Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
|
|
- Aarne Laakso
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertausosa. a), Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis, a) ,88m. a) α b 0, ,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0 5,0 rad 0,890...rad 0,890rad rad,6... rad,rad 80 c) rad 7, rad 7,77 rad 80 a) 0,890 rad, rad c) 7,77 rad a) 6, rad 6, 50, , 4 rad 0, 4, c), 0 rad, 0 60, Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r. b α r r 0,6 r 0 r 0,6r r 0,4r : 0,4 r 7,5 7,5 cm 6. a) sin 0, ,8 8 cos 0, , 09 5 c) tan 0, , a) Sinin arvo on sama kuin kehäpisteen y-koordinaatti. Kuvan perusteella sin 65 0,9. Laskimella sin 65 0, a) 5 4 c) 60 Kuvan perusteella sin 95 0,9. Laskimella sin 95 0,
2 c) Kosinin arvo sama kuin kehäpisteen x-koordinaatti. Kuvan perusteella cos65 0,4 Laskimella cos65 0, d) tan0 0,8 c) Kuvan perusteella cos5 0, 4 Laskimella cos5 0, a) Tangentti on sama kuin tangenttisuoran ja kulman vasemman kyljen leikkauspisteen y-koordinaatti. sin 45 0,7 d) cos45 0,7 e) tan45 sin 0 0,6 f) cos0 0,8 88
3 9. a) Ratkaistaan ensin cos β yhtälöstä sin β + cos β + ( β ) 4 cos + ( cos β ) 6 5 ( cos β ) 6 cosβ ± 5 6 cosβ ± 5 4 Koska kulma β sijaitsee ensimmäisessä neljänneksessä, on kosinin arvo positiivinen. 5 cos β 4 0. a) β 60 Lasketaan tan β tarkka arvo sinin ja kosinin avulla. sin β tan β cosβ tan β 5. β 60 sin x cosx + cosx sinx Kerrotaan ristiin. sin x sin x + cos cosx ( sin x) ( cosx) ( sin x) + ( cosx) Yhtälö on tosi. 89
4 . tan50 tan( ) Kaavan mukaan tan0 tan0 tan( ) + tan0 tan0 + Sievennetään nimittäjä Lavennetaanosoittajantermitsamannimiksiksi ) + + tan50. a) sin x 0,54 x, n 60 x + n 60 x 80, n 60 x 47,... + n 60 x 47 + n 60 n 0, ±, ±,... sin x 0, 6 x 5, n 60 x 5 + n 60 x 80 5, n 60 x 95, n 60 x 95 + n 60 n 0, ±, ±, sin β 0,40 β, n 60 : β, n 80 β,8 + n 80 β 80, n 60 β 56, n 60 : β 78,... + n 80 β 78, + n 80 n 0, ±, ±,... β,8 + n 80 β 78, + n 80 90
5 5. Sijoitetaan s 4 cm yhtälöön. ( t ) ( t ) 48sin 75 4 :48 sin 75 0,5 75t 0 + n 60 :75 t 0,4 + n 4,8 75t n 60 75t 50 + n 60 :75 t + n 4,8 Ensimmäisen kerran hypyn korkeus on 4 cm kun 0,4s t. 7. a) Asteina: 0,5 α ± 8, n 60 α ± 8 + n 60 Radiaaneina: 0,5 α ±, n α ±, 4 + n Asteina: tanα 8 α 86, n 80 α 87 + n sinx 4 0 5sinx 4 :5 4 sin x 5 x 0, n : x 0, n x 0,+ n x 0, n x, n : x 0, n x 0,74 + n Radiaaneina: tanα 8 α, n α,5 + n a) α ± 8 + n 60 α ±, 4 + n α 87 + n 80 α,5 + n 8. a) cosx x ± + n 6 tan x 5 x + n 6 x 0,+ n tai x 0,74 + n 9. a) cos4x : cos4x 4x ± 70, n 60 :4 x ± 7, n 90 x ± 7,6 + n 90 9
6 tan x 5 tan x 7 x 8, n 80 : x 40, n 90 x 40,9 + n 90 a) x ± 7,6 + n 90 x 40,9 + n v 0 47m s l 0 m β 8 Q 0,44 s m Sijoitetaan arvot yhtälöön. 0 0,44 47 ( tanγ tan8 ) 0 8,096 tanγ 8,096 tan8 8,096 tan γ 0 + 8,096 tan8 :8, ,096 tan8 tanγ 8,096 tan γ 0,70... γ 5, n 80 γ 5 + n 80. x cos x 4 cos ( 4) cos( ) cos 0,5,5 cos 0, cos,5,5 cos 0, cos 0 0,5 0,5 cos 0, cos Piirretään näiden perusteella funktion f ( x) cos x kuvaaja. 5 asteen kulmassa. Sijoitetaan yhtälöön h 0,0m. 0,0 4,0 cos t +,0 4,0 cos t,0 :4,0 cos t 0,5 t ±, n t ± 5,... + n4 : t ± 8+ n4 Kun n 0, t 8h eli kello on Funktio sin x saa suurimmillaan arvon kohdassa,6. Tästä syystä tummansinisellä piirretty onsin x :n kuvaaja. Tällöin A. Funktio sin x saa suurimmillaan arvon, joten tummanpunaisella piirretty on sen kuvaaja. Tällöin A. Funktion sin x kuvaaja on tällöin piirretty tummanvihreällä eli A. Kello on
7 Funktio sin x saa pienimmän arvonsa kohdassa,6. Vaaleansininen kuvaaja on funktion sin x kuvaaja eli A. Oranssi kuvaaja kuvaa funktiota sinx eli A 4.,5 tan x 6 0 tan x 6 x 80, n 80 : x 40, n 90 x 40 + n 90 n 0, ±, ±,... a) x 4 + n 80 x 40 + n 90 Kuvaajan perusteella yhtälö tan x,5 6. a) Vaunu sijaitsee kauimpana, kun saa suurimman arvonsa. sin t 4 toteutuu esimerkiksi kohdassa, joka on :n 4 ja :n puolessa välissä. + 4 x 8 Yhtälön tan x ratkaisu x + n 8 x + n 8 5. a) cosx + 0, 0 cosx 0, : cosx 0, x ± 84, n 60 : x ± 4,... + n 80 x ± 4 + n 80 sin t 4 t, n 4 t, n 4, n (samat kulmat) t, n 4 4 t 6, n8 : t 0, n,66... n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran kauimpana, kun t 0,666...s 0,67s Kun sin 4 t, niin funktio saa arvon 5,0 5,0 (cm). a) 0,67 s 5,0 cm 9
8 7. a) f 5, sin 5,4 70, (cm) f () t sin t 55 50sin t 5 :50 sin t 0,5 t 0, n t, n4 : t 0, n t 0, n t, n t 5,... + n4 : t, n n 0, ±, ±,... Ensimmäisen kerran sormenpäiden etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut 0,...s 0,s. Toisen kerran etäisyys on 55 cm, kun aikaa on kulunut,66...s,7s. 8. a) A,4,6 sin8 5, ,4 (m ) A sin4 9, (cm ) a) 7,dm 5,4 cm 70 cm 90cm 76 5 sin α sinα 70 : sinα 470 α 58,09... α Kun n, saadut ajat ovat toisella kierroksella. c) Yhteen pyöräytykseen kuluu jakson verran aikaa eli 4s. a) 70 cm 0, s ja,7 s c) 4 s A 4,0km 4,km sin5 6,7...km 6,4 km 6,4 km 94
9 . Särmiön tilavuus V A h p. Korkeus h 7,5cm 8cm 8cm sin 0 8cm A p Tilavuus V 8cm 7,5cm 607,5cm 60cm 60cm. a) 84 x sin88 sin 8 x sin88 84 sin 8 : sin88 84 sin 8 x sin88 x 9,45... x 9 (cm) 6, x sin sin4 x sin 6, sin4 : sin 6, sin4 x sin x 0,65... x (dm) a) 9 cm dm Ratkaistaan ensin kulma β. 4 7 sin β sin 65 7sin β 4sin65 :7 4sin65 sin β 7 β 48, n 60 β 80 48, n 60, n 60 Ei käy, koska β osana kolmiota, jonka toinen kulma on65.. β 48,7... Kulma γ saadaan kolmion kulmien summasta , γ 80 γ 66,7... Ratkaistaan sivun x pituus x 7 sin66,7... sin65 x sin65 7 sin66,7... : sin65 7 sin66,7... x sin65 x 7,0... (cm) Suunnikkaan ala A 4 cm 7,0...cm sin65 8,6...cm 0cm 0cm 95
10 4. α Ratkaistaan sivun x pituus. x sin 0 sin75 x sin75 sin 0 : sin75 sin 0 x sin75 x 4,49... (cm) Kolmion ala A cm 4,49...cm sin85 5,97...cm 5cm 5cm 6. a) x cos x cos x 05,8... x ± 05,8... x ± 0, Sivun pituus positiivinen, joten x +,, cos0 x, x ±,44... Sivun pituus positiivinen, joten a) 0 m,4 dm x 0m. x,4 dm. 5.,7,9 sinα sin 7,9 sinα,7 sin7 :,9,7 sin 7 sinα,9 α,88... ( + n 60 ) 4 α 80, α 46,... Ei käy Kolmas kulma β ( n ) Muut kulmat 4 ja ,5 + 5, 4,5 5, cos 6 47,9 46,8 46,8,9 :46,8,9 46,8 α 76, ,5 5, + 6,0 5, 6,0 cos β 0,5 6,04 6,4 cos β 6,4 cosβ 4,79 :6,4 4,79 cos β 6,4 β 46, γ , 57 ja 76 α 96
11 a) b ja c e c) b, c ja e d) b x x, + 4,, 4, cos50 0,8... x ±,9... Pituus positiivinen, joten x,km e) d ja f 4. a) Vastavektori on samanpituinen, mutta vastakkaissuuntainen., km 9. Särmiön tilavuus V Ap h c) Selvitetään ensin pohjan ala. d) Yksikkövektorin pituus on. Alkuperäisen vektorin pituus on kolme, joten yksikkövektori on:, 40, 46 +,60, 46,60 cos,96 4,696 4,67 4,67,76 :4,67,76 4,67 α 54,... α 4. Kolmion ala A p,46m,60m sin54,... 0,947...m Tilavuudesta saadaan yhtälö 0, h,04 :0, h, h,0 (m),0 m 97
12 4. a) Siirretään vektorit alkamaan samasta pisteestä. c) a + b + c 0 Vektorien välinen kulma α on neliön sivun ja lävistäjän välinen kulma. α 45 d) 45. a) Kulma α a) a) 98
13 46. a e d f b d e + f 48. Tapion siirtymävektori 5a + 0b + t 4a + b t a 7b Pekan siirtymävektori a + 4b + p 4a + b p a b t a 7b p a b 49. c e d d b + a a + b 47. a) a b ja > 0, niin a b. a b ja 0 >, niin a b. c) a b Koska < 0, niin a b. d) 4a 5b 0 4a 5 b :4 5 a b 4 Koska >, niin a b. a) on on c) ei d) on 50. e a b d a + b e a b 7i j r i j + t i + 4 j 7i j r i r j + t i + 4t j 7i j r + t i + r + 4t j Komponenttien oltava samat. r + t 7 r + 4t 99
14 r + t 7 r + 8t 9t 9 :9 t 5. k a 5b s a + b ka 0kb + sa sb ( ) ( 0 ) k+ s a + k s b 5. Sijoitetaan t yhtälöön r + 4t. r + 4 r 4 r r ( i j) ( i + 4j) 5i + 6 j k r i + k + s i + j k 5i + 6 j k r i + rk + si + s j sk 5i + 6 j k r + s i + s j + r s k Komponenttien tulee olla samat. r + s 5 s 6 r s s 6 : s Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan: r + 5 r Tutkitaan toteutuuko viimeinen yhtälö, kun r ja s. r s Tosi ( i + k) + ( i + j k) Jotta vektorit olisivat samat, on oltava voimassa ehdot: k+ s 5 0k s 0k+ 5s 5 0k s s 8 : s 4 Sijoitetaan s 4 ensimmäiseen yhtälöön. k + 4 k 7 :( ) 7 k k k, s 4 5. Vektorit yhdensuuntaiset, kun löytyy luku t 0, jolla on voimassa ehto v tu 6i 4 j + 4k t xi + 7j k 6i 4 j + 4k xt i + 7t j tk xt 6 7t 4 t 4 Jos 7t 4, niin t. Jos t 4, niin t. 00
15 Sijoitetaan t ensimmäiseen yhtälöön. x 6 4x 6 : 4 6 x OA i + 4 j OB i + j Koska t < 0, vektorit ovat erisuuntaisia. x, vektorit ovat erisuuntaisia 54. Vektorin OA x-akselin suuntainen komponentti on kertaa niin pitkä kuin vektorin OB. Piirretään peräkkäin kaksi OB :n vastavektoria. a) a + b i j 4 b i j c) a + b i + j + 4i j i j d) a b i + j 4i j i + j + 4i + j 7i + 5 j e) a 5,5b i + j 5,5 4i j a) a b 5 6i 4 j + i + 6,5 j 6i +,5 j c) a + b i j d) a b 7i + 5j e) a 5,5b 6i +,5j OA OB + ( i j) i 6j A (, 6) OA i + 4 j OB i + j Pisteen y-koordinaatti olisi 6. 0
16 56. Määritetään pisteen P paikkavektori. 57. AB i + j j AB AC 0 i + 6 j i + 7j AC BC 0 i + 6 j i + 4 j BC AB, AC 58, BC 5 OA 5i + j OB 4i j AB AO + OB OA + OB 5i j 4i j 9i j OP OB + BA OB + ( AB) OB AB 4i j + 6i + j Pisteen P koordinaatit ovat (,0 ) 58. a) b a i + j 5k i + j + k i + j 5k i j k i + j 6k a b i + j + k i + j 5k i + j + k + i j + 5k i j + 6k c) a + b i + j + k + i + j 5k i + j + k 4i + 6j 0k i + 7j 9k a + b a) i + j 6k i j + 6k c) 9 0
17 59. a) OA i j + 6k OB 5i j + k 60. OA i j + 6k 6 OA i j + k c) OB 5i j + k 5 70 OB + + a) OA i j + 6k, OB 5i j + k 6 OA i j + k c) OB 70 a t + 6 Jos a 0, saadaan yhtälö t t t 64 t ± 8 t ± 8 6. a 0 i + j + 5 k i 5j + 4k b 5 i + 7 j + k 6i + 5j + 0k c i + j + 9 k i j + 8k Muodostetaan vektori a + b + c i 5j + 4k 6i + 5j + 0k + i j + 8k 6i j + k 6. a) OX 5i + j k OY i + j Olkoon piste P janan XY keskipiste. OP OX + XY Muodostetaan ensin vektori XY. XY XO + OY OX + OY 5i j + k i + j 4i + j + k OP OX + XY 5i + j k + 4i + j + k 5i + j k + i + j + k i + j k P (,, ) Keskipisteen koordinaatit saadaan päätepisteiden koordinaattien keskiarvona P,, P,, a) P (,, ) a + b + c + d 0eli 6i j + k + d 0. d 6i + j k d 6i + j k 0
18 6. a) a b a + b 7 + ( 9) 0 a b 9 a b 0 α 6, a) Koska kolmio on tasakylkinen, on vektorien pituuksien oltava samat. a 4 + x 6+ x b ( 5) 5 5 a b 6 + x 5 x 9 x ± a b 5 Kun x a b Kun x a b Vektorien välinen kulma on 90. a) x ± a b 0 x ( x) + x 0 x + x 0 x + 0 ( x ) x 0 tai x + 0 x : x Kun x 0, a 0i + 0 j 0 Kateetti ei voi olla nollavektori, joten x 0 ei käy. Kun x, a i j i j b i + j i + j a b Hypotenuusan c pituus Pythagoraan lauseen mukaan. c a + b c c c ± 9 Pituus positiivinen, joten 80 c,984...,0 9 x, hypotenuusan pituus,0 04
19 66. Harjoituskoe. a) Lävistäjät: a c + d i + j k 4i + j + 7k 6i + 4 j + 6k s i j b d + c 4i j 7k i + j k i + j 8k Lävistäjien pituudet a b t i + 4 j Pistetulo a b Vektorien välinen kulma a b a b α 0,78... α lävistäjät 6i + 4 j + 6k ja i + j 8k, kulma. v 5i j s + c) v
20 . a) sin x 0,54 x 0, n x 0,57 + n x 0, n x, n x,6 + n n 0, ±, ±,... cosx,,8 cosx 0, x ±, n : x ± 0, n x ± 0,6 + n n 0, ±, ±,... c) tanx : tan x 6 x, n : x 0, n x 0,70 ++ n n 0, ±, ±,... a) x 0,57 + n tai x,6 + n x ± 0,6 + n c) x 0,70 ++ n. a) a b 4 4 a + 0 b Vektorien välinen kulma a b a b α 7, a + b i j i + 4 j i + j A ( 0,) OP OA + a + b j i + j i + j Piste P (, ) a) 7 (, ) 4. Lampun pohja Lasketaan kulma α kosinilauseella :79 0,99... α ± 7, n 60 Koska α on kolmion kulma, α 7,
21 Kolmion ala A 8 sin7, ,4... (cm ) Lampun tilavuus V A h 89,4... 7, 6,06... (cm ) 6,06...cm 5. a) x 0 s f,6dm, 4 dm, 4 l 0 5sin 0,5 (m) i + j r i j + s i j 4i + j r i r j + si s j 4i + j r + s i + r s j Komponenttien tulee olla samat. r + s 4 r s s 6 s 6 Sijoitetaan s 6 yhtälöön r + s 4. r r 6 6( i j) 6( i j) f ( x) 5sin x :5 60 sin x 0,9 60 x, n : x, n 0 x, n 60 x, n : x 7, n 0 Ratkaisuista välille [ 0,6 ] kuuluvat x,08... s s ja x 7,69... s 8s a),5 m s ja 8 s Harjoituskoe. a) Kulman suuruus radiaaneina α b,dm cm,5... r 5cm 5cm Kulman suuruus asteina 80, , Sektorin ala α A r 60 87, ,5 (cm ) c) a) 88, 70cm 5 c) 44 07
22 . a) sin x 0,66 x 4, n 60 x 4 + n 60 x 80 4, n 60 x 8, n 60 x 9 + n 60 n 0, ±, ±,... 0,765 α ± 9, n 60 α ± 40 + n 60 n 0, ±, ±,... c) sin x 0,87 x 60, n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 x 80 60, n 60 : x 0,... + n 80 x 0 + n 80 n 0, ±, ±, a) 4tan4α 7 0 4tan4α 7 :4 7 tan4α 4 4α 60,... + n 80 :4 α 5, n 45 α 5 + n 45 n 0 α 5 käy n α käy n α käy n α käy n 4 α käy n 5 α käy n 6 α käy n 7 α käy n 8 α ei käy a) 7, 07 5, 60, 05, 50, 95, 40, 85, 0 a) x 4 + n 60 tai 9 + n 60 ± 40 + n 60 c) x 0 + n 80 tai x 0 + n 80. a) 4 tan x x 5,... + n 80 x 5 + n 80 n 0 x 5 ei käy n x käy n x käy n x ei käy ( ) BA i j i + 9j BC 6 i + 5 j 8i + 4 j CA 6 i + 4 j 5i + 5j 08
23 BA BC BC CA BA CA Kolmiossa ei ole yhtään 90 kulmaa, joten se ei ole suorakulmainen. BA BC OP 670 j + 00i 50 j 00i + 50 j BA BC BA BC α 45 Kolmion ala A BA BC sin sin 45 0 (m ) a) ei ole 5. a 8i 6 j a Yksikkövektori a 8 i 6 j 0 4 i j 5 5 0m Tämän suuntaan kuljetaan 50 m eli pitkin vektoria 4 50 i j 00i 50 j 5 5 OP , (m) 560 m 6. a) a + b i + 4 j k + i 5 j k i j 5k a b i + 4 j k i 5j k i + 9 j k c) a b i + 4 j k i 5j k i + 4 j k 6i + 5j + 6k 7i + 9j + k a b + c 0 7i + 9j + k + c 0 c 7i 9j k a) i j 5k i + 9 j k c) 7i 9j k 09
24 7. ( ) AB i + j + 5 k i + j + 6k i + j + 6k r i k + s j + k i + j + 6k r i rk + s j + sk i + j + 6k r i + s j + s r k r s s r 6 Sijoitetaan r ja s viimeiseen yhtälöön. s r tosi ( i k) + ( j + k). a) A (, 4) B ( 8, 4) C ( 5, ) a ( ) + ( 4) 5(m) b , (m) c ,85... (m) ( ) AC 5 i + 4 j 8i + 6j c) AC i + 6 j 4 AC i + j a) A(, 4), ( 8, 4) 5,00 m; 8,94 m; 5,9 m c) 4 i + j 5 5 B, C ( 5, ) Harjoituskoe. a) sin0,7 0, ,6 sin x 0, 7 x, n 60 x 80, n 60 x 58, n 60 c) cosβ 0,67 β ±, n : β ±, n a b. a) a b α 45 a b a b Kulma α 90 a) n 0 β,5..., n β, , , n β, ei käy a) 0,6 x + n 60 tai x 58 + n 60 c), ; 4, 0
25 4. a) at tan β an at tan45,5,5 at,5 tan 45 a,5 t 0,9m s tan β, 0 m s β 4, n 80 Ratkaisuista kelpaa β 4, A 89m 550m sin ,8... m 5,89... ha 6ha 6 ha a) β a t,5 m s i + 9 j 5k t 4i + 6 j 0k 4ti + 6t j 0tk Tutkitaan, ovatko komponentit samat. 4t 6 :4 6t 9 :9 0t 5 :( 0) 6 t 4 9 t 6 5 t 0 t:n arvo aina sama, joten vektorit ovat samansuuntaiset. Koneet nousevat samaan suuntaan. Nousevat samaan suuntaan.
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotPäähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätiedotc) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedot15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotJuuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotKolmiot, L1. Radiaani. Kolmiolauseet. Aiheet. Kulmayksiköt, aste. Radiaani. Suorakulmainen kolmio. Kolmiolauseet
Kolmiot, L1 Kulmayksiköt 1 Aste, 1 (engl. degree) Kun kellon viisari kiertyy yhden kierroksen, sanomme, että se kääntyy 360 (360 astetta). Ajatus täyden kierroksen jakamisesta 360 asteeseen, juontaa kaldealaiseen
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
LisätiedotTrigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
Lisätiedot5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotSanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI
L u k i o n l y h y t m a t e m a t i i k k a Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen SIGMA 8 Matemaattisia malleja III Opettajan opas Kustannusosakeyhtiö TAMMI Helsinki 1. 2. painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotLäpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedot5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Lisätiedot2 Vektorit koordinaatistossa
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
LisätiedotSuorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
Lisätiedotα + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.
K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotPituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.
Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedot2 Vektorit koordinaatistossa
Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotRautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011
Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011 Yhteenlasku sin x + cos x Yhteenlasku sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku Yhteenlasku
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotValitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedota b c d
.. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotTrigonometriaa: kolmioita ja kaavoja
Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotAvainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma
OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotMAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot