Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n

Transkriptio

1 Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen materiaali ulottuu vain 10 cm:n päähän? Olkoon tällaisen paksun linssin jälkimmäinen pinta kovera pallopinta, jonka kaarevuussäde on sama 5 cm kuin etupinnallakin (kuva alla). Lasketaan mihin kuva nyt muodostuu ja mikä on sen luonne. Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n päähän. Nyt kuitenkin toinen pinta taittaa säteet uudelleen ja lopullinen kuva muodostuukin eri paikkaan. Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii tässä virtuaalisena esineenä toiselle pinnalle. Virtuaalinen esine on pinnan oikealla puolella, kun taas säteet tulevat pintaan vasemmalta. Merkkisääntöjen mukaan esineen etäisyys pinnasta 2 on negatiivinen ja suuruudeltaan (40-10) cm = 30 cm. Myös kaarevuussäde on negatiivinen (kaarevuuskeskipiste on eri puolella kuin pinnasta lähtevät säteet), joten kuvautuminen toisessa pinnssa saa muodon 4/ /3 + = Þ s '2 = +9 cm. -30 cm s '2-5 cm Suurennus toisen pinnan kuvautumisessa on (6.4.2):n mukaan (-4 / 3)(+9) 2 m2 = =+. (1)(-30) 5

2 142 Kokonaissuurennukseksi laskemme luonnollisesti tulon 2 m = m1 m2 = (-1)(+2 / 5) = -. 5 Lopullinen kuva on todellinen kuva ja etäisyydellä 9 cm jälkimmäisestä pinnasta. Kuvan koko on 2/5 esineen koosta ja kuva on kääntynyt OHUET LINSSIT Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaan sovelletaan edellisen esimerkin menetelmää. Linssin taitekerroin olkoon n2 ja pintojen kaarevuussäteet R1 ja R2. Linssiä ympäröivien materiaalien taitekertoimet olkoon esinetilassa n1 ja kuvatilassa n3. Peräkkäiset kuvaukset ovat (6.4.1):n ja (6.4.2):n mukaan n 1 n 2 n 2 - n1 n1 s '1 + =, m1 = s1 s '1 R1 n 2 s1 n2 n3 n3 - n2 n 2 s '2 + =, m2 = s2 s '2 R2 n 3 s2 Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joten voidaan kirjoittaa s2 = t - s '1, missä t on linssin paksuus. Ohuen linssin approksimaatiossa s2 = - s '1.

3 Tulee joista 143 n1 n2 n2 - n1 + =, s1 s' 1 R1 n3 n2 n3-n2 - =, s' s' R n s' s' ( ') m= m1 m2 = n 2 s 1 n 3 - s 1 n1 n3 n2 -n1 n3 -n2 + = +, s s' R R n n s' m=- n s Kun vielä merkitään s 1 = s ja s' = s' saadaan n1 n3 ( n2 -n1) ( n2 -n3) + = - ja s s' R R n1 s ' m =- n s, (6.5.1) missä siis linssin taitekerroin on n 2. Tavallisesti linssiä ympäröi sama väliaine (esimerkiksi ilma), jolloin n3 = n1 ja kuvausyhtälö saa muodon 1 1 n2 -n1 é 1 1 ù s' + = ê - ú ja m =-. s s' n1 ër1 R2û s (6.5.2) Ohuen linssin polttoväli f saadaan, kun esine (s) tai kuva ( s ') asetetaan äärettömyyteen. Tulee 1 n2 -n1 é 1 1 = ê - f n ër R ù ú, (6.5.3) û joka on ns. linssintekijän yhtälö (lensmaker's equation). Polttovälin avulla kuvausyhtälö (6.5.2) saa kätevän muodon = ja s s' f s' m =-. (6.5.4) s

4 144 Kokoava linssi (converging lens) Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan ns. toisen polttopisteen (second focal point) F 2 kautta. Ensimmäisestä polttopisteestä (first focal point) F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Linssi toimii näin, jos sen polttoväli on f > 0. Tämän vuoksi kokoavaa linssiä sanotaan myös positiiviseksi linssiksi. Linssin polttoväli on positiivinen, kun n 2 > n 1 (esim. lasilinssi ilmassa) ja linssi on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, ts. (katso linssintekijän yhtälö) > 0. R1 R2 Viereisen kuvan ns. meniskuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi ovat kaikki kokoavia linssejä. Hajottava linssi (diverging lens) Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F 2. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli on f < 0 ja sitä sanotaankin usein negatiiviseksi linssiksi. Tämä toteutuu, kun n2 > n1 ja linssi on reunoilta paksumpi kuin keskeltä. Vieressä esimerkki negatiivisesta meniskuslinssistä.

5 145 On huomattava, että jos linssi siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin itse linssin taitekerroin, niin kokoava linssi muuttuu hajottavaksi ja hajottava kokoavaksi. Esimerkiksi ilmakupla vedessä on kupera linssi, mutta se on hajottava. Kuvautumisen graafisessa analyysissä tärkeiden säteitä ovat: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee polttopisteen kautta. 2. Polttopistettä kohti kulkeva säde taittuu optisen akselin suuntaiseksi. 3. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde ei muuta suuntaansa Esimerkki: Käytössä on hajottava linssi, jonka polttoväli on 20 cm. Halutaan muodostaa oikein päin oleva valekuva, jonka koko on 1/3 esineen koosta. Mihin esine on sijoitettava? Esitä kuvan muodostuminen myös graafisesti. Ratkaisu: Hajottava linssi: f = -20 cm. Suurennuksen oltava: m = +1/ 3 = - s '/ s Þ s ' = - s / Þ - = Þ - = Kuvausyhtälöstä: + = s s' f s s f s f josta s = -2 f = +40 cm. Esine on sijoitettava 40 cm linssin eteen. Graafinen esitys: Mittakaavan määrittämiseksi lasketaan kuvan paikka s ' : s ' = - s / 3 = -40 / 3 cm» cm (myös linssin edessä) Tarvittavat etäisyydet ovat siis: s on 40 cm linssin edessä s ' on 13.3 cm linssin edessä F on 20 cm linssistä (edessä olevaa tarvitaan kuvaajassa)

6 Hahmotellaan "suttupaperille": 146 z-suunnassa kaikki mahtuu 40 cm:n matkalle Valitaan mittakaavaksi: z-suunnassa 1:3 (1 cm kuvassa on 3 cm todellisuudessa) y-suunnassa 1:1 (olkoon esineen korkeus 1 cm) 40 cm à 13.3 cm 20 cm à 6.7 cm 13.3 cm à 4.4 cm piirretään:

7 147 Kun kuvaavassa optisessa systeemissä on useita komponentteja (linssejä, peilejä, pintoja, ), säteiden etenemistä systeemin läpi seurataan vaihe vaiheelta komponentti kerrallaan. Edellisen komponentin muodostama kuva on aina seuraavan komponentin esine, jne Lopullinen suurennus lasketaan komponenttien suurennuksien tulona Esimerkki: Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden polttovälit ovat f1 = +15 cm ja f 2 = -15 cm. Linssien välimatka on 30 cm ja esine sijaitsee 25 cm kokoavan linssin edessä. Laske kuvan paikka ja laatu. Ratkaisu: Hahmotellaan systeemi: Kuvaus 1. linssillä: s1 = 25 cm, f1 = 15 cm s f (25)(15) cm = cm + = Þ s '1 = 1 1 = s1 - f s1 s '1 f1 m1 = - s ' == s1 25 Välikuva on siis 37.5 cm ensimmäisestä linssistä oikealle, kääntynyt ja kooltaan 1.5 kertainen esineeseen nähden. Kuva on todellinen. Tämä välikuva toimii toiselle linssille esineenä. Se on 7.5 cm:n etäisyydellä toisesta linssistä.

8 148 Kuvaus toisella linssillä: f 2 = -15 cm, s2 = -( ) = -7.5 cm. s '2 = s2 f 2 (-7.5)(-15) = cm = +15 cm s2 - f 2 (-7.5) - ( -15) m2 = - s '2 15 == +2 s2-7.5 Systeemin kokonaissuurennus on m = m1 m2 = (-1.5)(2) = -3 Lopullinen kuva on kääntynyt ( m < 0 ) ja todellinen ( s '2 > 0 ). Sen koko on 3 esineen koko ja se sijaitsee 15 cm jälkimmäisen linssin takana KUVAUSVIRHEET Jokainen esine (valaistu tai itsevalaiseva) koostuu pistelähteistä, jotka lähettävät palloaaltoja. Viereisessä kuvassa esinepisteestä S lähtevä palloaalto etenee kohti optista systeemiä, joka puolestaan fokusoi aallon kuvapisteeseen P. Kuvapiste P ei ole esinepisteen S täydellinen kuva, koska kuvautumiseen vaikuttaa 1. Sironta 2. Diffraktio 3. Kuvausvirheet Sironnassa osa säteistä muuttaa suuntaansa esimerkiksi optisissa materiaaleissa olevista tiheysvirheistä. Tämä lähinnä vain vähentää kuvan kirkkautta. Toisaalta kuvapisteeseen saattaa tulla sironneita säteitä muualta kuin esinepisteestä. Kuvan laatu huononee. Diffraktio häiritsee kuvan tarkkuutta, koska optiset systeemit ovat aina äärellisen kokoisia. Diffraktio asettaa perustavaa laatua olevan rajan kuvan tarkkuudelle, eikä sitä voida koskaan ylittää.

9 149 Kuvausvirheet (aberrations) syntyvät kun optinen systeemi ei itsessään pysty tuottamaan yksi-yhteen vastaavuutta esineestä lähtevän ja kuvaan tulevan säteen välille. Täydellisesti kuvaavia pintoja on olemassa. Tällaisia ovat esimerkiksi ns. kartioleikkauspinnat (ellipsoidi, paraboloidi,...), joista alla esimerkkinä hyperboloidi-pintainen linssi, joka kuvaa täydellisesti (sirontaa ja diffraktiota lukuunottamatta) pisteen F1 pisteeksi F 2. Tällaisia pintoja käytetään vain tarkkuusoptiikassa, koska niiden valmistus on kallista ja ne ovat epäkäytännöllisiä. Esimerkiksi edellisessä kuvassa vain yhdellä tietyllä etäisyydellä oleva piste F1 kuvautuu tarkasti F2:ksi. Toisaalta pallopintoja on helppo valmistaa, ne ovat käytännöllisiä ja kuvausvirheitäkin voidaan eliminoida hyvin tehokkaasti. Kuvausvirheet pallopintojen käytössä Paraksiaalinen kuvausyhtälö on täydellinen kuvaaja. Piste kuvautuu täydelliseksi pisteeksi. Tämän vuoksi poikkeamat paraksiaalisen kuvausyhtälön antamista ratkaisuista ovat kuvausvirheitä. Paraksiaalisessa kuvautumisessa: Kolmannen kertaluvun teoriassa: sin j = j sin j = j - j 3 / 3! Kolmannen kertaluvun teorian käyttäminen kuvausyhtälöiden johtamisessa paljastaa viisi kuvausvirhettä, jotka ovat ns. Seidelin aberraatiot:

10 1. Palloaberraatio - kuvan etäisyys riippuu säteen korkeudesta h: Koma - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri korkeudet h antavat kuvan eri korkeuksille: 3. Astigmaattisuus - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri tasojen säteet antavat kuvan eri etäisyydelle: 4. Kentän kaareutuminen - kuva muodostuu kaarevalle "kuvatasolle" 5. Vääristymä - Suurennus muuttuu akselilta ulospäin siirryttäessä

11 151 7 SYSTEEMIANALYYSI MATRIISIMENETELMÄLLÄ Tässä luvussa tarkastellaan ensin kuvaavan optisen systeemin ns. peruspisteitä käyttäen esimerkkinä paksua linssiä. Sen jälkeen esitellään varsinainen matsiisimenetelmä, jonka avulla paraksiaalisen säteen kulku systeemin läpi voidaan jäljittää systemaattisesti. Edelleen esitellään ns. systeemimatriisi sekä tekniikka, jolla systeemimatriisia voidaan käyttää peruspisteiden määrittämiseen. Lopuksi tarkastellaan muutamia esimerkkejä. 7.1 PERUSPISTEET Tarkastellaan esimerkkinä paksua linssiä. Lasimateriaalia rajoittaa kaksi taittavaa pallopintaa (kaarevuussäteet R1 ja R2), jotka ovat etäisyydellä t toisistaan. Kuvausyhtälö on johdettavaissa seuraavasti: Ensimmäisen pinnan esineestä O muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joka muodostaa sitten lopullisen kuvan I. Linssin paksuus t otetaan huomioon välikuvan (väliesineen) etäisyyttä laskettaessa toisesta pinnasta. Tuloksena on kuvausyhtälö, jonka soveltaminen on hyvin hankalaa (jos ei tehdä ohuen linssin approksimaatiota t 0 ).

12 152 Paksua linssiä voidaan kuitenkin käsitellä kelposti ohuen linssin tapaan, kun linssille ensin määritetään ns. peruspisteet (kardinaalipisteet, cardinal points). Peruspisteet eivät ole vain paksujen linssien ominaisuuksia, vaan sellaiset ovat olemassa yleisemminkin kuvaaville optisille systeemeille. Kuvan muodostumista hallitaan siis peruspisteillä, joita on olemassa kuusi (6) kappaletta (ks. kuva alla): 1) Polttopisteet (focal points): F 1 ja F 2 2) Pääpisteet (principal points): H 1 ja H 2 3) Solmupisteet (nodal points): N 1 ja N 2 Peruspisteisiin asetetut optista akselia vastaan kohtisuorat pinnat ovat ns. peruspintoja. Paraksiaalisessa approksimaatiossa peruspinnat ovat tasoja (cardinal planes): polttotasot, päätasot ja solmutasot. Kuvassa on esitetty linssisysteemi, josta on piirretty näkyviin vain ensimmäisen linssin ensimmäinen pinta ja viimeisen linssin viimeinen pinta. Kuva esittää systeemin peruspisteiden ja perustasojen merkitystä: Linssisysteemin polttoväli on ns. efektiivinen polttoväli. Etupolttopisteen F 1 (front focal point) paikka mitataan esinepääpisteestä H 1

13 153 (front principal point) etummaisen efektiivisen polttovälin f 1 avulla. Takapolttopisteen F 2 (back focal point) paikka mitataan kuvapääpisteestä H 2 (back principal point) takimmaisen efektiivisen polttovälin f 2 avulla. Etusolmupistettä N 1 (first nodal point) kohti tuleva säde jatkaa systeemin läpi mentyään saman suuntaisena näyttäen lähtevän takasolmupisteestä N 2 (second nodal point). Tapahtuu vain yhdensuuntaissiirtymä. Jos systeemin esine- ja kuvapuolella on samaa väliainetta, solmupisteet N 1 ja N 2 yhtyvät pääpisteisiin H 1 ja H 2. Kuuden peruspisteen sijainti on esitetty yksityiskohtaisesti vielä kuvassa alla. On huomattava, että kuvassa esitetyt etäisyydet ovat suunnattuja. Etäisyydet vasemmalle ovat negatiivisia ja oikealle positiivisia. Kannattaa vielä huomata, että r ja s sekä v ja w mittaavat etäisyyttä huippupisteista V 1 ja V 2, kun taas efektiiviset polttovälit f 1 ja f 2 mittaavat etäisyyttä pääpisteistä H 1 ja H 2.