ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

2 Luentoviikko 9 Valon luonne ja eteneminen (YF 33) Valon luonne Heijastuminen ja taittuminen Kokonaisheijastus Dispersio Polarisaatio Valon sironta Huygensin periaate Yhteenveto Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Rajapintaehdot Fresnelin kertoimet Lähde: Andrew FastLizard4 Adams [CC BY-SA 2.0 ( 2 (41)

3 Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia mitä valonsäteet ovat ja miten ne liittyvät aaltorintamiin valon heijastumista ja taittumista ohjaavat lait olosuhteet, joissa valo kokonaisheijastuu rajapinnasta mitä dispersio ja polarisaatio tarkoittaa miten tavallisesta valosta tehdään polarisoitunutta miten Malusin laki käytetään miten Huygensin periaate auttaa heijastuksen ja taittumisen analysoinnissa (tunnistamaan E- ja B-kenttien rajapintaehdot) (tunnistamaan Fresnelin kertoimet, kun aalto osuu kohtisuorasti rajapintaan) 3 (41)

4 Valon luonne Valon luonne: aallot ja hiukkaset Valo on sähkömagneettista säteilyä Aalto-hiukkasdualismi: (ennen Newtonia) valo on hiukkasia (korpuskeleita) (Newton, Maxwell) valo on aaltoliikettä ( 1910) valo on hiukkasia (fotoni, kvantti) ( 1930) valo on sekä aaltoja että hiukkasia (kvanttielektrodynamiikka, QED) Eteneminen kuvataan aalloilla, vuorovaikutus aineen kanssa (absorptio ja emissio) hiukkasilla Säteilyn peruslähde on kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus 4 (41)

5 Valon luonne Valonlähteet Lämpimien kappaleiden molekyylit säteilevät sähkömagneettisia aaltoja eli lämpösäteilyä molekyylien lämpöliikkeen vuoksi jokainen lämmin kappale on valon lähde Hehkulampussa valoa tuottaa kuuma hehkulanka (n K) Loistelampussa elohopeahöyryn läpi kulkee valokaari (läpilyöntipurkaus), jonka ultraviolettisäteily muuntuu putken pinnan loisteaineessa näkyväksi valoksi LED-lampussa valodiodin puolijohdeliitoksen aukko-elektroniparien yhtyessä liitos säteilee fotoneja Useimmissa valonlähteissä säteilijät (atomit, molekyylit) säteilevät itsenäisesti, mutta laserissa atomit houkutellaan säteilemään yhtenäisesti eli koherentisti tulos on kapea, intensiivinen ja lähes yksitaajuinen (monokromaattinen, yksivärinen) valokeila Valonnopeus c = m/s metrin määritelmä 5 (41)

6 Aallot, aaltorintamat ja säteet Aallon liikettä kuvataan usein aaltorintamalla (esim. aallon etureuna) Yleisesti aaltorintama on pinta, jolla aaltoon liittyvän värähtelyn vaihe on vakio (esim. harmonisesti värähtelevän sähkökentän vakiovaihepinnat) Valonlähteet ovat usein liki pistemäisiä aaltorintamat ovat pallopintoja Matemaattisessa kuvauksessa käytetään mieluusti tasoaaltoja Kaukana lähteestä tasoaalto on hyvä approksimaatio palloaallolle Matematiikka on yksinkertaisempaa Säde on viiva, joka ilmaisee aallon kulkusuunnan ( = aaltovektori k) ja on aaltorintaman normaali r Homogeenisessa isotrooppisessa aineessa säteet ovat suoria Geometrinen optiikka (sädeoptiikka) käsittelee aaltoja säteinä

7 Heijastuminen ja taittuminen Heijastuminen a b Tuleva säde Heijastunut säde Taittunut säde Kun sähkömagneettinen aalto (valo) osuu kahden läpinäkyvän aineen tasaiseen rajapintaan, aalto yleensä osittain heijastuu pinnasta ja osittain taittuu toiseen aineeseen Heijastus tasaisesta pinnasta on peiliheijastus (valo heijastuu tiettyyn suuntaan) Heijastus karheasta pinnasta on hajaheijastus (valoa siroaa moniin suuntiin) Jatkossa heijastus = peiliheijastus 7 (41)

8 Heijastumis- ja taittumislait Aineen taitekerroin (kuvassa na < n b ) n = c v (huomaa: yksikötön) n a n b Heijastumis- ja taittumislait 1. Tuleva, heijastunut ja taittunut säde ovat samassa tasossa pinnan normaalin kanssa (= tulotaso) 2. Heijastuskulma = tulokulma θ r θ a θ b θ r = θ a 3. Snellin laki tulo- ja taittumiskulmille n a sin θ a = n b sin θ b = vakio yhdensuuntaisilla rajapinnoilla Huomaa: kulmat mitataan pinnan normaalista!

9 Heijastuminen ja taittuminen Heijastumis- ja taittumislakien seurauksia Aalto taittuu optisesti tiheämpään aineeseen päin (optisesti tiheämpi = suurempi taitekerroin) Kohtisuorasti (θ a = 0) rajapintaan tuleva säde ei taitu (θ b = 0) vaan jatkaa suoraan (entä heijastus?) Tulevan ja läpäisseen (taittuneen) säteen kulkusuunnat ovat käännettävissä (heijastunut säde syntyy tietysti tulopuolelle) Tulevan ja heijastuneen säteen kulkusuunnat ovat käännettävissä (mihin syntyy taittunut säde?) Mistä lait tulevat? Heijastus- ja taittumislait voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä, jolloin lisäksi saadaan tietoa kenttien amplitudien, vaiheiden ja polarisaatioiden käyttäytymisestä rajapinnassa (Fresnelin kertoimet) Lait voidaan johtaa Huygensin periaatteesta (tulossa) Käytössä on myös Fermat n periaate, jonka mukaan valo kulkee kahden pisteen välillä nopeinta (tai hitainta) mahdollista reittiä pitkin ( optisen matkan täytyy olla ääriarvo ) harjoitustehtävä 9 (41)

10 Heijastuminen ja taittuminen Taitekerroin ja valon aaltoluonne Tyypillisesti epämagneettisen aineen taitekerroin n = K on välillä , esim. (λ 0 = 589 nm) vesi 1.333, jää 1.309, timantti 2.417; STP-ilma (eli = 1) Taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta (= dispersio) (esim. pienillä taajuuksilla veden taitekerroin onkin 8.97) Kun aalto kulkee aineesta toiseen, aallon taajuus säilyy (mieti kättelemistä) rajapinta ei synnytä eikä tuhoa aaltoja Valon nopeus ja aallonpituus muuttuvat väliaineessa: (λ 0 on valon aallonpituus tyhjiössä) v = c n ja λ = λ 0 n 10 (41)

11 Kokonaisheijastus Snellin laki: valon taittumiskulma sin θ b = n a n b sin θ a Jos n a /n b > 1, aina θ b > θ a on olemassa tulokulma θ crit, jolla sin θ b = 1 eli taittunut säde kulkee pitkin rajapintaa (θ b = 90 ): sin θ crit = n b n a sin 90 = n b n a (kun n a > n b ) Kun θ a > θ crit, tuleva säde* ei pääse aineeseen b vaan heijastuu: kyseessä on kokonaisheijastus θ crit on kokonaisheijastuksen rajakulma (esim. lasi ilma θ crit 41.1 ) (*entä kentät?) θ a < θ crit θ a = θ crit θ a > θ crit b a

12 Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Yksinkertainen esimerkkirakenne ilma n i vaippa n c ydin n f θ crit θ i θ t d Rajatapaus: suurin tulokulma θ i, jolla säde pysyy kuidussa kokonaisheijastuksen avulla. 12 (41)

13 Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Jatkoa Valo ohjautuu kuidussa kokonaisheijastuksen avulla Valo kulkee pitkiäkin matkoja merkittävästi heikentymättä Kuidun vaimennus (tehohäviötaso) on suuruusluokkaa 1 db/km, erikoiskuiduissa parempi Lasketaan yksinkertainen malli tiedonsiirtonopeuden ylärajalle ns. monimuotokuidussa (joita ei todellisuudessa käytetä) Hitaimman (kulkukulma θ t akseliin nähden) ja nopeimman (akselin suuntaisen) valonsäteen kulkuaikaero matkalla L on t = t max t min = L v cos θ t L v 13 (41)

14 Kokonaisheijastus Johdatus optiseen tietoliikenteeseen valokuitu Jatkoa: moodidispersio Kulkusuunta θ t kytkeytyy kokonaisheijastuksen rajakulmaan θ crit : n f sin θ crit = n c, θ t = π/2 θ crit cos θ t = n c n f Valon kulkunopeus ytimessä v = c/n f, joten = impulssin pituus matkan L jälkeen t = Ln f c [ ] nf 1 n c Pulssien etäisyyden on oltava esim. 2 t, jotta peräkkäiset pulssit voidaan erottaa toisistaan matkan L jälkeen: maksimitoistotaajuus f = 1 2 t = c 2Ln f (n f /n c 1) (Maksimitoistotaajuus on yleensä datakäyttöön aivan liian pieni tällä rakenteella jatkuvasti muuttuva taitekerroinprofiili tai ohut ns. yksimuotokuitu) 14 (41)

15 Dispersio Taitekerroin riippuu taajuudesta Optiikassa perusmateriaaliparametri on taitekerroin Valon nopeus materiassa riippuu aina taajuudesta taitekerroin aineessa riippuu taajuudesta eritaajuiset signaalikomponentit kulkevat eri nopeuksilla = dispersio signaalin aaltomuoto muuttuu Tyypillisesti optisissa materiaaleissa taitekerroin pienenee taajuuden pienentyessä (vapaantilan aallonpituuden kasvaessa) = normaali dispersio Joskus taitekerroin kasvaa taajuuden pienentyessä = anomaalinen dispersio Dispersio rajoittaa optisten komponenttien suorituskykyä (esim. ultranopeassa optisessa tiedonsiirrossa) 15 (41)

16 Dispersio Prisma Prisman lasissa pitkäaaltoinen punainen valo taittuu vähiten ja lyhytaaltoinen violetti eniten Valo hajaantuu (dispergoituu) spektriksi Dispersio selittää myös timanttien väriloiston ja sateenkaaren värit 16 (41)

17 Polarisaatio Polarisaatio Polarisaatio on poikittaisen aaltoliikkeen ominaisuus (poikittaisella poikkeamalla on suunta) [eristeen polarisoituminen on eri ilmiö] Sähkömagneettisen aallon polarisaatio = E-vektorin suunta ja käytös; esimerkiksi tasoaalto on lineaarisesti polarisoitunut y-suuntaan E(x, t) = ĵe max cos(kx ωt), B(x, t) = kb max cos(kx ωt) Radiolähettimen antennin tai yksittäisen molekyylin säteilemällä aallolla on yleensä tietty polarisaatiotila (esim. lineaarinen polarisaatio, mutta tila voi olla erilainen eri suunnissa) Valonlähteet (hehkulamppu, loistelamppu, aurinko) lähettävät tyypillisesti polarisoitumatonta eli luonnonvaloa (koska säteilijät ovat satunnaissuuntaisia) = valossa on kaikkiin poikittaissuuntiin lineaarisesti polarisoituneita aaltoja polarisoidun valon tuottamiseen tarvitaan polarisoiva suodatin 17 (41)

18 Polarisaatio Polarisaatiokäsitteitä Lineaarisesti polarisoitu[nut] kenttävektori värähtelee [poikittaisesti] vakiosuuntaista janaa pitkin Polarisaattori optinen komponentti, jonka läpi pääsevät vain tietyllä polarisaatiolla saapuvat aallot (mikroaalloilla: metalliritilä ritilän lankojen suuntainen sähkökenttä ei pääse läpi) Dikroismi [tässä:] materiaali absorboi (imee) yhtä polarisaatiokomponenttia voimakkaammin kuin toista (kohtisuoraa) komponenttia Polarisoiva akseli aallot, jotka ovat polarisoituneet aineen tai rakenteen polarisoivan akselin suuntaisesti pääsevät läpi aineesta tai rakenteesta Kahtaistaittavuus materiaalin taitekerroin riippuu aallon polarisaatiosuunnasta (hyödynnettävissä esim. ympyräpolarisaation tuottamisessa) 18 (41)

19 Polarisaatio Polarisaattorien käyttö polarisoimisessa Polarisoitumattoman valon sähkökenttäkomponentti tarkastelusuunnassa on keskimäärin yhtäsuuri kuin komponentti kyseistä suuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa Ideaalinen polarisaattori päästää läpi puolet polarisoitumattoman valon tehotiheydestä: I t = I 0 /2 Lisätään toinen polarisaattori (analysaattori) Ensimmäisen polarisaattorin läpi päässeen sähkökentän E voi jakaa analysaattorin optisen akselin suhteen kohtisuoraan (E ) ja yhdensuuntaiseen (E ) komponenttiin Analysaattorin läpi pääsee amplitudi E = E t cos φ, missä φ on polarisaattorien polarisoivien akselien välinen kulma Malusin laki lineaarisesti polarisoituneelle valolle (I max [ I t ], kun φ = 0): I = S av = 1 2 ɛ 0cE 2 max I = I max cos 2 φ 19 (41)

20 Polarisaatio Esimerkki Malusin lain käyttämisestä Kolme polarisaattoria asetettu peräkkäin siten, että toisen polarisaattorin polarisoivan akselin kulma on θ ja kolmannen 90 ensimmäisen polarisaattorin optiseen akseliin verrattuna. Sisään tulee polarisoitumatonta valoa (intensiteetti I 0 ). Mikä on järjestelmän läpi menneen valon intensiteetti I(θ)? Ratkaisu: Ensimmäisen polarisaattorin läpäisee intensiteetti I 0 /2. Toisen polarisaattorin jälkeen intensiteetti on (I 0 /2) cos 2 θ. Kolmannen polarisaattorin jälkeinen intensiteetti I = I 0 2 cos2 θ cos 2 (90 θ) = I 0 2 cos2 θ sin 2 θ = I 0 8 sin2 (2θ) Maksimi-intensiteetti saadaan, kun 2θ = 90 θ = 45 (valoa siis pääsee kolmisuodattimisen rakenteen läpi, vaikka pelkkä ensimmäisen ja kolmannen polarisaattorin yhdistelmä pysäyttäisi valonkulun kokonaan) 20 (41)

21 Heijastuksen käyttö polarisoimisessa Aallot, joiden E-vektori on kohtisuorassa tulotasoa vastaan (eli joiden E on yhdensuuntainen heijastavan pinnan kanssa), heijastuvat voimakkaammin kuin aallot, joiden E on tulotasossa [tämä käy ilmi Fresnelin kertoimista] Jos valo saapuu rajapintaan polarointikulmassa θ p, tulotasossa värähtelevä kenttäkomponentti ei heijastu lainkaan vaan läpäisee pinnan täysin (heijastunut valo on täysin polarisoitunutta ja läpäissyt valo on osittain polarisoitunutta) n a θ p θ p n b θ b

22 pystypolarisaatio vaakapolarisaatio

23 pystypolarisaatio vaakapolarisaatio

24 Polarisaatio Brewsterin kulma Heijastuksettomuusehto toteutuu, kun θ b + θ p = 90 Snellin taittumislaista: n a sin θ p = n b sin(90 θ p ) = n b cos θ p tan θ p = n b n a = Brewsterin laki ja θ p on Brewsterin kulma Laki voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä, joista saadaan Fresnelin kertoimet eli sähkökenttäamplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Polarointikulman fysikaalinen selitys? 24 (41)

25 Polarisaatio Ympyrä- ja elliptinen polarisaatio Ympyräpolarisoitu aalto saadaan kahden kohtisuoraan suuntaan lineaarisesti polarisoidun aallon summana Tarvitaan sama amplitudi ja ±π/2:n (eli 90 :een eli neljännesjakson) vaihe-ero Summa-aallon sähkökenttävektorin kärki kiertää ympyrää pitkin, kun katsotaan aallon tulosuuntaan Vasen- ja oikeakätinen ympyräpolarisaatio (riippuu vertailusuunnasta?) Jos nollasta poikkeava vaihe-ero ei ole ±π/2 tai kohtisuorien (erivaiheisten) komponenttiaaltojen amplitudit ovat eri suuret elliptinen polarisaatio Vaihe-ero voidaan tuottaa kahtaistaittavalla kiteellä (esim. kalsiitti CaCO 3 tai kvartsi) Kahtaistaittava neljännesaaltolevy tuottaa λ/4-vaihesiirron Muuttaa lineaarisesti polarisoidun aallon ympyräpolarisoiduksi (ja päinvastoin) 25 (41)

26 Valon sironta Valon sironta Miksi taivas on sininen? Miksi auringonlasku on punainen? Miksi taivas näyttää joissakin suunnissa tummemmalta polarisoivien lasien läpi? Kun auringonvalo osuu ilman molekyyleihin, molekyylit eivät virity, mutta niiden elektronipilvi värähtelee aallon sähkökentän suunnassa harmonisesti värähtelevä dipolimomentti dipolimomentti toimii antennina, joka lähettää uuden aallon ympärilleen (paitsi dipolin värähtelyn [akselin] suuntaan) = sironta tulevaa valoa sironnutta valoa Auringonvalo on polarisoitumatonta, mutta valonsäteen kulkusuuntaa vastaan kohtisuoraan suuntaan sironnutta valoa tarkasteleva näkee lineaarisesti polarisoitunutta valoa (eli polarisoivien lasien kanssa...?) Valon taajuus ei muutu sironnassa (koska ei tapahdu virittymistä)! 26 (41)

27 pystypolarisaatio vaakapolarisaatio

28 Valon sironta Taivaan, auringonlaskun ja pilvien väri Kun sirottajan koko λ, kyseessä on Rayleigh n sironta: sironnut intensiteetti 1/λ 4 (eli f 4 ) sininen valo siroaa n. 15 kertaa voimakkaammin kuin punainen taivaan väri Auringonlaskua seuraava näkee valoa, josta on sironnut pois sininen Tiheät pilvet sirottavat valoa moninkertaisesti joka suuntaan näkyvät valkoisina (vai pimentävät taivaan?) Maidon väri johtuu maidon rasvapallosista 28 (41)

29 Huygensin periaate Huygensin periaate (1678) Huygensin periaate ilmaisee, että jos tiedämme aaltorintaman muodon jollain hetkellä, voimme muodostaa sen perusteella rintaman myöhemmän muodon, eli: Jokainen aaltorintaman piste toimii lähteenä alkeisaalloille, jotka etenevät kaikkiin suuntiin aallon etenemisnopeudella Etenevän aaltorintaman uusi paikka myöhemmällä tarkasteluhetkellä on alkeisaaltojen yhteinen tangenttipinta eli verhopinta tuolla hetkellä Periaatteen avulla voi johtaa heijastumis- ja taittumislait Perustana mm. diffraktion ja interferenssin tai aukkoantennien (esim. parabolinen heijastinantenni) analyysille Johdettavissa Maxwellin yhtälöistä (esim. Lindell, I.V., Huygens principle in electromagnetics, IEE Proceedings Science, Measurement and Technology, vol. 143, no. 2, pp , Mar 1996: ) 29 (41)

30 Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella B C n a n b θ a A D θ r Tuleva aaltorintama AB kohtaa rajapinnan pisteet eri aikoina Jokainen rajapinnan piste lähettää alkeisaallon (joka etenee nopeudella c/n a ) Alkeisaaltojen summa (verhopinta) muodostaa uuden aaltorintaman, joka etenee nopeudella v a = c/n a Kuvassa CD on AB:stä syntynyt heijastunut rintama, θ a on tulokulma ja θ r on heijastumiskulma (ohuet viivat ovat rintamien paikkoja eri hetkillä) 30 (41)

31 Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta C:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman CD: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AC v a BD = AC BD = AD sin θ a, AC = AD sin θ r Yhdistämällä päätelmät saadaan mikä oli odotettu tulos sin θ a = sin θ r θ a = θ r, 31 (41)

32 Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella B n a n b A θ a D θ b E Alkeisaallot etenevät läpäisypuolen materiaalissa nopeudella c/n b Alkeisaallot muodostavat uuden aaltorintaman (nopeus v b = c/n b ) AB:stä syntyy taittunut rintama ED; θ a on tulokulma, θ b taittumiskulma 32 (41)

33 Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta E:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman ED: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AE v b n a BD = n b AE BD = AD sin θ a, AE = AD sin θ b Yhdistämällä päätelmät saadaan n a sin θ a = n b sin θ b, mikä oli odotettu tulos 33 (41)

34 Yhteenveto luvusta 33 Keskeisiä käsitteitä Aaltorintama ja säde Aallon (valon) heijastuminen ja taittuminen Taitekerroin n (oli jo viime viikolla) Kokonaisheijastus Dispersio Polarisaatio, polarisaattori ja polarisoiva akseli Brewsterin kulma = polarointikulma Tärkeitä kaavoja Snellin laki n a sin θ a = n b sin θ b Kokonaisheijastuksen rajakulma Malusin laki sin θ crit = n b n a I = I max cos 2 φ Brewsterin kulma tan θ p = n b n a

35 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia)

36 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Rajapintaehdot Kenttien rajapintaehdot Alkuasetelma E 1 aine 1 aine 2 n E 1n E 1t Alaindeksi 1 tai 2 kertoo kummassa aineessa kenttä on. Alaindeksi t tarkoittaa kentän tangentiaalikomponenttia rajapinnan suhteen ja alaindeksi n kentän normaalikomponenttia (yksikkövektorin n suuntaan). K 1, K m1 K 2, K m2 Kenttien E 1, B 1, E 2 ja B 2 on toteutettava Maxwellin yhtälöt molemmin puolin rajapintaa. 36 (41)

37 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Rajapintaehdot Kenttien rajapintaehdot Maxwellin yhtälöt 1. Magnetismin Gaussin laki B d A = 0 B 1n = B 2n koska magneettikenttäviivat muodostavat suljettuja silmukoita. 2. Faradayn laki E d l = dφ B dt E 1t = E 2t 1 2 Kuvan polun läpi menee nollavuo, kun h 0. h 0 37 (41)

38 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Rajapintaehdot Kenttien rajapintaehdot Maxwellin yhtälöt, jatkoa 3. Gaussin laki K E d A = Q encl free ε 0 K 1 E 1n = K 2 E 2n kun rajapinnalla ei ole vapaata varausta. (Tarkastellaan rajapinnalla pillerirasiaa, jonka korkeus menee nollaan... ) 4. Ampèren laki 1 B dl = µ 0 (i C + i D ) encl K m B 1t /K m1 = B 2t /K m2 kun rajapinnalla ei ole pintavirtaa. (Sama polku kuin Faradayn lain yhteydessä.) Tässä oletettiin siis, että molemmat materiaalit ovat ei-johtavia. (Edellisen sivun ehdot ovat yleispäteviä.) 38 (41)

39 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Kohtisuora heijastus ja läpäisy kahden ei-johtavan eristeen rajapinnassa y Yrite kolmella tasoaallolla: E i (x, t) = +ĵ E i cos(k a x ωt), x 0 B i E i tuleva B t E t läpäissyt x E r (x, t) = +ĵ E r cos(k a x + ωt), x 0 E t (x, t) = +ĵ E t cos(k b x ωt), x 0 B i (x, t) = + k B i cos(k a x ωt), x 0 E r B r (x, t) = k B r cos(k a x + ωt), x 0 heijastunut B t (x, t) = + k B t cos(k b x ωt), x 0 B r aine a aine b Rajapinnalla x = 0 kokonaiskenttien on toteuttava rajapintaehdot kaikilla t. Tulevan tasoaallon amplitudi E i (ja B i = E i /v a = n a E i /c) oletetaan tunnetuksi. 39 (41)

40 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Rajapintaehtojen tarkistus Sähkö- ja magneettikenttien normaalikomponentit ovat nollia Tangentiaalinen E on jatkuva E i + E r = E t rajapintaehdot ok. (I) Tangentiaalinen B/K m on jatkuva B i B r = B t n a E i n a E r = n b E t (II) Määritellään sähkökentän heijastus- ja läpäisykertoimet Γ ja τ, E r = Γ E i ja E t = τe i, ja ratkaistaan kertoimet yhtälöistä (I) ja (II) eli 1 + Γ = τ ja n a n a Γ = n b τ 40 (41)

41 Kenttien rajapintaehdot (lisämateriaalia) Fresnelin kertoimet Fresnelin kertoimet Kohtisuorasti rajapintaan tulevan aallon Fresnelin kertoimet eli sähkökentän heijastus- ja läpäisykertoimet ovat siis: Γ = n a n b n a + n b ja τ = 2n a n a + n b = 1 + Γ (ei-johtava eristeaine) (Ylikurssia:) Vinosti kahden ei-johtavan eristeaineen rajapintaan tuleva tasoaalto on jaettava tulotason kanssa yhdensuuntaisesti ( ) ja tulotasoa vastaan kohtisuorasti ( ) lineaaripolarisoituneeseen komponenttiin Näiden kahden ominaispolarisaation Fresnelin kertoimet ovat Γ = n a cos θ a n b cos θ b n a cos θ a + n b cos θ b Γ = n a cos θ b n b cos θ a n a cos θ b + n b cos θ a τ = 2n a cos θ a n a cos θ a + n b cos θ b τ = 2n a cos θ a n a cos θ b + n b cos θ a missä sähkökenttien suunnat on valittu yhtymään kohtisuoran tapauksen kanssa, kun θ a = θ b = 0 Näistä ilmenee yhdessä Snellin lain kanssa mm. heijastuksen polaroivuus 41 (41)