28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa o hyvi laajaa, esimerisi erilaiste futioide arvot lasetaa yleesä sarjaehitelmie avulla. Tarvitsemme esi vastaavie jooje eli futiojooje perustiedot. Futiojoot Tarastellaa välillä I määriteltyjä futioita f, =, 2,3,. Futiojoo ( f) = jos suppeee välillä I pisteittäi ohti rajafutiota f, lim f ( ) = f( ), I. Pisteittäie suppeemie o siitä huoo suppeemismuoto, että se ei välttämättä siirrä joo futioide hyviä omiaisuusia (ute jatuvuus) rajafutioo. Voimaaampi ja tässä mielessä parempi suppeemie o tasaie suppeemie. Futiojoo ( f) = suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f, jos ja vai jos joaista luua ε > ohti o olemassa sellaie idesi ε, että u, ii ε f ( ) f ( ) < ε, I. Tämä meritsee geometrisesti, että futioide f uvaajat sijaitsevat idesistä ε alae futioide f ε ja f + ε uvaajie välissä oo välillä I.
29 Tasaise suppeemise määritelmässä o oleellista, että ε ei riipu :stä. Määritelmä voidaa ilmaista myös muodossa: Futiojoo ( f) = ja vai jos suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f, jos lim sup f( ) f( ) =. I Esim. ( ) + f =, I = [,2]. f ( ), I Siis joo ( f ) suppeee välillä I (aiai) pisteittäi ohti rajafutiota f, f ( ) =. + 2 Suppeemie o myös tasaista, osa ma =, u I. Esim. 2 f( ) =, I=(-,) Pisteittäie rajafutio o. Suppeemie ei ole tasaista, osa ma f ( ) =. I Lause (Rajafutio jatuvuus) Jos f o välillä I jatuva aiilla ja f f tasaisesti välillä I, ii myös rajafutio f o jatuva välillä I.
3 Tod.: Oloo y väli I joi piste ja ε >. Jos ε o tasaise suppeemise määritelmässä maiittu idesi positiiviluvulle ε /3, ii silloi ε, I : f ( ) f( y) = f( ) f ( ) + f ( ) f ( y) + f ( y) f( y) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( y) + f ( y) f( y) < ε /3 + f( ) f( y) + ε /3. Kiiteällä, ε, o jatuvuude perusteella olemassa δ > site, että f( ) f( y) < ε /3, u y < δ ja I. Näi saadaa f( ) f( y) < ε /3 + ε/3 + ε/3= ε, u y < δ ja I. Siis f o jatuva pisteessä y. Seuraava tulos mahdollistaa raja-arvo ja itegroii järjestyse vaihtamise: Lause 2 välillä I=[a,b], ii Jos f o välillä I jatuva aiilla ja f lim f ( tdt ) = lim f( tdt ) = f( tdt ) a a a aiilla I. Suppeemie o tasaista välillä I. f tasaisesti Tod.: Oloo ε >. Silloi o olemassa ε site, että aiille väli I pisteille t pätee idesistä ε alae ε f () t f() t < b a Silloi ε f() tdt f() tdt f() t f() t dt dt ε b a, u ε a a a a, I.
3 Lause 3 Oletetaa, että (a) futiot f ovat jatuvasti derivoituvia välillä I=[a,b], =,2,3, (b) derivaattajoo ( f ) suppeee tasaisesti välillä I ohti rajafutiota g (c) joo ( f ) suppeee aiai yhdessä väli I pisteessä c Silloi joo ( f ) suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f ja I : lim f '( ) = g( ) = f '( ). Tod.: Edellise lausee ojalla g( t) dt = lim f '( t) dt = lim f '( t) dt = lim( f ( ) f ( c)) c c c tasaisesti I:ssä. Siis f ( ) = lim f ( ) = g( t) dt+ lim f ( c) c o olemassa ja suppeemie o tasaista, seä f '( ) = g( ) = lim f ( ).
32 Futiosarjat Futioista muodostettu sarja määritellää samalla tavalla ui luusarjai, yt vai termit ovat futioita. Suppeemie palautetaa osasummafutioide joo suppeemisee: Futiosarja = f = f + f + ( ) ( ) 2 ( ) suppeee välillä I pisteittäi ohti summafutiota f ( ), jos osasummie joo ( S( )) suppeee pisteittäi ohti futiota f ( ). Futiosarja f ( ) suppeee tasaisesti välillä I ohti futiota f ( ), = jos S ( ) f( ) tasaisesti välillä I eli jos lim sup R ( ) =, I missä R ( ) o :s jääöstermi R ( ) = f ( ). = + Oheisissa uvissa ylempi esittää tasaise suppeemise tilaetta, jossa N:s osasumma o "ε-putessa". Alemmassa o taas tilae, jossa osasummia tn ( ) ei saada millää ε-putee, ja suppeemie ei ole tasaista.
33 Lause 4 (Sarja summa jatuvuus) Jos sarja f ( ) termit ovat jatuvia välillä I ja sarja suppeee = tasaisesti välillä I, ii summa f ( ) o välillä I jatuva futio. Tod.: Seuraa futiojooja osevasta lauseesta sovellettua osasummie jooo ( S( )).
34 Lause 5 (Sarja itegroiti termeittäi) Jos sarja f ( ) ( ) = f termit ovat jatuvia välillä I = [ ab, ] = ja sarja suppeee tasaisesti välillä I, ii f () t dt= f () t dt= f () t dt a a = = a aiilla I ja saatu sarja suppeee tasaisesti välillä I. Tod.: f ( tdt ) = lim S( tdt ) = lim S( tdt ) a = a a = a =. a = lim f () tdt= f() tdt Lause 6 (Sarja derivoiti termeittäi) Jos sarja f ( ) ( ) = f suppeee välillä I = [ ab, ] ja sarja = suppeee tasaisesti välillä I, ii myös ja d f '( ) = f( ) = f'( ) d = =. = = f '( ) f ( ) suppeee siellä tasaisesti Tod.: f '( tdt ) = f '( tdt ) = ( f ( ) f ( a)) a = = a = f () t = f '() t dt+ f ( a) = a = = d f( ) = f'( ) d = =.
35 Seuraava tulos o usei ätevä tasaise suppeemise osoittamisessa: Lause 7 (Weierstrassi testi) Jos o olemassa luusarja futiosarja = = M f ( ) termie ylärajoja: f ( ) M,, I,, joa termit ovat välillä I ii sarja f ( ) suppeee tasaisesti välillä I. = Tod.: Majorattiperiaattee ojalla f ( ) suppeee itseisesti välillä I = pisteittäi. Kolmioepäyhtälö avulla saadaa jääöstermeille f ( ) f ( ) M, I. = + = + = + Siis lim sup R ( ) = lim sup f ( ) =. I I = + si Esim. 3 3, I = = si, 3 3 :ssä. 3 suppeee (p-sarja, p>), jote 3 = = si suppeee tasaisesti
36 Tehtäviä e ) Osoita, että futiosarja 2 summa määrittelee jatuva = + futio joaisella reaaliaseli välillä. 2) Voidaao seuraavia sarjoja itegroida tai derivoida termeittäi välillä [-,] muuttuja suhtee? 3 e si( ) b) 2 ( ). = + a) 2 2 = +
37 Potessisarjat Potessisarja o futiosarja, jossa termit ovat potessifutioita. Se yleie muoto o 2 () a ( ) = a + a ( ) + a ( ) +, = 2 missä a, a2, a3, ja ovat vaioita. Lause 8 Jos potessisarja () suppeee jollai =, ii se suppeee itseisesti aiilla, joille <. Jos potessisarja hajaatuu arvolla = 2, ii se hajaatuu aiilla, joille > 2. Tod.: Jos a ( ) suppeee, ii se yleie termi läheee ollaa: = a ( ), u. Siis erityisesti yleiste termie joo o rajoitettu, jote o olemassa sellaie M>, että a ( ) M, eli a M,. Silloi ( ), a M.
38 Jos <, o sarjalla a ( ) siis majorattisarjaa = suppeeva geometrie sarja, jote sarja a ( ) suppeee silloi = itseisesti. Jos ( 2 ) a hajaatuu, ii myös a ( ) hajaatuu aiilla = =, joilla > 2. Jos imittäi a ( ) suppeisi, ii edellise = ojalla myös a ( ) suppeisi. = 2 Edellisestä lauseesta seuraa, että aia o olemassa -esie laaji väli, jossa sarja () suppeee. Sillä jos R = sup{ r sarja () suppeee arvolla + r}, ii () suppeee välillä < + R = R. Luu R o sarja suppeemissäde ja väli ( R, + R) se suppeemisväli. Näi ähdää seuraava tulos: Lause 9 Potessisarja a ( ) suppeemiselle o voimassa = ysi seuraavista mahdollisuusista: () Sarja suppeee vai arvolla. Silloi suppeemissäde o R =. (2) Sarja suppeee itseisesti välillä R< < + R, mutta hajaatuu, u > R. Suppeemissäde o R. (3) Sarja suppeee itseisesti aiilla. Silloi suppeemissäde o R =.
39 Potessisätee lasemisesi saadaa aavat sarja ertoimie avulla seuraavasti: Lause Potessisarja a ( ) suppeemissäde R saadaa aavoista a) R = lim a tai a b) R = lim a, + = edellyttäe, että yseiset raja-arvot ovat olemassa. Tod.: a) Kosa a = a, saadaa juuritesti limesmuotoa äyttäe lim a = lim a < tai > < lim tai > lim a. a Siis sarja a ( ) suppeee, u = < lim ja hajaatuu, u a > lim, a jote suppeemissäde R = lim. a
4 b) Vastaavasti suhdetesti limesmuodo avulla. Potessisarja suppeemie o seuraavassa mielessä tasaista: Lause Potessisarja a ( ), joa suppeemissäde o R, = suppeee tasaisesti joaisella suppeemisvälii sisältyvällä suljetulla välillä [ ab, ] ( R, + R). Tod.: Oloo r> sellaie, että [ a, b] [ r, + r] [ R, + R]. Ku [ ab, ], o siis a( ) a r ja sarja a r suppeee, = osa r< R. Weierstrassi testi muaa sarja a ( ) suppeee siis tasaisesti välillä [ ab, ]. = Tasaisesta suppeemisesta seuraa potessisarja summa jatuvuus: Lause 2 Potessisarja summa o sarja suppeemisvälillä jatuva futio. Tod.: Jos ( R, + R), ii o olemassa < r< R site, että [ r, + r]. Kosa edellise lausee muaa potessisarja suppeee tasaisesti välillä [ r, + r] ja futiot a ( ) ovat jatuvia, o summai jatuva välillä [ r, + r] ja erityisesti siis pisteessä.
4 Tasaisesta suppeemisesta seuraa myös, että potessisarja voidaa itegroida ja derivoida termeittäi. Voidaa osoittaa (todistus sivuutetaa), että äi saaduilla potessisarjoilla o sama suppeemissäde ui aluperäisellä. Lause 3 Potessisarja a ( ) = S( ), joa suppeemissäde = o R >, voidaa a) itegroida termeittäi: a ( ) + ( ), u = = + a t dt= < R b) derivoida termeittäi: d d ( ) ( ), u = = a = a < R. Saatuje sarjoje suppeemissäde o R. Kosa potessisarjasta derivoimalla saatu futiosarja o itsei potessisarja, o potessisarjalla siis aiie ertaluuje derivaatat. Taylori sarjat Jos potessisarja a ( ) = S( ) derivoidaa ertaa saadaa = ( ) ( + )! ( + 2)! 2 S ( ) =! a + a+ ( ) + a+ 2( ) +,! 2! joa o voimassa potessisarja suppeemisvälillä. Sijoittamalla = saadaa ertoimelle a lausee ( ) S ( ) a =, =,,2,,!
42 missä o äytetty sopimusta!=. Tästä seuraa, että jos futio f ( ) voidaa esittää jollai välillä < R suppeevaa sarjaa, = f ( ) = a ( ) ii tämä esitys o ysiäsitteie, sillä ertoimet ovat välttämättä a ( ) f ( ) =, =,,2,.! Nämä ovat samat ui futio f Taylori polyomi ertoimet: Futio f. astee Taylori polyomi ohdassa o polyomi ( ) f '( ) f ''( ) 2 f ( ) T ( ; ) = f( ) + ( ) + ( ) + +.! 2!! Taylori aava ertoo, että jos futio f o ertaa jatuvasti derivoituva välillä ( h, + h), ii aiilla ( h, + h) o voimassa esitys f ( ) = T ( ; ) + R ( ; ), missä jääöstermi f ( ξ ) R ( ; ) ( ) ( + )! ( + ) + =, jollai ξ (, ) tai ξ (, ). Oheisessa uviossa o futioide ja e ahde alimma astee Taylori polyomit ohdassa ja :
43 Jos futiolla f o aiie ertaluuje derivaatat pistee ympäristössä ( h, + h) ja lim R ( ) =, ii f:lle o voimassa sarjaehitelmä, futio f Taylori sarja pisteessä : f ( ) f h h. ( ) ( ) = ( ), (, + ) =! Tämä esitys o ysiäsitteie. Toisi saoe, jos futiolla f o pistee ympäristössä potessisarjaehitelmä ( ):potessie muaa, se o futio f Taylori sarja. Taylori sarjaa ohdassa = saotaa myös Maclauri'i sarjasi: ( ) f () f( ) =.! =
44 Seuraavassa äydää läpi täreimpie futioide Taylori (Maclauri'i) sarjoja. Espoettifutio e 2 3 = + + + + 2! 3! =,.! = Tod.: Taylori aava muaa 2 3 ξ e +, jollai ξ (, ) tai ξ (,) e = + + + + + +. 2! 3!! ( + )! Toisaalta potessisarja suppeemissäde =! a ( )! lim + R= = lim = lim( + ) =, a! + jote suppeee aiialla. Tällöi se yleie termi lähestyy =! ollaa. Silloi Taylori aava jääöstermille saadaa: ξ e + e + R ( ;) = <, u tapausessa > ( + )! ( + )! ja ξ e + e + R ( ;) = <, u tapausessa <. ( + )! ( + )! Siis sarja suppeee aiilla ja se summa o e. Yleie espoettifutio a (a>) voidaa muutaa yllä olevasi: la la a = e = e, jote se Taylori sarjasi saadaa a a a = + ( la) + + =, 2 (l ) 2 (l ) 2! =! joa myös suppeee aiialla.
45 Biomisarja rr ( ) rr ( ) ( r + ) + = + r + + = 2! + =! < <. r 2 ( ), u Tod.: Tässä tapausessa ei aata meetellä ute espoettifutio sarja ehitelmä todistusessa tehtii, osa yt Taylori aava jääöstermi arvioimie o haalaa. Todetaa esisi, että oiealla puolella oleva sarja suppeemissäde R o : a lim + R = = lim =. a r + Siis potessisarja suppeee, u < <. O vielä osoitettava, että se summa o ( + ) r. Derivoimalla futio f ( ) = ( + ) r saadaa f ( ) = r( + ) r. Todetaa siis, että futio o aluarvoprobleema ( + ) f ( ) = rf( ), f() = rataisu. Derivoimalla sarja termeittäi saadaa sarja summalle S: ( ) rr ( ) ( r + ) S ( ) = r! josta = r rr ( ) ( r + ) ( + ) S ( ) = ( + ) =! rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = +!! = =,
46 rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = + + r 2! = =! r( r ) ( r ) r( r ) ( r + ) = r+ ( + ) + ( + )!! = = r( r ) ( r + )( r + ) = r+ =! rr ( ) ( r + ) = r+ r = rs( ).! = Kosa lisäsi S()=, o siis myös S() aluarvotehtävä rataisu. Differetiaaliyhtälöide olemassolo- ja ysiäsitteisyyslausee (s. urssi loppuosaa) ojalla o siis S ( ) = f( ) = ( + ) r. Jos r o positiivie ooaisluu: r mm ( )( m 2) ( m + ) =! = m, ii aiilla > m. Silloi biomisarja o päättyvä, astetta m oleva polyomi, ja aava o imeltää biomiaava: m mm ( ) 2 mm ( ) 2 m ( + ) = + m + + + 2! m! m m m mm ( ) ( m + ) m! =, missä = =.!!( m )! = Seuraavassa ovat myös erioistapauset r= ½ ja r= ½ : 3 3 5 2 24 246 2468 2 3 4 + = + + + 3 3 5 3 5 7 + 24 246 2468 2 3 4 = 2 + +.
47 Logaritmifutio 2 3 l( + ) = + = ( ), < 2 3 = Tod.: Geometrie sarja t t t t + t = + + < < 2 3, ataa termeittäi itegroitua 2 3 l( + ) = dt= +, u < <. + t 2 3 Pisteessä = sarja hajaatuu, osa se o harmoie sarja errottua (-):llä. Pisteessä = sarja suppeee Leibizi lausee perusteella. Se summa o silloi väittee muaie l( + ) = l2, sillä: dt 2 t l2 = = ( + + ( ) + ( ) ) t t t dt + t + t 2 3 ( ) t = + + + ( ) dt + t missä jääöstermi lähestyy ollaa: t t ( ) dt dt < t dt =, u + t + t +.
48 Ku futio l( + ) sarjaehitelmää sijoitetaa : paialle -, saadaa 2 3 l( ) =. 2 3 Vähetämällä sarjat toisistaa saadaa 3 5 l + = 2( + + + ), < <. 3 5 Tämä sarja avulla voidaa mm. lasea miä hyväsä positiivise luvu logaritmi liiarvo. Trigoometriset futiot 3 5 2+ si = + = ( ), 3! 5! (2 + )! = cos = + = ( ), 2! 4! (2 )! 2 4 2 = Tod.: Derivoimalla toistuvasti ähdää, että (4) f() =, f () =, f () =, f () =, f () =, je. Siis Taylori aava muaa 3 5 2 si( ) = + + ( ) + R, 3! 5! (2 )! ± siξ 2+ ± cosξ 2+ missä jääöstermi o muotoa tai. Siis (2+ )! (2+ )! jääöstermit lähestyvät ollaa aiilla, u lähestyy ääretötä. Kosii ehitelmä todistetaa vastaavalla tavalla.
49 Oheisessa uviossa o osii ja siitaylori sarjoista alupää osasummia: Tehtäviä 3) Johda sarjaehitelmät futioille ta ja arcta. cot 4) Lase sarjaehitelmiä hyväsiäyttäe raja-arvo lim 2.