Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Transkriptio

1 Kertausosa. a), Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis, a) ,88m. a) α b 0, ,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0 5,0 rad 0,890...rad 0,890rad rad,6... rad,rad 80 c) rad 7, rad 7,77 rad 80 a) 0,890 rad, rad c) 7,77 rad a) 6, rad 6, 50, , 4 rad 0, 4, c), 0 rad, 0 60, Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r. b α r r 0,6 r 0 r 0,6r r 0,4r : 0,4 r 7,5 7,5 cm 6. a) sin 0, ,8 8 cos 0, , 09 5 c) tan 0, , a) Sinin arvo on sama kuin kehäpisteen y-koordinaatti. Kuvan perusteella sin 65 0,9. Laskimella sin 65 0, a) 5 4 c) 60 Kuvan perusteella sin 95 0,9. Laskimella sin 95 0,

2 c) Kosinin arvo sama kuin kehäpisteen x-koordinaatti. Kuvan perusteella cos65 0,4 Laskimella cos65 0, d) tan0 0,8 c) Kuvan perusteella cos5 0, 4 Laskimella cos5 0, a) Tangentti on sama kuin tangenttisuoran ja kulman vasemman kyljen leikkauspisteen y-koordinaatti. sin 45 0,7 d) cos45 0,7 e) tan45 sin 0 0,6 f) cos0 0,8 88

3 9. a) Ratkaistaan ensin cos β yhtälöstä sin β + cos β + ( β ) 4 cos + ( cos β ) 6 5 ( cos β ) 6 cosβ ± 5 6 cosβ ± 5 4 Koska kulma β sijaitsee ensimmäisessä neljänneksessä, on kosinin arvo positiivinen. 5 cos β 4 0. a) β 60 Lasketaan tan β tarkka arvo sinin ja kosinin avulla. sin β tan β cosβ tan β 5. β 60 sin x cosx + cosx sinx Kerrotaan ristiin. sin x sin x + cos cosx ( sin x) ( cosx) ( sin x) + ( cosx) Yhtälö on tosi. 89

4 . tan50 tan( ) Kaavan mukaan tan0 tan0 tan( ) + tan0 tan0 + Sievennetään nimittäjä Lavennetaanosoittajantermitsamannimiksiksi ) + + tan50. a) sin x 0,54 x, n 60 x + n 60 x 80, n 60 x 47,... + n 60 x 47 + n 60 n 0, ±, ±,... sin x 0, 6 x 5, n 60 x 5 + n 60 x 80 5, n 60 x 95, n 60 x 95 + n 60 n 0, ±, ±, sin β 0,40 β, n 60 : β, n 80 β,8 + n 80 β 80, n 60 β 56, n 60 : β 78,... + n 80 β 78, + n 80 n 0, ±, ±,... β,8 + n 80 β 78, + n 80 90

5 5. Sijoitetaan s 4 cm yhtälöön. ( t ) ( t ) 48sin 75 4 :48 sin 75 0,5 75t 0 + n 60 :75 t 0,4 + n 4,8 75t n 60 75t 50 + n 60 :75 t + n 4,8 Ensimmäisen kerran hypyn korkeus on 4 cm kun 0,4s t. 7. a) Asteina: 0,5 α ± 8, n 60 α ± 8 + n 60 Radiaaneina: 0,5 α ±, n α ±, 4 + n Asteina: tanα 8 α 86, n 80 α 87 + n sinx 4 0 5sinx 4 :5 4 sin x 5 x 0, n : x 0, n x 0,+ n x 0, n x, n : x 0, n x 0,74 + n Radiaaneina: tanα 8 α, n α,5 + n a) α ± 8 + n 60 α ±, 4 + n α 87 + n 80 α,5 + n 8. a) cosx x ± + n 6 tan x 5 x + n 6 x 0,+ n tai x 0,74 + n 9. a) cos4x : cos4x 4x ± 70, n 60 :4 x ± 7, n 90 x ± 7,6 + n 90 9

6 tan x 5 tan x 7 x 8, n 80 : x 40, n 90 x 40,9 + n 90 a) x ± 7,6 + n 90 x 40,9 + n v 0 47m s l 0 m β 8 Q 0,44 s m Sijoitetaan arvot yhtälöön. 0 0,44 47 ( tanγ tan8 ) 0 8,096 tanγ 8,096 tan8 8,096 tan γ 0 + 8,096 tan8 :8, ,096 tan8 tanγ 8,096 tan γ 0,70... γ 5, n 80 γ 5 + n 80. x cos x 4 cos ( 4) cos( ) cos 0,5,5 cos 0, cos,5,5 cos 0, cos 0 0,5 0,5 cos 0, cos Piirretään näiden perusteella funktion f ( x) cos x kuvaaja. 5 asteen kulmassa. Sijoitetaan yhtälöön h 0,0m. 0,0 4,0 cos t +,0 4,0 cos t,0 :4,0 cos t 0,5 t ±, n t ± 5,... + n4 : t ± 8+ n4 Kun n 0, t 8h eli kello on Funktio sin x saa suurimmillaan arvon kohdassa,6. Tästä syystä tummansinisellä piirretty onsin x :n kuvaaja. Tällöin A. Funktio sin x saa suurimmillaan arvon, joten tummanpunaisella piirretty on sen kuvaaja. Tällöin A. Funktion sin x kuvaaja on tällöin piirretty tummanvihreällä eli A. Kello on

7 Funktio sin x saa pienimmän arvonsa kohdassa,6. Vaaleansininen kuvaaja on funktion sin x kuvaaja eli A. Oranssi kuvaaja kuvaa funktiota sinx eli A 4.,5 tan x 6 0 tan x 6 x 80, n 80 : x 40, n 90 x 40 + n 90 n 0, ±, ±,... a) x 4 + n 80 x 40 + n 90 Kuvaajan perusteella yhtälö tan x,5 6. a) Vaunu sijaitsee kauimpana, kun saa suurimman arvonsa. sin t 4 toteutuu esimerkiksi kohdassa, joka on :n 4 ja :n puolessa välissä. + 4 x 8 Yhtälön tan x ratkaisu x + n 8 x + n 8 5. a) cosx + 0, 0 cosx 0, : cosx 0, x ± 84, n 60 : x ± 4,... + n 80 x ± 4 + n 80 sin t 4 t, n 4 t, n 4, n (samat kulmat) t, n 4 4 t 6, n8 : t 0, n,66... n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran kauimpana, kun t 0,666...s 0,67s Kun sin 4 t, niin funktio saa arvon 5,0 5,0 (cm). a) 0,67 s 5,0 cm 9

8 7. a) f 5, sin 5,4 70, (cm) f () t sin t 55 50sin t 5 :50 sin t 0,5 t 0, n t, n4 : t 0, n t 0, n t, n t 5,... + n4 : t, n n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran sormenpäiden etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut 0,...s 0,s. Toisen kerran etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut,66...s,7s. 8. a) A,4,6 sin8 5, ,4 (m ) A sin4 9, (cm ) a) 7,dm 5,4 cm 70 cm 90cm 76 5 sin α sinα 70 : sinα 470 α 58,09... α Kun n, saadut ajat ovat toisella kierroksella. c) Yhteen pyöräytykseen kuluu jakson verran aikaa eli 4s. a) 70 cm 0, s ja,7 s c) 4 s A 4,0km 4,km sin5 6,7...km 6,4 km 6,4 km 94

9 . Särmiön tilavuus V A h p. Korkeus h 7,5cm 8cm 8cm sin 0 8cm A p Tilavuus V 8cm 7,5cm 607,5cm 60cm 60cm. a) 84 x sin88 sin 8 x sin88 84 sin 8 : sin88 84 sin 8 x sin88 x 9,45... x 9 (cm) 6, x sin sin4 x sin 6, sin4 : sin 6, sin4 x sin x 0,65... x (dm) a) 9 cm dm Ratkaistaan ensin kulma β. 4 7 sin β sin 65 7sin β 4sin65 :7 4sin65 sin β 7 β 48, n 60 β 80 48, n 60, n 60 Ei käy, koska β osana kolmiota, jonka toinen kulma on65.. β 48,7... Kulma γ saadaan kolmion kulmien summasta , γ 80 γ 66,7... Ratkaistaan sivun x pituus x 7 sin66,7... sin65 x sin65 7 sin66,7... : sin65 7 sin66,7... x sin65 x 7,0... (cm) Suunnikkaan ala A 4 cm 7,0...cm sin65 8,6...cm 0cm 0cm 95

10 4. α Ratkaistaan sivun x pituus. x sin 0 sin75 x sin75 sin 0 : sin75 sin 0 x sin75 x 4,49... (cm) Kolmion ala A cm 4,49...cm sin85 5,97...cm 5cm 5cm 6. a) x cos x cos x 05,8... x ± 05,8... x ± 0, Sivun pituus positiivinen, joten x +,, cos0 x, x ±,44... Sivun pituus positiivinen, joten a) 0 m,4 dm x 0m. x,4 dm. 5.,7,9 sinα sin 7,9 sinα,7 sin7 :,9,7 sin 7 sinα,9 α,88... ( + n 60 ) 4 α 80, α 46,... Ei käy Kolmas kulma β ( n ) Muut kulmat 4 ja ,5 + 5, 4,5 5, cos 6 47,9 46,8 46,8,9 :46,8,9 46,8 α 76, ,5 5, + 6,0 5, 6,0 cos β 0,5 6,04 6,4 cos β 6,4 cosβ 4,79 :6,4 4,79 cos β 6,4 β 46, γ , 57 ja 76 α 96

11 a) b ja c e c) b, c ja e d) b x x, + 4,, 4, cos50 0,8... x ±,9... Pituus positiivinen, joten x,km e) d ja f 4. a) Vastavektori on samanpituinen, mutta vastakkaissuuntainen., km 9. Särmiön tilavuus V Ap h c) Selvitetään ensin pohjan ala. d) Yksikkövektorin pituus on. Alkuperäisen vektorin pituus on kolme, joten yksikkövektori on:, 40, 46 +,60, 46,60 cos,96 4,696 4,67 4,67,76 :4,67,76 4,67 α 54,... α 4. Kolmion ala A p,46m,60m sin54,... 0,947...m Tilavuudesta saadaan yhtälö 0, h,04 :0, h, h,0 (m),0 m 97

12 4. a) Siirretään vektorit alkamaan samasta pisteestä. c) a + b + c 0 Vektorien välinen kulma α on neliön sivun ja lävistäjän välinen kulma. α 45 d) 45. a) Kulma α a) a) 98

13 46. a e d f b d e + f 48. Tapion siirtymävektori 5a + 0b + t 4a + b t a 7b Pekan siirtymävektori a + 4b + p 4a + b p a b t a 7b p a b 49. c e d d b + a a + b 47. a) a b ja > 0, niin a b. a b ja 0 >, niin a b. c) a b Koska < 0, niin a b. d) 4a 5b 0 4a 5 b :4 5 a b 4 Koska >, niin a b. a) on on c) ei d) on 50. e a b d a + b e a b 7i j r i j + t i + 4 j 7i j r i r j + t i + 4t j 7i j r + t i + r + 4t j Komponenttien oltava samat. r + t 7 r + 4t 99

14 r + t 7 r + 8t 9t 9 :9 t 5. k a 5b s a + b ka 0kb + sa sb ( ) ( 0 ) k+ s a + k s b 5. Sijoitetaan t yhtälöön r + 4t. r + 4 r 4 r r ( i j) ( i + 4j) 5i + 6 j k r i + k + s i + j k 5i + 6 j k r i + rk + si + s j sk 5i + 6 j k r + s i + s j + r s k Komponenttien tulee olla samat. r + s 5 s 6 r s s 6 : s Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan: r + 5 r Tutkitaan toteutuuko viimeinen yhtälö, kun r ja s. r s Tosi ( i + k) + ( i + j k) Jotta vektorit olisivat samat, on oltava voimassa ehdot: k+ s 5 0k s 0k+ 5s 5 0k s s 8 : s 4 Sijoitetaan s 4 ensimmäiseen yhtälöön. k + 4 k 7 :( ) 7 k k k, s 4 5. Vektorit yhdensuuntaiset, kun löytyy luku t 0, jolla on voimassa ehto v tu 6i 4 j + 4k t xi + 7j k 6i 4 j + 4k xt i + 7t j tk xt 6 7t 4 t 4 Jos 7t 4, niin t. Jos t 4, niin t. 00

15 Sijoitetaan t ensimmäiseen yhtälöön. x 6 4x 6 : 4 6 x OA i + 4 j OB i + j Koska t < 0, vektorit ovat erisuuntaisia. x, vektorit ovat erisuuntaisia 54. Vektorin OA x-akselin suuntainen komponentti on kertaa niin pitkä kuin vektorin OB. Piirretään peräkkäin kaksi OB :n vastavektoria. a) a + b i j 4 b i j c) a + b i + j + 4i j i j d) a b i + j 4i j i + j + 4i + j 7i + 5 j e) a 5,5b i + j 5,5 4i j a) a b 5 6i 4 j + i + 6,5 j 6i +,5 j c) a + b i j d) a b 7i + 5j e) a 5,5b 6i +,5j OA OB + ( i j) i 6j A (, 6) OA i + 4 j OB i + j Pisteen y-koordinaatti olisi 6. 0

16 56. Määritetään pisteen P paikkavektori. 57. AB i + j j AB AC 0 i + 6 j i + 7j AC BC 0 i + 6 j i + 4 j BC AB, AC 58, BC 5 OA 5i + j OB 4i j AB AO + OB OA + OB 5i j 4i j 9i j OP OB + BA OB + ( AB) OB AB 4i j + 6i + j Pisteen P koordinaatit ovat (,0 ) 58. a) b a i + j 5k i + j + k i + j 5k i j k i + j 6k a b i + j + k i + j 5k i + j + k + i j + 5k i j + 6k c) a + b i + j + k + i + j 5k i + j + k 4i + 6j 0k i + 7j 9k a + b a) i + j 6k i j + 6k c) 9 0

17 59. a) OA i j + 6k OB 5i j + k 60. OA i j + 6k 6 OA i j + k c) OB 5i j + k 5 70 OB + + a) OA i j + 6k, OB 5i j + k 6 OA i j + k c) OB 70 a t + 6 Jos a 0, saadaan yhtälö t t t 64 t ± 8 t ± 8 6. a 0 i + j + 5 k i 5j + 4k b 5 i + 7 j + k 6i + 5j + 0k c i + j + 9 k i j + 8k Muodostetaan vektori a + b + c i 5j + 4k 6i + 5j + 0k + i j + 8k 6i j + k 6. a) OX 5i + j k OY i + j Olkoon piste P janan XY keskipiste. OP OX + XY Muodostetaan ensin vektori XY. XY XO + OY OX + OY 5i j + k i + j 4i + j + k OP OX + XY 5i + j k + 4i + j + k 5i + j k + i + j + k i + j k P (,, ) Keskipisteen koordinaatit saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvona P,, P,, a) P (,, ) a + b + c + d 0eli 6i j + k + d 0. d 6i + j k d 6i + j k 0

18 6. a) a b a + b 7 + ( 9) 0 a b 9 a b 0 α 6, a) Koska kolmio on tasakylkinen, on vektorien pituuksien oltava samat. a 4 + x 6+ x b ( 5) 5 5 a b 6 + x 5 x 9 x ± a b 5 Kun x a b Kun x a b Vektorien välinen kulma on 90. a) x ± a b 0 x ( x) + x 0 x + x 0 x + 0 ( x ) x 0 tai x + 0 x : x Kun x 0, a 0i + 0 j 0 Kateetti ei voi olla nollavektori, joten x 0 ei käy. Kun x, a i j i j b i + j i + j a b Hypotenuusan c pituus Pythagoraan lauseen mukaan. c a + b c c c ± 9 Pituus positiivinen, joten 80 c,984...,0 9 x, hypotenuusan pituus,0 04

19 66. Harjoituskoe. a) Lävistäjät: a c + d i + j k 4i + j + 7k 6i + 4 j + 6k s i j b d + c 4i j 7k i + j k i + j 8k Lävistäjien pituudet a b t i + 4 j Pistetulo a b Vektorien välinen kulma a b a b α 0,78... α lävistäjät 6i + 4 j + 6k ja i + j 8k, kulma. v 5i j s + c) v

20 . a) sin x 0,54 x 0, n x 0,57 + n x 0, n x, n x,6 + n n 0, ±, ±,... cosx,,8 cosx 0, x ±, n : x ± 0, n x ± 0,6 + n n 0, ±, ±,... c) tanx : tan x 6 x, n : x 0, n x 0,70 ++ n n 0, ±, ±,... a) x 0,57 + n tai x,6 + n x ± 0,6 + n c) x 0,70 ++ n. a) a b 4 4 a + 0 b Vektorien välinen kulma a b a b α 7, a + b i j i + 4 j i + j A ( 0,) OP OA + a + b j i + j i + j Piste P (, ) a) 7 (, ) 4. Lampun pohja Lasketaan kulma α kosinilauseella :79 0,99... α ± 7, n 60 Koska α on kolmion kulma, α 7,

21 Kolmion ala A 8 sin7, ,4... (cm ) Lampun tilavuus V A h 89,4... 7, 6,06... (cm ) 6,06...cm 5. a) x 0 s f,6dm, 4 dm, 4 l 0 5sin 0,5 (m) i + j r i j + s i j 4i + j r i r j + si s j 4i + j r + s i + r s j Komponenttien tulee olla samat. r + s 4 r s s 6 s 6 Sijoitetaan s 6 yhtälöön r + s 4. r r 6 6( i j) 6( i j) f ( x) 5sin x :5 60 sin x 0,9 60 x, n : x, n 0 x, n 60 x, n : x 7, n 0 Ratkaisuista välille [ 0,6 ] kuuluvat x,08... s s ja x 7,69... s 8s a),5 m s ja 8 s Harjoituskoe. a) Kulman suuruus radiaaneina α b,dm cm,5... r 5cm 5cm Kulman suuruus asteina 80, , Sektorin ala α A r 60 87, ,5 (cm ) c) a) 88, 70cm 5 c) 44 07

22 . a) sin x 0,66 x 4, n 60 x 4 + n 60 x 80 4, n 60 x 8, n 60 x 9 + n 60 n 0, ±, ±,... 0,765 α ± 9, n 60 α ± 40 + n 60 n 0, ±, ±,... c) sin x 0,87 x 60, n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 x 80 60, n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 n 0, ±, ±, a) 4tan4α 7 0 4tan4α 7 :4 7 tan4α 4 4α 60,... + n 80 :4 α 5, n 45 α 5 + n 45 n 0 α 5 käy n α käy n α käy n α käy n 4 α käy n 5 α käy n 6 α käy n 7 α käy n 8 α ei käy a) 7, 07 5, 60, 05, 50, 95, 40, 85, 0 a) x 4 + n 60 tai 9 + n 60 ± 40 + n 60 c) x 0 + n 80 tai x 0 + n 80. a) 4 tan x x 5,... + n 80 x 5 + n 80 n 0 x 5 ei käy n x käy n x käy n x ei käy ( ) BA i j i + 9j BC 6 i + 5 j 8i + 4 j CA 6 i + 4 j 5i + 5j 08

23 BA BC BC CA BA CA Kolmiossa ei ole yhtään 90 kulmaa, joten se ei ole suorakulmainen. BA BC OP 670 j + 00i 50 j 00i + 50 j BA BC BA BC α 45 Kolmion ala A BA BC sin sin 45 0 (m ) a) ei ole 5. a 8i 6 j a Yksikkövektori a 8 i 6 j 0 4 i j 5 5 0m Tämän suuntaan kuljetaan 50 m eli pitkin vektoria 4 50 i j 00i 50 j 5 5 OP , (m) 560 m 6. a) a + b i + 4 j k + i 5 j k i j 5k a b i + 4 j k i 5j k i + 9 j k c) a b i + 4 j k i 5j k i + 4 j k 6i + 5j + 6k 7i + 9j + k a b + c 0 7i + 9j + k + c 0 c 7i 9j k a) i j 5k i + 9 j k c) 7i 9j k 09

24 7. ( ) AB i + j + 5 k i + j + 6k i + j + 6k r i k + s j + k i + j + 6k r i rk + s j + sk i + j + 6k r i + s j + s r k r s s r 6 Sijoitetaan r ja s viimeiseen yhtälöön. s r tosi ( i k) + ( j + k). a) A (, 4) B ( 8, 4) C ( 5, ) a ( ) + ( 4) 5(m) b , (m) c ,85... (m) ( ) AC 5 i + 4 j 8i + 6j c) AC i + 6 j 4 AC i + j a) A(, 4), ( 8, 4) 5,00 m; 8,94 m; 5,9 m c) 4 i + j 5 5 B, C ( 5, ) Harjoituskoe. a) sin0,7 0, ,6 sin x 0, 7 x, n 60 x 80, n 60 x 58, n 60 c) cosβ 0,67 β ±, n : β ±, n a b. a) a b α 45 a b a b Kulma α 90 a) n 0 β,5..., n β, , , n β, ei käy a) 0,6 x + n 60 tai x 58 + n 60 c), ; 4, 0

25 4. a) at tan β an at tan45,5,5 at,5 tan 45 a,5 t 0,9m s tan β, 0 m s β 4, n 80 Ratkaisuista kelpaa β 4, A 89m 550m sin ,8... m 5,89... ha 6ha 6 ha a) β a t,5 m s i + 9 j 5k t 4i + 6 j 0k 4ti + 6t j 0tk Tutkitaan, ovatko komponentit samat. 4t 6 :4 6t 9 :9 0t 5 :( 0) 6 t 4 9 t 6 5 t 0 t:n arvo aina sama, joten vektorit ovat samansuuntaiset. Koneet nousevat samaan suuntaan. Nousevat samaan suuntaan.