DEE-00 Lineaariset järjestelmät Luu Johdanto; termit ja äsitteet DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
DEE-00 Lineaariset järjestelmät I+II periodi Luennot, Risto Mionen, SH 3 Harjoituset, Tiina Salmi, SH 309 Valtteri Lahtinen, SH 304 ti 2 4 SA 207 ti 4 6 SE 20(SE 2) to 2 4 K 2330 (2.per. 0-2 SE 20) to 0 SA 207 (vain I periodi) pe 0 2 SE 20 Tutintovaatimuset: Hväststi suoritettu tentti tai välioeet Kirjallisuus: Luentomoniste Gabel & Roberts: Signals and Linear Sstems 2 Nilsson & DEE-00 Riedel: Lineaariset Electric järjestelmät Circuits Risto Mionen
DEE-00 Lineaariset järjestelmät www.tut.fi/smg/studies.php Opinnot Lineaariset järjestelmät Ennaotehtävät Lasuharjoituset Hvitspisteet 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Mitä sähöteniian liopisto-opiselu taroittaa? 4 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Mallit ja menetelmät abstratiotason ääripäät Piirianalsissa olmiulotteiset appaleet uvataan sinertaisilla malleilla, joissa sähö- ja magneettienttien sijaan ätetään jännitteitä ja virtoja. 5 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Lineaariset järjestelmät opintojason tavoitteet Järjestelmiä uvaavan terminologian tunteminen Järjestelmää uvaavan mallin muodostaminen Ssteemiä uvaavien htälöiden eri rataisumenetelmät Järjestelmien stabiilisuustarastelut Siirtminen aiataso vs muunnostaso Tarjota matemaattinen perusoneisto möhempiä ursseja varten 6 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Opintojason raenne Rataistava ongelma Vero Järjestelmä Tarastelun luoitus Disreettiaiainen Jatuva-aiainen Analsointitaso Aiataso Muunnostaso 7 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Jatuva-aiainen vs disreettiaiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi signaalisi u 8 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri (disreettiaiainen) Joeen nousee joa vuosi 000 alaa. Joa talvi aloista selvit 30 % evääseen. Kuina monta alaa joessa on vuosina =, 2,? Minä ooisesi populaatio muodostuu pitällä aiavälillä? 9 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri (jatuva-aiainen) 3 e t sin2t 0 di t) L dt ( 3 Ri( t) t Vt ( t) e sin2t. ertaluvun vaioertoiminen, lineaarinen, epähomogeeninen differentiaalihtälö Misi en rataise piiriä osoitinlasennan avulla? DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Järjestelmähieraria DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 2 5 % 0.5 g uivattuja ruusunmarjoja 3 g psiä arviaismarjoja 0.4 g rusinoita 3 g soeria 8 g vettä pussi hiivaa pussi ravintosuolaa pussi viininselvitettä 5 g otiviiniä JÄRJESTELMÄ Yleisnimits mutiaalle oonaisuudelle, jolle on ominaista, että tiett sisäänmenevät vaiuttimet aiheuttavat hden tai useamman vasteen. u 2 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Järjestelmätppejä Kemialliset Sähöiset Meaaniset Termodnaamiset Hdrodnaamiset Sosiaaliset Jne. 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Järjestelmät - analogia 4 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Voima-virta -analogia Meaaninen järjestelmä Sähöinen järjestelmä Voima (p) Virta (I) Massa (m) Kapasitanssi (C) Vaimennuserroin (b) Kondutanssi (/R) Jousivaio () Indutanssin inverssi (/L) Siirtmä (x) Käämivuo ( x v Nopeus ( ) Jännite (e) 5 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Case väestön asvun mallintaminen 6 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Väestönasvun mallintaminen Thomas Malthus (776 834) Charles Darwin (809-882) a p( t) a dt const. p( t0) 7 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen d p 0 p( t)
Mallintaminen Muutostiloja uvaavat liiehtälöt Alu- ja reunaehdot Yhtälöiden muoaaminen Yhtälöiden rataisu Tulosten tulinta 8 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Kiinteäparametrinen / jaautunut järjestelmä Järjestelmän suureet riippuvat ainoastaan ajasta. Mallintaminen differentiaalihtälöiden avulla. Järjestelmän suureet riippuvat ajan lisäsi mös paiasta. Mallintaminen osittaisdifferentiaalihtälöiden avulla. E( t) L di( t) dt Ri( t) C t 0 i( ) d u C (0) 9 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Jaautunut järjestelmä T t 2 T E g c p 20 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Deterministinen / stoastinen järjestelmä Ssteemioperaattori L(D) samoin uin sisäänmeno u(t) tunnetaan tarasti. Malli fsiian lainalaisuusiin nojautuen. Järjestelmän parametrit tunnetaan tilastollisesti. Malli (siirtofuntio) oemuseen nojautuen. E( t) L di( t) dt Ri( t) C t 0 i( ) d u C (0) 2 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esplisiittinen / implisiittinen järjestelmä Ulostulo riippuu pelästään sisäänmenosta. Ulostulo on funtio seä sisäänmenosta että aiaisemmasta ulostulosta. f ( u, u, u 2,...) f ( u, u,,... 2,...) 22 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Lineaarisuus 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( u u L u L u L u L u L ) ( ) ( Additiivisuus Homogeenisuus ) ( ) ( ) ( 2 2 u L u L u u L 23 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Review Question Veron sisäänmenon u ja ulostulon suhteen on voimassa htälö au b missä a ja b ovat vaioita. Ono vero lineaarinen? 24 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Review Question 2 Oheisessa piirissä sisäänmenona u on lähdejännite U ja ulostulona on vastusen R 3 autta uleva virta. Millainen ehto lähdejännitteelle U 2 tulee asettaa, että ssteemi on lineaarinen? R = R 2 = R 3 =. (Muodosta Kirchhoffin laeihin nojautuen htälö sisäänmenon ja ulostulon välille ja tarastele lineaarisuutta.) i i 3 i 2 25 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Oheisen piirin sisäänmenona on lähdejännite u(t) ja ulostulona (t) on 6 :n resistanssin autta uleva virta. Ono ssteemi lineaarinen? 26 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Määritä oheisessa verossa jännite v 0. Aseta jännitteen arvosi V ja määritä jännitteen oiea arvo lineaarisuutta hödntäen. v 0 27 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Tarastellaan oheista tentää, jona sisäänmenona on lähdevirta J ja ulostulona uvaan meritt jännite U. Arvataan seisen jännitteen arvosi U = V. Todenna lineaarisuuden äsitteen avulla seisen jännitteen oiea arvo. R = 2, R 2 = 0.5, R 3 =, R 4 =, J = 6 A. 28 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Staattinen / dnaaminen järjestelmä Ulostulo riippuu joaisella ajanhetellä vain sen hetisestä sisäänmenon arvoista. U = f (I, R) Ulostulo riippuu historiallisesti sisäänmenosta. U = f (I, R, L, C) 29 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Aiainvarianttisuus Ssteemioperaattori L(D) ei muutu ajan muana. Ajanheti, jolla ssteemi ännistetään ei vaiuta ssteemin dnamiiaan (samaa sisäänmenoa vastaten saadaan aina sama ulostulo). 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 u u t t t t u t t u 30 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Rhmittele seuraavat tapauset ahdella eri luoittelutavalla Staattinen / dnaaminen Aiainvariantti / aiavariantti Raetin ohjaaminen töntömoottorilla, un raetti ulee tietn matan avaruudessa. Jääieo liuuu itattomalla jäällä ja törmää immoisasti entän reunaan ulmassa. Kahviuppi on huoneessa, jona lämpötila on vaio S astetta. Kupin lämpötila T(t) jääht Newtonin läähtmislain muaisesti dt( t) dt ( T( t) S) 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Review Question 3 Veroa uvaava htälö on ( t) u( t) cost Ono vero A) lineaarinen B) aiainvariantti 32 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Disreettiaiaiset järjestelmät Kuvaa htettä eri nätejonojen välillä. Elementit voidaan määrittää: Meritsemistapoja f() = f(t ) = f t = T Analttisenä htälönä f 2 Numerotauluona T nätteenottoväli f 0,,5, 3,... 33 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Lineaariset differenssihtälöt a 0 u b a u b 2... 2 a m... u b m n n Järjestelmä muuttaa luujonon u luujonosi. Lohoaaviot oostuvat siöviive-, vaioerroin- ja summauselementeistä. Ulostulo on hdistelmä sisäänmenon nisistä ja vanhoista arvoista seä ulostulon vanhoista arvoista. 34 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Esimeri Bilateraalinen auppamalli Kansantulo Y määrät tuotantoustannusten C, nettoinvestointien i ja viennin x summana vähennettnä tuonnilla M. Kotimaan aupan tuotantoustannuset D määrätvät oonaistuotantoustannusten C ja tuonnin M erotusena. mallinnetaan seuraavasti Aia jaautuu tasavälisiin periodeihin. Kaii suureet muuttuvat periodin muana paitsi i, joa on vaio. D ja M unain periodina ovat verrannollisia edellisen periodin ansantuloon Määritä maiden ansantuloja uvaavat htälöt. 35 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Lineaariset differentiaalihtälöt a n D n a n D n... a D a 0 ( t) b m D m b m D m... b D b 0 u( t) Järjestelmä muuntaa funtion u(t) funtiosi (t). Lohoaaviot muodostuvat derivaattoreista / integraattoreista, vaioerroin- ja summauselementeistä. Merintä D i taroittaa i:nen ertaluvun derivaattaa ajan suhteen. Yleisesti siis n:nen ertaluvun, vaioertoimien, lineaarinen epähomogeeninen differentiaalihtälö. 36 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Yhteenveto luu Veroa uvaa sisäänmenon u(t) ja ulostulon (t) välillä htälö 2 d ( t) u( t) u( t) dt Ono vero A) additiivinen B) homogeeninen C) lineaarinen 37 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Yhteenveto luu Järjestelmän sisäänmenona on äämin li oleva jännite ja ulostulona äämin virta. Tarastele ssteemin lineaarisuutta. 38 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen