203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

Transkriptio

1 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C A C B 2) Suorat l ja m voivat olla erisuuntaiset, jolloin niillä on täsmälleen yksi yhteinen piste. m Jos pisteet eivät ole samalla suoralla, muodostuu kolmio. Jos pisteet ovat samalla suoralla mutta eivät yhdy, muodostuu jana. Jos pisteet yhtyvät, muodostuu vain yksi piste. l b) B C B C m 3) Suorat l ja m voivat olla samat, jolloin niillä on äärettömän monta yhteistä pistettä. A (E) D A D E l = m Muodostuu neliö Muodostuu murtoviiva Vastaus Yhteisiä pisteitä on 0, 1 tai äärettömän monta. Vastaus a) Kolmio, jana tai piste b) Neliö tai murtoviiva

2 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma Tason eri osia ovat neliöiden yhteinen keskusta, kärkiä vastaavat kolmiot (8 kpl) ja ulkopuoli, yhteensä 10 osaa a) Tapa 1 Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto AP 5 PB = 11 11AP= 5PB PB= AB AP 11AP = 5( AB 5AP) 11AP = 5AB 5AP 16AP = 5AB 5 AP = AB AB = AP = 32 = = Huomautus Janan AP pituus saadaan myös suoran jakosuhteesta 5: AP = AB = AB = 32 =

3 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 3 Tapa 2 Jakosuhteen 5:11 perusteella on AP= 5x ja PB = 11x. b) Tapa 1 Jakosuhteen 4:9 perusteella on AP= 4x ja PB = 9x, joten piste P on lähempänä pistettä A kuin pistettä B ja sijaitsee siten pisteen A puoleisella janan jatkeella. Saadaan yhtälö 5x+ 11x= 32 16x = 32 x = 2 Siis AP = 5x = 5 2 = 10 Saadaan yhtälö 9x= 4x+ 40 5x = 40 x = 8 Siis AP = 4x = 4 8 = 32

4 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 4 Tapa 2 Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto AP 4 PB = 9 9AP= 4PB PB= AP+ AB 9AP = 4( AP + AB) 9AP = 4AP + 4AB 5AP = 4AB 4 AP = AB AB = Jakosuhteen 14:5 perusteella puomien pituudet ovat 5 x ja 14x. Nostopuomin ja vastapainopuomin pituuksien erotus on 14x 5x= 9x Nostopuomi on vastapainopuomia pitempi prosentteina 9x % % 180% 5x = 5 = (14) (5) 14x 5x 4 AP = 40 = 32 5 Vastaus Nostopuomi on 180% pitempi kuin vastapainopuomi. Vastaus a) Janan AP pituus on 10 b) Janan AP pituus on 32

5 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Jakosuhteen 3:40 perusteella johtojen kiinnityskohtien korkeudet ovat 40x ja 43x. h h h yläjohdot alajohdot helikopteri = 43x = 40x = 18 m Saadaan yhtälö Siis 40x = 15 3 x = m 8 ( ) 3 h 43 m 16,125 m ( 18 m) yläjohdot = = < 8 Koska helikopteri lentää yläjohtoja korkeammalla, se ei törmää johtoihin. 3x 40x 207 Tapa1 Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto A ( 8 ) AP 8 = PB 3 3AP= 8PB BP= AP AB 3AP = 8( AP AB) 3AP = 8AP 8AB 5AP = 8AB 8 AP = AP AB = 30 cm 5 8 AP = 30 = 48 ( cm ) 5 B ( 3 ) P Vastaus Ei törmää.

6 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 6 Tapa 2 Jakosuhteen 8 : 3 perusteella on AP= 8 x ja PB= 3x. 30 cm 3x AC = AB, joten 3 AC 5 AB = 3 A 8x B P A D B C Saadaan yhtälö x = 8x 5x = 30 x = 6 Siis AP = 8x = 8 6= 48 ( cm). Merkitään AB= 3 x ja AC = 5x Tällöin AD= AB= 3x= x a) Piste B jakaa janan AC suhteessa AB BC. BC = AC AB, joten saadaan suhde Vastaus: Janan AP pituus on 48 cm. AB AB 3 x 3 x 3 BC = AC AB = 5x 3x = 2x = 2

7 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 b) Pisteet D ja B jakavat janan AC kolmeen osaan, joten lasketaan suhde AD: DB: BC. 1 1 AD AD x x = = = = DB AB AD 1 1 3x x 2 x ) 1 DB 2 x 2 5 = = BC 2x 4 Siis AD: DB: BC = 1:5: 4. 2) 209 Tarkastellaan ensin kohtaa b. Olkoot tehtävän suorat l, l' ja l '' ( l l' l'' ). Tehtävä jakautuu seuraaviin tapauksiin: 1) Suorat ovat yhdensuuntaiset. Tällöin taso jakautuu neljään osaan. 2) Suorista kaksi, esim. l ja l ' ovat yhdensuuntaiset, mutta l '' erisuuntainen. Taso jakautuu kuuteen osaan. l l l l l l Vastaus: a) Piste B jakaa janan AC suhteessa 3 :2 b) AD: DB: BC = 1:5: 4 3) Suorat ovat kaikki keskenään erisuuntaisia, mutta niillä on yksi yhteinen leikkauspiste. Osia on kuusi. l l 4) Suorat ovat kaikki keskenään erisuuntaisia eikä niillä ole yhteistä leikkauspistettä. Osia on seitsemän. l l l l

8 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Vastaavalla tavalla voidaan päätellä, että suurin määrä tason osia saadaan aina tilanteessa, jolloin suorat ovat keskenään erisuuntaisia eikä niillä ole yhteistä leikkauspistettä. Piirretään tilanteista mallikuvat ja päätellään tason osien määrä niiden avulla. 1 a) neljään osaan b) seitsemään osaan c) 11 osaan 210 a) Teräviä kulmia ovat ne, joiden suuruus on 0 < α < 90 Siis kulmat A, G ja K ovat teräviä.. b) Tylppiä kulmia ovat ne, joiden suuruus on 90 < α < 180 Siis kulmat B, H ja J ovat tylppiä.. d) Yksi suora jakaa tason kahteen osaan. Kun toinen suora lisätään, tulee kaksi osaa lisää. Kun kolmas suora lisätään, tulee kolme osaa lisää. Kun lisätään n suoraa, tulee n osaa lisää. Yhteensä osia on n = 1 + ( n) 2 1+ n 2 n+ n = 1+ n = n + n+ 2 = 2 Vastaus a) 4 b) 7 c) 11 d) 2 n + n+ 2 2 c) Kuperia kulmia ovat ne, joiden suuruus on 180 < α < 360 Siis kulmat C, E, I ja L ovat kuperia.. d) Koveria kulmia ovat ne, joiden suuruus on 0 < α < 180 Siis kulmat A, B, D, F, G, H, J ja K ovat koveria..

9 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu α β α + β terävä kulma suora kulma tylppä kulma oikokulma kovera kulma X X X X kupera kulma X X X X 212 Merkitään kysyttyä kulmaa kirjaimella α. a) Komplementtikulmien summa on 90, joten saadaan yhtälö 36,4 + α = 90 α = 90 36,4 α = 53,6 b) Suplementtikulmien summa on 180, joten saadaan yhtälö 36,4 + α = 180 α = ,4 α = 143,6 c) Eksplementtikulmien summa on 360, joten saadaan yhtälö 36,4 + α = 360 α = ,4 α = 323,6 Vastaus a) 53,6 b) 143,6 c) 323,6

10 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) b) c) d) 3 = 3 60' = 180' = " = 10800" 7,2 = 7,2 60' = 432' = '' = '' ' = = ,7 = 13, ' = = = = 7 7' e) f) g) 2 20'15'' = '' '' + 15'' = 7200'' '' + 15'' = 8415'' 8415 ' = = 140,25' ,25 = = 2, ' ' ' '' = = 89 = 89' = + 22'' = '' = " = ' + 22'' 60 = 1 29'22'' 19,52 = ,52 = ,52 60' = ,2' = ' + 0,2' = ' + 0,2 60'' = ' + 12'' = 19 31'12''

11 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) b) Kulmat muodostavat täyskulman, joten saadaan yhtälö α + 13, = 360 α = ,2 α = 51,8 Kulmat muodostavat oikokulman, joten saadaan yhtälö α + α ' = 180 2α = ' 2α = 27 13' α = 13,5 + 6,5' α = ' + 6' + 30'' α = 13 36' 30'' Vastaus a) α = 51,8 b) α = 13 36' 30''

12 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Suorat l ja s ovat yhdensuuntaiset, kun samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. a) 216 Suorat l ja s ovat yhdensuuntaiset, jos samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. a) Oltava α = 67, sillä 67 kulma on samankohtainen kulman α kanssa. b) Kulman 24 kanssa samankohtainen kulma on kulman 156 vieruskulma = 24. Kulmat ovat yhtä suuret, joten l s. Kulman α kanssa samankohtainen kulma on kulman 112 vieruskulma. Siis on oltava b) Kulman 53 kanssa samankohtainen kulma on kulman 128 vieruskulma = , joten l s. α = = 68 Vastaus a) α = 67 b) α = 68 Vastaus a) Ovat b) Eivät ole

13 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) b) ε δ l m Ω α = = 235 γ = 125 samankohtaiset kulmat ja ml β = 180 γ vieruskulmat (oikokulma) = = 55 l m δ = 121 samankohtaiset kulmat ja ml α = 180 δ vieruskulmat (oikokulma) = = 59 ε = 15 ristikulmat γ = = 75 komplementtikulmat γ ja ε Ω= = 105 samankohtaiset kulmat ja ml β = 105 ristikulmat Vastaus a) α = 235, β = 55 ja γ = 125 b) α = 59, β = 105 ja γ = 75

14 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Väite: α = β Todistus: ADE = α samankohtaiset kulmat ja l l ADE = β Siis α = β samankohtaiset kulmat ja s 1 2 s 1 2 2x x= 180 vieruskulmat 5x = x = 30 x = 6 β = 3x ristikulmat, x= 6 β = 3 6 = 180 α + β = 18 vieruskulmat, β = 18 α = α = 162

15 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 b) 220 a) 27 38' 28'' ' 42'' 39 59' 70'' Muunnetaan saatu summa isommiksi yksiköiksi. B= A samankohtaiset kulmat ja l l α + 15 = 40 α = = Kulman α kanssa samankohtainen α + β = 180 kulma on kulman β vieruskulma β = 180 α = = 155 ja l l ' 70'' = ' + 60'' + 10'' 60'' = 1' = ' + 10'' 60' = 1 = '' = 40 10'' b) Muunnetaan ensin kulmat sellaisiksi yksiköiksi, että on helpompi laskea allekkain ' 32'' = 76 13' 92'' = 75 73' 92'' 75 73' 92'' 12 14' 45'' 63 59' 47'' Vastaus a) 40 10'' b) 63 59' 47'' Vastaus a) α = 162 ja β = 18 b) α = 25 ja β = 155

16 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Merkitään kysyttyä kulmaa kirjaimella x. a) Komplementtikulmien summa on 90, joten x + 43 = 90 x = 57 b) Suplementtikulmien summa on 180, joten x + 43 = 180 x = 137 c) Saadaan a)-kohdan tuloksen avulla yhtälö x + 57 = 180 x = 123 d) Eksplementtikulmien summa on 360, ja suplementtikulma on b)-kohdan tuloksen mukaan 137. Saadaan yhtälö x = 360 x = Merkitään kulman α komplementtikulmaa kirjaimella β. Saadaan yhtälöpari ( ) 1 α = β + 13 sijoitetaan yhtälöön ( 2) ( 2) α + β = 90 β β = 90 2β = 77 β = 38,5 sijoitetaan yhtälöön () 1 α = 38, = 51,5 Kulman α vieruskulma on 180 α = ,5 = 128,5 Vastaus a) 57 b) 137 c) 123 d) 223 Vastaus Vieruskulma on 128,5

17 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Piirretään kulma ja sen vieruskulma sekä niiden puolittajat. Merkitään kulmaa kirjaimella α ja sen vieruskulmaa kirjaimella β. 224 Merkitään samankohtaisia kulmia kirjaimilla γ ja δ. α + β = 180 : 2 α β + = 90, 2 2 joten vieruskulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. α + β = 90 komplementtikulmat γ = 180 β vieruskulmat δ = α + 90 ristikulmat, α = 90π β ( β ) = = 180 β = γ Koska δ = γ ja ne ovat samankohtaiset kulmat, on oltava k l.

18 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu minuuttia on koko kellotaulusta 12. osa, joten minuuttiviisari kulkee 5 minuutin aikana kulman =. a) klo Osoittimien välinen pienempi kulma on 5 tällaista yksikköä, joten kulma on 5 koko kellotaulusta eli 12 kulma on = =. c) klo Osoittimien välinen pienempi 1 kulma on ,5 4 =. Tuntiviisari on siirtynyt 1 4 välin verran kellotaulun numerosta 7 kohti numeroa 8, sillä minuutteja on kulunut 15 = 1 koko 60 4 tunnista. b) klo Osoittimien välinen pienempi kulma on 2,5 30 = 75, sillä tuntiviisari on kellotaulun numeroiden 3 ja 4 välissä. Vastaus a) 150 b) 75 c) 127,5

19 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Minuuttiviisarin nopeus on 60 min = 6/min 360 Tuntiviisarin nopeus on = 0,5 / min min Viisarit ovat oikokulmassa seuraavan kerran klo 7 jälkeen. Olkoon viisarit oikokulmassa x minuuttia klo 7 jälkeen. 227 Piirretään tilanteesta kuva. Lähtö 45 Minuuttiviisari on kiertynyt kulman α = 6 x Tuntiviisari on kiertynyt kulman β = 0,5 x Saadaan yhtälö ristikulmat ja β + 30 = α 360 = ,5 x+ 30 = 6 x 5,5 x = x = = 5,45 ( min ) 5,5 0,45 min = 0,45 60s = 27,27 s 5,45 min 5 min 27 s Vastaus Luoteeseen Vastaus klo

20 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Piirretään tilanteesta kuva 229 Piirretään tilanteesta kuva 30 Vastaus Koilliseen Olkoon A lähtöpiste, B piste, jossa Juha ensimmäisen kerran kääntyy, C seuraava piste ja D viimeinen kääntymispiste. Olkoon E mielivaltainen piste reitillä viimeisen kääntymisen jälkeen. BC DE, sillä BCD = 90 ja CDE = 90. Piste A jää suoran BC oikealle puolelle, pisteestä D alkava puolisuora DE taas vasemmalle. Siis Juha ei löydä perille tällä tavalla. Vastaus Juha ei löydä perille

21 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Piirretään suorille g ja h janojen päätepisteiden kautta normaalit. 231 Piirretään sivulle AB tai sen jatkeelle pisteen C kautta normaali. Normaali leikkaa sivun AB tai sen jatkeen pisteessä D. Sivun AC projektio suoralla AB on AD. Sivun BC projektio suoralla AB on DB. Janan AB projektiot ovat piste A (=B ) ja jana A B. Janan CD projektiot ovat jana C D ja piste C (=D ). 232 Piirretään rististä normaaleja lipun lävistäjälle. Janan EF projektiot ovat jana E F ja jana E F. Projektio on jana AB.

22 Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu Piirretään suoran l suuntaiset suorat neliön ABCD kärjistä siten, että ne leikkaavat suoran s. Merkitään näitä projektiopisteitä vastaavasti A, B, C, ja D. 234 a) Piirretään suoran s suuntaisia suoria ö-kirjaimen ääripisteistä siten, että ne leikkaavat suoraa l. Projektio on kaksi janaa, jotka on kuvassa lihavoitu. Projektiopisteet ovat suoralla s järjestyksessä D, A, C ja B. b) Piirretään suoran l suuntaisia suoria ö-kirjaimen ääripisteistä siten, että ne leikkaavat suoraa s. Projektio on jana, joka on kuvassa lihavoitu.