6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

Transkriptio

1 127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan eri paikassa ja mahdollisesti eri kokoisena kuin missä se todellisuudessa on. Kuvan muodostuminen voidaan ymmärtää mallintamalla valo säteillä ja soveltamalla yksinkertaisia geometrisen optiikan peruslakeja, geometriaa ja trigonometriaa. 6.1 HEIJASTUMINEN TASOPEILISTÄ Kun valo saapuu kahden aineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin tuloväliaineeseen. Jos rajapinta on karkea (kuva b), heijastuneet säteet lähtevät satunnaisiin suuntiin eikä tapahtumaa voida hallita tarkastelemalla yksittäisiä säteitä. Kysymys on ns. diffuusista heijastumisesta. Diffuusi pinta ei pysty tuottamaan varsinaista optista kuvaa, vaikkakin kaikki esineet ympäristössämme (vaatteet, ihmiset, kirjat, yms.) ovat näkyviä juuri sen ansiosta. Tässä kappaleessa tarkastelemme heijastumista ja optisen kuvan muodostumista hyvin sileästä pinnasta (kuva a). Yhdensuuntainen sädekimppu heijastuu yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Puhutaan peilimäisestä heijastuksesta (specular reflection). 128 Tasopeilissä esinepisteestä (object point) P lähtevät säteet heijastuvat peilistä. Jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa kuvapisteestä P (image point). Säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Yleisesti kuvausteoriassa säteiden jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). Tällaisia valekuvia ei voida projisoida varjostimelle, vaan niitä on katsottava suoraan silmällä. Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty kuvassa alla: s on esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta s ' on kuvan etäisyys Geometrian avulla saadaan tasopeilin ns.kuvausyhtälö: s. (6.1.1)

2 129 atkaisu: 130 Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä. Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q ', jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y ' on sama kuin esineen korkeus y, ts. y' y. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m. (6.1.2) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y y', joten suurennukseksi tulee yksi. Tasopeili ei siis suurenna tai pienennä. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin. Tasopeilin suurennus on aina siis m 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin Esimerkki: Nainen, jonka pituus on 160 cm, näkee itsensä juuri ja juuri kokonaan seinäpeilistä. Naisen silmät ovat 150 cm:n korkeudella lattiasta. Määritä peilin korkeus ja alareunan etäisyys lattiasta. Peilin korkeus on 80 cm. Alareuna on 75 cm:n etäisyydellä lattiasta. Mielenkiintoinen yksityiskohta: tulokset eivät riipu peilin ja katsojan etäisyydestä s. 6.2 TAITTUMINEN TASOPINNASSA Kuva voi muodostua myös tasomaisen rajapinnan läpi taittuneilla säteillä (esim. vesi-ilma-rajapinnassa): Kulmat ovat pieniä ja molemmat säteet menevät silmään.

3 131 Taittumislaki: n1sin 1 n2sin 2. Pienillä kulmilla sin tan, ja taittumislaki voidaan kirjoittaa n tan n tan, joka kuvan perusteella saadaan muotoon x x n1 n2. s Tästä kirjoitamme kuvausyhtälöksi n. (6.2.1) n 2 s Suurennuksen tutkimme myöhemmin taittavan pallopinnan yhteydessä. Esimerkki: Kala ui 1 m:n syvyydessä. Kuinka syvällä se näyttää uivan? atkaisu: Ilman taitekerroin: n Veden taitekerroin: n / 3 Esine: s 1.00 m n2 3 Kuva: s s 75 cm n HEIJASTUMINEN PALLOPEILISTÄ Pallopeili on esinepisteen O suhteen joko kovera (concave) tai kupera (convex) riippuen siitä onko peilin kaarevuuskeskipiste C samalla tai vastakkaisella puolella kuin esine. Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuperaa peiliä. O = esinepiste, I = kuvapiste, V = vertex (huippupiste), s = esineen etäisyys ja = kuvan etäisyys V:stä. Jana OC on systeemin ns. optinen akseli. Piste P on mielivaltainen piste pinnalla korkeudella h. Kuvaan on piirretty kaksi esinepisteestä lähtevää sädettä. Toinen, optisen akselin suuntainen säde heijastuu huippupisteestä V suoraan takaisin ja toinen pisteestä P heijastuslain mukaisesti. Heijastuneet säteet divergoivat, mutta niiden jatkeet leikkaavat muodostaen virtuaalisen kuvapisteen I. Etsimme yhtälöä, joka kytkee toisiinsa esineen etäisyyden s kuvapisteen etäisyyden s ' ja peilin kaarevuussäteen. Kolmiosta OPC kirjoitamme ensin siis (180 ) 180 ja kolmiosta OPI saamme ' (180 2 ) 180. Sieventämällä tulee ja 2 ' ja nämä yhdistämällä tulee ' 2. (6.3.1)

4 133 Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h tan, tan ' s ja tan h, missä on pieni väli VQ. Seuraavaksi teemme tärkeän approksimaation. Jos piste P on lähellä huippupistettä V, kulmat, ' ja ovat pieniä ja sarjakehitelmistä (esim. :lle) 3 5 sin 3! 5! 2 4 cos 1 2! 4! riittää ottaa huomioon vain ensimmäiset termit. Voidaan kirjoittaa (esim. :lle) tan sin h/. Tässä siis myös pieni väli on approksimoitu nollaksi. Yhtälö (6.3.1) saa nyt muodon h h 2 h, mistä pisteen P korkeus h supistuu pois. Kaikki etäisyydet ovat positiivisia ja tulos pätee kuperalle peilille. Vastaava tarkastelu, positiivisia suureita soveltaen johtaa samantapaiseen yhtälöön koveralle peilille. Kun sovelletaan jäljempänä esitettyjä merkkisääntöjä, yhteinen yhtälö molemmille peilityypeille on (6.3.2) Tämä on ensimmäisen kertaluvun teorian mukainen kuvausyhtälö. Säteiden suunnat poikkeavat vain vähän optisesta akselista, joten puhutaan myös ns. paraksiaalisesta approksimaatiosta. Kuvausyhtälön esitti ensimmäisen kerran Gauss vuonna 1841 ja hänen mukaansa sitä sanotaan myös Gaussin kuvausyhtälöksi. Merkkisäännöt: 1. Esineen etäisyys s 0, kun esine on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. 2. Kuvan etäisyy 0, kun kuva on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. 3. kaarevuussäde 0, kun kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. - kovera peili 0 - kupera peili Yhteenvetona merkkisäännöistä voidaan todeta, että positiiviset kuvan ja esineen etäisyydet muodostuvat todellisilla säteillä ja vastaavat siten todellisia esineitä ja kuvia. Negatiiviset etäisyydet muodostuvat säteiden jatkeilla ja vastaavat virtuaalisia (vale-) esineitä ja kuvia. Pallopeilistä saadaan tasopeili asettamalla. Kuvausyhtälö (6.3.2) antaa tällöin s, joka on tuloksen (6.1.1) yleisempi muoto. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että kuva on virtuaalinen kuva, joka siis muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Polttoväli f Jos esine on äärettömän kaukana (s ), säteet tulevat peiliin optisen akselin suuntaisina ja fokusoituvat polttopisteeseen F kuvausyhtälön (6.3.2) mukaan etäisyydelle /2.

5 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): f 0, kovera peili f (6.3.3) 2 f 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon (6.3.4) f Suurennus lasketaan tarkastelemalla taas äärellisen kokoista (korkeus y) nuolta ja tutkimalla miten sen korkeus muuttuu: Nuolen korkeus on y ja sen kärjen kuvan paikka etsitään kahden säteen avulla. Verteksiin tulevan säteen lähtökulma on sama kuin tulokulma ja optisen akselin suuntainen säde taittuu siten, että sen jatke leikkaa polttopisteen F. Kuva muodostuu heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen. Kuvan kolmioiden avulla kirjoitamme y y'. s Suurennus määritellään suhteena m y'/ y, joka etäisyyksien avulla saa muodon m. (6.3.5) s 136 Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 3.0 cm on 20 cm:n etäisyydellä pallopeilistä, jonka polttoväli on 10 cm. Laske kuvan paikka ja luonne, kun peili on a) kupera b) kovera atkaisu: a) kupera peili: f 10 cm ja s 20 cm s f sf (20) ( 10) 20 cm cm 6.7 cm. s f (20) ( 10) 3 ( 20/3) 1 m s (20) 3 Kuva on oikeinpäin ( m 0) oleva valekuva ( 0) peilin takana 6.7 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on kolmasosa esineen koosta, ts. 1.0 cm korkea. b) kovera peili: f 10 cm ja s 20 cm. sf (20) (10) cm 20cm s f (20) (10) s ' (20) m 1. s (20) Kuva on kääntynyt ( m 0) todellinen kuva ( 0) peilin edessä 20 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on sama kuin esineen koko, ts. 3.0 cm korkea. Kun peilin kaarevuuskeskipiste C (ja siten polttopiste F) on annettu, kuvautuminen voidaan konstruoida graafisesti piirtämällä vähintään kaksi seuraavista "helpoista" säteistä: 1. Optisen akselin suuntainen säde heijastuu siten, että se tai sen jatke kulkevat polttopisteen kautta. 2. Peilin huippupisteeseen tuleva säde on helppo piirtää heijastuslain mukaan.

6 Kohti polttopistettä tuleva säde heijastuu optisen akselin suuntaiseksi. Esimerkki: Piirrä edellisen esimerkin kuvautumiset mittakaavassa. atkaisu: a) kupera peili b) kovera peili Huom! Paraksiaalisessa approksimaatiossa tarkastellaan säteitä, jotka kulkevat hyvin lähellä optista akselia. Tämän vuoksi peilejä ei saa piirtää kaareviksi vaan ne on piirrettävä tasomaisiksi. Vain tällöin graafisesti etsitty kuva saadaan kuvausyhtälön (6.3.4) osoittamaan paikkaan suurennusyhtälöstä (6.3.5) lasketun kokoisena TAITTUMINEN PALLOPINNASSA Viereinen kuva esittää kahden materiaalin (taitekertoimet n 1 ja n 2) pallomaista koveraa rajapintaa. Pinnan kaarevuuskeskipiste on C, esinepiste O ja kuvapiste I. Kaksi sädettä lähtee esinepisteestä. Toinen läpäisee pinnan huippupisteessä V eikä muuta suuntaansa. Toinen osuu pisteeseen P ja taittuu Snelliuksen lain mukaan n sin n sin Materiaalissa 2 säteet etääntyvät toisistaan, mutta näyttävät tulevan yhteisestä kuvapisteestä I. Kolmiosta CPO ja CPI kirjoitamme 1 (180 ) (180 ') 180 ja näistä 1 ja 2 '. Paraksiaalisen approksimaation hengessä kirjoitamme kuvausyhtälön muotoon n 1 1 n 2 2, joka nyt siis saa asun n ( ) n ( ' ). 1 2 Kuvan kolmioista saamme (approksimoidaan taas QV 0) h h h tan, tan ' ' ja tan. s Kuvausyhtälöksi tulee n h h h h 1 n 2 s josta

7 139 n1 n2 ( n2 n1). Tässä taas kaikki etäisyydet on ajateltu positiivisiksi. Kun sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin peileille (s. 134) (positiiviset etäisyydet todellisille esineille ja kuville), edellisen sivun kuvassa virtaalisen kuvan etäisyys on negatiivinen ( 0) ja kaarevuussäde on negatiivinen ( 0). Edellä johdettu kuvausyhtälö voidaan yleistää muotoon n1 n2 n2 n1, (6.4.1) joka pätee siis myös kuperalle rajapinnalle. Kun pallopinnasta tulee tasopinta ja n 2 s, n1 mikä on sama kuin aikaisemmin johtamamme tulos (6.2.1). Tässä todellisille esineille ( s 0) kuvan etäisyys on negatiivinen ( 0) tarkoittaen sitä, että kuva on virtuaalinen (vale)kuva, joka muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Lauseke poikittaiselle suurennukselle johdetaan seuraavan kuvan avulla. Pienten kulmien approksimaatiossa Snelliuksen laki on esimerkiksi tangenttien avulla muotoa n1tan 1 n2tan 2, joten ho hi n1 n2. Suurennukseksi tulee siis 140 h n, (6.4.2) i 1 m h o ns 2 mihin ( )-merkki on lisätty edustamaan kuvan kääntymistä. Tasopinnalle (laske) m 1, joten kuva on esineen kokoinen ja samoin päin. Esimerkki: Esine on 30 cm:n etäisyydellä ilmassa ( n 1 1) lasiputken edessä. Putken kuperan pallopintaisen pään kaarevuussäde on 5 cm ja putki on täytetty vedellä, jonka taitekerroin on n /3. Laske kuvan sijainti ja laatu. atkaisu: Kuvausyhtälö on (6.4.1) n1 n2 n2 n1 1 4/3 4/ cm 5 cm 4/ cm 30 cm 30 cm 40 cm. Suurennus yhtälöstä (6.4.2) (1)( 40) m1 1. (4/ 3)( 30) Kuva on putken sisällä ( 0) 40 cm:n etäisyydellä putken päästä. Kuva on todellinen mutta kääntynyt ( m 0) esineeseen verrattuna. Se on saman kokoinen kuin esine.

8 141 Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen materiaali ulottuu vain 10 cm:n päähän? Olkoon tällaisen paksun linssin jälkimmäinen pinta kovera pallopinta, jonka kaarevuussäde on sama 5 cm kuin etupinnallakin (kuva alla). Lasketaan mihin kuva nyt muodostuu ja mikä on sen luonne. 142 Kokonaissuurennukseksi laskemme luonnollisesti tulon 2 m m1 m2 ( 1)( 2/5). 5 Lopullinen kuva on todellinen kuva ja etäisyydellä 9 cm jälkimmäisestä pinnasta. Kuvan koko on 2/5 esineen koosta ja kuva on kääntynyt. 6.5 OHUET LINSSIT atkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n päähän. Nyt kuitenkin toinen pinta taittaa säteet uudelleen ja lopullinen kuva muodostuukin eri paikkaan. Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii tässä virtuaalisena esineenä toiselle pinnalle. Virtuaalinen esine on pinnan oikealla puolella, kun taas säteet tulevat pintaan vasemmalta. Merkkisääntöjen mukaan esineen etäisyys pinnasta 2 on negatiivinen ja suuruudeltaan (40 10) cm 30cm. Myös kaarevuussäde on negatiivinen (kaarevuuskeskipiste on eri puolella kuin pinnasta lähtevät säteet), joten kuvautuminen toisessa pinnssa saa muodon 4/ /3 2 9 cm. 30 cm s ' 2 5 cm Suurennus toisen pinnan kuvautumisessa on (6.4.2):n mukaan ( 4/3)( 9) 2 m2. (1)( 30) 5 Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaan sovelletaan edellisen esimerkin menetelmää. Linssin taitekerroin olkoon n 2 ja pintojen kaarevuussäteet 1 ja 2. Linssiä ympäröivien materiaalien taitekertoimet olkoon esinetilassa n 1 ja kuvatilassa n 3. Peräkkäiset kuvaukset ovat (6.4.1):n ja (6.4.2):n mukaan n1 n2 n2 n1, n2 n3 n3 n2, m n1 1 m1 n s n s ' n s Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joten voidaan kirjoittaa s2 t 1, missä t on linssin paksuus. Ohuen linssin approksimaatiossa s2 1.

9 Tulee joista Kun vielä merkitään s n1 n2 n2 n1, s1 1 1 n3 n2 n3 n2, n ( ') m m 1 m 2 n s n s n1 n3 n2 n1 n3 n2, n s ja 2 saadaan n1 n3 ( n2 n1) ( n2 n3) ja 1 2 n m n s m n s ' 1 n3 s, (6.5.1) missä siis linssin taitekerroin on n 2. Tavallisesti linssiä ympäröi sama väliaine (esimerkiksi ilma), jolloin n 3 n 1 ja kuvausyhtälö saa muodon 1 1 n2 n1 1 1 ja m. (6.5.2) n1 1 2 s Ohuen linssin polttoväli f saadaan, kun esine (s) tai kuva ( s ') asetetaan äärettömyyteen. Tulee 1 n2 n1 1 1, (6.5.3) f n1 1 2 joka on ns. linssintekijän yhtälö (lensmaker's equation). Polttovälin avulla kuvausyhtälö (6.5.2) saa kätevän muodon ja f m. (6.5.4) s Kokoava linssi (converging lens) Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan ns. toisen polttopisteen (second focal point) F 2 kautta. Ensimmäisestä polttopisteestä (first focal point) F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Linssi toimii näin, jos sen polttoväli on f 0. Tämän vuoksi kokoavaa linssiä sanotaan myös positiiviseksi linssiksi. Linssin polttoväli on positiivinen, kun n2 n1 (esim. lasilinssi ilmassa) ja linssi on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, ts. (katso linssintekijän yhtälö) Viereisen kuvan ns. meniskuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi ovat kaikki kokoavia linssejä. Hajottava linssi (diverging lens) Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F 2. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli on f 0 ja sitä sanotaankin usein negatiiviseksi linssiksi. Tämä toteutuu, kun n 2 n 1 ja linssi on reunoilta paksumpi kuin keskeltä. Vieressä esimerkki negatiivisesta meniskuslinssistä. 144

10 145 On huomattava, että jos linssi siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin itse linssin taitekerroin, niin kokoava linssi muuttuu hajottavaksi ja hajottava kokoavaksi. Esimerkiksi ilmakupla vedessä on kupera linssi, mutta se on hajottava. Hahmotellaan "suttupaperille": 146 Kuvautumisen graafisessa analyysissä tärkeiden säteitä ovat: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee polttopisteen kautta. 2. Polttopistettä kohti kulkeva säde taittuu optisen akselin suuntaiseksi. 3. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde ei muuta suuntaansa. Esimerkki: Käytössä on hajottava linssi, jonka polttoväli on 20 cm. Halutaan muodostaa oikein päin oleva valekuva, jonka koko on 1/3 esineen koosta. Mihin esine on sijoitettava? Esitä kuvan muodostuminen myös graafisesti. z-suunnassa kaikki mahtuu 40 cm:n matkalle Valitaan mittakaavaksi: z-suunnassa 1:3 (1 cm kuvassa on 3 cm todellisuudessa) y-suunnassa 1:1 (olkoon esineen korkeus 1 cm) 40 cm 13.3 cm 20 cm 6.7 cm 13.3 cm 4.4 cm piirretään: atkaisu: Hajottava linssi: f 20 cm. Suurennuksen oltava: m 1/ 3 / s s/3 Kuvausyhtälöstä: f s s f s f josta s 2f 40 cm. Esine on sijoitettava 40 cm linssin eteen. Graafinen esitys: Mittakaavan määrittämiseksi lasketaan kuvan paikka s ': s/ 3 40/3 cm 13.3 cm (myös linssin edessä) Tarvittavat etäisyydet ovat siis: s on 40 cm linssin edessä s ' on 13.3 cm linssin edessä F on 20 cm linssistä (edessä olevaa tarvitaan kuvaajassa)

11 147 Kun kuvaavassa optisessa systeemissä on useita komponentteja (linssejä, peilejä, pintoja, ), säteiden etenemistä systeemin läpi seurataan vaihe vaiheelta komponentti kerrallaan. Edellisen komponentin muodostama kuva on aina seuraavan komponentin esine, jne Lopullinen suurennus lasketaan komponenttien suurennuksien tulona. Esimerkki: Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden polttovälit ovat f1 15 cm ja f2 15 cm. Linssien välimatka on 30 cm ja esine sijaitsee 25 cm kokoavan linssin edessä. Laske kuvan paikka ja laatu. atkaisu: Hahmotellaan systeemi: Kuvaus 1. linssillä: s1 25cm, f1 15cm s f s m sf (25)(15) 1 1 ' 1 cm 37.5 s1 f s ' s Välikuva on siis 37.5 cm ensimmäisestä linssistä oikealle, kääntynyt ja kooltaan 1.5 kertainen esineeseen nähden. Kuva on todellinen. Tämä välikuva toimii toiselle linssille esineenä. Se on 7.5 cm:n etäisyydellä toisesta linssistä. cm 148 Kuvaus toisella linssillä: f2 15cm, s2 ( ) 7.5cm. s m s f ( 7.5)( 15) 2 2 ' 2 cm 15 s2 f2 ( 7.5) ( 15) s ' s Systeemin kokonaissuurennus on m m1 m2 ( 1.5)(2) 3 Lopullinen kuva on kääntynyt ( m 0) ja todellinen ( 2 0). Sen koko on 3 esineen koko ja se sijaitsee 15 cm jälkimmäisen linssin takana. cm 6.6 KUVAUSVIHEET Jokainen esine (valaistu tai itsevalaiseva) koostuu pistelähteistä, jotka lähettävät palloaaltoja. Viereisessä kuvassa esinepisteestä S lähtevä palloaalto etenee kohti optista systeemiä, joka puolestaan fokusoi aallon kuvapisteeseen P. Kuvapiste P ei ole esinepisteen S täydellinen kuva, koska kuvautumiseen vaikuttaa 1. Sironta 2. Diffraktio 3. Kuvausvirheet Sironnassa osa säteistä muuttaa suuntaansa esimerkiksi optisissa materiaaleissa olevista tiheysvirheistä. Tämä lähinnä vain vähentää kuvan kirkkautta. Toisaalta kuvapisteeseen saattaa tulla sironneita säteitä muualta kuin esinepisteestä. Kuvan laatu huononee. Diffraktio häiritsee kuvan tarkkuutta, koska optiset systeemit ovat aina äärellisen kokoisia. Diffraktio asettaa perustavaa laatua olevan rajan kuvan tarkkuudelle, eikä sitä voida koskaan ylittää.

12 149 Kuvausvirheet (aberrations) syntyvät kun optinen systeemi ei itsessään pysty tuottamaan yksi-yhteen vastaavuutta esineestä lähtevän ja kuvaan tulevan säteen välille. 1. Palloaberraatio - kuvan etäisyys riippuu säteen korkeudesta h: 150 Täydellisesti kuvaavia pintoja on olemassa. Tällaisia ovat esimerkiksi ns. kartioleikkauspinnat (ellipsoidi, paraboloidi,...), joista alla esimerkkinä hyperboloidi-pintainen linssi, joka kuvaa täydellisesti (sirontaa ja diffraktiota lukuunottamatta) pisteen F 1 pisteeksi F Koma - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri korkeudet h antavat kuvan eri korkeuksille: Tällaisia pintoja käytetään vain tarkkuusoptiikassa, koska niiden valmistus on kallista ja ne ovat epäkäytännöllisiä. Esimerkiksi edellisessä kuvassa vain yhdellä tietyllä etäisyydellä oleva piste F 1 kuvautuu tarkasti F 2 :ksi. Toisaalta pallopintoja on helppo valmistaa, ne ovat käytännöllisiä ja kuvausvirheitäkin voidaan eliminoida hyvin tehokkaasti. Kuvausvirheet pallopintojen käytössä Paraksiaalinen kuvausyhtälö on täydellinen kuvaaja. Piste kuvautuu täydelliseksi pisteeksi. Tämän vuoksi poikkeamat paraksiaalisen kuvausyhtälön antamista ratkaisuista ovat kuvausvirheitä. 3. Astigmaattisuus - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri tasojen säteet antavat kuvan eri etäisyydelle: 4. Kentän kaareutuminen - kuva muodostuu kaarevalle "kuvatasolle" 5. Vääristymä - Suurennus muuttuu akselilta ulospäin siirryttäessä Paraksiaalisessa kuvautumisessa: sin Kolmannen kertaluvun teoriassa: 3 sin / 3! Kolmannen kertaluvun teorian käyttäminen kuvausyhtälöiden johtamisessa paljastaa viisi kuvausvirhettä, jotka ovat ns. Seidelin aberraatiot: