y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6"

Liisa Haapasalo
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1.

1 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+ y=x-3 y=3x+ b) Määritä pisteiden A (1,) ja B ( 3, ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = y x = ( ) 1 ( 3) = 6 = 3 tai k = y x = 1 3 = 6 = 3 c) Määritä suorien 6 x + y = 11 ja 3 x + y = 5 leikkauspiste 6x + y = 11 { => ylempi: y = 11 6x. Sijoita alempaan! 3x + y = 5 3x x = 5 3x = 6 : ( 3) x = Nyt jos y = 11 6, niin y = 11 6 = 1. Siis leikkauspiste on (,1). a) Ratkaise itseisarvoepäyhtälö x < 5. x < 5 tai x > 5 x < 7 tai x > 3 3 < x < 7 b) Ratkaise yhtälö x x 3 x + = x 3 tai x + = (x 3) x = 7 tai 3x = 1 => x = 1 3 c) Millä vakion a arvolla suora ax 8y 6 0kulkee pisteen (5,7) kautta? a = 0 10a = 0 10a 50 = 0 10a = 50 : 10 a = 5.

2 MaA Laskinta saa käyttää! Merkitse kuitenkin välivaiheita ja selityksiä sekä kirjoita, kun lasket välivaiheet laskimella. B-osio (Laske tehtävää) 3. a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3x 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö. Tunnetun suoran yhtälö: 5y = 3x + 11 : ( 5) y = 3 11 x, eli kulmakerroin k = Nyt käytetään kaavaa y y 0 = k(x x 0 ), missä (x 0, y 0 ) on tunnettu suoran piste, eli (6,8). y 8 = 3 5 (x 6) y = 3 5 x y = 3 5 x + 5 b) Määritä suoran 3x 5y = 11 etäisyys pisteestä (6,8) Suoran yhtälö tarvitaan yleisessä muodossa: 3x 5y 11 = 0. d = = = ( 5) = 33 3 c) Missä pisteessä suora x + 60y = 0 leikkaa x-akselin? X-akselin leikkauspiste on toisaalta yhtälön nollakohta, eli kohta missä y=0. Sijoitetaan y=0 suoran yhtälöön. x = 0 x = 0 x = : x = x = 1 6. a) Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,5) kautta ja on kohtisuorassa suoraa x 3y 5 0 vastaan? Tarvitaan ensin suoran yhtälö ratkaistussa muodossa: 3y = x 5 : ( 3) y = 1 x + 5. Eli 3 3 suoran kulmakerroin k 1 = 1. Kohtisuorien suorien kulmakertoimet k 3 1k = 1. Täten kohtisuoran 1 suoran kulmakerroin: k 3 = 1 3 k = 3. Nyt tiedetään, että kohtisuoran suoran kulmakerroin on -3 ja se kulkee pisteen (5,5) kautta. Käytetään kaavaa y y 0 = k(x x 0 ) y 5 = 3(x 5) y = 3x y = 3x + 0

3 b) Määritä vakion k arvo niin, että suorien y = x 3 ja y = x + k sekä x-akselin rajoittaman kolmion pinta-ala on 0. Mallikuva vieressä. Riippuu siitä onko k positiivinen vai negatiivinen, miten toisen suoran kuvaaja (katkoviivalla) kulkee. Joka tapauksessa kuviot tulevat olemaan yhtä suuret, kävi miten kävi. Selvitetään missä pisteessä suorat leikkaavat k:sta riippuen: y = x { 3 Laskinratkaisu leikkauspisteelle: y = x + k 3k x = 8 { y = k (y-akselin vasemmalla puolella oleva leikkauspiste on tietenkin -3k/8). Lisäksi lasketaan suoran -x+k nollakohta, eli x-akselin leikkauspiste: x + k = 0 k = x : k = 0,5k = x Katkoviivasuorat leikkaavat y-akselin korkeudelta k tai k. Muodostuvat identtiset kolmiot, joiden kanta on x-akselilla ja kannan pituus on 0,5k ja korkeus on k/. Nyt molempien kuvioiden pinta-ala k on näillä merkinnöillä: A = 0,5k. Lisäksi tiedetään, että pinta-alan pitäisi olla 0, joten: k 0 = 0,5k 0 = 0,5k 160 = 0,5k 30 = k k = ± 30 = ±8 5 ( 17,89) 5. a) Määritä ympyröiden x + y -16x +16y + 7 = 0 ja x + y -16x + 8y - 05 = 0 keskipisteet ja säteet x + y 16x + 16y + 7 = 0 : x + y x + y + 7 = 0 : Täydennetään neliöksi: x x + + y + y + = (x ) + (y + ) = 5 => kp: (,-) ja r = 5 x + y 16x + 8y 05 = 0 : x + y x + y 05 = 0 Täydennetään neliöksi: x x + + y + y + 1 = (x ) + (y + 1) = 5 => kp: (,-1) ja r = 15

4 b) Paraabeli kulkee pisteiden ( 1, ), (0,) ja (, 3). Määritä paraabelin yhtälö. Kaikki pisteet toteuttavat paraabelin perusmuotoisen yhtälön y = ax + bx +. Täten: = a( 1) + b( 1) + c { = a 0 + b 0 + c 3 = a + b + c y = 3 x + 13 x + = a b + c { = c Laskin: { 3 = 16a + b + c a = 3 b = 13 c = c) Laske, mistä x-akselin pisteestä P on sama etäisyys pisteisiin (-10, 5) ja (9, 0). Olkoon pisteen P koordinaatit (x,0). Y:n arvo on nolla, koska kyseessä on x-akselin piste. Nyt pisteiden välisen etäisyyden kaavalla: d = (x x 1 ) +(y y 1 ). Etäisyyden d täytyy olla yhtä suuri molemmista pisteistä pisteeseen (x,y), joten saamme yhtälön: (x ( 10)) +(0 5) = (x 9) +(0 0) (x + 10) + 5 = (x 9) Laskin:x =. Joten haluttu x-akselin piste on: (, 0) C-osio (Laske toinen tehtävä) x y 6. Määritä ympyrälle 9 pisteestä (3,) piirrettyjen tangenttien yhtälöt. Mallikuva vieressä. Ympyrän kp: (0,0) ja r =3. Toisella tangentilla ei ole ollenkaan kulmakerrointa, koska se on pystysuora => x=3. Ratkaistaan toisen tangentin yhtälö: Tangentti on suora, joka kulkee pisteen (3,) kautta kulmakertoimella k => y = k(x 3) y = kx 3k kx y + 3k = 0, A = k, B = 1 ja C = 3k Kertoimet A, B ja C tarvitaan pisteen etäisyys suorasta kaavaan: d = Ax 0+By 0 +C. Jos lasketaan A +B ympyrän keskipisteen etäisyyttä suorasta kx y + 3k = 0, niin senhän pitää olla säteen mittainen, eli d = 3. Nyt 3 = k k 3 = 3k 5. Laskin: k =. k +( 1) k +1 1 Nyt tiedetään kulmakerroin ja piste jonka kautta toinen tangentti kulkee, joten: y = (x 3) y = x Tangenttien yhtälöt: y = x + 1 ja x = 3.

5 7. a) Millä vakion m arvoilla yhtälö x y mx 1 0 esittää ympyrää? x + mx + 1 m + y = m (x + 1 m) + (y 0) = 1 m 1 Yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on ( 1, 0) ja r = 1 m 1. Säde ja säde toiseen pitää aina olla positiivinen, joten 1 m 1 > 0.. asteen epäyhtälö. Ratkaistaan kuvaajan avulla: Ylöspäin aukeava paraabeli, jonka nollakohdat laskimesta: m = ±. Kuvaaja näyttää, että funktio 1 m 1 saa positiivisia arvoja kun m < tai m >. Tällöin alkuperäinen yhtälö esittää ympyrää vain kun m < tai m >. b) Määritä ne tason pisteet (x,y), joiden etäisyys suoralle x y + 1 = 0 on kaksinkertainen verrattuna etäisyyteen suoralle x y + 8 = 0. Lasketaan tuntemattoman pisteen (x,y) etäisyydet suorista x y + 8 = 0 (S1) ja x y + 1 = 0 (S) d = Ax 0 + By 0 + C A + B d 1 = 1x y+8 1 +( ) ja d = x y+1 +( 1). Lisäksi tiedetään, että d 1 = d => 1x y x y + 1 = 5 1x y + 8 = x y Laskimeen solve( 1x y + 8 = x y + 1, y), eli ratkaistaan kahden muuttujan yhtälö muuttujan y suhteen, jolloin saadaan y = 17 x +. Ratkaisuksi kelpaavat pisteet (x,y) muodostavat 5 5 tämän suoran! Alla mallikuva lopullisesta tilanteesta. Ratkaisuksi saatu suora tummemmalla viivalla. Ratkaisu on siis y = 17 x

Samankaltaiset tiedostot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki