Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu: useamman orojason pituisille oroajoille. oronorolasussa pääomalle orojason aiana ertynyt oro lisätään vanhaan pääomaan orojason lopussa. oronoro muodostuu, un edelliseltä orojasolta ertynyt oro on liitetty vanhaan pääomaan ja tämä orolla asvatettu pääoma asvaa oroa seuraavalla orojasolla. orojason pituus on useimmiten ysi vuosi mutta se voi olla myös join muu ajanjaso. Tyypillisiä orojason pituusia ovat myös uuausi, neljännesvuosi ja puoli vuotta. Esimerisi neljännesvuotinen oroanta 1,5 % ertoo, että pääoma tuottaa olmessa uuaudessa oroa 1,5 % pääomasta. Sen jäleen oro lisätään vanhaan pääomaan ja asvanut pääoma alaa asvaa oroa. oroantaan liittyvä orojason pituus on eriseen mainittava varsinin, miäli se ei ole vuosi. orojason pituudelle äytetään seuraavia merintöjä: orojaso orojason pituus Lyhenne oro lisätään pääomaan vuotuinen 1 vuosi p.a. (per annum) erran vuodessa puolivuotuinen ½ vuotta p.s. (per semester) ahdesti vuodessa neljännesvuotuinen ¼ vuotta p.q. (per quartal) neljä ertaa vuodessa uuausittainen 1 uuausi per 12 ertaa vuodessa oronorolasuissa ei iinnitetä huomiota orojason sisältämien oropäivien luumäärään (uten ysinertaisessa orolasussa) vaan pääoman ehityseen liittyvä aia uvataan orojasojen luumääränä. asvanut pääoma un asvanutta pääomaa lasetaan, selvitetään uina suuresi aluperäinen pääoma tietyillä orojasoilla asvaa. asvaneeseen pääomaan sisältyvät aluperäisen pääoman lisäsi orot ja orojen orot eli oronorot. Joaisella orojasolla pääoma on eri suuri uin edellisellä orojasolla. Laseminen perustuu perääisiin prosenttimuutosiin, jossa n:ltä orojasolta ertyvä oro lisätään pääomaan ertomalla aluperäinen n pääoma teijällä ( 1.
Sivu 2/7 asvaneen pääoman muodostumista meritään oronorolasun lisääntyneen pääoman aavalla: ( 1 n, missä on asvanut pääoma, i on oroanta desimaalimuodossa, on aluperäinen pääoma ja n on orojasojen luumäärä. aavassa n ei siis erro varsinaisesti aiaa vaan orojasojen luumäärän. Esimeri. Pääomalle masetaan oroa vuodessa 3,4 %. Lasetaan, uina suuresi 300 euron talletus asvaa a) vuodessa, b) 6 vuodessa. Rataisu: a) Vuoden uluttua talletusesta 300 euroa on asvanut 3,4 %. Lisäyserrointa 1 + 0,034 = 1,034 äyttäen saadaan asvaneesi pääomasi 1,034 300 = 310,20. b) oronorolasun lisääntyneen pääoman aavasta saadaan, että asvanut pääoma viidennen vuoden lopussa on 6 (1 0,034) 300 366,64. Talletusia voi ja annattaa myös tässä tapausessa tarastella erillisinä. Esimeri. Vuonna 2003 sijoitetaan erääseen ohteeseen 123 000 euroa, asi vuotta myöhemmin sijoitetaan samaan ohteeseen 100 000 euroa lisää ja vuonna 2009 vielä 210 000 euroa. aii sijoituset tehdään vuoden viimeisenä päivänä. Lasetaan sijoitusten yhteinen arvo vuoden 2010 lopussa, un sijoitusten arvo nousee vuosittain esimäärin 2 %. Lasetaan siis asvanut pääoma vuonna 2010, un ajatellaan joainen talletus erillisenä: 7 5 1,02 123000 1,02 100000 1,02 210000 = 465896,42. Lähdevero orotuotosta perittävä lähdevero huomioidaan muuttamalla lähdeverollinen oroanta nettooroannasi. Se siis ilmoittaa verottoman orotuoton prosentteina yhdeltä orojasolta. Esimerisi lähdeverollisen tilin, jona oroanta on 2,5 % ja lähdevero 28 %, nettooroannasi tulee
Sivu 3/7 0,72 2,5 % = 1,8 %. Esimeri. Vuoden alussa talletettiin 2 000 euroa viidesi vuodesi verolliselle asvutilille, jona vuosioroanta on 2 %. Lasetaan asvanut pääoma, un lähdevero on olme ensimmäistä vuotta 29 % ja loput asi vuotta 28 %. Nettooroanta olme ensimmäistä vuotta on 0,71 2 % = 1,42 % ja asi viimeistä vuotta 0,72 2 % = 1,44 % asvanut pääoma on silloin 3 2 1,0142 1,0144 2000 = 2 146,94. Vajaa orojaso Monissa lasuissa tarvitaan seä orolasua että oronorolasua. Esimerisi tiliä avattaessa ja lopetettaessa aluun ja loppuun saattaa jäädä vajaat orojasot. Vajaiden orojasojen osalta äytetään orolasua, oonaiset orojasot taas äsitellään oronorolasentaa äyttäen. Pääoman disonttaus Disonttausella taroitetaan laselmaa, jossa tulevaisuuteen sijoittuvan pääoman arvo lasetaan johonin aiempaan ajanohtaan, usein nyyheteen. Ajatusena on, että myöhempään ajanohtaan liittyvän pääoman on sisällettävä myös oroa ja disontatessa tuota oroa poistetaan pääomasta. Disonttausta äytetään liie-elämän sovellusissa esimerisi äteishinnan lasemiseen, jolloin tulevat suorituset siirretään aupanteoheteen; tarjousten vertailuun, missä myöhemmin masuun tulevat erät disontataan nyyheteen, jotta tarjouset saadaan esenään vertailuelpoisisi. Disontatulle arvolle saadaan aava rataisemalla aluperäinen pääoma perusaavasta ( 1 n : n ( 1, missä on disontattu arvo eli pääoma, on asvanut pääoma, i on oroanta desimaalisena ja n on orojasojen luumäärä. Esimeri. Miä sijoitus asvaa seitsemässä vuodessa 3 000 euron orosi, un sijoitusen oroanta on 2,5 %. Sijoitetaan arvot = 3 000, i = 0,025 ja n = 7 yllä olevaan aavaan:
Sivu 4/7 3000 = 2 523,80. 7 1,025 Esimeri. Yritys voi masaa oneen ahdella eri masutavalla: Vaihtoehto 1: aupanteohetellä masetaan 1 500, ahden vuoden uluttua 1 200 ja olmen vuoden uluttua 600. Vaihtoehto 2: ahden vuoden uluttua masetaan oo auppasumma 3 300. Lasetaan, umpi vaihtoehto on parempi yrityselle, joa myy oneen, un lasentaoroanta on 4 %. Jotta masutapoja pystyttäisiin vertaamaan, disontataan molempien masutapojen suorituset aupanteoheteen ja lasetaan niiden äteisarvot aupanteohetellä. Ideana siis on, että myöhemmin tapahtuvien suoritusten on sisällettävä myös oroa, vaia ummassain vaihtoehdossa masetaan yhtä suuri summa 3 300. 1200 600 Vaihtoehto 1: 1500 = 3 142,87. 2 3 1,04 1,04 3300 Vaihtoehto 2: = 3 051,04. 2 1,04 Vaihtoehto 1 on siis masun saavan yritysen annalta parempi. Pääoman ehitystä uvaava oroanta Rataisemalla oronorolasun perusaavasta i saadaan pääoman ehitystä uvaava oroanta. Pääoman ehitystä uvaava oroanta saadaan siis aavasta i n 1, missä on asvanut pääoma, i on oroanta desimaalimuodossa, on aluperäinen pääoma ja n on orojasojen luumäärä. Esimeri. Miä on vuotuinen oroanta, jotta 350 euron sijoitus asvaa 500 eurosi olmessa vuodessa. Sijoitetaan arvot = 350, = 500 ja n = 3 yllä olevaan aavaan, jolloin saadaan 500 i 3 1 0,1262 12,62 350 %. Reaalista muutosta uvaava oroanta
Sivu 5/7 Jos pääoman ehitys halutaan uvata todellisena eli reaalisena, tulee oron lisäsi huomioda myös tarasteltavan aiajason aiana tapahtunut hintaehitys. Esimeri. Sijoitusen arvo asvoi neljässä vuodessa 55 000 eurosta 70 000 eurosi. Samana aiana hintaindesi nousi 107 pisteestä 118 pisteeseen. Lasetaan, miä oli reaalinen vuosituotto prosentteina. Muunnetaan aluperäinen arvo 55 000 vastaamaan viiden vuoden jäleistä rahan arvoa: 118 55000 = 60 654,21. 107 Tähän arvoon asti tapahtunut arvonnousu vastaa hintaehitystä. Vasta sen yli mennyt pääoman asvu on todellista eli reaalista tuottoa. Reaalisen vuosituoton oroanta on silloin 70000 i n 1 4 1 0,0365 = 3,65 %. 60654,21 Pääoman tietyn ehitysen vaatima aia oronorolasun perusaavasta voidaan myös rataista esponentti n, joa uvaa siis orojasojen luumäärää. Se, uina monta orojasoa vaaditaan, että saavutetaan tietty pääoman ehitys, lasetaan aavasta: log( ) n, log(1 missä on asvanut pääoma, i on oroanta desimaalimuodossa, on aluperäinen pääoma ja n on orojasojen luumäärä. Esimeri. Lasetaan, uina monessa vuodessa 300 euron talletus asvaa oroineen 525 eurosi, un oroanta on 2 %. Sijoitetaan arvot = 300, = 525 ja i = 0,02 yllä olevaan aavaan: 525 log( ) log( ) n 300 28,26 vuotta 28 vuotta 3 uuautta. log(1 log1,02 Vastausena saatu arvo 28,26 on siis asvun vaatimien orojasojen luumäärä. osa orojason pituus oli vuosi, ilmoittaa saatu arvo suoraan myös vastaavan ajan vuosina, joa tulee sitten muuttaa vuosisi, uuausisi ja päivisi.
Sivu 6/7 Lähdeirjallisuus Saaranen, P., olttola, E., Pösö, J., Liie-elämän matematiia. Edita, Helsini, 2007. Saaranen, P., olttola, E., Pösö, J., Meronomin matematiia. Edita, Helsini, 2006.
Sivu 7/7 ooste oronorolasu = asvanut pääoma n vuoden jäleen ( = pääoma + orot) = pääoma p % i = vuosioroanta desimaalimuodossa [ i = 100 n = orovuosien määrä ] asvanut pääoma Pääoma Vuosioroanta oroaia ( 1 Esimeri 9. n = 2 790 i = 0,023 n = 8 1,023 2 790 3 346,64 ( 1 n i n 1 log n log(1 Esimeri 10. = 6 027,33 i = 0,028 n = 5 Esimeri 11. = 2 500 = 3 037,68 n = 6 6 027,33 5 250,00 5 1,028 Esimeri 12. = 1 990 = 3 033,32 3 037,68 i 6 1 0,033 oroanta 3,3% 2 500 log 3 033,32 1990 log 1,0285 i = 0,0285 n 15, 00 aia = 15 vuotta