ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V

Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin kertoimet Geometrinen optiikka Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Heijastus pallopinnasta Taittuminen pallopinnalla Ohuet linssit Lähde: http://apod.nasa.gov/apod/ap070912.html, Terje O. Nordvik Miksi kuvassa näkyy kuusi kaarta? 2 (33)

Luentoviikko 10 Tavoitteet Tavoitteena on oppia miten Huygensin periaate auttaa heijastuksen ja taittumisen analysoinnissa tunnistamaan E- ja B-kenttien rajapintaehdot tunnistamaan Fresnelin kertoimet, kun aalto osuu kohtisuorasti rajapintaan miten peilit muodostavat kuvan miten linssit muodostavat kuvan 3 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Valon sironta Valon sironta Miksi taivas on sininen? Miksi auringonlasku on punainen? Miksi taivas näyttää joissakin suunnissa tummemmalta polarisoivien lasien läpi? Kun auringonvalo osuu ilman molekyyleihin, molekyylit eivät virity, mutta niiden elektronipilvi värähtelee aallon sähkökentän suunnassa = harmonisesti värähtelevä dipolimomentti = dipolimomentti toimii antennina, joka lähettää uuden aallon ympärilleen (paitsi dipolin värähtelyn [akselin] suuntaan) = sironta sironnutta valoa tulevaa valoa Auringonvalo on polarisoitumatonta, mutta valonsäteen kulkusuuntaa vastaan kohtisuoraan suuntaan sironnutta valoa tarkasteleva näkee lineaarisesti polarisoitunutta valoa (eli polarisoivien lasien kanssa...?) Valon taajuus ei muutu sironnassa (koska ei tapahdu virittymistä)! 4 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Valon sironta Taivaan, auringonlaskun ja pilvien väri Kun sirottajan koko λ, kyseessä on Rayleigh n sironta: sironnut intensiteetti 1/λ 4 (eli f 4 ) = sininen valo siroaa n. 15 kertaa voimakkaammin kuin punainen = taivaan väri Auringonlaskua seuraava näkee valoa, josta on sironnut pois sininen Tiheät pilvet sirottavat valoa moninkertaisesti joka suuntaan = näkyvät valkoisina (vai pimentävät taivaan?) Maidon väri johtuu maidon rasvapallosista 5 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Huygensin periaate (1678) Huygensin periaate ilmaisee, että jos tiedämme aaltorintaman muodon jollain hetkellä, voimme muodostaa sen perusteella rintaman myöhemmän muodon, eli: Jokainen aaltorintaman piste toimii lähteenä alkeisaalloille, jotka etenevät kaikkiin suuntiin aallon etenemisnopeudella Etenevän aaltorintaman uusi paikka myöhemmällä tarkasteluhetkellä on alkeisaaltojen yhteinen tangenttipinta eli verhopinta tuolla hetkellä Periaatteen avulla voi johtaa heijastumis- ja taittumislait Perustana mm. diffraktion ja interferenssin tai aukkoantennien (esim. parabolinen heijastinantenni) analyysille Johdettavissa Maxwellin yhtälöistä (esim. Lindell, I.V., Huygens principle in electromagnetics, IEE Proceedings Science, Measurement and Technology, vol. 143, no. 2, pp. 103 105, Mar 1996: http://ieeexplore.ieee.org. libproxy.aalto.fi/xpl/articledetails.jsp?tp=&arnumber=487647 ) 6 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella B C n a n b θ a A D θ r Tuleva aaltorintama AB kohtaa rajapinnan pisteet eri aikoina Jokainen rajapinnan piste lähettää alkeisaallon (joka etenee nopeudella c/n a ) Alkeisaaltojen summa (verhopinta) muodostaa uuden aaltorintaman, joka etenee nopeudella v a = c/n a Kuvassa CD on AB:stä syntynyt heijastunut rintama, θ a on tulokulma ja θ r on heijastumiskulma (ohuet viivat ovat rintamien paikkoja eri hetkillä) 7 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta C:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman CD: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AC v a = BD = AC BD = AD sinθ a, AC = AD sinθ r Yhdistämällä päätelmät saadaan mikä oli odotettu tulos sinθ a = sinθ r = θ a = θ r, 8 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella B n a n b A θ a D θ b E Alkeisaallot etenevät läpäisypuolen materiaalissa nopeudella c/n b Alkeisaallot muodostavat uuden aaltorintaman (nopeus v b = c/n b ) AB:stä syntyy taittunut rintama ED; θ a on tulokulma, θ b taittumiskulma 9 (33)

Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta E:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman ED: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AE v b = n a BD = n b AE BD = AD sinθ a, AE = AD sinθ b Yhdistämällä päätelmät saadaan n a sinθ a = n b sinθ b, mikä oli odotettu tulos 10 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Asetelma Tarkastellaan sähkömagneettista kenttää materiaalien 1 ja 2 rajapinnassa (numeroalaindeksi ilmaisee, kumman aineen puolella olevasta kentästä on kyse) Kenttien on toteutettava Maxwellin yhtälöt molemmin puolin rajapintaa Käytetään standardikikkaa: Tarkastellaan kenttiä sylinterinmuotoisessa tonnikalapurkissa, jonka pohja on materiaalissa 2 etäisyydellä h 2 rajapinnasta ja jonka kansi on materiaalissa 1 korkeudella h 1 rajapinnasta Purkin korkeuden h = h 1 + h 2 annetaan lopuksi lähestyä nollaa Seuraavassa alaindeksi t tarkoittaa kentän tangentiaalikomponenttia rajapinnan suhteen ja alaindeksi n kentän normaalikomponenttia rajapinnan suhteen; kenttä on aina jaettavissa tangentiaali- ja normaalikomponentteihin rajapinnalla 11 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Magnetismin Gaussin laki Purkilla on kolme pintaa pohja, kansi ja vaippa joten B ˆndA = B ˆn1 da + B ˆn0 da + B ˆn2 da = 0 pohja kansi vaippa Annetaan h 0, jolloin ( ˆn 1 ja ˆn 2 ovat pohjan ja kannen pintanormaalit) B ˆn0 da 0 ja B ˆndA ( B1 ˆn 1 + B2 ˆn 2 )da = 0 vaippa pohja, kansi Valitaan yhteinen pintanormaali ˆn = ˆn 1 = ˆn 2, joka osoittaa aineesta 2 aineeseen 1 = ( B1 ˆn B2 ˆn)dA = 0 pohja, kansi Ehdon pitää toteutua mielivaltaisilla kansi- ja pohjavalinnoilla, joten B1 ˆn = B2 ˆn B 1n = B 2n 12 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Faradayn laki Otetaan purkin vaipasta l-levyinen ja h 1 + h 2 -korkuinen suikale ja tarkastellaan suikaletta ja sen reunaa: E d d l = B ˆndA dt le 1t + h 1 E 1n + h 2 E 2n le 2t h 2 E 2n h 1E 1n = d B ˆndA dt Annetaan h 1,h 2 0 (jolloin myös h 0): d B ˆndA 0 dt = l(e1t E 2t ) 0 = E 1t = E 2t Edellä valittiin E1t d l, mutta miten voitiin päätellä E1t E2t? Myös: E1t = E2t ˆn E1 = ˆn E2 13 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Gaussin laki ja Ampèren laki Tutkitaan erityistapaus: kahden ei-johtavan (mutta mahdollisesti magneettisen) väliaineen rajapinta, joissa ei ole vapaita varauksia tai virtoja Kun Gaussin lain tarkastelee samoin kuin magnetismin Gaussin lain, saa ehdon K 1 ɛ 0 E 1n = K 2 ɛ 0 E 2n (varaukseton rajapinta) Kun Ampèren lain tarkastelee samoin kuin Faradayn lain, saa ehdon B 1t /(K m1 µ 0 ) = B 2t /(K m2 µ 0 ) (virraton rajapinta) 14 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Tarkastellaan kahta ei-johtavaa eristeainetta a ja b, joissa ei ole vapaita varauksia eikä virtoja; taitekertoimet ovat n a = K a ja n b = K b Tuleva tasoaalto on [kenttien suuntien valinta on luennoijan oma] Ea (x,t) = ĵe a cos(k a x ωt), x 0 ja se kohtaa aineiden rajapinnan kohtisuorasti (θ a = 0) tasolla x = 0 Heijastunut tasoaalto olkoon Er (x,t) = ĵe r cos(k a x + ω r t + φ r ), x 0 ja läpäissyt tasoaalto vastaavasti Eb (x,t) = ĵe b cos(k b x ω b t φ b ), x 0 Lisäksi pitää muodostaa näitä vastaavat magneettikentät Ba, Br ja Bb Tangentiaalisen sähkökentän rajapintaehto on nyt Ea (0,t) + Er (0,t) = Eb (0,t) (ja magneettikentän normaalikomponentin ehto toteutuu automaattisesti) 15 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Jatkoa Jotta reunaehto voi toteutua kaikilla ajanhetkillä, aaltojen vaiheen on muututtava samaan tahtiin = Taajuus ei muutu: ω = ω r = ω b = Vakiovaihetermit: φ r = φ b = 0 (tämä ei päde, jos aineissa on johtavuutta) = E a + E r = E b (I) Magneettikentän tangentiaalikomponentin jatkuvuusehdosta (nyt: epämagneettiset aineet) seuraa Ba (0,t)/µ 0 + Br (0,t)/µ 0 = Bb (0,t)/µ 0 eli E a /(c/n a ) E r /(c/n a ) = E b /(c/n b ) = n a E a n a E r = n b E b (II) (ja sähkökentän normaalikomponentin ehto toteutuu automaattisesti) Määritellään sähkökentän heijastus- ja läpäisykertoimet Γ ja τ, E r = ΓE a ja E b = τe a, ja ratkaistaan kertoimet yhtälöistä (I) ja (II) eli 1+Γ = τ ja n a n a Γ = n b τ 16 (33)

Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Fresnelin kertoimet Kohtisuorasti rajapintaan tulevan aallon (θ a = θ r = θ b = 0) Fresnelin kertoimet eli heijastus- ja läpäisykertoimet ovat siis: Γ = n a n b n a + n b ja τ = 2n a n a + n b = 1 + Γ (ei-johtava eristeaine) (Ylikurssia:) Vinosti kahden ei-johtavan eristeaineen rajapintaan tuleva tasoaalto on jaettava tulotason kanssa yhdensuuntaisesti ( ) ja tulotasoa vastaan kohtisuorasti ( ) lineaaripolarisoituneeseen komponenttiin Näiden kahden ominaispolarisaation Fresnelin kertoimet ovat [jälleen luennoijan valinnoilla] Γ = n a cosθ a n b cosθ b n a cosθ a + n b cosθ b Γ = n a cosθ b n b cosθ a n a cosθ b + n b cosθ a 2n a cosθ a 2n a cosθ a τ = τ n a cosθ a + n b cosθ = b n a cosθ b + n b cosθ a (Niin, mitkä ovat luennoijan valitsemat sähkökenttäkomponenttien oletussuunnat?) Näistä ilmenee yhdessä Snellin lain kanssa mm. heijastuksen polaroivuus 17 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrinen optiikka Valon kulkua havainnollistetaan valonsäteiden avulla Ovat aaltorintamien normaaleja Osoittavat valon etenemissuuntaan Geometrinen optiikka Pistemäiset valonlähteet Valonsäteet ovat homogeenisessa aineessa suoria viivoja Valon aaltoluonne jätetään huomiotta Valaistun tai säteilevän kappaleen jokainen piste on valon lähde (vrt. Huygens) Optiikalla kuvataan pistemäinen tai laajempi mitallinen kohde (= äärellisen kokoinen joukko pisteitä) kuvapisteeksi tai mitalliseksi kuvaksi (= joukoksi pisteitä) Useimpien optisten laitteiden (kamerat, mikroskoopit, teleskoopit) suunnittelun pohja Ihminen ajattelee ( näkee ) kohteen tai kuvan olevan siinä suunnassa, josta valonsäteet saapuvat silmään 18 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrinen optiikka käsitteet Kohdeavaruus Kuva-avaruus P P Sädekimppu hajaantuu pistelähteestä Kuvantava optinen järjestelmä kerää sädekimpun kohdepisteestä P ja suuntaa sen kuvapisteeseen P Sädekimppu keskittyy kohti kuvapistettä Todellinen kuva Kuvapisteeseen voidaan asettaa varjostin ja kuva näkyy Virtuaalinen kuva Kuvapiste on näennäinen: varjostimelle ei synny kuvaa 19 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrisen optiikan merkinnät Samat merkinnät kuin kirjassa (keväällä 2014 eri merkinnät, caveat emptor) Kohde (object) ja kuva (image) Etäisyydet: s on kohteen etäisyys optisesta järjestelmästä, s on kuvan etäisyys Korkeudet: y on (mitallisen) kohteen korkeus, y on kuvan korkeus Kohdepiste on P, kuvapiste on P 20 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Tasopeili Kohteena on piste P Kohteesta lähteneet valonsäteet heijastuvat Snellin lain mukaisesti Heijastuneiden säteiden suunta on sama kuin olisivat lähteneet pisteestä P = heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauskohta Pisteet P ja P ovat yhtä kaukana peilipinnasta eli s = s Onko kyseessä todellinen vai virtuaalinen kuva? P P 21 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Merkkisäännöt heijastaville ja taittaville pinnoille Säännöt ovat samat kuin kirjassa (huom. tässä valo tarkoittaa valoa ihan oikeasti, ei esim. säteiden jatkeita!) Kohteen etäisyys s on positiivinen, kun kohde on samalla puolella heijastavaa tai taittavaa pintaa kuin tuleva valo (muuten s < 0) Kuvan etäisyys s on positiivinen, kun kuva on samalla puolella heijastavaa tai taittavaa pintaa kuin lähtevä valo (muuten s < 0) Heijastavan tai taittavan pinnan kaarevuussäde (esim. R) on positiivinen, kun pinnan kaarevuuskeskipiste (C) on samalla puolella pintaa kuin lähtevä valo (muuten negatiivinen) Kohteen ja kuvan korkeudet y, y ovat positiiviset akselin samalla puolella (ks. seuraava kalvo) Järjestelmän lateraalinen ( sivuttainen ) suurennus m = y y 22 (33)

Mitallisen kohteen kuva: tasopeili Piirretään mitallista kohdetta kuvaamaan pystynuoli kuten kuvassa; kohteen korkeus (nuolen pituus) on y > 0 Nuolen kannan kuvapiste on kannasta kohtisuorasti tasopeiliin osuvan säteen jatkeella; nuolen kärjen kuvapiste on nuolen P P kärjestä kohtisuorasti peiliin osuvan säteen jatkeella; muiden kohdepisteiden kuvat muodostuvat samoin s s Kuvapisteiden etäisyys tasopeilistä on sama kuin kohdepisteiden etäisyys peilistä, minkä näkee tutkimalla kahta kohdepisteestä piirrettyä valonsädettä (niiden jatkeet leikkaavat kuvapisteessä) Kohteen etäisyys s > 0 (miksi?), kuvan etäisyys s = s < 0 (miksi?) Kuvan korkeus y > 0 ( akseli on kuvan pisteviiva), joten m = y /y = +1 Kuva on pysty (erect, = samaan suuntaan kuin kohde) ja käänteinen (reversed, = etu taka-suunta on kääntynyt) [jos kuva(nuoli) olisi vastakkaiseen suuntaan kuin kohde, se olisi ylösalainen (inverted)] Q Q y y

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastus pallopinnasta Pallopintojen nimitykset Jos valo tulee vasemmalta, C V V C tämä on kovera peili ja R > 0 tämä on kupera peili ja R < 0 Peilin kaarevuuskeskipiste on C (siis sen pallon keskipiste, josta peili on osa); peilin keskipiste on huippupisteessä (verteksissä) V; suora CV on peilin optinen akseli 24 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastus pallopinnasta Geometria Johdetaan tulos 1 s + 1 s = 2 R B θ h R α φ P C P β δ s s 25 (33)

Heijastus pallopinnasta Paraksiaalinen approksimaatio Kolmiot PBC ja P BC: φ = α + θ ja β = φ + θ = α + β = 2φ s,s,r > 0 (merkkisäännöt!), joten tanα = h s δ, tanβ = h s δ, tanφ = h R δ Tällä ei ole algebrallista ratkaisua, mutta jos kulma α on pieni, muutkin kulmat ovat pieniä (kaikki radiaaneissa) ja voidaan approksimoida α h s, β h s, φ h R Yhdistetään tulokset: 1 s + 1 s = 2 R Yhtälössä ei ole α-riippuvuutta = kaikki P:stä lähteneet säteet leikkaavat P :ssa (lähes akselin suuntaiset säteet lähellä akselia ovat paraksiaalisia säteitä ja yllä tehtiin paraksiaalinen approksimaatio)

Heijastus pallopinnasta Polttoväli ja suurennos Todellisuudessa pallopeili ei heijasta kaikkia säteitä yhden pisteen kautta = kuvausvirhe = pallopoikkeama (eli palloaberraatio) Kun piste P hyvin kaukana, s = R 2 def = f Yhdensuuntaiset säteet heijastuvat kulkemaan pisteen F (polttopiste) kautta ja polttopisteen kautta peilille kulkevat säteet heijastuvat peilin akselin suuntaisiksi (tämä pätee tarkasti parabolisille peileille) Polttopiste on etäisyydellä f (= polttoväli) peilipinnasta = 1 s + 1 s = 1 f Mitallisen kohteen kuvan suurennus (s ja s sijoitetaan etumerkkeineen) m = y /y = s /s Kuperan peilin f = R/2 < 0, mutta muuten sama analyysi pätee (merkit!)

Graafinen menetelmä peileille Itseopiskelua Pääakselin suuntainen säde kulkee heijastuttuaan polttopisteen F kautta C F Polttopisteen F kautta tuleva säde heijastuu pääakselin suuntaiseksi C F Kaarevuuskeskipisteen kautta kulkeva säde palaa samaa reittiä takaisin C F

Taittuminen pallopinnalla Geometria Kahden aineen rajapinta Taitekertoimet n a ja n b, kaarevuussäde R > 0 Väite: kaikki kohdepisteestä P pieniin α-kulmiin lähtevät säteet kulkevat saman pisteen P kautta θ a B n a < n b n b P α δ h θ b R φ C β P s s

Taittuminen pallopinnalla Paraksiaalinen approksimaatio Geometriasta: θa B na < nb nb θ a = α + φ, φ = β + θ b P α δ h θb R φ C β P Snellin laki: n a sinθ a = n b sinθ b Edelleen geometriasta: s s tanα = h s + δ, tanβ = h s δ, tanφ = h R δ Kulmat pieniä: tanα sinα α, joten n a θ a n b θ b, δ 0 ja α h s, β h s, φ h R Snellin lain approksimaatiosta ja geometriayhtälöistä saadaan θ b = n a n b θ a = n a n b (α + φ) = φ β n a α + n b β = (n b n a )φ = n a s + n b s = n b n a R Ei h- eikä α-riippuvuutta!

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Ohuet linssit Kaksi taittavaa pintaa Linsseissä on kaksi taittavaa pintaa Linssi on ohut, kun pintojen välimatka t on merkityksettömän pieni Analyysiin sovelletaan kahdesti yhtälöä n a s + n b s = n b n a R Etupinnan kuva on takapinnan kohde Linssin etupinnan etupuolella on ainetta n a, linssin sisällä on ainetta n b ja takapinnan takapuolella ainetta n c : n a + n b s 1 s = n b n a n b ja + n c 1 R 1 s 2 s = n c n b 2 R 2 Ilma lasi ilma-yhdistelmälle (n a = n c = 1.00 ja n b = n; lisäksi s 2 = s 1 [takapinnan kohde on eri puolella pintaa kuin pintaan tuleva valo]): 1 s 1 + n s 1 = n 1 ja n R 1 s + 1 1 s = 1 n 2 R 2 31 (33)

Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Ohuet linssit Linssintekijän yhtälö Summataan edelliset: 1 s 1 + 1 s 2 ( 1 = (n 1) 1 ) R 1 R 2 Vaihdetaan s 1 = s ja s 2 = s ja käytetään peileistä tuttua tulosta 1/s + 1/s = 1/f (jonka johtoa linsseille ei näytetty), jolloin saadaan linssintekijän yhtälö 1 f ( 1 = (n 1) 1 ) R 1 R 2 (ohut linssi) Lateraalisuurennos on (merkit!) m = s s 32 (33)

Graafinen menetelmä linsseille Itseopiskelua Kohdeavaruudesta tuleva pääakselin suuntainen säde taittuu polttopisteen F 2 kautta F 2 Optisen keskipisteen kautta kulkeva säde ei taitu Polttopisteestä F 1 tuleva säde taittuu pääakselin suuntaiseksi kuvaavaruuteen F 1