KLASSINEN KENTTÄTEORIA 76369S Eri Thuneberg Fysiaalisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 5
. Klassinen enttäteoria: johdanto Kurssin nimessä lassinen taroittaa vastaohtaa vanttimeaaniselle. Kenttä taas yleisesti taroittaa jotain suuretta joa riippuu paiasta ja mahdollisesti ajasta, f = fr, t. Luonnossa esiintyviä lassisia enttiä ovat materian muodostama enttä marosooppisella mittaaavalla sähömagneettinen enttä painovoimaenttä H. Goldstein, Classial Mehanis 95, 98 G. Klassinen viite, mutta ei juuri äytössä tässä urssissa. W. Panofsy ja M. Phillips, Classial Eletriity and Magnetism 96, PP. J. D. Jason, Classial Eletrodynamis 96, J J.J. Saurai, Advaned quantum mehanis 967, johdatus vanttienttäteoriaan. ei 5 Tässä urssissa tutitaan vain ahta ensin mainittua tapausta. Painovoimaentän tarempi tutiselu johtaa yleiseen suhteellisuusteoriaan, joa laajuutensa vuosi on parempi erottaa omasi urssiseen. Seuraavassa on lueteltu muutamia tässä urssissa äsiteltäviä asioita Lagrangen ja Hamiltonin formalismin yleistys jatuvasti jaautuneeseen materiaan Lagrangen ja Hamiltonin formalismin yleistys suuriin hiuasnopeusiin relativistinen teoria sähömagneettisen entän Lagrangen ja Hamiltonin formalismi, Maxwellin yhtälöiden ja Lorentzin voiman johto siitä. Esimerejä sähömagneettisen entän teoriasta: energia ja liiemäärä ajasta riippumaton enttä vain osittain 5 polarisoituva materia ei 5 aallot vain osittain 5 liiuvien varausten että vain osittain 5 Johdatus vanttienttäteoriaan ei 5 Vuonna 5 luennoidaan urssista lyhennetty versio 3 ov, jossa pois jätettävät osat on meritty ei 5. Johdatus vanntienttäteoriaan on jätetty pois osa se ei uulu urssin otsion alle ja sitä äsitellään Kvanttimeaniian jatourssilla. Kirjoja L.D. Landau ja E.M. Lifshitz, Course of theoretial physis. Tämän -osaisen irjasarjan tässä urssissa olennainen osa on The lassial theory of fields LL, tärein ysittäinen irja tässä urssissa. Vähän äytetään myös Eletrodynamis of ontinuous media LL8. A.L. Fetter ja J.D. Walea, Theoretial mehanis of partiles and ontinua 98 FW. Jatuvan aineen meaniiaa.
. Analyyttisen meaniian ertausta. Hamiltonin periaate Systeemin dynamiian määrää Lagrangen funtio Lq,..., q n ; q,..., q n ; t = T V. Liierata saadaan siitä äyttäen Hamiltonin periaatetta: Oloon annettuna onfiguraatioavaruuden q,..., q n asi pistettä, ja niitä vastaavat ajanhetet t ja t. Systeemin liie näiden välillä tapahtuu siten, että vaiutusintegraalilla on ääriarvo minimi. S = t t L ja yleistetyt oordinaatit eivät riipu esplisiittisesti ajasta. Newtonin meaniiassa ineettinen energia on tällöin neliöllinen funtio q i :ssä, T = A ij q i q j, ij A ij = m r q i r q j. 4 Tarastellaan staattista tasapainoa, jossa q i = q i = aiilla i. Tällöin seuraa Lagrangen yhtälöstä 3 että oordinaateilla q i pitää olla sellaiset arvot qi että aii yleistetyt voimat häviävät V Q i = = i =,..., n. 5 q i q Lisäsi oletetaan että piste q vastaa V :n minimiä, niin että tasapainopiste on stabiili. Tutitaan seuraavasi pientä muutosta systeemin oordinaateissa q t q i = q i + η i i =,..., n 6 t q Hamiltonin periaatteesta voidaan johtaa liieyhtälöt. Kirjoitetaan vaiutusintegraalin variaatiolle δs = = = = t t δl = t t t t t t i i t t i t t i L δq i + L δ q i q i q i L δq i + L d q i q i δq i L q i δq i + i d L q i t / t δq i i L q i δq i L d L δq i =, q i q i joa siis häviää Hamiltonin periaatteen muaan. Kosa variaatiot δq i ovat toisistaan riippumattomia ja mielivaltaisia t:n funtioita, voi lausee hävitä vain jos d L q i Tämä on Lagrangen liieyhtälö.. Pienet värähtelyt L q i = i =,..., n. 3 Tutitaan ajasta ja nopeusista riippumatonta potentiaalia V = V q,..., q n. Lisäsi oletamme että sidosehdot Tavoitteena on lasea L taruuteen, joa on neliöllinen η i :ssä ja η i :ssä. Kosa T :n muoto 4 on esplisiittisesti neliöllinen q i = η i :ssä, voidaan yleisesti q i -riippuva erroinmatriisi lasea tasapainopisteessä: A ij = r r m. 7 q i q q j q Potentiaali V ehitetään Taylorin sarjasi. Tässä ehitelmässä lineaarinen termi häviää aavan 5 perusteella, jolloin saadaan V = V + V η i η j. 8 q i q j q Kun meritään ij V v ij =, 9 q i q j q saadaan pienten värähtelyjen Lagrangen funtio L = T V = A ij η i η j v ij η i η j V, ij missä erroinmatriisit A ij ja v ij ovat reaalisia ja symmetrisiä vaiomatriiseja. Lagrangen yhtälöstä 3 saadaan liieyhtälöt n A ij η j + v ij η j =, i =,..., n. j= Huomataan että neliöllinen Lagrangen funtio johti lineaariseen liieyhtälöön. Ysinertainen värähtelijä Tutitaan tapausta, jossa on vain ysi yleistetty oordinaatti. Liieyhtälö redusoituu tällöin muotoon A η + vη =.
Tämän fysiaalinen rataisu on reaaliarvoinen ηt. Yhtälöllä on uitenin myös omplesiarvoisia rataisuja, ja onin äytännöllistä äyttää niitä. Kirjoitamme yritteen ηt = C exp iωt = C[osωt i sinωt]. 3 Tämä toteuttaa yhtälön un ω = ± v/a. Yleinen fysiaalinen rataisu voidaan luoda äyttäen umpaa tahansa juurta: tulitaan fysiaalisesi rataisusi omplesisen rataisun reaaliosa ηt = Re[C exp iωt] 4 = ReC osωt + ImC sinωt, joa sisältää yleiseltä rataisulta vaadittavat asi vapaata vaiota ReC ja ImC. Huomaa että yhtälön omplesisen rataisun reaaliosa on aina myös rataisu osa yhtälön ertoimet A ja v ovat reaalisia: A η + vη = 5 = ReA η + vη = A d Re η + v Re η. Moniomponenttinen värähtelijä Käytetään yleiseen yhtälöön A ij η j + v ij η j = j samaa tyyppiä olevaa yritettä uin ysinertaisessa tapausessa: η i t = a i exp iωt. 6 Sijoittamalla saadaan v ij ω A ij a j = 7 j Vaihtoehtoisesti tämä yhtälö voidaan irjoittaa myös matriisimuodossa v ω Aa =, 7 missä v ja A ovat n n matriiseja joiden elementit ovat v ij ja A ij, ja a on n-omponenttinen pystyvetori jona omponentit ovat a i. Tätä utsutaan ominaisarvotehtäväsi. Seuraavassa luetellaan todistamatta muutamia tämän rataisuun liittyviä tulosia, olettaen että ne äydään taremmin läpi matematiian ursseissa. Yhtälöllä 7 on nollasta poieava rataisu a vain silloin un a:ta ertovan matriisin determinantti häviää: detv ω A =. 8 Tämä on n:nnen asteen polynomiyhtälö ω :lle. Sen juurina saadaan n appaletta ominaisarvoja ω s s =,..., n. Kerroinmatriisien reaalisuuden ja symmetrisyyden taia aii juuret ovat reaalisia. Nämä ominaisarvot antavat systeemin pienten värähtelyjen taajuudet. Vastaten joaista juurta ωs, löytyy reaalinen ominaisvetori a s, joa antaa yhtälön 7 rataisun tällä taajuudella. Erisuuria ominaistaajuusia vastaavat ominaisvetorit ovat ortogonaalisia seuraavan aavan mielessä a s i A ij a u j = δ su a s T Aa u = δ su. 9 ij Sen lisäsi, aii ominaisvetorit voidaan normalisoida niin että tämä aava toteutuu myös tapausessa s = u. Lisäsi, samaan ns. degeneroituneeseen ominaisarvoon liittyvät ominaisvetorit voidaan valita niin että ne ovat ortogonaalisia. Ts. yhtälö 9 voidaan vaatia aiissa tapausissa. Kun ominaistaajuudet ω s ja ominaisvetorit a s i on löydetty, voidaan liieyhtälön yleinen fysiaalinen rataisu irjoittaa η i t = Re n s= C s a s i exp iω s t, missä ReC s ja ImC s muodostavat tarvittavat n appaletta vapaita reaalisia vaioita. Systeemin liie siis muodostuu värähtelymoodeista n appaletta, jota värähtelevät toisistaan riippumattomasti omilla taajuusillaan ω s. g x m φ l m Esim.. Tutitaan tasoheiluria, jona iinnitysohdassa on massa m ja se pääsee vapaasti liuumaan vaaasuunnassa. Tämän Lagrangen funtiosi saadaan lasettua L = m + m ẋ + m l φ +m lẋ φ os φ + gm l os φ. Seuraava vaihe on määrätä tasapainopiste. Siinä φ =, mutta x on mielivaltainen. Poieamia lasettaessa otetaan muaan vain neliölliset termit ja saadaan L = m + m ẋ + m l φ +m lẋ φ gm lφ + vaio. Vertaamalla yleiseen aavaan, saadaan yleistettyjä oordinaatteja x ja φ vastaavisi matriiseisi m + m A = m l m l m l, v =. 3 gm l Ominaistaajuudet määräytyvät yhtälöstä Tämä antaa detv ω A =. 8 ω [gm + m ω lm ] =, 4 3
eli ω =, ω = gm + m lm. 5 Vastaavat normalisoimattomat ominaisvetorit ovat a =, a m l =, 6 m + m jota ovat ortogonaalisia aavan 9 mielessä. Häviävä ominaisarvo johtuu siitä, että systeemi on degeneroitunut translaatioissa x:n suhteen. Huomataan että toinen ominaistaajuus on oreampi uin paialleen iinnitetyllä heilurilla saatava ω = g/l. Normaalioordinaatit ei 5 Edellä esitetty yleinen rataisu η i t = Re n s= voidaan irjoittaa myös muotoon η i t = C s a s i exp iω s t n s= a s i ζ s t, 7 Tämä voidaan tulita oordinaattimuunnosesi muuttujista η i muuttujiin ζ s. Muuttujia ζ s utsutaan normaalioordinaateisi. Siirtymällä normaalioordinaatteihin voidaan pienten värähtelyjen Lagrangen funtio irjoittaa muotoon L = ζ s ωsζ s. 8 s [Harjoitus: Osoita tämä sijoittamalla 7 Lagrangen funtioon ja äyttämällä aavoja 7 ja 9.] Normaalioordinaateissa lausuttuna liieyhtälö ja sen yleinen rataisu ovat triviaalit: missä s =,..., n. ζ s = ω sζ s, 9 ζ s t = Re[C s exp iω s t], 3 Normaalioordinaattien meritys tulee paremmin ymmärrettyä vasta vanttimeaniiassa. On ätevintä mutta ei välttämätöntä ensin saattaa Lagrangen funtio normaalioordinaateilla ysinertaiseen muotoon 8, ja sitten vasta siirtyä vanttimeaaniseen äsittelyyn, missä liieyhtälö ja sen rataisu ovat monimutaisemmat uin yllä. 3. Hyvin monen vapausasteen värähtelyt FW Edellä errattu pienten värähtelyjen teoria toimii periaatteessa mille tahansa äärelliselle määrälle vapausasteita n. Suurella n uitenin ominaisarvojen ja ominaisvetorien rataisu muuttuu yleisessä tapausessa erittäin hanalasi. Seuraavassa tarastellaan muutamaa erioistapausta, joissa rataisu onnistuu myös rajalla n. n massapistettä on ytetty toisiinsa etjusi massattomilla jousilla. Kaii massapisteet ovat rajoitettu liiumaan vain x-aselilla. Ketjun päissä on iinteät pisteet joiden etäisyys on l. η η η i η n Tämän Lagrangen funtio on L = T V = n m η i n η i+ η i. 3 i= i= Tässä on oletettu että aii massat ja jouset ovat identtisiä, ja että jouset ovat jännittymättömiä tasapainotilassa, missä aii massapisteet ovat tasavälein. Reunaehdot otetaan huomioon määrittelemällä η η n+. n massapistettä liiuu poiittaissuunnassa jännitetyssä painottomassa langassa. µ a µ µ i Tämän Lagrangen funtion neliöllinen osuus on L = T V = n m µ i τ n µ i+ µ i. 3 a i= i= Tässä τ on langassa tasapainossa vaiuttava jännitysvoima, τ = a a, ja a on jännittämättömän jousen pituus. Kaavan 3 todistus harjoitustehtävänä. Kuten edellä, reunaehdot otetaan huomioon määrittelemällä µ µ n+. Huomataan että poiittainen ja pitittäinen tapaus ovat täysin samaa muotoa, ja ne saadaan toisistaan vaihtamalla parametrit τ/a. 33 3. Ominaisvärähtelyt Yleisen teorian muaan ominaisvärähtelytaajuudet saadaan lasemalla determinantti detv ω A 8 ja etsimällä sen nollaohdat atso mm. Fetter-Walea. Tässä on uitenin helpompi edetä seuraavalla tavalla. Kirjoitetaan ensin Lagrangen liieyhtälö 3 poiittaisille värähtelyille 3: a m µ j τ a µ j+ µ j + τ a µ j µ j = 34 4
eli m µ j + τ a µ j τ a µ j+ + µ j = 35 Otetaan indesin j sijasta äyttöön x oordinaatti: Etsitään rataisua muodossa x j = ja, 36 µ j = µx j. 37 µx j, t = A exp[ix j ωt]. 38 Sijoittamalla liieyhtälöön 35 saadaan mω + τ a τ [expia + exp ia] =. 39 a Tämän voi irjoittaa ω = τ 4τ a os a = sin am am. 4 Tällaista riippuvuutta ω utsutaan dispersiorelaatiosi. Dispersiorelaatiossa 4 parametri on toistaisesi mielivaltainen. Reunaehdot uitenin rajoittavat sitä. Tutitaan ensin aluperäisestä poieten periodisia reunaehtoja, joissa oletetaan µx j = µx n+j = µx j + na. 4 Sijoittamalla yritteeseen 38 saadaan ehto expina =. 4 Tästä seuraa = πs na, 43 missä s on oonaisluu. Ominaisrataisujen määrän täytyy olla täsmälleen n. Näin ollen aii oonaisluvut eivät voi johtaa eri rataisuihin. Jos s s + n, niin a a + π, jolloin 38 säilyy muuttumattomana. Riittää siis s:lle valita mielivaltaiset n appaletta perääisiä oonaisluuja s = s, s +,...,s + n. Palataan iinteisiin reunaehtoihin µx = µx n+ =. Nämä voidaan toteuttaa un huomataan että ominaisrataisut 38 ovat ahdesti degeneroituneet: arvoilla ja saadaan sama ω 4. Voidaan siis muodostaa uudet ominaisrataisut, jota ovat näiden lineaariombinaatiota: µx j, t = A expix j iωt + B exp ix j iωt 44 Vasemman reunan valitaan x = ehto µ = voidaan toteuttaa valinnalla µx j, t = A[expix j iωt exp ix j iωt] = ia sinx j exp iωt 45 Oiean reunan ehto µn + a = vaatii nyt sin n + a =, mistä saadaan = πs, s =,,..., n. 46 n + a Tämä jonin verran poieaa periodisten reunaehtojen vastaavasta tulosesta 43. Kirjoitetaan saatu ominaisrataisu vielä muotoon µx j, t = ia s exp iωt sin πsx j, 47 l missä l = n + a on välin pituus. Nähdään että paian suhteen rataisu on siniaalto jossa on s puoliaallonpituutta, mutta lasettuna vain disreeteissä pisteissä x j. Määritellään nopeus = s 3 4 5 6 7 τa m. 48 Dispersiorelaatio 4 voidaan nyt irjoittaa muotoon ω = a sin a. 49 Kosa aaltoluvulla on vain disreettejä arvoja, niin on myös ulmataajuudella ω. ω s s = ω = 3 4 5 6 7 Pienillä aaltoluvuilla suurilla aallonpituusilla λ = π/ dispersiorelaatio on lineaarinen: ω =. 5 Tällä rajalla ei massojen disreettisyydellä ole olennaista meritystä, vaan massan voisi ajatella jatuvasti jaautuneesi. Aaltoluvun asvaessa massojen disreettisyys tulee olennaisesi. Taajuus jää lineaarista laia 5 pienemmäsi, 5
läheten masimia ω max /a. Tätä vastaava aallonpituus λ min a. Edellä olevaa voidaan soveltaa iinteiden aineiden hilavärähtelyihin. Ideaalisessa iinteässä aineessa atomien tasapainoasemat muodostavat säännöllisen hilan. Tämän hilan värähtelyt ovat luonteeltaan samanaltaisia uin yllä äsitellyssä ysiulotteisessa tapausessa. Kiinteän aineen hila on uitenin monimutaisempi, osa se on olmiulotteinen, ja myös värähtelyt voivat tapahtua olmeen riippumattomaan suuntaan. Hilassa voi myös esiintyä erityyppisiä atomeita. Joitain tapausia tarastellaan lähemmin harjoitustehtävinä. 3. Jatumoraja Tutitaan nyt sitä tapausta, että massapisteiden määrä n lähenee äärettömyyttä seuraavalla tavalla: n, a, m 5 l = n + a = vaio 5 m σ = vaio, a 53 missä σ on langan massatiheys. Tällä rajalla poieama µ i t muuttuu ahden jatuvan muuttujan funtiosi µ i t ux, t, 54 jolloin aiaderivaatat muuttuvat osittaisderivaatoisi Kirjoitetaan Lagrangen funtio 3 µ i dµ i u. 55 L = m n µ i τ n µ i+ µ i a i= i= = σ n a µ i τ n a µi+ µ i. 56 a i= i= Sovelletaan tähän edellisiä aavoja seä raja-arvoja Näin saadaan L = σ l a n i= µ i+ µ i a dx l u τ Kirjoitamme tämän vielä muotoon [ L = l dx σ dx 57 u x. 58 l u τ dx u. 59 x ] u. 6 x Näin sisi että olisimme voineet valita massatiheyden paiasta riippuvasi, σx. Yleistämällä edellä olevaa johtoa nähdään helposti, että 6 on tällöin oiea muoto. Jatumorajan suora johto Lagrangen funtio 6 voidaan johtaa myös suoraan, ilman disreettiä välivaihetta. Täydellisyyden vuosi tehdään se tässä. Tutitaan langan elementtiä dx. Sen massa on σdx ja nopeus u/. Koo ineettinen energia saadaan integroimalla massaelementtien ineettiset energiat eli T = l u σdx. 6 Kun lanaa poieutetaan, venyy elementti dx pituuteen ds = dx + du. Tällöin tehdään työ dw = τds dx = τ u + dx x τ u dx. 6 x Koo potentiaalienergia saadaan integroimalla tehty työ: V = τ l u dx. 63 x Lasemalla L = T V saadaan sama tulos uin edellä 6. 3.3 Hamiltonin periaate jatumorajalla Juuri johdettu jatumorajan Lagrangen funtio 6 on eri tyyppiä uin aiaisemmin olemme ohdanneet. Kosa Lagrangen yhtälön 3 suora soveltaminen vaiuttaa epäilyttävältä, on parasta lähteä liieelle perustavammasta Hamiltonin periaatteesta. Tutitaan yleisesti seuraavaa tyyppiä olevaa Lagrangen funtiota l L = dxl u, u x, u ; x, t 64 Funtiota L utsutaan Lagrangen tiheydesi. Venytetyn langan Lagrangen funtio 6 on tämän erioistapaus. Vaiutusintegraali on nyt asiulotteinen integraali: t t l S = L = dxl u, u t x, u ; x, t 65 l x t t ux,t u δu Sovellettaessa Hamiltonin periaatetta tehdään enttään ux, t pieni muutos t ux, t ux, t + δux, t 66 t 6
Reunaehdot ovat seuraavat. Alu ja loppuhetillä ux, t on iinnitetty, joten variaatioiden täytyy hävitä: δux, t = δux, t =, x. 67 Langan molemmat päät on iinnitetty, joten myös siellä variaatioiden täytyy hävitä: δu, t = δul, t =, t. 68 Ts. variaatiot häviävät suoraaiteen aiilla reunoilla. = = Varioidaan vaiutusintegraalia, jolloin t l δs = dx δl u, u x, u ; x, t t t t l l t t = t l [ L dx u δu + [ L dx u δu + t [ L dx u x L u/ x δ u x + L δu u/ x x + L u/ δ u ] L u/ L u/ x L u/ ] δu ] δu, osa sijoitustermit häviävät osittaisintegroinneissa. Nyt voi olla δs = vain silloin, un sululausee häviää aiilla x ja t, osa δux, t on mielivaltainen. Saadaan siis jatuvan systeemin Lagrangen yhtälö: L u/ + L x u/ x L =. 69 u Verrataan jatuvan systeemin Lagrangen yhtälöä L u/ + L x u/ x L u = 69 aiaisemmin johdettuun disreettiin versioon d L L = i =,..., n. 3 q i q i Disreetti indesi i on orvautunut jatuvalla indesillä x. Disreetissä tapausessa esiintyvä oonaisderivaatta on sisi orvautunut osittaisderivaatalla. On uitenin huomattava että osittaisderivaattoja esiintyy ahdessa eri meritysessä. Kun osittaisderivaatta ohdistuu Lagrangen tiheyteen L, ovat muuttujat u, u/ x, u/, x ja t. Kun taas osittaisderivaatta ohdistuu u:hun, tai myös un se osittaisintegroinnin seurausena ohdistuu lauseeisiin L u/ x ja on muuttujisi ymmärrettävä vain x ja t. L u/, 7 Sovelletaan Lagrangen yhtälöä 69 aluperäiseen jännitetyn langan ongelmaan. Sen Lagrangen tiheys saadaan edeltä aavasta 6: L = σ u τ u. 7 x Olettaen σ ja τ vaioisi saadaan Tämä on ysiulotteinen aaltoyhtälö σ u τ u =. 7 x u = u x. 73 Tässä = τ/σ on sama uin määriteltiin edellä aavassa 48. Aaltoyhtälön perusteella se voidaan identifioida aallon nopeudesi langassa. [Totea tämä osoittamalla että ux, t = ax t + bx + t 74 toteuttaa aaltoyhtälön 73 mielivaltaisilla funtiolla a ja b. Identifioi rataisun 74 termit vasemmalle ja oiealle nopeudella ulevisi aalloisi.] 3.4 Jaumorajan rataisu Systemaattisuuden vuosi onstruoidaan reunaehdot täyttävät rataisut myös jatumorajalla. Vaihtelun vuosi lähdetään suoraan reaalisesta yritteestä ux, t = Cρx osωt + φ 75 Sijoitus aaltoyhtälöön 73 antaa d ρx dx + ρx = 76 missä = ω/. Tämä on ominaisarvotehtävä: Samoin uin disreetissä tapausessa 7, on yhtälöllä 76 reunaehdot täyttäviä rataisuja vain tietyillä taajuusilla ω s = s. Kiinteät reunaehdot vaativat ρ = ρl =. 77 Nähdään että rataisut ovat ρx = sin x, 78 lσ missä normalisaatioon palataan pian. Tässä aaltovetori voi saada arvot s = sπ l s =,,..., 79 Värähtelyt ovat samantyyppisiä uin disreeteilläin massoilla. Erona on että värähtelymoodeja on ääretön määrä, ja dispersiorelaatio on aiille moodeille lineaarinen, ω s = s. l s 3 4 5 7
ω s s = ω = 3... Yleisen teoreeman 9 muaan ominaisrataisut ovat ortogonaalisia matriisin A mielessä. Tässä tapausessa matriisi A on diagonaalinen, Ax, x = σδx, x. Saadaan siis eli l l l dxρ s xσρ r x = δ sr. 8 dx sin s x sin r x = δ sr. 8 Edellä ominaisrataisun 78 etuteijä valittiin siten että normalisaatioaava 8 toteutuu myös tapausessa s = u. Yleinen rataisu voidaan nyt irjoittaa = lσ ux, t = C s ρ s x osω s t + φ s s= sin s x[a s osω s t + b s sinω s t], 8 s= missä jälimmäisessä muodossa on irjoitettu a s = C s osφ s ja b s = C s sinφ s. Tällaista funtion u esitystä sini- ja osinifuntioiden avulla utsutaan Fouriersarjasi. Kuten yleisesti Newtonin meaniiassa, rataisu iinnittyy ysiäsitteisesti un annetaan aluehtoina oordinaatit ja nopeudet: ux, = fx, ux, = gx. Sijoittamalla yleinen rataisu 8 saadaan aluehdot muotoon fx = ux, = a s sin s x 83 lσ s= gx = ux, = b s ω s sin s x 84 lσ s= Integroimalla x:n yli ja äyttämällä ortonormeerausta 8 saadaan Fourier-sarjan ertoimet a s ja b s rataistua: σ l a s = dxfx sin s x 85 l b s = ω s σ l l dxgx sin s x 86 [Esim. σx ei ole vaio.] Tällöin voidaan jatumoa approsimoida disreetillä versiolla: [ l σx u L = dx τx ] u x a n i= σ i µ i a n i= τ i+/ µi+ µ i. 87 Saadun disreetin ongelman ominaistaajuudet ja ominaisvetorit voidaan sitten lasea numeerisesti. Tätä varten on olemassa erityisiä tietooneohjelmia. Yleistämällä tasapasulle langalle saatuja tulosia päätellään, että disreetti versio antaa hyvän approsimaation matalimmille ominaisvärähtelyille, joiden aallonpituudet ovat suuria verrattuna disretointiväliin a. Koreilla taajuusilla, missä värähtelyjen aallonpituus pienenee ohti a:ta, ei disreetti approsimaatio luonnollisestiaan voi toimia oiein. Disretointeihin pätee muutamia sääntöjä, jotta tulos olisi mahdollisimman luotettava. Derivaatat annattaa disretoida aina äyttäen ahta läheäisintä pistettä, esim. x i+ ja x i uten yllä, ei esim. u x µ i+ µ i HUONO. 88 a Derivaattaa ertova funtio annattaa arvioida disretointipisteiden välipisteessä: τx τx i + a/ = τ i+/ atso yllä. Jos tämä ei ole mahdollista, on äytettävä esiarvoa u u x µi+ + µ i µi+ µ i. 89 a Kannattaa ensin disretoida Lagrangen tai Hamiltonin funtio, ja sitten johtaa liieyhtälöt tästä äyttäen disreetin tapausen Lagrangen tai Hamiltonin yhtälöitä. Näin varmistetaan että disreetti ongelma on matemaattisesti järevä josaan ei fysiaalinen myös äärellisellä välinpituudella a, eiä ainoastaan rajalla a. Jatumoversio usein näyttää matemaattisesti elegantimmalta uin vastaava disreetti versio. Sisi useat matemaattiset operaatiot irjoitetaan jatumolle. Josus syntyy uitenin vaieusia ymmärtää mitä ne taroittavat. Tällöin oiea tapa on siirtyä disreettiin tapauseen, ja pyriä ymmärtämään ongelma siellä, ja se usein on helpompaa uin yrittää äyttää pelästään jatumorajan äsitteitä. Jatumoteoria pitää aina ymmärtää jonin syvällisemmän ja monimutaisemman teorian rajatapausena. a 3.5 Siirtyminen jatumosta disreettiin Edellä tarasteltiin siirtymistä disreetistä tapausesta jatuvaan. Josus on tarvis tehdä siirtyminen päinvastaiseen suuntaan, jatuvasta disreettiin. Useinaan jatuvalla tapausella ei ole analyyttistä rataisua. 8
4. Yleistä lassista enttäteoriaa FW, G Edellä tarastelemamme lanaesimeri on toiminut johdatusena yleiseen lassiseen enttäteoriaan. Kirjoitamme nyt samat tuloset yleisemmässä muodossa. Erityisesti yleistämme äsittelyn olmeen ulottuvuuteen, mutta emme vielä ota muaan suhteellisuusteoreettisia =relativistisia ilmiöitä. Kolmessa ulottuvuudessa voimme yleistää jatumon Lagrangen funtion 64 muotoon L = dv L u, u, u ; x, t 9 missä tilavuusintegraali dv on tilavuuden V yli. Sovellamme tähän Hamiltonin periaatetta. Reunaehtoina vaadimme nyt että suljettu pinta A L ˆn i δu = 9 u/ x i i tilavuus V da Toistamatta tässä aiaisempaa johtoamme, lienee hyväsyttävää että Lagrangen yhtälöisi saadaan nyt L u/ + i x i nˆ L u/ x i L u = 9 Tämä on sama uin edellä 69 luuun ottamatta että esitermissä x x i ja summausta yli i:n. Toinen mahdollinen yleistys on että enttiä on useampia, u u, missä =,,..., n. Kosa joaisen entän omponentin variaatiot ovat riippumattomia, voidaan suoraan irjoittaa tulos L u / + i x i L u / x i L = 93 u aiille omponenteille eriseen =,,..., n. Tulee huomata, että vaia johdimme Lagrangen funtion 9 Newtonin meaniiaan perustuen, voimme soveltaa sitä myös aivan muihin taroitusiin. Esimerinä tästä tarastelemme Lagrangen tiheyttä L = i ψ ψ ψ ψ m ψ ψ V ψ ψ. 94 Tässä enttä ψx, t on omplesinen, ja ψ on sen omplesionjugaatti. Komplesiluu voidaan esittää ahden reaaliluvun avulla esim. ψ = a + ib tai ψ = A expiφ, joten liieyhtälön löytämisesi voidaan soveltaa moniomponenttiaavaa 93. Osoittautuu, että saadaan sama tulos myös un riippumattomisi muuttujisi valitaan ψ ja ψ jossa tapausessa lasu on aiein lyhyin. Liieyhtälösi saadaan harjoitustehtävä i ψ = m ψ + V ψ, 95 miä on Shrödingerin yhtälö. Toisin sanoen, onstruoimalla sopivia Lagrangen tiheysiä voidaan saada aiaan liieyhtälöitä, jota eivät ole johdettavissa Newtonin meaniiasta. 4. Säilymislait Massapisteille määriteltiin anoninen liiemäärä aavalla p i = L 96 q i Kenttäteoriassa määritellään anonisen liiemäärän tiheys aavalla L π = u/. 97 Tämä voidaan ajatella disreetin tapausen raja-arvosi p i π = lim a a d 98 d on avaruuden dimensio: langalle d =. Massapistemeaniiassa määritellään Hamiltonin funtio H = i p i q i L 99 Analogisesti määritellään nyt Hamiltonin tiheys H = π u L. Hamiltonin funtio voidaan sitten Lagrangen funtion tapaan määritellä integraalina H = dv H. Seuraavassa tarastellaan Hamiltonin tiheyttä funtiona Hx, t. Tätä muuttujavalintaa orostetaan meritsemällä osittaisderivaattaa t:n suhteen H x. Lasetaan tämä lähtien määritelmästä [ H π x = u x + π u + i L u u L u L u + u/ x i x i u/ + L Tässä toinen ja viides termi umoavat toisensa. [Tähän juuri pyrittiin Legendren muunnosella L H.] Saadaan siis H = x i π L u/ x i u x L u u L x i. u ]. 9
Sijoitetaan π:n määritelmä 97 ja äytetään Lagrangen yhtälöä 9, jolloin saadaan [ H x = L u ] L u x i i u/ x i L u u i L u/ x i u L x i. Ensimmäinen ja olmas termi umoavat toisensa, ja yhdistämällä toinen ja neljäs saadaan H x = [ ] L u L x i i u/ x i. Määritellään vetori S i = L u u/ x i. 3 Tätä äyttäen voidaan edellinen tulos irjoittaa H + S = L x. 4 Oletetaan nyt että L ei riipu esplisiittisesti ajasta L/ =. Tällöin saadaan edellinen yhtälö muotoon H + S =. 5 x Tämä on samaa muotoa uin jatuvuusyhtälö: tiheyden muutos ajassa voidaan ilmaista virran S divergenssin avulla. Useimmissa sovellutusissa Hamiltonin tiheys on sama uin energiatiheys, joten voidaan puhua energiatiheydestä H ja energiavirrantiheydestä S. Kaavaa 5 on siten energian säilymislai. Lai 5 on loaali osa se osee energiatiheyttä yhden pisteen ympäristössä. Tarastellaan energiaa tietyssä annetussa tilavuudessa V. Tätä vastaava Hamiltonin funtio H = dv Hx, t. 6 V Pitäen tilavuutta muuttumattomana saadaan aiaderivaatalle dh = Hx, t dv. 7 V Käyttäen loaalia säilymislaia 5 ja vetorirelaatioita saadaan dh = dv S = da S, 8 V A Tämä on energian säilymisen lain integraalimuoto. Jos virtaus S häviää reunalla A reuna mahdollisesti hyvin auana, tai reunaehdot taaavat tämän, saadaan oonaisenergian säilymislai dh =. 9 Mietiselyn aihe: massapisteille saatiin vain oonaisenergian säilyminen muistele analyyttisen meaniian urssia. Misi nyt saadaan myös loaalinen säilymislai? Muita säilymislaeja Edellä ollut Hamiltonin funtion säilymisen yhteydessä äytetty aava 4 voidaan irjoittaa muodossa [ ] L u u/ L + [ ] L u x i i u/ x i = L. [Huom. tässä ja aavassa haasululauseeet on taas ymmärrettävä vain x:n ja t:n funtioisi.] Lagrangen yhtälössä 9 aia ja paia esiintyvät hyvin symmetrisesti. Kun edellisen aavan johdossa sopivasti vaihdetaan paia ja aia esenään, saadaan aava [ ] L u u/ x j + [ x i i L u/ x i ] u δ ij L = L, x j x j jona voi osoittaa todesi suoralla lasulla. Jos L ei esplisiittisesti riipu x j :stä L/ x j =, saadaan tästä tiheyden L u P j = u/ x j loaali säilymislai. Kaavan jälimmäinen haasululausee voidaan identifioida vastaavasi virran tiheydesi. Lagrangen yhtälö 9 voidaan irjoittaa muotoon π + G = L u 3 missä anoninen liiemäärä on määritelty aavalla 97 ja G i = L u/ x i 4 Jos Lagrangen tiheys ei riipu itse entän u arvosta L/ u =, saadaan tästä loaalinen säilymislai anoniselle liiemäärälle. G identifioidaan tällöin anonisen liiemäärän virran tiheydesi. Integraalimuotoinen säilymislai saadaan molemmissa yllä olevissa tapausissa samoin uin energian tapausessa. Jos entällä on useampia omponentteja u, saadaan joissain tapausissa vielä useampia säilymislaeja, joita ei äsitellä tässä.
5. Suhteellisuusteoriaa Kerrataan erioisen suhteellisuusteorian perusteet. Tarempi äsittely on esitetty mm. Landau&Lifshitz, The lassial theory of fields. Erioinen suhteellisuusteoria lähtee olettamusesta, että valon nopeus on sama aiille havaitsijoille, riippumatta niiden suhteellisesta nopeudesta. Lorentz-muunnos Oloon r join paia-avaruuden piste ja t join aia. Näiden muodostamaa oonaisuutta x, y, z ja t utsutaan tapahtumasi. Oloon asi paia-avaruuden pistettä r ja r niin, että valo ulee pisteestä toiseen un aia uluu hetestä t heteen t. Tällöin täytyy olla voimassa Mutta V :n täytyy riippua nopeusien V ja V välisestä ulmasta. Kosa aavan vasen puoli on tästä riippumaton, täytyy a:n olla V :sta riippumaton vaio. Samasta aavasta nähdään että tämän vaion täytyy olla, siis av. Välimata s jaaa tapahtumaparit olmeen eri luoaan: ajan luonteisiin joissa s >, valon luonteisiin joissa s = ja paian luonteisiin joissa s <. Oheisessa uvassa on meritty eri x-t-tason tapahtumien luonne suhteessa origoon x =, t =. s > s < t x x x +y y +z z t t = 5 missä oordinaatit on mitattu jossain inertiaalioordinaatistossa K, ja on valon nopeus. Jossain toisessa inertiaalioordinaatistossa K tapahtumalle mitataan oordinaatit x, y, z ja t ja tapahtumalle oordinaatit x, y, z ja t. Tällöin x x +y y +z z t t = 6 missä on sama uin aavassa 5. Yleistämällä tätä, voidaan ahteen mielivaltaiseen avaruusajan tapahtumaan liittää suure s = t t x x y y z z 7 Tätä voidaan utsua tapahtumien välimatasi. Oloon ahden tapahtuman välimatat s ja s un ne on mitattu oordinaatistoissa K ja K. Edellisestä seuraa, että jos s =, niin silloin myös s =. Oletetaan nyt avaruus homogeenisesi. Esim. jos tapahtumien etäisyys oordinaatistossa K muuttuu asinertaisesi, muuttuu se asinertaisesi myös oordinaatistossa K. Tästä seuraa että välimatojen täytyy olla verrannollisia toisiinsa: s = av s. 8 Tässä verrannollisuuserroin av voi riippua ainoastaan oordinaatistojen suhteellisen nopeuden itseisarvosta. Perustellaan seuraavasi että av. Oloon olme inertiaalioordinaatistoa K, K ja K, ja oloon ahden jälimmäisen nopeudet V ja V nähtynä K:sta. Tästä seuraa s = av s, s = av s. 9 Myösin s = av s, missä V on K :n nopeus nähtynä K :stä. Näistä saadaan av av = av. s = Pyritään seuraavasi määräämään miten tapahtuman oordinaatit muuttuvat un siirrytään inertiaalioordinaatistosta toiseen. Oletetaan että oordinaatisto K liiuu K:hon nähden niiden yhteistä x-aselia pitin nopeudella V. Oletetaan että myös y ja z aselit ovat samansuuntaisia näissä oordinaatistoissa, ja että oordinaatistojen origot yhtyvät ajanhetellä. z K y x = Vt z' K' y' x x' Ysinertaisin mahdollinen muunnos oordinaatistojen välillä on Galilein muunnos x = x + V t, y = y, z = z, t = t. Tämä muunnos ei uitenaan toteuta vaatimusta, että valon nopeus olisi sama aiille havaitsijoille, osa s ei ole invariantti. On ilmeistä että niin auan uin t = t ei s :n invarianttisuutta voida saada aiaan. Galilein muunnosen minimaalinen yleistys olisi lineaarinen riippuvuus x = a x + a t, y = y, z = z, t = a 3 x + a 4 t. 3 Tämä voidaan tulita joninlaisesi ierrosi tasossa x, t. Tässä ierrossa täytyy jäädä invariantisi välimata s = t x = t x. Meriä luuun ottamatta tämä on sama ehto uin tavallisten iertojen suhteen eli että pisteiden etäisyydet säilyvät. Tason tavallisista rotaatioista tiedetään, että iertoon liittyy vain ysi vapaa parametri, iertoulma. Vastaavasti ierrossa 3 on vain ysi vapaa parametri. Merierojen taia tavallisten sinin
ja osinin sijasta annattaa äyttää hyperbolisia funtioita: x = x osh ψ + t sinh ψ, t = x sinh ψ + t osh ψ. 4 Lasemalla voi todeta että s todellain on invariantti tässä muunnosessa. Pyritään identifioimaan iertoulma ψ. Tarastellaan oordinaatistossa K oordinaatiston K origoa, eli x =. Tälle saadaan aavasta 4 Jaamalla saadaan x = t sinh ψ, t = t osh ψ. 5 x = tanh ψ 6 t Tässä x/t on oordinaatiston K nopeus suhteessa K:hon, siis Tästä saadaan sinh ψ = V tanh ψ = V. 7 V, osh ψ = Koo muunnosesi saadaan siten. 8 V x = x + V t, y = y, z = z, t = t + V x. 9 V V Tämä on Lorentz muunnos. Tarastellaan muutamia Lorentz-muunnosen seuraamusia. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus ei riipu siitä ummasta oordinaatistosta atsotaan etumeriä tietysti luuun ottamatta. Todistus harjoitusena. Jos asi tapahtumaa ovat ajanluonteisia, voidaan aina löytää oordinaatisto, jossa ne ovat samanpaiaiset. Jos asi tapahtumaa ovat paianluonteisia, voidaan aina löytää oordinaatisto, jossa ne ovat samanaiaiset. Todistus harjoitusena. Jotta ausaalisuus toteutuisi aiissa oordinaatistoissa, ei hiuasen nopeus edellisen perusteella voi ylittää valon nopeutta. Hiuasen rata on siis aina ajanluonteinen. t x = t Neliavaruuden matematiiaa x Käydään tässä läpi merintöjä ja matematiiaa, joita tarvitaan myöhemmin fysiaalisen teorian ehittelyssä. Kuin tapahtuma vastaa jotain neliulotteisen avaruuden vetoria. Aletaan meritä tapahtuman oordinaatteja seuraavasti x = t, x = x, x = y, x 3 = z. 3 Tässä merinnässä vetorin pituus s = x x x x 3. 3 Mitä tahansa neljän omponentin A, A, A ja A 3 jouoa utsutaan nelivetorisi jos ne muuttuvat oordinaatistomuunnosessa samoin uin oordinaattinelivetori x i. Lorentz-muunnosessa niiden siis tulee muuttua seuraavasti: A = A + V A, A = V A + V A, V A = A, A 3 = A 3. 3 Otetaan lisäsi äyttöön merintä A = A, A = A, A = A, A 3 = A 3. 33 Nelivetorin omponentteja, mitä meritään yläindesillä A i, utsutaan ontravarianteisi omponenteisi. Niitä omponentteja joita meritään alaindesillä A i utsutaan ovarianteisi omponenteisi. Usein irjoitetaan A i = A, A, jolloin siis A i = A, A. Nelivetorin pituudelle voidaan näin irjoittaa A A + A A + A A + A 3 A 3 = 3 A i A i, 34 i= missä summameri usein jätetään meritsemättä. Määritellään ahden nelivetorin salaaritulo A i B i = A B + A B + A B + A 3 B 3. 35 Selvästi A i B i = A i B i. Tämä tulo muodostaa nelisalaarin, millä taroitetaan luua joa ei muutu oordinaattimuunnosissa. Huom. Kun on yse vain olmivetoreita sisältävistä lauseeista, voimme varovaisuutta noudattaen irjoittaa omponentti-indesin ylös tai alas ilman merinvaihtoa: x α = x α α =,, 3. Määritellään yleisemmin nelitensori. Nelisalaari on nollannen ertaluvun nelitensori ja nelivetori on ensimmäisen ertaluvun nelitensori. Toisen ertaluvun nelitensorilla taroitetaan 6 omponenttista suuretta A ij, joa muuntuu oordinaattimuunnosissa uten ahden nelivetorin omponenttien tulot B i C j. Näille määritellään o- ja ontravariantit omponentit unin indesin suhteen eriseen samalla tavalla uin nelivetoreille. Esim. A i A A A A 3 A A A A 3 A A A A 3 A 3 A 3 A 3 A 33
= A A A A 3 A A A A 3 A A A A 3 A 3 A 3 A 3 A 3 3 = A A A A 3 A A A A 3 A A A A 3 A 3 A 3 A 3 A 33 =.... 36 Kun ylä- ja alaindesinä on sama irjain ymmärretään se aina summattuna. Esimerisi A i B i = A B + A B + A B + A 3 B 3, 37 mistä tulosena on nelivetori, tai mistä tulee nelisalaari. A i i = A + A + A + A 3 3, 38 Tensoria utsutaan symmetrisesi jos A i = A i ja antisymmetrisesi jos A i = A i. Antisymmetriselle tensorille aii diagonaalielementit häviävät: A = A = A = A 33 =. Symmetriselle tensorille myös A i = A i, jota voidaan siis meritä myös A i :lla. Määritellään ysiötensori δ i δ i =. 39 Sen ontra- ja ovariantteja versiota meritään g i ja g i. Näiden molempien omponentit ovat g i = g i =. 4 Tätä utsutaan myös metrisesi tensorisi. Sitä voidaan äyttää muunnosissa ontra- ja ovarianttien omponenttien välillä. Esim. g i A = A i, g i A = A i, A i A i = g i A i A = g i A i A. 4 Tensorit δ i, gi ja g i ovat erioisia sisi, että niiden omponentit ovat riippumattomia oordinaatistosta. Sama ominaisuus on täysin antisymmetrisellä ysiötensorilla, e ilm, joa on neljännen ertaluvun tensori. Sille määritellään e 3 = +, ja meri vaihtuu aina un pareittain vaihdetaan indesin paiaa. Kaii muut elementit joissa olisi siis vähintään asi samaa indesiä ovat nollia. Tässä yhteydessä on hyvä äydä läpi myös tavallisen olmiulotteisen avaruuden tensoreita. Siellä määritellään täysin antisymmetrinen ysiötensori e αβγ vastaavasti uin yllä. e αβγ :llä on 6 = 3! nollasta poieavaa omponenttia jota ovat e xyz = e zxy = e yzx =, e xzy = e yxz = e zyx =. 4 Sen avulla voidaan vetorien ristitulo C = A B irjoittaa C α = e αβγ A β B γ. Tutitaan antisymmetristä nelitensoria A i. Sillä on 6 riippumatonta omponenttia, joten se voidaan irjoittaa ahden 3-vetorin a ja p avulla A i = p x p y p z p x a z a y p y a z a x p z a y a x. 43 Tässä puhtaalle paia-avaruuden osuudelle A αβ = e αβγ a γ, missä indesit saavat arvot, ja 3. Oloon φ join salaarifuntio φx, x, x, x 3. Määritellään sen neligradientti φ x i = φ, φ. 44 x Tämän täytyy olla ovariantti nelivetori, sillä oonaisdifferentiaalin dφ = φ x i dxi 45 täytyy olla nelisalaari. Siis gradientti ontravariantin oordinaatin suhteen on ovariantti nelivetori ja päinvastoin. Neliavaruudessa voimme määritellä erilaisia integraaleja. Esimerisi viivaintegraaleja olisivat a = ds f, b = dx i A i, i = dx i f, d i = dx i A. 46 Kasi ja olmiulotteiset integraalit voidaan myös määritellä, jos tarvetta tulee. Neliulotteinen integraali funtiosta f on dx dx dx dx 3 f dωf. 47 Tässä neliavaruuden tilavuuselementti dω on riippumaton oordinaatistosta. Todistus: Matematiian ursseissa toivottavasti osoitetaan että muuttujanvaihdossa dx dx dx dx 3 = Jdx dx dx dx 3 48 missä J on Jaobin determinantti: J x,..., x 3 x,..., x 3. x x x 3 x. x x x 3 3 x 3. 49 On helppo näyttää että Lorentz-muunnoselle 3 J =. Sanallisesti tätä voisi luonnehtia siten, että Lorentzlyhenemisen ja aiadilataation vaiutuset tilavuuselementin ooon umoavat toisensa. Nyt palaamme taaisin fysiaalisen teorian ehittelyyn. 3
Nelinopeus Suhteellisuusteorian perusajatus on että aii inertiaalioordinaatistot ovat samanarvoisia. Sen taia luonnonlaien pitää olla oordinaatistosta riippumattomia. Fysiaalinen teoria on tässä tapausessa hyvä muotoilla äyttäen ainoastaan nelitensoreita. Tällä saavutetaan se etu, että teoria on automaattisesti riippumaton oordinaatistosta. Eri suureiden arvot muissa uin juuri tutitussa oordinaatistossa on tällöin välittömästi saatavissa, sillä nelitensoreiden omponenttien muuttuminen oordinaatistosta toiseen on iinnitetty yllä. Siirtyminen omponenteista nelitensoreihin on analogista sen anssa un siirrytään avaruuden oordinaateista x, y, z vetorin r äyttöön. Pyriäsemme noudattamaan yllä olevaa periaatetta, meidän olisi määriteltävä hiuasen nopeutta uvaava nelitensori. Vaioteijää luuun ottamatta tässä ei ole muuta vaihtoehtoa uin määritellä nelinopeus derivaatasi Tässä pituuden differentiaali ds = dx dy dz dx dy = u i = dxi ds. 5 dz = v, missä v on hiuasen tavallinen olmiulotteinen nopeus. Saadaan esimerisi u = dx ds = dx v = v x v, 5 joten oo nelinopeus voidaan irjoittaa u i = v,. 5 v v itse asiassa ainoa vaihtoehto, ja samalla erittäin ysinertainen sellainen, on valita S = α b a ds, 55 missä α on join vaio. Kosa ds on nelisalaari, on myös S 55 nelisalaari. [Huom. Nelinopeudesta u i voi onstruoida salaarin u i u i, mutta tämä on vaio 53, joten se on hyödytön S:ää muodostettaessa.] Jotta voisimme ymmärtää S:n 55 irjoitetaan se aiaintegraalina, uten aiemmin on totuttu [aava ]: S = α b a tb ds = α v. 56 t a Tästä voimme identifioida Lagrangen funtion L = α v. 57 Oletetaan nyt että hiuasen nopeus v, jolloin L = α v αv α +. 58 Ensimmäinen termi on epäolennainen vaio. Toinen termi on sama uin aiemmin tuttu vapaan hiuasen L = mv, un identifioidaan α = m. Olemme siis erittäin tyytyväisiä, ja irjoitamme lopullisessa muodossaan vapaan hiuasen vaiutusintegraalin ja Lagrangen funtion S = m L = m b a ds 59 v. 6 Kosa dx i dx i = ds saadaan u i u i =, 53 siis ainoastaan nelinopeuden 3-vetoriosa omponentit - 3 sisältää riippumatonta informaatiota. Vaiutusintegraali Pyritään muodostamaan vapaan hiuasen liieyhtälöt. Liieradasi täytyy tietysti tulla suoraviivainen liie, mutta ysymys onin miten tämä voidaan lausua suhteellisuusteorian periaatteita noudattaen. Käytetään Hamiltonin periaatetta. Siinä liie tapahtumasta a tapahtumaan b määräytyy ehdosta että vaiutusfuntionaalilla on minimi, eli sen variaatio häviää: δs =. 54 Vaiutusen S täytyy olla nelisalaari. Se on erittäin rajoittava ehto. Miettimällä eri vaihtoehtoja voi todeta, että Energia ja liiemäärä Liiemäärän lausee määräytyy tunnetusti 96 Lagrangen funtiosta. Relativistiselle hiuaselle L 6 antaa p = mv v. 6 Tämä yhtyy tuttuun lauseeeseen p = mv epärelativistisella rajalla v. Liiemäärä p divergoi un v. Energia saadaan lasemalla Hamiltonin funtio 99: varataan symbolit E ja H vastedes sähö ja magneettientille E = H = v p L, 6 mistä saadaan E = m v. 63 4
Levossa olevalle hiuaselle v = saadaan E = m, 64 miä on lepoenergia. Epärelativistisella rajalla E m + mv, 65 missä toinen termi on tuttu epärelativistinen ineettinen energia. Pyritään lausumaan energia E = H liiemäärän p funtiona. Edellisistä aavoista saadaan relaatio tai Pienille nopeusille v saadaan E = p + m. 66 E = p + m. 67 E m + p m. 68 Ultrarelativistisella rajalla p m saadaan E p. 69 miä pätee esatisti jos m =. Kuva piirretty olettaen p x-aselin suuntaisesi p y = p z =. E ultrarelativistinen alue On huomattava, että energian identifiointi neliliiemäärän nollannesi omponentisi E = p edellyttää, että lepoenergia 64 on lasettu muaan energiaan. Siis suhteellisuusteoriassa energian nollataso on hyvin määritelty, un taas epärelativistisessa meaniiassa energiaan voitiin aina lisätä mielivaltainen vaio ilman mitään seuraamusia. Säilymislait Edellä tarasteltiin yhtä vapaata appaletta. Yleistys useampaan appaleeseen on suoraviivainen: joaiselle appaleelle on oma terminsä Lagrangen funtiossa: L = m v m v. 73 Toinen oleellinen yleistys on ottaa huomioon appaleiden väliset vuorovaiutuset. Jatossa tullaan erityisesti äsittelemään sähömagneettista vuorovaiutusta, ja erityisesti onstruoidaan sen Lagrangen funtio. Kuitenin jo ennen tätä on hyvä lausua yleisemmät energian ja liiemäärän säilymislait. Nimittäin uten analyyttisen meaniian urssissa opittiin energian säilyminen on seurausta siitä, että Lagrangen funtio ei esplisiittisesti riipu ajasta. Vastaavasti, liiemäärän säilyminen seuraa siitä, että Lagrangen funtio ei esplisiittisesti riipu paiaoordinaatista. Suhteellisuusteoriassa energian ja liiemäärän säilymislait yhdistyvät luonnollisella tavalla: m epärelativistinen alue E = p x p x Hiuasjouon neliliiemäärä säilyy un systeemin Lagrangen funtio on invariantti neliavaruuden siirroissa. Lagrangen funtion sallitaan siis riippua ainoastaan appaleiden oordinaattien erotusista esim. x i a x i b, xi a x i jne. Kaavoista 6 ja 63 saadaan myös relaatio p = E v. 7 Määritellään nyt neliliiemäärä p i : p i = mu i, 7 eli vaio ertaan nelinopeus. Vertailemalla edellä johdettuja aavoja havaitaan että p i :n paiaomponentit ovat samat uin liiemäärän ja aiaomponentti on vaioteijää vaille energia: E p i =, p. 7 Ymmärretään siis että energia ja liiemäärä ovat oordinaatistosta riippuvia suureita, mutta yhdessä ne muodostavat nelivetorin, joa on oordinaatistosta riippumaton. Yleiset nelivetorien muunnosaavat 3 antavat energian ja liiemäärän mielivaltaisessa oordinaatistossa, jos ne molemmat ovat tiedossa yhdessä oordinaatistossa. 5
6. Varauset sähömagneettisessa entässä Edellä esitettyyn vapaan hiuasen teoriaan saadaan todellista sisältöä vasta un siihen voidaan lisätä hiuasten välisiä vuorovaiutusia. Tässä urssissa esitytään sähömagneettiseen vuorovaiutuseen. Kehitämme hiuasten ja sähömagneettisen entän lassista teoriaa ahdessa vaiheessa. Ensin tarastelemme hiuasia annetussa uloisessa entässä, ja sen jäleen tutustumme entän itsensä dynamiiaan. Nelipotentiaali Vapaan hiuasen vaiutusintegraali 59 johdettiin yllä. Epärelativistisessa meaniiassa uloinen enttä otettiin muaan lisäämällä vaiutusintegraaliin potentiaalitermi tb S = S + S pot, S pot = V q i. 74 t a Tällä ertaa suhteellisuusperiaate anarasti rajoittaa mahdollisia valintoja. Ysinertaisin valinta muodostaa nelisalaari, jossa hiuasen paia yteytyy johonin potentiaaliin, on salaari potentiaali A ja S pot = b a Ads. 75 Tämä valinta ei uitenaan johda sähömagnetismin teoriaan harjoitustehtävä. Seuraavasi ysinertaisin tapaus lienee valita vuorovaiutustermisi S pot = e b a A i dx i = e b Tässä potentiaalina esiintyy nelivetori a A i u i ds. 76 A i = ϕ, A 77 Kutsutaan ϕ:tä ja A:ta salaari- ja vetoripotentiaaleisi. Tässä vaiheessa e on join vaio, seä ϕ ja A jotain enttiä, jota toistaisesi ovat täysin tuntemattomia. Ehä annattaa uitenin jo vihjata, että jatossa e tullaan identifioimaan sähövarausesi, ja ϕ ja A sähömagneettisen entän potentiaaleisi. Kirjoitetaan vielä oonaisuudessaan tutittava vaiutusintegraali S = b a mds eai dx i. 78 Lähdetään pyörittämään tuttua oneistoa. Kirjoitetaan nelivetorit aui = tb b S = m ds e ϕ a + ea dr m v eϕ + ea v. 79 t a Tästä voimme identifioida Lagrangen funtion L = m v + ea v eϕ. 8 Meritään anonista liiemäärää 96 P:llä. Sille saadaan mv P = + ea = p + ea, 8 v missä p on vapaan hiuasen liiemäärä. Energialle saadaan E = H = v P L = m + eϕ. 8 v Energian ja liiemäärän välille saadaan relaatiot [vertaa 66] H eϕ = m + P ea, 83 H = m 4 + P ea + eϕ. 84 Pienille nopeusille v saadaan liimäärin L = m + mv + ea v eϕ, 85 p = mv = P ea, 86 H = m + m P ea + eϕ. 87 Nämä relaatiot ovat samat uin johdettiin analyyttisen meaniian urssissa, lepoenergiaa tietysti huomioimatta. Kiinnitetään huomiota siihen että Hamiltonin funtiossa ineettinen energia itse asiassa on mv, ja vetoripotentiaali esiintyy siinä vain sen taia, että H uuluu ilmaista äyttäen anonista liiemäärää P. Liieyhtälöt Hiuasen liieyhtälöt saadaan Lagrangen yhtälöstä 3, joa voidaan irjoittaa d L L =. 88 v r Tässä on äytetty merintää josta on erioistapaus f f = ˆx + ŷ f + ẑ f, 89 a a x a x a z = r. 9 Lasetaan L:stä 8 ensin paiaderivaatta L r Sovelletaan aavaa = e A v e ϕ. 9 a b = a b + b a + a b + b a, 9 6
jolloin L r = ev A + ev A e ϕ. 93 Liieyhtälösi 88 saadaan d p + ea = ev A + ev A e ϕ. 94 Huomataan vielä että A:n oonaisderivaatta d A x Ar, t = x + A y y = v A + A Sijoittamalla tämä saadaan liieyhtälö + A z z + A 95 dp = e A e ϕ + ev A. 96 Oiealla puolella asi ensimmäistä termiä ovat riippumattomia hiuasen nopeudesta, un taas olmannessa esiintyy nopeus v. Kaavan ysinertaistamisesi tuntuu sisi järevältä määritellä asi uutta enttää: Näillä liieyhtälö saadaan muotoon E = A ϕ 97 B = A. 98 dp = ee + ev B. 99 Näistä identifioidaan sähöenttä E, magneettienttä B ja sähövaraus e. Huom. tässä urssissa e on mielivaltainen varaus, jolla ei välttämättä ole yhteyttä eletronin varauseen. Kaavan 99 oiea puoli tunnetaan Lorentzin voimana. Pienille nopeusille v liiemäärälle p 6 voidaan approsimoida p = mv, jolloin saadaan jo luion urssista tuttu? liieyhtälö m dv = ee + ev B. Määritellään aavasta 8 vasemman puolen ensimmäinen termi ineettisesi energiasi E in = Lasemalla voi helposti osoittaa että de in m v. = v dp Sijoittamalla liieyhtälöstä 99 ja äyttämällä v v B = saadaan de in = ev E. 3 Nähdään että vain sähöenttä teee työtä, miä johtuu siitä että magneettienttä on ohtisuorassa nopeutta vastaan. Mittainvarianssi Kentät E ja B ovat Lorentzin voiman 99 perusteella mitattavissa olevia suureita. Samaa ei täysin voi sanoa nelientästä A i. Nimittäin A i voidaan orvata toisella entällä A i = A i f x i, 4 missä salaari f = fx, x, x, x 3. Kun tämä sijoitetaan vaiutusintegraaliin 78, syntyy lisätermi b a e f x i dxi = b a edf = efb efa. 5 Tämä on vaio, jolla ei siis voi olla mitään vaiutusta liieyhtälöihin. Muunnosta 4 utsutaan mittamuunnosesi. Todetaan että edellä ehitetty teoria on mittainvariantti, eli se ei muutu mittamuunnosessa. Nelipotentiaalin omponenteille 77 irjoitettuna mittamuunnos saa muodon totea ϕ = ϕ f, A = A + f. 6 On hyvä todeta vielä suoraan että näillä ei ole vaiutusta enttiin E 97 ja B 98. Nähdään että f voidaan aina valita niin että salaaripotentiaali häviää [f = ϕ]. Sama ei yleisesti ole mahdollista A:lle. Ajasta riippumaton enttä Ajasta riippumattomille entille E ja B voidaan potentiaalit valita myös ajasta riippumattomisi. Perustelu palautuu olennaisesti lauseeseen että jos a =, niin on olemassa g siten että a = g. Ajasta riippumattomassa tapausessa siis voidaan valita E = ϕ 7 ja B = A 98. Siis molemmilla entillä on omat toisistaan riippumattomat potentiaalit. Nähdään että ϕ on määritelty vaiota vaille. A on sen sijaan on edelleen epämääräinen salaarifuntion gradientilla. Kun enttä ei riipu ajasta, on oonaisenergia 8 vaio: E = m + eϕ = E in + eϕ = vaio. 8 v Ajasta ja paiasta riippumaton enttä Jos sähöenttä E ei riipu paiasta, voidaan se esittää potentiaalilla ϕ = E r. 9 7
Jos magneettienttä B ei riipu paiasta, voidaan se esittää vetoripotentiaalilla A = B r. Tämä on symmetrinen mitta. Toinen vaihtoehto on Landaun mitta A x = By, A y = A z = un B on z-suuntaan. Osoita harjoitusena että molemmat mitat antavat vaiomagneettientän Bẑ, ja osoita että jälimmäinen saadaan edellisestä mittamuunnosfuntiolla f = xyb/. Liie vaiosähöentässä Demonstroidaan edellä olevaa teoriaa ysinertaisessa tapausessa, missä hiuanen liiuu ajallisesti ja paiallisesti vaiossa sähöentässä E = Eŷ B =. Liieyhtälöstä saadaan ṗ x =, ṗ y = ee. Tutitaan tapausta jossa hiuasella on liiettä myös x- suuntaan: p x = p, p y = eet. 3 Käyttäen aavaa E in = p + m saadaan E in = m 4 + p + eet = E + eet. 4 Käyttämällä aavaa v = p/e in saadaan dx = p p = E in E + eet. 5 Nähdään että x-suuntainen liie on nopeimmillaan un t =, ja hidastuu un t asvaa. Integroimalla saadaan mistä x = p eet arsinh 6 ee E eet E Analogisesti y-oordinaatille = sinh eex p. 7 dy = eet eet = E in E + eet. 8 Nähdään että y-suuntainen nopeus lähenee valon nopeutta un t. Integroimalla saadaan y = E ee + eet = E eex osh. 9 ee p Liierata on siis etjuäyrä y = a osh bx. Epärelativistisella rajalla voidaan approsimoida E = m ja p = mv jolloin pienillä x:n arvoilla y = vaio + eex mv. Tämä on paraabeli, joa saadaan Newtonin meaniian muaisella lasulla totea. Liie vaiomagneettientässä Tutitaan hiuasen liiettä ajallisesti ja paiallisesti vaiossa magneettientässä B E =. Liieyhtälö 99 on tällöin dp = ev B. Käytetään taas relaatiota v = p/e in. Tietäen että E in = E on vaio saadaan E dv = ev B. Kiinnitetään B = Bẑ, jolloin voidaan irjoittaa omponenttimuodossa v x = ωv y, v y = ωv x, v z =, 3 missä olemme määritelleet ω = eb E. 4 Yhtälöt on ätevä irjoittaa määrittelemällä omplesinen nopeus v x + iv y : dv x + iv y Tästä nähdään heti rataisu = iωv x + iv y. 5 v x + iv y = a exp iωt 6 Valitsemalla integrointivaio a = v t expiα, saadaan v x = v t osωt + α, v y = v t sinωt + α 7 missä α on vaiheulma aluhetellä ja v t = vx + vy 8 on vaionopeus x-y-tasossa. Integroimalla nopeudet saadaan rataistua liie paia-avaruudessa: x = x + r sinωt + α, y = y + r osωt + α 9 missä r = v t ω = v te eb = p t 3 eb ja p t on liiemäärä x-y-tasossa. Liie z-suuntaan on tasaista z = z + v z t. 3 Hiuanen liiuu siis heliaalista rataa pitin, joa suleutuu ympyräsi jos v z =. Kulmataajuutta 4 utsutaan sylotronitaajuudesi. Epärelativistisella rajalla E m se on riippumaton hiuasen nopeudesta: ω eb m. 3 8
Liie loivasti muuttuvassa magneettientässä Tutitaan tapausta jossa magneettienttä muuttuu loivasti paian funtiona. Kosa E =, on energia vaio ja liieyhtälö on uten edellä dv = e v B. E Käytetään sen rataisuun häiriölasua. Yleisesti oletetaan että Br voidaan esittää Taylorin sarjana jonin pienen parametrin suhteen B = B + B + B +..., 33 missä yläindesi taroittaa termin ertaluua. Tässä tapausessa termit aiheutuvat Br:n paiariippuvuudesta: B = Br, B = [r r ]B r,... 34 Vastaavasti ehitelmä voidaan muodollisesti irjoittaa myös yhtälön rataisulle v = v + v + v +..., 35 Sijoittamalla sarjat liieyhtälöön saadaan dv + v +... = e E v + v +... B + B +... Jotta tämä yhtälö olisi voimassa, täytyy sen toteutua joaiselle ertaluvulle eriseen: dv = e E dv = e E v B, 36 v B + v B, 37 Nollannen ertaluvun yhtälö 36 rataistiin jo edellä. Sijoitetaan sen rataisu 7-3 ensimmäisen ertaluvun yhtälöön 37. Valitaan gradienttiehitelmän 33 ehityspisteesi radan esipiste ja ajanheti t =, ja rajoitutaan tässä tarastelemaan vain z-suuntaista liiettä dv z = e { E [ r sinω t B y... B y v x B x v y = e E x + r osω t B y y + v zt B y z v t osω t [ r sinω t B x x + r osω t B x y + v zt B ] x z } [ v t sinω t], missä alaindesi suureissa ω ja r taroittaa, että ne on lasettu entällä B. Tavoitteenamme on tarastella z-suuntaista liiettä mittaaavalla, missä hiuanen teee luuisia ierrosia ] B :n ympäri. Riittää siis tarastella v z :n aiaderivaattaa esiarvoistettuna useiden ierrosten yli. Vain asi termiä uudesta antaa jotain nollasta poieavaa: d v z = e E r v t Bx x + B y y = v t B B z z, 38 missä jälimmäisessä muodossa on äytetty aavaa 3 seä aavaa B = joa oieastaan johdetaan vasta myöhemmin. Edellisestä tulosesta voidaan johtaa harjoitus että yhden ierrosen sisään suleutuva magneettivuo πr B = πe 4 e v t B = vaio v t B 39 on adiabaattinen invariantti, eli se ei muutu, jos magneettientän muutos yhden ierrosen uluessa on pieni. Huomaa että magneettientän oonaismuutosta pitän ajan uluessa ei mitenään rajoiteta. Adiabaattisesta invariantista 39 nähdään että jos hiuanen on ulemassa ohti asvavaa magneettienttää, täytyy myös v t :n asvaa. Koonaisnopeus v = v t + v z pysyy uitenin vaiona, osa energia säilyy. Jos magneettienttä asvaa niin suuresi että v t = v, ei hiuanen voi enää jataa etenemistä z suuntaan, vaan ääntyy taaisin pyörien edelleen samaan suuntaan. Adiabaattinen invarianssi voidaan yleisemmin osoittaa anonisten muuttujien muodostamalle suureelle I = pdq 4 π atso Landau-Lifshitz, Mehanis. Yllä äsitellyssä tapausessa tämä on evivalentti aavan 39 adiabaattisen invariantin anssa epäolennaista vaioteijää luuun ottamatta. Kenttätensori Edellä johdettiin liieyhtälöt äsittelemällä aia- ja paiaoordinaatteja eriseen. Yritetään nyt johtaa liieyhtälöt suoraan nelivetorimuodossa. Lähtöohtana on vaiutusintegraali 78, jona variaation δs = δ b a mds eai dx i 4 pitää hävitä un varioidaan hiuasen polua: x i x i + δx i. Huom. relativistisessa teoriassa myös aiaoordinaattia pitää voida varioida, joten poieten analyyttisen meaniian urssissa äytetystä sopimusesta δx = δt. Ainoa rajoitus on että variaatiot häviävät nelipisteissä a ja b. Katsotaan ensin viivaelementin ds = dx i dx i variaatiota δds = ds dx δdx = dxi dx dx δdx i = dx δdx ds = u δdx. 4 9