Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Transkriptio

1 Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016

2 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen Doppler-siirtymä

3 Galilein muunnos Inertiaalikoordinaatistot S ja S, joissa tarkkailijat Bob ja Alice S liikkuu S:n suhteen nopeudella u +x-akselin suuntaan Koordinaatistojen origot samassa kohdassa hetkellä t = 0 = Pisteen P koordinaatit eri koordinaatistoissa x = x + ut y = y z = z t = t z y ut z r y r P x x Tämä on klassisen mekaniikan Galilein koordinaatistomuunnos Huom! Tulokset pätevät vain ed. tavalla määritellyille koordinaatistoille!

4 Klassisen mekaniikan havainto Galilein muunnoksen perusteella pisteen P nopeus on v = dx dt = dx dt + u = v + u Sopusoinnussa havaintojen kanssa kun vauhti on pieni Jos v = c niin klassisen mekaniikan mukaan v = v + u > c Johtopäätös: Valon nopeus ei ole vakio Vuonna 1887 tehty Michelson-Morley -koe osoitti 1. Silloin vallinneen eetteriteorian vääräksi 2. Sähkömagneettinen säteily ei tarvitse väliainetta edetäkseen 3. Sähkömagneettinen säteily etenee vakionopeudella c Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

5 Einsteinin erityinen suhteellisuusteoria Special theory of relativity Perustuu kahteen postulaattiin eli väittämään 1. Fysiikan lait samat kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa 2. Valon nopeus vakio kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa 1. postulaatti perustuu inertiaalikoordinaatistojen tasa-arvoisuuteen = mikään inertiaalikoordinaatisto ei ole toista inertiaalisempi 2. postulaatti johtaa siihen, että inertiaalinen havaitsija ei voi liikkua valon nopeudella = johtaisi muuten ristiriitaan Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

6 Tapahtumien samanaikaisuus Gedankenexperiment, ajatuskoe Juna liikkuu tasaisella nopeudella u c aseman suhteen Junassa tarkkailija Alice (levossa junaan nähden) Alicella käsissä kaksi salamalamppua samalla etäisyydellä Juna ohittää aseman, jossa tarkkailija Bob (levossa asemaan nähden) Alice laukaisee salamalamput samanaikaisesti molempien lamppujen valonsäteet osuvat Aliceen yhtäaikaa Bob:n koordinaatistossa Alice liikkuu nopeudella u Lamppujen valonsäteiden kuljettava eri matka osuakseen Aliceen Seuraus: Jos valonsäteet lähtevät yhtäaikaa, toisen lampun valonsäde osuu Aliceen ensiksi RISTIRIITA Ratkaisu: Jos Einsteinin 2. postulaatti hyväksytään, tapahtumien samanaikaisuus riippuu tarkkailijan liiketilasta Tapahtuma (engl. event): käsite, jolla on paikka ja aika

7 Ajan suhteellisuus Oletetaan samat koordinaatistot kuin äsken Junan lattialla valonlähde lähettää valopulssin, joka heijastuu junan katosta takaisin Alice näkee valopulssin kulkevan vauhdilla c ajassa t matkan 2d, missä d on vaunun korkeus 2d = c t Bob näkee mielestä valopulssi matkaa nopeudella c ajassa t matkan (2d ) 2 ( ) 2 c t = + u t Yhdistetään tulokset t = t 1 u2 c 2 = γ t

8 Aikadilaatio ja itseisaika Jos u c, niin γ 1 ja Newtonin mekaniikka on voimassa Koska aina u < c, niin γ 1 ja t t Aikadilaatio (time dilation): liikkuva kello käy hitaammin Yhteys käytäntöön: GPS-satelliitit olennaisesti hyvin tarkkoja kelloja ja niissä pitää ottaa aikadilaatio huomioon Miten erotetaan kumpi koordinaatistoista S ja kumpi S? Aikaväli lyhin koordinaatistossa, jossa tapahtumat sattuvat samassa paikassa itseisaika (proper time) t 0 t = γ t 0 Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

9 Pituuskontraktio Valonsäteen kulkuaika vaikuttaa mitattuun pituuteen Oletetaan edelleen samat koordinaatistot Tarkastellaan viivoitinta, jonka toisessa päässä valonlähde ja toisessa peili Kun mitta liikkuu junan mukana, Alicen mielestä valopulssi matkaa nopeudella c ajassa t matkan 2l, missä l mitan pituus Bob näkee, että valopulssi matkaa peiliin asti nopeudella c ajassa t 1 matkan l + u t 1 Heijastunut valonsäde matkaa takaisin nopeudella c ajassa t 2 matkan l u t 2, jolloin yhteisaika t = t 1 + t 2 = 2l t ( ) = = c 1 u2 v 2 1 u2 c 2 2l c 1 u2 c 2

10 Pituuskontraktio Josta edelleen saadaan l = l γ = l 1 u2 c 2 Bob:n mittaama pituus on pienempi kuin Alicen mittaama levossa olevan mitan pituus Suurin pituus itseispituus (proper length) l 0 Pituuskontraktio (length contraction) tapahtuu vain liikkeen suunnassa l = l 0 γ

11 Galilei vs. Lorentz Yhdistämällä em. tulokset saadaan johdettua muunnosyhtälöt koordinaatistosta S koordinaatistoon S Muunnosta sanotaan Lorentzin muunnokseksi Galilein muunnos x = x ut y = y z = z t = t v x = v x u Lorentzin muunnos x = γ ( x ut ) y = y z = z t = γ ( t ux/c 2) v x = v x u 1 uv x /c 2

12 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen Doppler-siirtymä

13 Liikemäärän säilyminen Klassinen mekaniikka: jos kokonaisliikemäärä säilyy inertiaalikoordinaatistossa S, niin se myös säilyy inertiaalikoordinaatistossa S Kuitenkin jos (esim törmäyksessä) u c niin Lorentz-muunnoksen jälkeen kokonaisliikemäärä ei säilykään? Joko liikemäärä ei säily tai liikemäärä määritelty väärin Kokeet osoittavat että liikemäärä säilyy = Relativistinen liikemäärä p = γm v = m v 1 u2 c 2 Relativista liikemäärän lauseketta käyttäen liikemäärä säilyy Lorentz-muunnoksen jälkeen Relativistinen liikemäärä klassinen liikemäärä kun u c

14 Newtonin toinen laki Kokeellisesti havaittu että Newtonin toinen laki edelleen voimassa, kun käytetään relativistista liikemäärää F = d p dt = dγ d u m u + γm dt dt Tasaisessa ympyräliikkeessä F u = d u/dt = a ja F = γm a Suoraviivaisessa liikkeessä F u(t) = d u/dt = a joten [ F = m u dγ dt + γ du ] =... = γ 3 ma dt Yleisessä liikkeessä voima ja kiihtyvyys voidaan jakaa radan tangentiaalisen ja normaalin suuntaisiin komponentteihin = Voima ja kiihtyvyys eivät samansuuntaiset!

15 Suhteellisuusteoreettinen työ Kun kappale siirtyy suoraviivaisesti paikasta x 1 paikkaan x 2, voima tekee työn W = x 2 x 1 F T dx = x 2 x 1 γ 3 ma dx a dx=v dv = 0 v mv dv = (γ 1)mc2 1 v 2 /c2 Kappaleelle tehty työ on yhtäkuin sen kineettinen energia lopuksi K = W = (γ 1)mc 2 Kineettinen energia koostuu kahdesta termistä, joista toinen riippuu sen nopeudesta ja toinen ei Termi mc 2 on kappaleen lepoenergia (rest energy), jolloin sillä kokonaisenergia E = K + mc 2 = γmc 2 Hiukkasfysiikan kokeet osoittavat, että hiukkasten massojen muutosta vastaa aina muutos systeemin energiassa E = mc 2 mukaisesti

16 Kokonaisenergia ja liikemäärä Etsitään yhteys kokonaisenergian ja liikemäärän välille: { { E = γmc 2 E 2 = γ 2 (mc 2 ) 2 = pc = γmvc (pc) 2 = γ 2 (mvc) 2 = E 2 (pc) 2 = m 2 c 4 = E 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 Kokonaisenergian lausekkeesta seuraa, että voi olla olemassa hiukkasia, joilla on liikemäärää ja energiaa muttei massaa Tällaisia hiukkasia ovat esimerkiksi sähkömagneettisen säteilyn kvantit eli fotonit, joille pätee E f = pc Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

17 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen Doppler-siirtymä

18 Johdanto Perustulos: ajan suhteen muuttuva virta aiheuttaa ajan suhteen muuttuvan magneettikentän Maxwellin laeista seuraa, että ajan suhteen muuttuva magneetti-/sähkökenttä aiheuttaa ajan suhteen muuttuvan sähkö-/magneettikentän Seurauksena etenevä aalto jossa kytkeytyneenä sähkö- ja magneettikenttä Radioaallot, mikroaallot, valo, gammasäteily Lähettäjän ja havaitsijan suhteellisesta liiketilasta seuraa että myös SMG-aaltojen taajuudessa Doppler-siirtymä Siirtymän matemaattinen muoto erilainen kuin ääniaalloilla Suora seuraus suhteellisuusteoriasta Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

19 Doppler-siirtymän johto Alice liikkuu vakionopeudella u (koordinaatisto S ) ja emittoi valonsäteen kohti havaitsijaa Bob Valonsäteen taajuus f Alice ja jaksonaika T Alice = 1/f Alice koordinaatistossa S Koordinaatistossa S emittoitujen aallonhuippujen aikaväli on aikadilaation takia T Bob = γt Alice Bob:n vastaanottamien aaltojen taajuus f Bob ei kuitenkaan ole f Alice /γ, Alicen liiketilan vuoksi Peräkkäiset aallonhuiput lähetetty eri pisteissä = eri kulkuajat Bob:lle Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos

20 Doppler-siirtymän johto Jatkoa Bob:n koordinaatistossa ajassa T Bob jo lähetetyt aallonhuiput etenevät matkan ct Bob ja Alice etenee matkan ut Bob Huippujen välinen matka eli aallonpituus on λ Bob = (c u)t Bob joten mitattu taajuus f Bob = c (c u)t Bob Aikadilaation vuoksi T Bob = γt Alice, joten T Bob = T Alice 1 u2 /c 2 = ct Alice c2 u 2 = f Bob = c c2 u 2 c + u f Alice = c u c c u f Alice

21 Doppler-siirtymän johto Jatkoa SMG-aaltojen Doppler-siirtymä muotoa f Bob = c + u c u f Alice Alicen ja Bob:n keskinäinen nopeus u ainoa jolla merkitystä Ääniaaltojen tapauksessa lähettäjän ja vastaanottajan omat liiketilat (suhteessa väliaineeseen) merkityksellisiä Sovelluksena mm. tutkat, astronomia Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos