y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
|
|
- Liisa Haapasalo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+ y=x-3 y=3x+ b) Määritä pisteiden A (1,) ja B ( 3, ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = y x = ( ) 1 ( 3) = 6 = 3 tai k = y x = 1 3 = 6 = 3 c) Määritä suorien 6 x + y = 11 ja 3 x + y = 5 leikkauspiste 6x + y = 11 { => ylempi: y = 11 6x. Sijoita alempaan! 3x + y = 5 3x x = 5 3x = 6 : ( 3) x = Nyt jos y = 11 6, niin y = 11 6 = 1. Siis leikkauspiste on (,1). a) Ratkaise itseisarvoepäyhtälö x < 5. x < 5 tai x > 5 x < 7 tai x > 3 3 < x < 7 b) Ratkaise yhtälö x x 3 x + = x 3 tai x + = (x 3) x = 7 tai 3x = 1 => x = 1 3 c) Millä vakion a arvolla suora ax 8y 6 0kulkee pisteen (5,7) kautta? a = 0 10a = 0 10a 50 = 0 10a = 50 : 10 a = 5.
2 MaA Laskinta saa käyttää! Merkitse kuitenkin välivaiheita ja selityksiä sekä kirjoita, kun lasket välivaiheet laskimella. B-osio (Laske tehtävää) 3. a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3x 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö. Tunnetun suoran yhtälö: 5y = 3x + 11 : ( 5) y = 3 11 x, eli kulmakerroin k = Nyt käytetään kaavaa y y 0 = k(x x 0 ), missä (x 0, y 0 ) on tunnettu suoran piste, eli (6,8). y 8 = 3 5 (x 6) y = 3 5 x y = 3 5 x + 5 b) Määritä suoran 3x 5y = 11 etäisyys pisteestä (6,8) Suoran yhtälö tarvitaan yleisessä muodossa: 3x 5y 11 = 0. d = = = ( 5) = 33 3 c) Missä pisteessä suora x + 60y = 0 leikkaa x-akselin? X-akselin leikkauspiste on toisaalta yhtälön nollakohta, eli kohta missä y=0. Sijoitetaan y=0 suoran yhtälöön. x = 0 x = 0 x = : x = x = 1 6. a) Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,5) kautta ja on kohtisuorassa suoraa x 3y 5 0 vastaan? Tarvitaan ensin suoran yhtälö ratkaistussa muodossa: 3y = x 5 : ( 3) y = 1 x + 5. Eli 3 3 suoran kulmakerroin k 1 = 1. Kohtisuorien suorien kulmakertoimet k 3 1k = 1. Täten kohtisuoran 1 suoran kulmakerroin: k 3 = 1 3 k = 3. Nyt tiedetään, että kohtisuoran suoran kulmakerroin on -3 ja se kulkee pisteen (5,5) kautta. Käytetään kaavaa y y 0 = k(x x 0 ) y 5 = 3(x 5) y = 3x y = 3x + 0
3 b) Määritä vakion k arvo niin, että suorien y = x 3 ja y = x + k sekä x-akselin rajoittaman kolmion pinta-ala on 0. Mallikuva vieressä. Riippuu siitä onko k positiivinen vai negatiivinen, miten toisen suoran kuvaaja (katkoviivalla) kulkee. Joka tapauksessa kuviot tulevat olemaan yhtä suuret, kävi miten kävi. Selvitetään missä pisteessä suorat leikkaavat k:sta riippuen: y = x { 3 Laskinratkaisu leikkauspisteelle: y = x + k 3k x = 8 { y = k (y-akselin vasemmalla puolella oleva leikkauspiste on tietenkin -3k/8). Lisäksi lasketaan suoran -x+k nollakohta, eli x-akselin leikkauspiste: x + k = 0 k = x : k = 0,5k = x Katkoviivasuorat leikkaavat y-akselin korkeudelta k tai k. Muodostuvat identtiset kolmiot, joiden kanta on x-akselilla ja kannan pituus on 0,5k ja korkeus on k/. Nyt molempien kuvioiden pinta-ala k on näillä merkinnöillä: A = 0,5k. Lisäksi tiedetään, että pinta-alan pitäisi olla 0, joten: k 0 = 0,5k 0 = 0,5k 160 = 0,5k 30 = k k = ± 30 = ±8 5 ( 17,89) 5. a) Määritä ympyröiden x + y -16x +16y + 7 = 0 ja x + y -16x + 8y - 05 = 0 keskipisteet ja säteet x + y 16x + 16y + 7 = 0 : x + y x + y + 7 = 0 : Täydennetään neliöksi: x x + + y + y + = (x ) + (y + ) = 5 => kp: (,-) ja r = 5 x + y 16x + 8y 05 = 0 : x + y x + y 05 = 0 Täydennetään neliöksi: x x + + y + y + 1 = (x ) + (y + 1) = 5 => kp: (,-1) ja r = 15
4 b) Paraabeli kulkee pisteiden ( 1, ), (0,) ja (, 3). Määritä paraabelin yhtälö. Kaikki pisteet toteuttavat paraabelin perusmuotoisen yhtälön y = ax + bx +. Täten: = a( 1) + b( 1) + c { = a 0 + b 0 + c 3 = a + b + c y = 3 x + 13 x + = a b + c { = c Laskin: { 3 = 16a + b + c a = 3 b = 13 c = c) Laske, mistä x-akselin pisteestä P on sama etäisyys pisteisiin (-10, 5) ja (9, 0). Olkoon pisteen P koordinaatit (x,0). Y:n arvo on nolla, koska kyseessä on x-akselin piste. Nyt pisteiden välisen etäisyyden kaavalla: d = (x x 1 ) +(y y 1 ). Etäisyyden d täytyy olla yhtä suuri molemmista pisteistä pisteeseen (x,y), joten saamme yhtälön: (x ( 10)) +(0 5) = (x 9) +(0 0) (x + 10) + 5 = (x 9) Laskin:x =. Joten haluttu x-akselin piste on: (, 0) C-osio (Laske toinen tehtävä) x y 6. Määritä ympyrälle 9 pisteestä (3,) piirrettyjen tangenttien yhtälöt. Mallikuva vieressä. Ympyrän kp: (0,0) ja r =3. Toisella tangentilla ei ole ollenkaan kulmakerrointa, koska se on pystysuora => x=3. Ratkaistaan toisen tangentin yhtälö: Tangentti on suora, joka kulkee pisteen (3,) kautta kulmakertoimella k => y = k(x 3) y = kx 3k kx y + 3k = 0, A = k, B = 1 ja C = 3k Kertoimet A, B ja C tarvitaan pisteen etäisyys suorasta kaavaan: d = Ax 0+By 0 +C. Jos lasketaan A +B ympyrän keskipisteen etäisyyttä suorasta kx y + 3k = 0, niin senhän pitää olla säteen mittainen, eli d = 3. Nyt 3 = k k 3 = 3k 5. Laskin: k =. k +( 1) k +1 1 Nyt tiedetään kulmakerroin ja piste jonka kautta toinen tangentti kulkee, joten: y = (x 3) y = x Tangenttien yhtälöt: y = x + 1 ja x = 3.
5 7. a) Millä vakion m arvoilla yhtälö x y mx 1 0 esittää ympyrää? x + mx + 1 m + y = m (x + 1 m) + (y 0) = 1 m 1 Yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on ( 1, 0) ja r = 1 m 1. Säde ja säde toiseen pitää aina olla positiivinen, joten 1 m 1 > 0.. asteen epäyhtälö. Ratkaistaan kuvaajan avulla: Ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat laskimesta: m = ±. Kuvaaja näyttää, että funktio 1 m 1 saa positiivisia arvoja kun m < tai m >. Tällöin alkuperäinen yhtälö esittää ympyrää vain kun m < tai m >. b) Määritä ne tason pisteet (x,y), joiden etäisyys suoralle x y + 1 = 0 on kaksinkertainen verrattuna etäisyyteen suoralle x y + 8 = 0. Lasketaan tuntemattoman pisteen (x,y) etäisyydet suorista x y + 8 = 0 (S1) ja x y + 1 = 0 (S) d = Ax 0 + By 0 + C A + B d 1 = 1x y+8 1 +( ) ja d = x y+1 +( 1). Lisäksi tiedetään, että d 1 = d => 1x y x y + 1 = 5 1x y + 8 = x y Laskimeen solve( 1x y + 8 = x y + 1, y), eli ratkaistaan kahden muuttujan yhtälö muuttujan y suhteen, jolloin saadaan y = 17 x +. Ratkaisuksi kelpaavat pisteet (x,y) muodostavat 5 5 tämän suoran! Alla mallikuva lopullisesta tilanteesta. Ratkaisuksi saatu suora tummemmalla viivalla. Ratkaisu on siis y = 17 x
Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Ympyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
origo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Paraabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
MAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT
MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on
Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi
määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan
2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti