 15

Luse 3.4. Pintintegrli on riippumton siitä, mitä pintpln S prmetriesitystä käytetään. [3, s. 41] Todistus. Ks. [4, s. 335]. Pintintegrlin määritelmässä esitettyjen Jcobin determinnttien (y,z) (z,x) (x,y) j (u,v) (u,v) (u,v), muodostmst vektorist käytetään nimitystä suuntnormli. Siis suuntnormli N on ( ) (y, z) (z, x) (x, y) N =,,. (u, v) (u, v) (u, v) Määritellään seurvksi vektorikentän integrli yli ploittin sileän pinnn j ktsotn sen jälkeen esimerkki. Määritelmä 3.5. Olkoon S ploittin sileä suunnistettu pint j olkoon F(x, y, z) = (f 1, f 2, f 3 ) pinnll S määritelty vektorikenttä, missä f 1, f 2 j f 3 ovt komponenttifunktioit. Vektorikentän F pintintegrli yli ploittin sileän pinnn S on f 1 (x, y, z) dydz + f 2 (x, y, z) dzdx + f 3 (x, y, z) dxdy = k i=1 i f 1 (x, y, z) dydz + f 2 (x, y, z) dzdy + f 3 (x, y, z) dxdy, missä S = S 1 + + S k j k N. [3, s. 417, s. 42] Pintintegrli yli ploittin sileän suunnistetun pinnn on siis sileiden suunnistettujen pintplojen integrlien summ. Esimerkki 3.3. (Vrt. [3, s. 421].) Trkstelln (x, y, z)-vruudess olev yksikkökuutiot, jonk yksi kärjistä on origoss j muut kärjet ovt x-, y- j z-kseleiden positiivisill puolill. Oletetn, että yksikkökuution ploittin sileä pint S on suunnistettu. Olkoon F(x, y, z) = (x + y, y x, ) pinnll määritelty vektorikenttä. Tsoss x = 1 pinnn S x=1 prmetrisoi funktio g x=1 : U R 3, missä U on positiivisesti suunnistettu yksikköneliö (u, v)- tsoss j (x, y, z) = (1, u, v). Nyt kun x = 1, suuntnormli N x=1 on ( ) (y, z) (z, x) (x, y) N x=1 =,, = (1,, ). (u, v) (u, v) (u, v) 16

Vektorikentän F pintintegrli yli pinnn S x=1 on (x + y) dydz + (y x) dzdx + dxdy x=1 = ((1 + u) 1 + (u 1) + ) dudv = U 1 1 (1 + u) dudv = 3 2. Pintintegrlit yli kuution muiden pintojen S x=, S y=, S y=1, S z= j S z=1 sdn lskettu vstvsti, ks. [3, s. 421]. Esitetään seurvksi hyödyllinen luse pintintegrlist. Luse 3.5. Olkoon ploittin sileällä suunnistetull pinnll S on kksi suunnistettujen pintplojen ositust S = S 1 + + S k = T 1 + + T m, missä k, m N. Tällöin k m f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy = f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy, i=1 j=1 i missä F(x, y, z) = (f 1, f 2, f 3 ) on pinnll S määritelty vektorikenttä. [3, s. 42] Todistus. Määritelmän 3.5 nojll vektorikentän pintintegrli yli ploittin sileän pinnn on k f 1 dydz + f 2 dzdx + f 3 dxdy = f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy. i=1 i Toislt, määritelmän 3.5 nojll vektorikentän pintintegrli yli ploittin sileän pinnn on m f 1 dydz + f 2 ) dzdx + f 3 dxdy = f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy. j=1 T j T j 17

Siis k f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy = f 1 dydz + f 2 dzdx + f 3 dxdy i=1 i m = f 1 dydz + f 2 dzdy + f 3 dxdy. j=1 T j Kun trkstelln pintintegrlin määritelmää, huomtn, että integrndi on 2-muoto. Esitetään kppleen lopuksi pintintegrlist luse, joss käytetään tkisinvetokuvust. Luse 3.6. Olkoon f : T R 3 jtkuvsti differentioituv injektiivinen upotus voimess joukoss T R 2. Olkoon U T positiivisesti suunnistettu, suljettu j rjoitettu tsolue j olkoon S = f( U) suunnistettu pintpl. Olkoon ω pinnll S määritelty jtkuv 2-muoto siten, että ω = A dydz + B dzdx + C dxdy. Tällöin ω = A dydz + B dzdx + C dxdy f( U) = U = ( (y, z) A(f(u, v)) (u, v) f (ω). ) x) y) + B(f(u, v)) (z, + C(f(u, v)) (x, dudv (u, v) (u, v) U [3, s. 432] Todistus. Seur pintintegrlin määritelmästä j luseest 2.1. 4 Greenin j Stokesin luseet Tässä luvuss käydään läpi tutkielmn pääihe: Greenin j Stokesin luseet. Luku on melko suorn Jmes Cllhnin kirjn Advnced Clculus: A Geometric View kppleist 9 j 11. 18

4.1 Greenin luse Greenin luse väittää, että tietynlisten funktioiden tsointegrli yli tsoss olevn suunnistetun joukon S on yhtäsuuri kuin funktion integrli yli suunnistetun reunviivn S. Kppleess käsitellään Greenin luse kolmess eri tpuksess. Ensimmäinen tpuksess oletetn, että positiivisesti suunnistetun joukon S pisteille ovt yhtäik voimss seurvt epäyhtälöt: : : x b, γ(x) y δ(x) j c y d, α(y) x β(y), missä γ(x) j δ(x) ovt muuttujn x jtkuvi funktioit välillä [, b] siten, että joukon S reunviiv on ploittin sileä, j α(y) j β(y) muuttujn y jtkuvi funktioit välillä [c, d] siten, että joukon S reunviiv on ploittin sileä. Siis joukko S on sekä muuttujn x että muuttujn y funktioiden rjoittm. Joukon S suunnistus määrää reunviivn suunnistuksen.. Joukon S sulkeumll trkoitetn joukon j reunviivn yhdistettä S Luse 4.1 (Greenin luse). Olkoon S edellä minitull tvll suunnistettu j rjoitettu joukko (x, y)-tsoss j olkoon joukon S reunviiv. Olkoot P (x, y) j Q(x, y) joukon S sulkeumss jtkuvsti differentioituvi relirvoisi funktioit. Tällöin P dx + Q dy = ( Q x P ) dxdy. y Todistus. Oletetn, että joukko S on positiivisesti suunnistettu. Väite voidn ilmist seurvsti: P dx + Q dy = Q x dxdy P y dxdy. Nyt väite voidn jk khteen osn. Todistetn väitteen ensimmäinen puoliks, eli (4.1) P dx = 19 P y dxdy,

käyttämällä hyväksi joukko S rjoittvi muuttujn x funktioit. Siis kun (x, y) S, niin x b j γ(x) y δ(x). Aloitetn yhtälön (4.1) vsemmst puolest eli viivintegrlist. Suunnistettu reunviiv S koostuu ploist, jotk ovt jtkuvien funktioiden rvojoukkoj eli käyriä siten, että reunviiv on ploittin sileä. Merkitään näitä käyriä seurvsti: C 1, C 2, C 3 j C 4, missä prilliset ovt pystysuori j prittomt sivuttissuuntisi käyriä siten, että käyrän C 3 yli integroidn toiseen suuntn kuin käyrän C 1 yli j käyrän C 4 yli integroidn toiseen suuntn kuin käyrän C 2 yli (kuv 3). Kosk joukko S on funktioiden rjoittm, on käyriä neljä ti vähemmän. Siis oletusten perusteell funktio γ(x) prmetrisoi käyrän C 1 j funktio δ(x) käyrän C 3, pystysuort käyrät C 2 j C 4 prmetrisoi funktiot x = b j x =. Kuv 3: S muuttujn x funktioiden rjoittmn. Viivintegrlit yli pystysuorien käyrien C 2 j C 4 eivät vikut, kosk käyrän C 2 yli integroitess on integrointiväli pisteestä b pisteeseen b j käyrän C 4 yli integroitess integrointiväli on pisteestä pisteeseen. Siis viivintegrliksi tulee molemmist tpuksist. Nyt yhtälön 4.1 viivintegrli sdn määritettyä integroimll sivuttissuuntisten käyrien yli. Määritelmän 3.3 nojll P dx = P dx + C 1 C 3 P dx. Käyrien C 1 j C 3 yli integroitess voidn käyttää muuttuj x prmetrin. 2

Nyt käyrän C 1 yli integroitess integrointiväli on pisteestä pisteeseen b j käyrän käyrän C 3 yli integroitess integrointiväli on pisteestä b pisteeseen. Kosk funktio γ(x) prmetrisoi käyrän C 1 j funktio δ(x) käyrän C 3, niin funktion P (x, y) viivintegrli yli käyrän C 1 j C 3 on C 1 P (x, y) dx = C 3 P (x, y) dx = b b P (x, γ(x)) dx j b P (x, δ(x)) dx = Siis funktion P (x, y) viivintegrli yli reunviivn on P dx = b P (x, δ(x)) dx. (P (x, γ(x)) P (x, δ(x))) dx, missä γ(x) j δ(x) ovt muuttujn x jtkuvi funktioit välillä [, b]. Trkstelln nyt yhtälön (4.1) oike puolt. Käyttämällä määritelmää 3.1 j lusett 3.2 sdn P y dxdy = = = S b b P b (x, y) dxdy = y / δ(x) γ(x) P (x, y) dx δ(x) γ(x) (P (x, γ(x)) P (x, δ(x))) dx. P (x, y) dydx y Nyt yhdistämällä yllä sdut tulokset sdn P b y dxdy = (P (x, γ(x)) P (x, δ(x))) dx = Näin todistettiin väitteen ensimmäinen puoliks. Väitteen toinen puoliks, Q dy = Q x dxdy, P dx. 21

voidn todist smll tvll kuin ensimmäinen puoliks, mutt käyttämällä joukko S rjoittvi muuttujn y funktioit. Esimerkki 4.1. (Vrt. [4, s. 349].) Olkoon P (x, y) = x, Q(x, y) = xy j olkoon joukko S yksikköympyrä x 2 + y 2 1. Trkstelln Greenin luseen voimssolo. Oletetn, että S on positiivisesti suunnistettu. Joukon S reunviivn S prmetrisoivt funktiot x = cos t j y = sin t, missä t 2π. Siis dx = sin t j dy = cos t. Tällöin Greenin luseen mukinen viivintegrli yli reunviivn S on P dx + Q dy = 2π ((cos t)( sin t) + cos t sin t cos t) dt = 2π ( 1 ) 2 sin 2t sin t cos2 t dt = / 2π ( cos 2t 4 ) + cos3 t =. 3 Joukko S on sekä muuttujn x funktioiden että muuttujn y funktioiden rjoittm. Määritetään tsointegrli muuttujn x funktioiden vull. Nyt 1 x 1 j joukko S rjoittvt funktiot y = 1 x 2 j y = 1 x 2. Tsointegrli yli joukon S on ( Q x P ) dxdy = y Siis Greenin luseen tulos on voimss. = 1 1 1 1 x 2 1 x 2 (y ) dydx 1 x 2 / 1 1 x 2 y 2 2 dx =. Huomutus 4.1. Olkoon F (x, y) = f(x, y) dx eli F = f. Olkoon nyt x P (x, y) = j Q(x, y) = F (x, y). Tällöin Greenin luseen nojll f(x, y) dxdy = F (x, y) dy. 22

Siis f(x, y) dxdy = ( ) f(x, y) dx dy eli Greenin luseen vull voidn rvioid tsointegrli sieventämällä se viivintegrlin j yksinkertisen integrlin yhdistelmäksi. Viivintegrli voidn määrittää tsointegrlin vull. Ktsotn siitä esimerkki. Esimerkki 4.2. (Vrt. [2, s. 382].) Olkoon S positiivisesti suunnistettu neliö, jonk kulmpisteet ovt (, ), (1, ), (1, 1) j (, 1). Trkstelln viivintegrli (5 xy y 2 ) dx (2xy x 2 ) dy. Muuttujille x j y pätee, että x 1 j y 1. Nyt funktioin ovt P = 5 xy y 2 j Q = 2xy + x 2. Tällöin Q x P y = 2y + 2x ( x 2y) = 3x. Greenin lusett käyttämällä sdn viivintegrliksi P dx + Q dy = 1 3x dxdy = 3 1 x dxdy = 3 2. Greenin luse nt puj viivintegrlin määrittämiseen. Seurvksi esitetään seurus tähän liittyen. Seurus 4.1. Olkoon P muuttujn x funktio, jok ei sisällä muuttuj y, j olkoon Q muuttujn y funktio, jok ei sisällä muuttuj x. Tällöin P dx + Q dy =. Todistus. Kosk Q P x y P dx + Q dy = = =, niin ( Q x P ) dxdy =. y 23

Todistetn seurvksi Greenin luse käyttämällä inostn toisen muuttujn funktioit. Todistuksess osittisderivtoist käytetään seurvnlisi lyhenteitä: F y = F y j ( F / y) x = F yx. Todistus. Oletetn, että joukko S rjoitt muuttujn x kksi jtkuv funktiot siten, että joukon S reunviiv on ploittin sileä. Joukon S pisteille siis pätevät seurv: : x b, γ(x) y δ(x). Nyt Greenin luseen ensimmäisessä todistuksess todistettu väite P dx = P y dxdy on voimss. Todistetn väitteen toinen puoliks eli Q Q dy = x dxdy. Olkoon F funktion Q ntiderivtt muuttujn y suhteen eli (4.2) F (x, y) = Q(x, y) dy ts. F y (x, y) = Q(x, y). Kosk oletettiin, että funktio Q on jtkuvsti differentioituv eli funktion Q ensimmäiset derivtt ovt jtkuvi, on funktion F toiset derivtt jtkuvi j Q x = F yx = F xy. Funktion Q x tsointegrli yli joukon S voidn kirjoitt seurvsti (luse 3.2): (4.3) Q x (x, y) dxdy = b δ(x) F xy (x, y) dydx = b / δ(x) F x (x, y) dx γ(x) γ(x) b = (F x (x, δ(x)) F x (x, γ(x))) dx. Näytetään nyt, että funktion Q integrli yli reunviivn on sm kuin yhtälön (4.3) tulos. Määritetään yksitellen integrlit käyrien C 1, C 2, C 3 j 24

C 4 yli. Käyrän C 1 yli integroitess voidn muuttuj x käyttää prmetrin, jolloin y = γ(x) j x b. Määritelmän 3.2 j huomutuksen 3.1 perusteell viivintegrli on (4.4) C 1 Q dy = b Q(x, γ(x))γ (x) dx. Kosk funktio γ(x) on muuttujn x funktio, sdn ketjusäännön j funktion F y = Q määrittelyn (yhtälö (4.2)) vull funktion F (x, γ(x)) derivtksi Siis d dx F (x, γ(x)) = F x(x, γ(x)) + F y (x, γ(x))γ (x) = F x (x, γ(x)) + Q(x, γ(x))γ (x). Q(x, γ(x))γ (x) = d dx F (x, γ(x)) F x(x, γ(x)). Kosk Riemnnin integrli on linerinen, niin (4.5) b Q(x, γ(x))γ (x) dx = b d b F (x, γ(x)) dx F x (x, γ(x)) dx. dx Yhtälön (4.5) oiken puolen ensimmäinen integrli voidn helposti lske (4.6) b d F (x, γ(x)) dx = dx / b F (x, γ(x)) = F (b, γ(b)) F (, γ()). Yhtälöt (4.4), (4.5) j (4.6) yhdistämällä sdn funktion Q viivintegrliksi yli käyrän C 1 C 1 Q dy = F (b, γ(b)) F (, γ()) F x (x, γ(x)) dx. b Kun integroidn yli käyrän C 2, on x = b j muuttuj y voidn käyttää prmetrin, missä γ(b) y δ(b). Tällöin viivintegrli on Q(b, y) dy = C 2 δ(b) γ(b) F y (b, y) dy = F (b, δ(b)) F (b, γ(b)). 25

Kun integroidn yli käyrän C 3, muuttuj x voidn käyttää prmetrin. Nyt y = δ(x) j kosk käyrän C 3 käyrän C 1 yli integroidn toiseen suuntn kuin yli, niin integrointi tphtuu muuttujn x suhteen pisteestä b pisteeseen. Määritelmän 3.2 j huomutuksen 3.1 nojll C 3 Q dy = b b Q(x, δ(x))δ (x) dx = Q(x, δ(x))δ (x) dx. Integrli sdn smnliseen muotoon kuin käyrän C 1 yli integroitess. Nyt funktion γ tilll on funktio δ j integrlin edessä on miinusmerkki: C 3 b Q dy = b Q(x, δ(x))δ (x) dx = = F (b, δ(b)) + F (, δ()) + b ( ) d dx F (x, δ(x)) F x(x, δ(x)) dx F x (x, δ(x)) dx. Kun integroidn yli käyrän C 4, on x = j muuttuj y voidn käyttää prmetrin. Kosk käyrä C 4 yli integrointi tphtuu toisen suuntn kuin käyrän C 2 yli integrointi, niin nyt tulee integroid pisteestä δ() pisteeseen γ(). Käyttämällä F y = Q määrittelyä (yhtälö (4.2)) sdn C 4 Q dy = γ() δ() Q(, y) dy = γ() δ() F y (, y) dy = F (, γ()) F (, δ()). Nyt lskemll yhteen viivintegrlit yli käyrien C 1, C 2, C 3 j C 4 j käyttämällä yhtälöä (4.3) sdn Q dy = Q dy + Q dy + Q dy + C 1 C 2 C 3 = F (b, γ(b)) F (, γ()) + F (b, δ(b)) F (b, γ(b)) F (b, δ(b)) + F (, δ()) + 26 b b C 4 Q dy F x (x, γ(x)) dx F x (x, δ(x)) dx

+ F (, γ()) F (, δ()) b b = F x (x, δ(x)) dx F x (x, γ(x)) dx = Q x dxdy = Q x dxdy. Siis väite on todistettu. Smn tpn voidn todist tpus, missä joukko S rjoittvt muuttujn y funktiot. Greenin luseen kolmnness tpuksess suunnistettu joukko S koostuu äärellisestä yhdisteestä, jok sisältää sekä yhden muuttujn funktioiden rjoittmi että molempien muuttujien funktioiden rjoittmi joukkoj (kuv 4). Siis sllitn, että reunviivll S voi oll usempi komponentti, joill kikill on sm suunnistus kuin joukoll S. Kuv 4: S äärellisenä yhdisteenä. Todistus. Olkoon joukko S suljettu, rjoitettu j positiivisesti suunnistettu. Oletetn, että joukko S on äärellinen yhdiste joukoist S 1,..., S N, missä N N j ost S i toteuttvt Greenin luseen ehdot, kun i = 1,..., N. Oletetn lisäksi, että ost S i ovt erillisiä reunoj lukuunottmtt j, että niillä on sm suunnistus kuin joukoll S. Trkstelln erikseen viiv- j tsointegrlej. Tsointegrlin dditiivisuudest seur, että funktioiden 27

P j Q osittisderivttojen integrli yli joukon S on ( Q x P ) dxdy y = 1 ( Q x P ) dxdy + + y N ( Q x P ) dxdy. y Trkstelln sitten viivintegrli. Jos khdell osll S i j S j on yhteinen reunkäyrä C k, niin kosk ne ovt reunkäyrän C k vstkkisill sivuill, on osn S i reunkäyrän C k suunnistus vstkkinen kuin osn S j reunkäyrän C k suunnistus. Tällöin käyrän C k suunnistus osn reunviiv i on vstkkissuuntinen kuin sen suunnistus osn reunviiv j, eli integroidess yli reunviivn reunkäyrä C k supistuu pois. Jäljelle jäävät vin ne käyrät C, jotk ovt osn vin yhden osn reunviiv i. Siis jäljelle jää inostn joukon S reunviiv. Tällöin sdn viivintegrlille yhtäsuuruus: P dx + Q dy = 1 (P dx + Q dy) + + N (P dx + Q dy). Kosk joukon S jokisess osss S i Greenin luseen ehdot ovt voimss, niin Greenin luseen ehdot ovt voimss myös joukoss S: ( Q x P ) dxdy = P dx + Q dy. y Esimerkki 4.3. (Vrt. [1, s. 95].) Olkoon S positiivisesti suunnistettu suljettu j rjoitettu (x, y)-tsoss olev joukko, jonk reunviiv ei kulje origon kutt. Osoitetn, että y dx + x dy, jos origo on joukon S ulkopuolell, = x 2 + y 2 2π, jos origo on joukon S sisällä. Siis P = y j Q = x. Käsitellään ensin tpus, kun origo on joukon x 2 +y 2 x 2 +y 2 ulkopuolell. Jos (x, y) (, ), niin ( ) x ( ) ( ) y = x2 + y 2 2x 2 x 2 y 2 + 2y 2 =. x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) 2 28

Siis jos origo ei sisälly joukkoon S, niin Greenin luseen nojll ( ( ) y dx + x dy x = ( )) y dxdy =. x 2 + y 2 x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 Oletetn, että origo sisältyy joukkoon S. Origon on oltv joukon S sisäpiste, kosk oletettiin, ettei reunviiv kulje origon kutt. Siis mielivltiselle pisteelle p S\ on olemss ɛ > siten, että ɛ-säteinen p-keskinen ympyrä sisältyy joukkoon S. Olkoon S ɛ origo-keskinen ɛ-säteinen ympyrä. Oletetn, että S ɛ on negtiivisesti suunnistettu. Määritetään integrli yli reunviivn ɛ. Reunviivlle ɛ pätee, että x 2 + y 2 = ɛ 2, missä ɛ on vkio. Käyttämällä Greenin lusett j viemällä tsointegrli npkoordintistoon (ks. [2, s. 396 398]) sdn integrliksi y dx + x dy 1 = ( y dx + x dy) = x 2 + y 2 ɛ2 ɛ ɛ = 1 ɛ 2 = 1 ɛ 2 ɛ 2π 1 2r drdθ = ɛ 2 dθ = 2π. ɛ 2 ɛ 2π ɛ 1 ɛ 2 2 dxdy 2r drdθ Trkstelln seurvksi joukkojen S j S ɛ rjoittm positiivisesti suunnistettu joukko S 1. Siis S 1 = S\ S ɛ. Joukoll S 1 on kksi reunviiv: sekä että ɛ. Lisäksi origo ei sisälly joukkoon S 1. Tällöin Greenin lusett käyttämällä sdn, että y dx + x dy = x 2 + y 2 1 Tästä seur, että y dx + x dy = x 2 + y 2 Siis väite on todistettu. y dx + x dy + x 2 + y 2 ɛ ɛ y dx + x dy x 2 + y 2 =. y dx + x dy x 2 + y 2 = ( 2π) = 2π. Trkstelln Greenin luseen viivintegrlin integrndi P (x, y) dx + Q(x, y) dy. 29

Huomtn, että integrndi on 1-muoto. Merkitään tätä 1-muoto kirjimell α. Differentilisen 1-muodon α ulkoinen derivtt on määritelmän 2.14 nojll dα = dp (x, y) dx + dq(x, y) dy ( ) ( P P Q = dx + x y dy dx + x = P P dxdx + x y dydx + Q x ) Q dx + y dy dy dxdy + Q y dydy. Nyt käyttämällä huomutuksen 2.1 lskusääntöjä hyväksi sdn, että P P dxdx + x y dydx + Q x dxdy + Q y P dydy = y = Q = dydx + Q x dxdy P dxdy y dxdy ) dxdy. x ( Q x P y Siis tämä trkoitt, että differentilimuotojen vull lusuttun Greenin luse näyttää seurvlt: α = dα, missä S on Greenin luseess trksteltv joukko. 4.2 Stokesin luse Stokesin luse yhdistää integrlin yli pinnn S j integrlin yli pinnn reunviivn S toisiins. Tutkielmss Stokesin luse esitetään differentilimuotojen vull j todistetn differentilimuotoj j tkisinvetokuvust käyttäen. Vektorimuotoisen Stokesin luseen voi ktso esimerkiksi lähteestä [1] ti [4]. Stokesin luseess oletetn, että S on ploittin sileä suunnistettu pint (x, y, z)-vruudess j ω = ω(x, y, z) on differentilinen 1-muoto. Sekä Greenin että Stokesin luse väittävät, että ω = dω, 3

missä ω on 1-muoto j S on suunnistettu kksiulotteinen joukko. Luseet erovt inostn ympäröivän vruuden oslt. Greenin luse on määritelty vruudess R 2 j Stokesin luse vruudess R 3. Siis Greenin luseess joukko S on tsolue j Stokesin luseess S voi oll krev. Kosk tsoss olevt joukot ovt pintplojen prmetriesitysten perustn, voidn Greenin lusett käyttää Stokesin luseen todistmiseen. Stokesin luseen todistmiseen käytetään seurvi tietoj hyväksi: Ploittin sileä pint on suunnistettujen pintplojen äärellinen summ, j pintplojen, joill on yhteinen reunkäyrä, suunnistukset ovt vstkkiset (määritelmä 2.1). Suunnistettu pintpl S = f( U) on suljetun, rjoitetun, suunntun tsolueen U T kuvus, missä funktio f : T R 3 on jtkuvsti differentioituv injektiivinen upotus voimess joukoss T R 2 (määritelmä 2.9). Kuvus f on upotus pisteessä, jos derivtt pisteessä, df : R 2 R 3, on injektio (määritelmä 2.1). Pintplll S määritellyn 2-muodon α pintintegrli on (luse 3.6): α = f (α). U Integrli yli pintpln S ei riipu siitä, mitä prmetriesitystä käytetään (luse 3.4). Differentilisen 2-muodon pintintegrli yli ploittin sileän suunnistetun pinnn on sileiden suunnistettujen pintplojen integrlien summ (määritelmä 3.5). Esitetään vielä kksi lemm ennen Stokesin lusett. Lemm 4.1. Olkoon f : T R 3 jtkuvsti differentioituv kuvus, missä T R 2. Olkoon α(x, y, z) funktion rvojoukoss f(t) määritelty k-muoto. Tällöin f (dα) = d (f (α)). Todistus. Ks. [5, s. 86 89]. Seurvn lemmn todistuksess hyödennetään oletust, että funktio f on upotus j injektio. Lemm 4.2. Olkoon f : T R 3 on jtkuvsti differentioituv injektiivinen upotus voimess joukoss T R 2. Olkoon C ploittin sileä suunnistettu 31

tsoss olev käyrä j olkoon β joukoss f(c) määritelty 1-muoto. Tällöin β = f (β). f(c) C Todistus. Olkoon C = C 1 + + C m, missä C 1,..., C m ovt sileitä suunnistettuj kri j m N. Kosk f on injektiivinen upotus, niin jokinen f (C i ), i = 1,..., m, on myös sileä suunnistettu kri siten, että f (C) = f( C 1 ) + + f( C m ). Olkoon u i (t) = (u i (t), v i (t)) funktio, jok prmetrisoi kren C i, missä t [ i, b i ]. Tällöin funktio x i (t) = f (u i (t)), (x i (t), y i (t), z i (t)) = (x(u i (t), v i (t)), y(u i (t), v i (t)), z(u i (t), v i (t))), nt kren f( C i ) prmetriesityksen, kun t [ i, b i ]. Kolmiulotteisen vruuden 1-muoto on β = P dx + Q dy + R dz, missä P, Q j R ovt funktioit (määritelmä 2.11). Trkstelln 1-muoto β kolmess osss: kun β = P dx, kun β = Q dy j kun β = R dz. Olkoon β = P dx. Nyt β on määritelty krell f( C) j f(u) nt kren f( C) prmetriesityksen, joten luseen 2.1 nojll f x(u(t), v(t)) (β) = P (f(u)) u = P (f(u)) Merkitään x = x u u j x v integrli yli kren C i on f (β) = C i ( x x du + u v dv C i P (f(u i )) (x ui du + x vi dv) = x(u(t), v(t)) du + P (f(u)) ) v. = x v. Nyt viivintegrlin määritelmän nojll b i i dv P (f(u i (t))) (x ui u i + x vi v i) dt. Toislt, 1-muodon β integrli yli kren f( C i ) on viivintegrlin määritelmän j ketjusäännön perusteell f( C i ) b i b i β = P (f(u i (t))) x i dt = P (f(u i (t))) (x ui u i + x vi v i) dt = i i 32 C i f (β).

Tpukset β = Q dy j β = R dz todistetn smn tpn. Lisäämällä nämä kolme tpust yhteen, sdn todistettu väite 1-muodolle β = P dx + Q dy + R dz. Esitetään ensin Stokesin luse pintploille j sen jälkeen pinnoille. Luse 4.2 (Stokesin luse pintpllle). Olkoon f : T R 3 jtkuvsti differentioituv injektiivinen upotus voimess joukoss T R 2. Olkoon U T suljettu j rjoitettu positiivisesti suunnistettu tsolue, jok toteutt Greenin luseen ehdot. Jos ω on suunnistetull pintplll S = f (U) määritelty jtkuvsti differentioituv 1-muoto, niin ω = dω. Todistus. Oletuksen, että S = f( U) on pintpl, sekä tiedon, että dω on 2-muoto (määritelmä 2.14) j luseen 3.6 nojll dω = dω = f (dω). f(u) U Lemmn 4.1 perusteell f (dω) = d(f (ω)). U Luseen 2.1 perusteell tiedetään, miten funktio f kuv 1-muodon ω. Kosk funktio f j 1-muoto ω ovt molemmt jtkuvsti differentioituvi, niin f (ω) on jtkuvsti differentioituv. Nyt kosk tsolue U toteutt Greenin luseen ehdot, niin kppleen 4.1 sivun 3 perusteell d(f (ω)) = f (ω). Lemmn 4.2 nojll U U f (ω) = U U f( U) Kosk oletettiin, että S = f (U), niin reunviivlle pätee = (f( U)) = f( U). Tällöin ω = ω. ω. f( U) 33

Näin väite stiin todistettu. Luse 4.3 (Stokesin luse). Oletetn, että S = S 1 + + S m on ploittin sileä suunnistettu pint j, että jokinen pintpl S i toteutt luseen 4.2 ehdot (i = 1,..., m). Tällöin ω = dω, missä ω on suunnistetull pintplll S määritelty jtkuvsti differentioituv 1-muoto. Todistus. Aiemmin todettiin, että jos pintploill S i j S j on yhteinen reunviivn os eli käyrä C l, niin käyrän C l suunt on pintplss S i vstkkinen kuin pintplss S j (määritelmä 2.1). Tällöin viivintegrlit näiden käyrien yli supistvt toisens j jäljelle jäävät vin integrlit yli reunviivojen S i, jotk sijitsevt reunviivll S. Siis m ω = ω, i=1 S i missä m N. Kosk jokinen pintpl toteutt luseen 4.2 ehdot, niin m m ω = dω. i=1 S i=1 i Tiedetään, että suunnistettu ploittin sileä pint on suunnistettujen pintplojen äärellinen summ, joten määritelmän 3.5 nojll i=1 i m dω = i Siis väite on todistettu. Ktsotn seurvksi muutm esimerkki j seurus Stokesin luseest. Esimerkki 4.4. (Vrt. [1, s. 915].) Olkoon S pllon x 2 + y 2 + (z 2) 2 = 8 suunnistetun pinnn os, jok on (x,y)-tson yläpuolell, j olkoon 1-muoto ω = y 2 cos xz dx + x 3 e yz dy e xyz dz. Määritetään 2-muodon dω pintintegrli yli suunnistetun pintpln S. 34 dω.

Oletetn, että pllon pint on positiivisesti suunnistettu. Tällöin myös pintpl S j sen reunviiv ovt positiivisesti suunnistettuj. Pintpln reunviiv on (x,y)-tsoss olev ympyrä x 2 + y 2 = 4. Ympyrä on myös suunnistettu reunviiv tsolueelle D = {x 2 +y 2 4, z = }. Siis = D. Trkstelln 2-muodon dω integrli yli tsolueen D. Kosk tsolue D on (x,y)-tsoss, niin 1-muoto supistuu ω = y 2 cos xz dx + x 3 e yz dy e xyz dz = y 2 dx + x 3 dy, sillä dz =. Nyt 2-muoto dω on luseen 2.14 nojll on dω = d(y 2 ) dx + d(x 3 ) dy = (3x 2 2y) dxdy. Siis 2-muodon dω tsointegrli yli tsolueen D on dω = (3x 2 2y) dxdy. D D Viemällä tsointegrli npkoordintistoon (ks. [2, s. 396 398]) j sijoittmll cos 2 x = 1 (1 + cos 2x) sdn 2 D (3x 2 2y) dxdy = = = = 2 2π 2 2π 2 / 2π 2 ( 3r 2 cos 2 θ 2r sin θ ) r dθdr ( 3r 2 2 + 3r2 2 ( 3r 2 θ 2 3 2 2πr3 dr = ) cos 2θ 2r sin θ r dθdr + 3r2 4 / 2 ) sin 2θ + 2r cos θ r dr 3 4 πr4 = 12π. Nyt kosk D positiivisesti suunnistettu j rjoitettu joukko (x, y)-tsoss j kosk ω on jtkuvsti differentioituv, on Greenin luse voimss eli dω = ω. D D 35

Kosk D =, niin ω = ω. D S Kosk ω on määritelty j jtkuvsti differentioitv suunnistetull pintplll S, niin Stokesin luse on voimss. Siis ω = dω. Tällöin dω = 12π. Seurus 4.2. Jos ω = A dx + B dy + C dz, niin ulkoinen derivtt on määritelmän 2.14 j huomutuksen 2.1 perusteell dω = (C y B z ) dydz + (A z C x ) dzdx + (B x A y ) dxdy j Stokesin luse menee seurvsti A dx+b dy+c dz = (C y B z ) dydz+(a z C x ) dzdx+(b x A y ) dxdy. Esimerkki 4.5. (Vrt. [4, s. 358] j [1, s. 915].) Määritä integrli y 3 dx + x 3 dy z 3 dz, kun reunviiv S on sylinterin x 2 + y 2 = 1 j tson x + y + z = 1 leikkus j reunviivn suunnistus on positiivinen (x, y)-tsost ktsoen. Siis pintpl S on sylinterissä x 2 + y 2 = 1 määritelty pint, jot rjoitt funktio z = f(x, y) = 1 x y. Merkitään suunnistettu tsoluett D = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Differentilinen 1-muoto on α = y 3 dx + x 3 dy z 3 dz j seuruksen 4.2 nojll dα = (3x 2 + 3y 2 ) dxdy. Käytetään Stokesin lusett j trkstelln viivintegrli pintintegrlin vull. Nyt funktio g : D R 3 nt pintpln S prmetriesityksen. Siis S = g( D). Käyttämällä pintintegrlin määritelmää sdn dα = (3x 2 + 3y 2 ) dxdy. D 36

Viemällä tsointegrli npkoordintteihin (ks. [2, s. 396 398]) sdn 1 (3x 2 + 3y 2 ) dxdy = 3 2π 1 r 2 r dθ dr = 3 2πr 3 dr = 3π 2. D Siis y 3 dx + x 3 dy z 3 dz = 3π 2. Luse 4.4. Oletetn, että ploittin sileät pinnt S j Σ toteuttvt Stokesin luseen ehdot j, että S = Σ. Olkoon ω jtkuvsti differentioituv joukoss T määritelty 1-muoto, missä S T j Σ T. Tällöin dω = dω. Σ Todistus. Kosk Stokesin luse on voimss, on dω = ω. Käyttämällä ensin hyväksi oletust, että S = Σ, j sitten Stokesin lusett sdn ω = ω = dω. Siis väite on todistettu. Σ Σ 37

Viitteet [1] Adms, Robert A., Essex, Christopher, Clculus: A Complete Course, 7th edition, Toronto: Person Cnd, 21. [2] Apostol, Tom M., Clculus, Volume 2: Multi-Vrible Clculus nd Liner Algebr, with Applictions to Differentil Equtions nd Probbility, 2nd edition, New York: Wiley, 1969. [3] Cllhn, Jmes J., Advnced Clculus: A Geometric View, New York: Springer Science + Business Medi, LCC 21. [4] Mrsden, Jerrold E., Tromb, Anthony J., Vector Clculus, Sn Frncisco: Freemn, 1976. [5] Weintrub, Steven H., Differentil Forms: A Complement to Vector Clculus, Sn Diego: Acdemic Press, 1997. 38