Lukujonot ja sarjat. Lukujonon raja-arvo. Esimerkki. Huomautus. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa lukuja. a. Eräs lukujono on.

Transkriptio

1 Lukujoot ja sarjat Lukujoo raja-arvo Lukujoolla tarkoitetaa ääretötä jooa lukuja. a. Eräs lukujoo o Se merkitää, 2, 3, 4, 5, 6,...,,... ( ) ( ) tai lyhyesti. b. Joo, 4, 9, 6, 25, 36,... merkitää ( ) c., + 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... ( ) ( ) d., 2, 3, 4, 5, 6,... e. ( si(kπ/2) ) k,,,,,,,,,... ( ) ( ) 2 tai 2. f. Yleisesti luvuista a, missä, 2, 3,..., saadaa joo (a ) a, a 2, a 3, a 4,... jota merkitää lyhyesti myös (a ). Moisteessa määritellää joo raja-arvo. Tässä se o hiuka toisi muotoiltua; moisteessa merkitää m mutta me merkitsemme ɛ: Määritelmä 6.3. Lukujoo (a ) raja-arvo o A, eli joo suppeee kohti lukua A, jos o voimassa: Jokaista lukua ɛ > kohti o sellaie N ɛ N, että a A < ɛ ku > N ɛ ; tällöi merkitää lim a A tai a A. Jos sellaista lukua A ei ole, ii joo hajaatuu. Huomautus Siis a : raja-arvo o A, jos etäisyys a A tulee mielivaltaise pieeksi, ku o kylli suuri. Symbolei tämä voidaa kirjoittaa: lim a A, jos ɛ > N ɛ N : a A < ɛ ku > N ɛ,

2 mikä luetaa: Jokaista positiivilukua ɛ kohti o sellaie N ɛ R, että a A < ɛ ku x > N ɛ. Aikaisemmi o saottu, että kaikissa raja-arvoissa o sama idea. Tässä o vertailu vuoksi lista eräitä määritelmiä, joista osa o jo esiityytki: lim x a f(x) A, jos ɛ > δ ɛ > : f(x) A < ɛ ku < x a < δ ɛ. lim f(x) A, jos x ɛ > M ɛ > : f(x) A < ɛ ku x > M ɛ. lim f(x) A, jos x a ɛ > δ ɛ : f(x) A < ɛ ku a δ ɛ < x < a. lim x a f(x), jos M > δ M : f(x) > M ku < x a < δ M. lim f(x, y) A, jos (x,y) (a,b) ɛ > δ ɛ > : f(x, y) A < ɛ ku < (x a) 2 + (y b) 2 < δ ɛ. Kaikissa o sama idea, sama rakee. Nytpä osataaki, sama malli mukaa, määritellä tarkasti vaikkapa, milloi lukujoo raja-arvo o ääretö: lim a, jos M > N M R : a > M ku > N M. Tosi tällä kurssilla määritelmiä ei käytetä todeäköisesti paria esimerkkiä eempää. 6.5 Osoitetaa määritelmä avulla, että lim ( 2 ). Moistee esimerkissä tämä o tehty, mutta me kirjoitamme se yt käyttäe ɛ:ia. Olkoo ɛ > mielivaltaie. Koska ( ) 2 2 < ɛ 2 > ɛ > log 2 (/ɛ), ii määritelmä ehto toteutuu; voidaa valita N ɛ log 2 (/ɛ). 2

3 Osoitetaa määritelmä avulla, että lim Ku ɛ > o mielivaltaie, ii + ( + ) + +. > + < ɛ ku > ɛ. Määritelmä avulla tällaisia ei käytäössä kylläkää lasketa. Moisteessa olevie raja-arvo laskusäätöje (s. 5) avulla lasku tehdää äi: + + +, siis juuri kute o aikaisemmi totuttu laskemaa fukioide raja-arvoja. Laskussa tuli käyttöö raja-arvo lim, joka o toki ilmeie mutta o todistettuki moistee esimerkissä 6.4. Taylori polyomi Johdatoa Taylori polyomeihi katsotaa moistee esimerkkie tilaetta. Kaavakokoelmassa o kaava (6): e x + x + x2 2! + x3 3! + x!. (Muistetaa, että! 2 3.) Tämä o ekspoettifuktio Taylori sarja. Myöhemmi selitetää, mitä sarja eli tuollaie summa jossa o äärettömä mota termiä oikei tarkoittaa. Otetaa tässä ilma perusteluja käyttöö tieto, että ku siitä katkaistaa alkupäästä äärellisiä summia, saadaa e x : approksimaatioita kohda x lähellä, sitä tarkempia mitä eemmä termejä otetaa. Siis: e x ku x (approksimaatio), e x + x ku x (parempi approksimaatio), e x + x + 2! x2 ku x (vielä parempi), e x + x + 2! x2 + 3! x3 ku x (aia vai parempi), ja ii edellee. Näi saatuja polyomeja saotaa fuktio e x Taylori polyomeiksi kohdassa x. Seuraavassa kuvassa ämä eljä o piirretty äkyvii. Kuvaajie perusteella todella äyttää, että saadaa toie toistaa parempia approksimaatioita. 3

4 Paaa mm. merkille tuo esimmäise kertaluvu approksimaatio eli lieaarie approksimaatio e x + x. Se liittyy differetiaaliiki, siis f df f (x)dx, joka voidaa kohdassa x kirjoittaa f(x) f() f ()(x ). Ku f(x) e x, tämä ataa juuri e x x eli e x +x. Kuvasta äkyy, että toise ja kolmae kertaluvu approksimaatiot ovat tarkempia. y y e x y +x+x 2 /2+x 3 /6 y +x+x 2 /2 y +x y x Mite uo polyomit o löydetty? Mistä uo kertoimet! tulivat? Etä jos o aettua joki muu fuktio f(x), ii mite sellaisia approksimoivia Taylori polyomeja löydetää? Etä jos ekspoettifuktiota halutaaki approksimoida jossai muualla kui kohda x lähellä? Saamme vastaukse moistee kaavoissa (6.4) ja (6.5) s Sellaiste approksimaatioide hyöty o ilmeie: Paitsi että iitä voi käyttää käytäö laskuissa, iide avulla o myös mahdollista ohjelmoida jopa trassedettisia fuktioita halutulla tarkkuudella, eikä lausekkeisii tule muuta kui yhtee- ja kertolaskuja e ovat yksikertaisia polyomeja; esimerkiksi ku e x lasketaa kahdeksallatoista termillä e x 7 x!, 4

5 ii välillä x [, ] virhe o alle 3 5. Myöhemmi äemme jopa, mite Taylori polyomeilla (sarjoilla) lasketaa umeerisesti itegraaleja ja ratkotaa raja-arvoja. Muitaki sovelluksia o, vaikkei meillä tulekaa. Moistee lopussa o käytäö laskuesimerkki, jossa käytetää ovelalla tavalla siifuktio approksimoitia kolmae astee Taylori polyomilla. Taylori polyomi kaava johto kohdassa x Määritellää ja johdetaa fuktio f(x) :e astee Taylori polyomi. Moisteessa käsitellää esi tapaukset ja 2 sivuilla 52 53, mutta tässä meää suoraa yleisee tapauksee, joka o moisteessa s. 54. Oletetaa, että f(x) o sellaie fuktio, että derivaatat f(), f (), f (),..., f () () ovat olemassa. Saotaa, että P (x) o fuktio f(x) :e astee Taylori polyomi kohdassa x, jos (i) P (x) o :e astee polyomi, ja (ii) f() P (), f () P (), f () P (),..., f () () P () (). Vaaditaa siis, että P (x) o tässä imeomaisessa mielessä fuktiota f(x) parhaite approksimoiva :e astee polyomi. Koska P (x) o :e astee polyomi, ii P (x) C + C x + C 2 x C x, missä C k :t ovat toistaiseksi tutemattomia kertoimia. Siis tutemattomia o + kappaletta, ja koska ehtoja (ii) o iitäki + kappaletta, ii o hyvä syy odottaa, että C k :t voidaa ratkaista yksikäsitteisesti. Olkoo k. Lasketaa k:s derivaatta P (k) (x): P (x) C + C x + C 2 x 2 + C 3 x C x P (x) C + 2C 2 x + 3C 3 x C x P (x) 2C C 3 x + + ( )C x 2 P (x) 2 3C ( 2)( )C x 3 ja ii edellee. Ilmeisesti siis Sijoittamalla x seuraa P (k) (x) k!c k + termejä joissa esiityy x. P (k) () k!c k. Asetettii ehto f (k) () P (k) (), jote pitää olla f (k) () k!c k, 5

6 josta C k f (k) (). k! Näi saimme moistee kaava (6.4), fuktio f(x) :e astee Taylori polyomi kohdassa x : eli P (x) f() + f ()! P (x) x + f () 2! k f (k) () k! (Muistetaa, että! ja f () (x) f(x).) x f () ()! Taylori polyomi kaava johto kohdassa x a Jos etsitääki approksimaatiota kohda x sijasta kohda x a ympäristössä, ii johto o melkei samalaie. Taylori polyomi kohdassa x a o :e astee polyomi P (x), joka toteuttaa ehdot f (k) (a) P (k) (a) ku k,,...,. Kaava johdossa lähdetää lausekkeesta x k. P (x) C + C (x a) + C 2 (x a) C (x a) (katso selitystä seuraavassa huomautuksessa) ja lasku aikaa sijoitetaa x a eikä x. Tuloksea saadaa Taylori polyomi kohdassa x a: eli P (x) f(a) + f (a)! (x a) + f (a) 2! P (x) k f (k) (a) k! Se approksimoi f(x):ää kohda x a lähellä: Huomautus x (x a) f () (a)! (x a) k. f(x) P (x) ku x a. (x a) Ehkä hiuka tarvitaa lisäselitystä tuoho, miksi P (x) voidaa ottaa muodossa P (x) C + C (x a) + C 2 (x a) C (x a). Jokaie :e astee polyomi Q(x) c + c x + + c x saadaa muotoo Q(x) b + b (x a) + + b (x a) seuraavalla tempulla. Kirjoitetaa joka kohdassa x muotoo x (x a) + a ja kehitetää kaikki 6

7 auki (x a): polyomiksi. Esimerkiksi toise astee termi c 2 x 2 käsitellää äi: c 2 x 2 c 2 ( (x a) + a ) 2 c2 ( (x a) 2 + 2(x a)a + a 2) c 2 a 2 + 2c 2 a(x a) + c 2 (x a) 2, jolloi se jo oki vaadittua muotoa. Yleiselle i:e astee termille lasku meee äi: c i x i c i ( (x a)+a ) i ci i k ( ) i (x a) k a i k k i k [( ] i )c i a i k (x a) k k (käytettii biomikaavaa). Sama tehdää jokaiselle Q(x): termille, ja lopuksi samaasteiset termit yhdistetää. Lasketaa fuktio f(x) cos x Taylori polyomeja kohdassa x. Kaava o P (x) jote o laskettava derivaattoja: Kaavasta saadaa k f (k) () k! x k, k f (k) (x) f (k) () cos x si x 2 cos x 3 si x 4 cos x 5 si x 6 cos x Siis P (x) P (x) + f () ()! P (x) f(), P (x) P (x) + f ()x, P 2 (x) P (x) + f () 2! x 2 2 x2, P 3 (x) P 2 (x) + f () 3! x 3 2 x2, x ku. P 4 (x) P 3 (x) + f (4) () 4! x 4 2 x x4, P 5 (x) P 4 (x) + f (5) () 5! x 5 2 x x4, P 6 (x) P 5 (x) + f (6) () 6! x 6 2 x x4 72 x6 7

8 ja ii edellee. Itse asiassa tässä pilkottaa kosii Taylori sarja alku. Sarja o kaavakokoelma kaavassa (8): cos x 2! x2 + 4! x4 6! x6 +. y y P 4 (x) y P (x) P (x) x y cos(x) y P 2 (x) y P 6 (x) Lasketaapa cos ( 2) :lle likiarvo P6 : avulla, cos ( ) 2 2! ( 2 ) 2 + 4!,,25 +, , , ( ) 4 2 ) 6 6!( 2 Laski ataa cos ( 2), Mitehä se se laski? Sarjasta kai, mutta motakoha termiä se käytti? Näköjää eljällä termillä saimme jo kuusi desimaalia oikei. Tämä o opeasti suppeeva sarja! Sarjat Moisteessa määritellää sivulla 56 yleisesti sarja, sarja osasummat ja sarja summa. Erityisesti sarja a summa o a lim N N a, mikäli tämä raja-arvo o olemassa, jolloi saotaa, että sarja suppeee; muutoi sarja hajaatuu. Sarja osasummat ovat jote S N a N a, lim S N. N 8

9 Huomautus Siis sarja a summa o joo (S N ) raja-arvo. Sarja a summaa ei saa sekoittaa joo (a ) raja-arvoo. Eri taulukoista löytyy sellaisia tosiseikkoja kui π , l , sarja hajaatuu. a) Sarja summa π tarkoittaa, että lim N N 2 π2 6, jote luvulle π 2 /6 saadaa likiarvoja laskemalla sarja osasummia. Esimerkiksi osasumma, jossa o termiä, siis , poikkeaa oikeasta arvosta π 2 /6 vielä., vaikka viimeie termi o eää vai, ja pois jätetyt termit ovat vielä pieempiä. Tämä o aika hitaasti suppeeva sarja. b) Sarja summa l saadaa itse asiassa kaavakokoelma kaavasta (7) sijoittamalla x. Ku otetaa tuhae termi osasumma, siis , ii summa poikkeaa oikeasta arvosta l 2 vielä.,5. Hitaasti suppeee tämäki. c) Ku eo. sarjassa kaikki termit vaihdetaa positiivisiksi, saadaaki hajaatuva sarja, s. harmoie sarja Perustelemme hajaatumise jäljempää. Saotaa, että sarja summa o, koska osasummie raja-arvo o, kute myöhemmi äemme. Kuiteki osasumma, jossa o miljooa termiä, o vasta. 4,4, ja satamiljooaaki termiä ataa vasta. 9, jote pelkästää osasummia laskemalla ei taida oikei vakuuttua siitä, että raja-arvo o ääretö. 9

10 Sarja suppeemisesta Moisteessa o suppeevista sarjoista esimerkkeiä sarja ( + ) (esimerkki 6.6) ja geometrie sarja (pykälä 6.4). Kummassaki tapauksessa pystytää löytämää :elle osasummalle S eksplisiittie lauseke ja siitä selvittämää raja-arvo lim S, mikä ataa paitsi tiedo suppeemisesta tai hajaatumisesta, jopa sarja summaki suppeevassa tapauksessa. Kirjallisuudessa esiityy s. suppeemistarkastimia, joide avulla voidaa usei ratkaista, suppeeeko aettu sarja vai hajaatuuko se, vaikkei osasummalle S pystyttäisikää saamaa yleistä lauseketta. Tässä kurssissa aioa sellaie tulos o lause 6.8, joka tuetaa imellä hajaatumistarkasti ja joka saoo, että jos lim a ei ole, ii sarja a hajaatuu. (Huomaa, että tämä sisältää seki tapaukse, ettei raja-arvo lim a ole edes olemassa.) Huomautus Lause 6.8 ei ole voimassa käätäe: Jos lim a, ii siitä ei seuraa, että sarja a suppeisi. Saamme kohta tästä esimerki, ku osoitamme, että harmoie sarja hajaatuu, vaikka lim. Väite. Sarja Todistus. Osasumma hajaatuu. S N o ao. kuvio porraskuvio ala. Nimittäi portaide korkeudet ovat, N 2, 3, 4,..., N. Huomaa, että kuviossa vaaka- ja pystyakseleilla o eri mittakaavat.

11 .. y /2 /3 / N y x+.. x Kuva käyrä o y x+. Kuviosta saadaa siis S N:lle alaraja-arvio S N N N / N x + dx l x + l N + l l(n + ). Koska l(n + ) ku N, ii myös S N ku N. Siis sarja hajaatuu. Geometrie sarja Geometrie sarja o kaikkei tärkeimpiä sarjoja. Otetaa moistee käsittelystä tähä vai tapaus a, joka käytäössä aia riittääki. Kysymys. Mikä o sarja + q + q 2 + summa ku q R?. Jos q, ii q ku, sillä q q. Lausee 6.8 mukaa sarja q hajaatuu. 2. Jos q <, ii q q ku, jote siis q ja saadaa S + q + q 2 + q q q q q.

12 Tulos. Sarja q { hajaatuu jos q, suppeee ja summa o q jos q <. Moisteessa tutkitaa esi silmäyksellä yleisempää geometristä sarjaa ( aq ) a + aq + aq 2 + (a ), joka siis alkaa termillä a eikä. Tämä kuiteki palautuu edellä käsiteltyy tapauksee ku a otetaa yhteiseksi tekijäksi. Esimerkiksi sarja voidaa laskea ( ) 5 2. Neliöstä leikataa pois kuvio mukaisesti ääretö määrä kolmioita (varjostetut). Mikä o jäljelle jäävä osa pita-ala? Jäljelle jäävie (valkoiste) kolmioide kateetit ovat a, 2 a, 4 a, 8 a,... jote kolmioide aloje summa o a/2 a/2 a a A 2 a2 + 2( 2 a) 2 ( a) 2 + 2( 8 a) 2 + ( 2 a2 + ( 2 ( 2) + 2 ( 4) + 8 ( 2 a ) a a2, siis kaksi kolmasosaa koko eliöstä. Potessisarja suppeemisesta ) 2 + ) Kohta käsiteltävät Taylori sarjat ovat potessisarjoja, millä tarkoitetaa muotoa a (x c) 2

13 olevia sarjoja; usei c, jolloi sarja o muotoa a x. (Huom. Potessisarjoje yhteydessä sovitaa että.) Tässä x o muuttuja, jote tällaise sarja summa ja suppeemieki riippuvat x:stä. Esimerkiksi jos sarjassa x 2 valitaa x, saadaa suppeeva sarja (joka summa o π 2 /6), mutta jos valitaa x 2, saadaaki hajaatuva sarja (hajaatuu lausee 6.8 ojalla koska 2 / 2 ). Siispä tällaisista x: sisältävistä sarjoista o oleellista selvittää suppeemisalue eli e x: arvot joilla se suppeee. Voidaa esimerkiksi osoittaa, että em. sarja x 2 suppeee jos ja vai jos x ; siis sarja suppeemisalue o [, ]. Potessisarjoja a (x c) koskee kauis ja yksikertaie tulos: suppeemisalue o c-keskie väli. Tarkemmi saoe o voimassa seuraava lause. Lause. Tarkastellaa potessisarjaa a (x c). O seuraavat kolme mahdollisuutta:. Sarja suppeee vai ku x c. Siis suppeemisalue o {c}. 2. Sarja suppeee kaikilla x: arvoilla. Siis suppeemisalue o R. 3. O sellaie r >, että sarja suppeee ku x c < r; sarja hajaatuu ku x c > r. Suppeemisalue o siis joki väleistä (c r, c + r), [c r, c + r), (c r, c + r], [c r, c + r]. 3

14 Potessisarjoje kohdalla suppeemisaluetta kutsutaaki suppeemisväliksi. Lausee tapauksessa 3 lukua r saotaa potessisarja suppeemissäteeksi; tapauksessa saotaa, että suppeemissäde o, ja tapauksessa 2 suppeemissäde o. Edellä jo maiittii, että sarja x 2 suppeee jos ja vai jos x ; siis se suppeemisväli o [, ] ja suppeemissäde o. Voidaa osoittaa, että sarja x! suppeee kaikilla x: arvoilla. Siis suppeemisväli o R ja suppeemissäde o. Tämä o itse asiassa e x : Maclaurii sarja (ks. myöh.) ja se o kaavakokoelma kaavaa (6). Kaavakokoelma kaava (7) l( + x) x 2 x2 + 3 x3 + ( ) x ( < x ) o fuktio l( + x) Maclaurii sarja (ks. myöh.). Voidaa osoittaa, että siiä maiittu väli (, ] o juuri sarja suppeemisväli. Siis suppeemissäde o. Geometrie sarja + x + x 2 + x 3 + suppeee jos ja vai jos x <, kute edellä todistettii. Siis suppeemisväli o (, ) ja suppeemissäde o. Taylori sarja Olkoo f(x) fuktio, jolla kaikkie kertalukuje derivaatat f () (x) ovat olemassa tarkastelualueessa. Aikaisemmi saottii, että kohdassa x a muodostettu :e astee Taylori polyomi approksimoi f(x):ää a: lähellä, ts. f(x) k f (k) (a) k! (x a) k ku x a. Voidaa todistaa, että yleesä rajalla tästä tulee yhtäsuuruus: f(x) k f (k) (a) k! (x a) k 4

15 aia ku x o oikea puole sarja suppeemisvälillä. (O eksoottisia fuktioita, joilla äi ei käy, mutta iitä ei tällä kurssilla tule. Katso varoitusta 6.24 moistee sivulla 6.) Tätä sarjaa saotaa fuktio f(x) Taylori sarjaksi kohdassa x a. Tapauksessa a sarjaa kutsutaa myös Maclaurii sarjaksi; se o siis muotoa f(x) k f (k) () k! x k. Huomautus Voidaa todistaa, että jos fuktiolle o jollaki tavalla löydetty sarjaesitys f(x) c (x a) x (a r, a + r) (r > ), ii se välttämättä o f(x): Taylori sarja, ts. voidaa osoittaa, että seuraa c f () (a).! Todistus olisi hyvi sama tapaie kui edellä oli Taylori polyomi kaava johto; yt vai tarvittaisii hiuka lisäteoriaa se vuoksi, että kyse o sarjasta eikä polyomista. Tällä o käytäö kaalta suuri merkitys: Jos fuktiolle f(x) ollaa etsimässä Taylori sarjaa, ii pyritää, jos mahdollista, johtamaa f(x):lle potessisarjaesitys jo tuetuista sarjoista, jolloi tulos siis automaattisesti o Taylori sarja. Taylori sarja laskemie yo. kaavasta termi termiltä o huoompi vaihtoehto. Oletetaa tuetuksi e x : Maclaurii sarja e x + x + x2 2! + x3 3! + + x! + x R. Mite laskettaisii fuktio f(x) e x2 Maclaurii sarja? O aiaki kaksi tapaa: ) Lasketaa kaavasta f(x) k f (k) () k! x k. Siis lasketaa fuktio f(x) e x2 derivaattoja f (x), f (x), f (x) je. joki matkaa, sijoitetaa iihi x ja kirjoitetaa sarjaa muutama termi alusta. Tämä o huoo meetelmä, joho kaattaa turvautua vai ku parempaa ei ole. Nimittäi: 5

16 Tämä o työlästä ja o helppo tehdä virheitä. Näi saadaa vai muutama termi sarja alusta eikä saada yleise termi lauseketta. Voimassaoloalue jää selvittämättä. 2) Parempi keio: Käytetää tuettua e x : sarjaa sijoittamalla siihe x: paikalle x 2 : e x2 + x 2 + x4 2! + x6 3! + + x2 + x R.! Tämä o potessisarja ja tähä merkitty yhtäsuuruus e x2 o voimassa kaikilla x: arvoilla (koskapa e x : sarja o voimassa kaikilla x: arvoilla). Edellise huomautukse mukaa tämä siis o kysytty Maclaurii sarja. Saadusta sarjasta voidaaki siis yt lukea, jos tällaista halutaa, että koska kertoimet eo. huomautukse mukaa ovat f () ()!, ii f () () {! (/2)! ku o parillie, ku o parito. Tällaisia sarjoje johtoja tulee myöhemmi järjestelmällisemmi. Sarjat kaavakokoelmassa Kaavakokoelma kaavat (3) (22) ovat Maclaurii sarjoja. Kaava (2) o yleie Taylori kaava, jossa esiityy Taylori polyomi ja jääöstermi (missä ξ (x, x ) tai ξ (x, x)) mutta jota ei käsitellä tällä kurssilla. Kaavat (6) (2) ovat tuttuje fuktioide Maclaurii sarjoja, ja tässä vai listataa iistä tavallisimmat: e x + x + x2 2! + x3 + (x R), 3! l( + x) x x2 2 + x3 3 x4 + ( < x ), 4 si x x x3 3! + x5 5! x7 + (x R), 7! cos x x2 2! + x4 4! x6 + (x R), 6! 6

17 eli e x l( + x) si x cos x x! (x R), ( ) x ( < x ), ( ) (2 + )! x2+ (x R), ( ) (2)! x2 (x R). Biomisarja Kaava (3) o biomisarja, ja siihe kaattaa tutustua hiuka tarkemmi. Se saoo, että ku α R o mielivaltaie, ii ( + x) α + αx + α(α ) 2! Tämä kirjoitetaa yleesä ( + x) α x 2 + α(α )(α 2) 3! ( ) α x ( x < ), missä ( α ) o s. (yleistetty) biomikerroi ( ) α α(α )(α 2) (α + )! Erikoistapauksia ( ) α, ( ) α α. x 3 + ( x < ). (Muistetaa, että tyhjä tulo, eli tulo jossa ei ole yhtää tekijää, sovitaa olemaa.) Huomaa, että α o mielivaltaie reaaliluku. Biomisarja o yleistys vahastaa tutusta biomikaavasta, jossa ekspoetti o luoollie luku: m ( ) m ( + x) m x, missä (m ) m!!(m )! m(m )(m 2) (m + )! Biomisarjasta saadaa muita sarjoja atamalla α:lle eri arvoja. Ku otetaa α 2, saadaa ( ) /2 + x ( + x) 2 x ( x < ). 7..

18 Tämä o kaavakokoelma sarja (4) vaikkei heti siltä äytä. Se toteamiseksi kertoimia pitää esi hiuka muokata: Esimmäiset kaksi kerroita ovat ( ) /2 ja ku 2, ii ( ) /2 Siis todellaki saamme, ( ) /2 2, ( 2 2 )( 2 2)( 2 3) ( 2 + )! ( ( 2)( 4) 6) ( 2( )) 2! ( )( 3)( 5) ( 2 + 3) 2! 3 5 (2 3) ( ) (2) + x + 2 x 2 4 x x x4 + ( x < ), mikä o kaava (4) muute paitsi että voimassaoloalueeksi tuli vai väli (, ) mutta kaavakokoelmassa oki [, ]. Se, että väli päätepisteetki voidaa ottaa alueesee mukaa, johtuu seikasta, jota ei tällä kurssilla käsitellä: Tapauksessa α 2 saatu sarja suppeee myös ku x ±, ja potessisarjoje yleisestä teoriasta seuraa, että silloi eo. yhtäsuuruus + x pysyy voimassa äissäki pisteissä. Ei todisteta tässä kurssissa; kyse o fuktioide jatkuvuudesta. Samalla tavalla kaava (5) seuraa biomisarjasta valitsemalla α 2. Fuktio 3 + x Maclaurii sarja saadaa valitsemalla α 3 edellee. Taylori sarja muodostamie ja ii Ku tehtävää o muodostaa aetu fuktio f(x) Taylori sarja (tai Maclaurii sarja), ii paras keio o johtaa se tuetuista sarjoista. Seuraavassa listassa o joitaki luvallisia keioja. Sijoitetaa x: paikalle ax tai x k tai muuta vastaavaa (esimerkki 6.3). Lasketaa kaksi sarjaa yhtee (esimerkki 6.28). Kerrotaa kaksi sarjaa (esimerkki 6.29). Jaetaa kaksi sarjaa (ei kuulu kurssii). Derivoidaa sarja (ei moisteessa mutta jäljempää o esimerkki). Itegroidaa sarja (esimerkki 6.3). 8

19 Sijoitetaa sarja toisee sarjaa (ei kuulu kurssii). Jos muu ei oistu, ii viimeiseä keioa voi käyttää Taylori sarja määritelmää, toisi saoe voi laskea derivaattoja f () (x) ja sijoittaa lausekkeesee k jolloi saa hiuka sarja alkua. f (k) (a) k! (x a) k, Seuraavassa o em. keioje käytöstä esimerkkejä, tätä kurssia ajatelle kieltämättä hiema ylepalttisesti. Moistee hyvät esimerkit ja lueoilla ja demoissa tulevat esimerkit ovat riittävät. Asiasta kiiostueet voivat kuiteki äistä esimerkeistä silmäillä laskutekiikkoja tarkemmi. Geometrisesta sarjasta x + x + x2 + x 3 + ( x < ) saadaa sijoittamalla x: paikalle x 2 fuktio x 2 Maclaurii sarja x 2 + x2 + x 4 + x 6 + ( x < ). Koska geometrie sarja o voimassa ku x <, ii uusi sarja o voimassa ku x 2 <, toisi saoe ku x <. Sijoittamalla se sijaa x: paikalle x 2 saadaa fuktio +x 2 Maclaurii sarja O etsittävä fuktio Maclaurii sarja. + x 2 x2 + x 4 x 6 + ( x < ). f(x) Lähdetää geometrisestä sarjasta ( + x) 2 + x x + x2 x 3 + x 4 + ( x < ). Kerrotaa tämä sarja itsellää. Kaksi sarjaa kerrotaa aiva kui polyomit mutta lähtie alimmaasteisista termeistä: ( + x) 2 ( x + x 2 x 3 + x 4 )( x + x 2 x 3 + x 4 ) + x( ) + x 2 ( + + ) + x 3 ( ) + 2x + 3x 2 4x

20 Kaksi potessisarjaa o luvallista kertoa tällä tavalla iide suppeemisvälie leikkaukse sisäosassa, toisi saoe ku x o maiitussa sisäosassa (väli päätepiste täytyy jättää pois jos tulosarja ei siiä suppee). Emme kylläkää todista tätä. Koska yo. geometrise sarja suppeemisväli o (, ), ii tuloski o voimassa ku x (, ). Etsitää fuktio f(x) ( + x) 2 Maclaurii sarja toisellaki keiolla: derivoimalla. Lähdetää taas geometrisesta sarjasta + x x + x2 x 3 + x 4 + ( x < ). Derivoidaa se puolittai ja käytetää sitä tietoa (jota emme todista), että potessisarja saa derivoida termeittäi suppeemisvälisä sisäosassa (päätepisteissä ehkä ei saa): siis josta saadaa d dx + x d ( x + x 2 x 3 + x 4 ), dx ( + x) 2 + 2x 3x2 + 4x 3 ( + x) 2 2x + 3x2 4x 3 +. Tämä sarjaesitys siis o voimassa ku x (, ). Ratkaistaapa fuktio f(x) ( + x) 2 Maclaurii sarja kolmaellaki tavalla: se saadaa biomisarjasta valitsemalla α 2. Siis ( + x) 2 ( ) 2 x ( x < ). Lasketaa biomikertoimet: Esiäki ( ) ( ) 2 2, 2, 2

21 ja ku 2 ii ( ) 2 2( 2 )( 2 2 )( 2 3 ) ( 2 + )! ( + ) ( )! ( ) ( + ). Siis ( + x) 2 2x + 3x2 4x 3 + ( x < ). Moistee esimerkissä 6.3 johdetaa arkustageti Maclaurii sarja (2) itegroimalla. Myös l( + x): sarja (7) saadaa samalla tavalla. Koska d dx ii lähdetää geometrisestä sarjasta l( + x) + x, + x x + x2 x 3 + x 4 x 5 + ( x < ). Itegroimalla saadaa l( + x) / x x x / x l( + t) + t dt ( t + t 2 t 3 + ) dt ( t 2 t2 + 3 t3 4 t4 + ) x 2 x2 + 3 x3 4 x4 +. Tässä käytettii sitä, että potessisarja saa itegroida termeittäi suppeemisvälillää (emme todista). Tuloksemme o siis voimassa ku x (, ). Kaavakokoelmassa väli o (, ]. Tuo yhde pistee x saamie mukaa meee tämä kurssi ulkopuolelle (kyse o taas siitä, että saamamme sarja suppeee ku x ja siitä että fuktiot ovat jatkuvia). Käytimme määrättyä itegraalia kute moisteeki esimerkissä tehtii. Toie mahdollisuus olisi ollut käyttää määräämätötä itegraalia: l( + x) + x dx ( x + x 2 x 3 + ) dx x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + + C, jolloi jää tuo itegroitivakio. Sijoittamalla x äkee, että C. 2

22 Etsitää vaihteeksi Maclaurii sarja fuktiolle f(x) ( + x) l( + 2x), jota ei varmasti löydy valmiia mistää taulukosta. Kirjoitetaa fuktio summaksi f(x) l( + 2x) + x l( + 2x). Esimmäiselle termille l( + 2x) saadaa sarja logaritmi sarjasta (7), joka juuri johdettii, siis sarjasta l( + x) x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + 5 x5 ( < x ), sijoittamalla x: paikalle 2x: l( + 2x) 2x 2x x3 4x x5 ( 2 < x 2 ). Kertomalla tämä x:llä saadaa x l( + 2x) 2x 2 2x x4 4x x6 ( 2 < x 2 ). Nyt laskemme saadut kaksi sarjaa yhtee: l( + 2x) 2x 2x x3 4x x5 x l( + 2x) 2x 2 2x x4 4x 5 + f(x) 2x x3 4 3 x x5 + Tulos o siis voimassa ku 2 < x 2. Hiuka huolellisemmalla työllä saisi sarja yleiseki termi äkyvii; tässä se o ilma selityksiä: ( + x) l( + 2x) 2x + ( ) 2 2 ( ) x ( 2 < x 2 ). 2 Näytetää, mite kaavakokoelma kaava (22) 2 l + x x x + x3 3 + x5 5 + x7 + ( x < ) 7 seuraa aiva helposti logaritmi sarjasta (7): l( + x) x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + 5 x5 6 x6 + 7 x7 l( x) x 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6 7 x7 l + x x 2x x x x7 + 22

23 Jakamalla vielä kahdella päästää kaavaa (22). Selitystä: Esimmäie sarja o (7). Toie, l( x): sarja, saadaa esimmäisestä sijoittamalla x: paikalle x. Sitte sarjat o väheetty toisistaa, jolloi yhtälö vasemmalle puolelle tulee l( + x) l( x) l + x x. Lopuksi siis o vielä jaettava kahdella. Noista toisistaa väheettävistä sarjoista esimmäie o voimassa välillä (, ] ja toie välillä [, ), jote tulos o voimassa välillä (, ). Mitä merkitystä kaavalla (22) o? Seki o hitaasti suppeeva, mutta o sillä aiaki se hyvä omiaisuus, että siitä saadaa kaikki logaritmi arvot l x samasta kaavasta ( < x < ). Nimittäi kaava (7) ataa vai l( + x): arvot, ku < x, eli siitä saadaa vai arvot l y, missä < y 2. Kaavasta (22) saadaa se sijaa kaikki. Tämä ähdää siitä, että fuktio y + x x saa kaikki arvot y (, ) ku x käy väli (, ); helpoite tämä ymmärtää fuktio kuvaajasta. Niipä jos esimerkiksi haluttaisii saada l 6, ii esi ratkaistaa 6 + x x x 59 6, joka jälkee l 6 saadaa sijoittamalla x 59/6 sarjaa (22). Sarja o kuiteki ii hitaasti suppeeva, ettei tällä liee käytäö +x y -x laskuissa käyttöä, ehkä siis vai joissai teoreettisissa tarkasteluissa. Otetaa vielä esimerkki Taylori sarjasta jossai muussa pisteessä kui x. Geometrie sarja x x ( x < ) o fuktio f(x) x Taylori sarja, joka o voimassa välillä < x <. Fuktio f(x) x o kuiteki määritelty ja riittävä sääöllie suuremmassaki alueessa, itse asiassa alueessa R \ {}, jote sillä o potessisarjaesitys esimerkiksi myös kohda x 3 ympäristössä. Mite se löydet- - y x 23

24 täisii? Tässä o lasku ilma selityksiä: ku f(x) x 2 geom. sarja (x 3) + x 3 2 ( x 3 ) 2 ( ) (x 3) 2 ( ) (x 3), x 3 < eli ku < x < 5. Löydetty sarja o oikeaa muotoa 2 c (x 3) ollaksee Taylori sarja kohdassa x 3, jote se väistämättä o Taylori sarja kohdassa x 3. Sarjoje sovelluksia Meillä tulee sarjoista vai kaksi sovellusta: raja-arvoje laskemie ja umeerie itegroiti. Sarjat ovat toki tärkeä apuvälie moessa muussaki yhteydessä. Tehtävää o laskea raja-arvo e x ( + x) lim x x 2. Ku yritetää sijoittaa lausekkeesee x, huomataa, että raja-arvo o epämääräistä muotoa. Tavallie euvo o muokata fuktiota ii, että epämääräisyys poistuu, mutta tätä fuktiota emme osaa muokata. Olisi mahdollista käyttää s. l Hôspitali säätöä (kaksi kertaa peräkkäi), mutta se ei kuulu peruskursseihi. Käytetää sarjoja. Sijoitetaa ekspoettifuk- 24

25 tio sarja ja sieveetää kues epämääräisyys häviää: e x ( + x) x 2 ( + x + 2 x2 + 6 x x4 + ) ( + x ) x 2 2 x2 + 6 x x4 + x 2 x2( x + 24 x2 + ) x x + 24 x2 + 2 ku x. Tällaisessa tehtävässä ei aia etukätee tiedä, motako termiä sarjaa pitää ottaa. Nyt äköjää yksi (tai kaksi) vähemmä olisi riittäyt. Viimeisessä vaiheessa, ku x, termit jotka sisältävät x:, atavat olla. Tosi termejähä o äärettömä paljo, ii että o aiheellista epäillä, oko varmasti luvallista laskea lim x a x? lim a x a a. x Tarkemmi saoe viimeie vaihe perustuuki siihe, että potessisarja määräämä fuktio o jatkuva, mikä pitäisi todistaa mutta todistus ei kuulu tähä kurssii. Jatkuvuus merkitsee, että raja-arvo lim x a x saa ottaa sijoittamalla lausekkeesee x. (Muulaisissa sarjoissa kui potessisarjoissa äi ei aia olekaa.) Lasketaa raja-arvo l( + x 2 ) lim x cos x. Tämäki o epämääräistä muotoa. Tarvitsemme logaritmi- ja kosiifuktioide sarjat. Osoittajalle saadaa sarja sijoittamalla kaavaa (7), siis fuktio l( + x) sarjaa, x: paikalle x 2, siis l( + x 2 ) x 2 x4 2 + x6 3 x8 + ( x ). 4 25

26 Nyt lasketaa: l( + x 2 ) cos x x 2 2 x4 + 3 x6 4 x8 + ( 2! x2 + 4! x4 6! x6 + ) x2 2 x4 + 3 x6 4 x8 + 2! x2 4! x4 + 6! x6 x2( 2 x2 + 3 x4 4 x6 + ) x 2( 2! 4! x2 + 6! x4 ) 2 x2 + 3 x4 4 x6 + 2! 4! x2 + 6! x4 2 ku x. 2! Taas sarjoihi tuli otettua turha paljo termejä, mutta parempi ii päi. Tarkastellaa raja-arvoa x 2 cos 2 x lim x x α. Voidaa osoittaa, että jos luku α o piei, ii raja-arvo o, ja jos α o suuri, ii raja-arvo o (jolloi siis raja-arvo ei ole olemassa). Kysymme yt, oko mahdollista valita α ii, että raja-arvo o olemassa ja, ja mikä raja-arvo silloi o? Sijoitetaa kosii sarja: x 2 cos 2 x x α ( x2 2 x2 + )2 x α x2 ( 2 2 x2 + ) x α x2 ( x 2 + ) x α. Nyt osoittajassa kumoutuvat kaikki tuetut termit! Otimme sarjaa liia 26

27 vähä termejä! Siis aloitetaa alusta useammilla termeillä: x 2 cos 2 x x α x2 ( 2 x x4 )2 x α x2 ( 2 x x4 ) ( 2 x x4 ) x α x2 ( 2 2 x2 + ( )x4 + ) x α x2 ( x x4 + ) 3 x4 + x α, x α mistä jo ähdääki, että ku valitaa α 4, ii raja-arvo o 3. Tästä laskusta ähdää yt myös helposti, että raja-arvo käyttäytymie muuttuu juuri kohdassa α 4: Jos α < 4, ii raja-arvo o, ja jos α > 4, ii raja-arvo o. Moistee pykälässä 2.4 o muutama meetelmä määräty itegraali laskemisee likimääräisesti. Sarjoista saamme aiva erilaise meetelmä. Lasketaa itegraali + x 5 dx. Emme osaa itegroida tällaista fukiota. Siksi tyydymme umeerisee itegroitii. Sijoitetaa itegraalii fuktio + x 5 kaavakokoelma kaavasta (4) + x + 2 x 2 4 x x3 sijoittamalla x: paikalle x 5, siis + 2 x 8 x2 + 6 x3 ( x ) sarja. Se saamme + x x5 8 x + 6 x5 ( x ). 27

28 Päätämme käyttää vai äitä eljää termiä: ( + x 5 dx + 2 x5 8 x + 6 ) x5 dx / ( x x6 8 x ,76. ) 6 x6 Lopuksi pitäisi osata arvioida virhe, mutta sitä emme tällä kurssilla tee. (Itse asiassa virhearvioiilla ähtäisii, että tässä eljällä termillä lasketussa tuloksessa jo tuo kolmas desimaali o epävarma.) O todistettava, että ku k >, ii lim a a k a x k e x dx k. Tämä muotoisee itegraalii sovellettaisii yleesä osittaisitegroitia, mutta hakaluutea o, ettei k:lla ole aettua arvoa. Kaavakokoelma kaavat (4) sopisivat ku k 2 tai k 3, mutta sehä ei riitä. Oeksi osoittautuu, ettei meidä tarvitse itegraalia tarkasti laskeakaa tätä rajaarvoa varte. Sijoitetaa e x : sarja: a a k x k e x dx a ( a k x k + x + ) 2! x2 + dx a k a a k / a ( x k + x k + ) 2 xk+ + dx ( k xk + k + xk+ + 2 ) k + 2 xk+2 + ( a k k ak + ) k + ak+ + 2(k + 2) ak+2 + k + k + a + 2(k + 2) a2 + k ku a. 28

29 6.34 Peruskurssi A:ssa oli seuraava tehtävä: Vaakasuoraa kilometri pituisee ratakiskoo, joka päät ovat kiiitetyt, lisätää keskelle metri mittaie osa, jolloi oletetaa, että kisko ousee ympyrä kaareksi. Kysytää, korkealleko se ousee.. km + m x km. 5,5 m 5 m 5,5 m x 5 m. Peruskurssi A:ssa tehtii sellaie approksimaatio, että kisko ousisiki kahtea suoraa osaa, ja laskettii x 5, m. Lasketaa yt hiuka tarkemmi. Merkitää { a 5 m, b 5,5 m.. b a x a b Valitaa apusuureet r ja α kute kuviossa. Silloi kysytty korkeus o x r r cos α r( cos α). r.. r cos α α r Kuvio mukaa { a r si α b rα (kaare pituus ku α o radiaaeissa), joista ratkaistaa r b α, si α a r a b α. Siis α:lle tulee yhtälö si α a b α. Tätä yhtälöä ei pystytä ratkaisemaa tarkasti. Ilmeisesti kuiteki α, jote o lupa käyttää Taylori polyomi atamaa approksimaatiota si α α 3! α3 + 5! α5 + α 6 α3. Yhtälö tulee muotoo α 6 α3 a b α. 29

30 Jakamalla α:lla (selvästi α ei kelpaa ratkaisuksi) saadaa 6 α2 a b, josta Edellee, α 6 ( a ) b 6 x r( cos α) b ( cos α) α a b. b cos α α Moisteessa tehdää yt ii, että sijoitetaa umeroarvot (siis a 5 m ja b 5,5 m) esi tuoho α: lausekkeesee, joka jälkee α ja b sijoitetaa tähä x: lausekkeesee, mikä ataaki tehtävässä kysyty umeroarvo x:lle. Teemme tässä kuiteki toisi: Haluamme ähdä x: peräti a: ja b: lausekkeea, edes approksimatiivisesti. Tätä varte käytämme yt kosiille approksimaatiota: x b cos α α b ( 2! α2 + 4! α4 6! α6 + ) b ( 2! α2 ) b 2! α2 α 2 bα α 2 b 6 a b, mistä haluamamme x: lauseke seuraaki: 3 x 2 b a b. Sijoitetaa yt umeroarvot: 3 x 2 5,5 5 5,5 m 9,37 m 9,4 m. α. 3

31 Siis metri lisäys rataa aiheuttaa. 9 metri ousu! Verrattua lisäyksee m vaikutus o melkei 2-kertaie. Tämä o edellee likiarvotulos mutta varmaa tarkempi kui aikaisempi 22 metriä. Ei sekää äköjää aiva huoo ollut. Saimmeki jo vastaukse tehtävää, mutta ku kerra löysimme x: jopa a: ja b: lausekkeea, ii yt tutuisi houkuttelevalta laittaa lauseke muotoo, josta se käyttäytymie äkyisi paremmi. Otetaa käyttöö rada pituude suhteellie lisäys δ b a a b a, josta seuraa b a( + δ), ja elimioidaa b tämä avulla x: lausekkeesta: 3 x 2 b a b 3 b (b a) 2 3 a( + δ) aδ a δ + δ 2. Koska δ, ii δ 2 << δ (esimerkiksi yo. umeroarvoilla δ,5/5 / ja δ 2 /), jote ei tehdä suurta virhettä ku δ 2 jätetää lausekkeesta pois. Näi olle x 3 2 a δ. Nähdää, että x o suoraa verraollie a:ha, mikä oki luoollista, mutta myös, että x riippuu suhteellisesta lisäyksestä δ kute δ. Neliöjuurifuktio kasvaa origo lähellä hyvi jyrkästi; sillä o itse asiassa origossa pystysuora tagetti. Ilmeisesti siis dramaattisimmat tulokset saadaaki ku lisäys o hyvi piei: jotta saataisii edes pikkuruie lisäys δ, ii x: pitää kasvaa aluksi hyvi jyrkästi. Lasketaapa se vuoksi vielä, mitä tulee, ku rada pituude lisäys o vai cm yhde kilometri matkalla. Silloi δ cm/ km / 5. Kaavastamme saamme 3 3 x 2 a δ 2 5 / m m m 2,94 m. 3.. x. δ..

32 Yhde settimetri lisäys aiheuttaa lähes kahde metri ousu; siis vaikutus o melkei 2-kertaie. Kaike kaikkiaa tehtävä tulos tutuu yllättävältä, suorastaa vaikealta uskoa. Olisiko sille jotai selitystä? Ehkä jotai valaistusta asiaa saadaa, ku katsotaa ympyrä sädettä r. Sille tulee kaava r a si α a α a 6 a b a 6 +δ a 6 + δ δ a 6 δ 6 a δ. Lasketaa ja kirjoitetaa taulukoksi. alkutilae lisäys cm m lisäys m m Siis r muuttuu todella suuresti, jote myös ympyrä kaarevuus muuttuu suuresti. Alussa r o ääretö ja kaarevuus o. Yhde settimetri lisäys rataa pieetää sätee oi sadasosaa maapallo säteestä (joka o 637 km). Ku lisäys o yksi metri, ii säde o eää 6,5 km, joka oki jo samaa kertaluokkaa kui rataosa pituus km; silloi ympyrä kaarevuus o jo huomattava, mikä tekeeki 9 metri ousu ymmärrettäväksi. δ Oudo tulokse selitys lieee siiä, että ku rada vaaditaa säilyvä ympyrä kaarea, ii se pysyy joka kohdassaa hyvi laakeaa: ei ryppyjä, ei kulmia, ei mitää jyrkkää. Pituude lisäys tulee pelkästää kaarevuude kasvusta. Alussa kaarevuus o (r ), ja ku rata ousee, ii esi alkuu kaarevuus ei juurikaa kasva, jote rada pituuskaa ei juuri kasva. (Kute edellie kuva osoittaa, ii x: alkaessa kasvaa ollasta ylöspäi δ kasvaa alussa mitättömä vähä.) Rada pitää ousta paljo, ee kui se kaarevuus kasvaa ii tutuvaksi, että pituude kasvu o edes yksi settimetri, saati sitte yksi metri. r 32