SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti 28.11.2006, Arvosteluperusteet 1. Pisteiden määräytyminen ao. taulukossa. Arvostelutapa oli siis tällä kertaa aika tiukka, mutta teh- tävä näytti menneen varsin hyvin. Oikein Väärin Ei selitystä 0 0 Asiaan täysin liittymätön 0 0 Ristiriitainen 1/2 0 OK selitys 1 0 2. a)-kohdan aaltoa ei voi synnyttää kahdestakaan syystä: se on tasoaalto (1p), joka tiedetään luennoilta energeettisistä syistä mahdottomaksi tuottaa. Lisäksi aallon amplitudi kasvaa rajatta etenemissuuntaan (1/2), jonka vuoksi tarvittaisiin ääretön energia (1/2). b) Viivästyneessä potentiaalissa huomioidaan viive, jonka jälkeen tieto lähteen muutoksesta on havaintopisteessä tieto kun etenee vain valon nopeutta (1p). Potentiaali on tärkeä antennien analyysissä (1/2) ja liitty lähteelliseen aaltoyhtälöön (1/2), koska on sen ratkaisu (1/2). c) Lineaarisen väliaineen materiaaliparametrit ɛ, µ, g eivät muutu kenttien E, B, jne. mukaan, vaan ovat niiden suhteen vakioita (1p). Väliaineiden ominaisuudet on liian ylimalkainen luonnehdinta ja siksi siitä ei annettu täyttä pistettä. Lineaarisista ja epälin. väliaineista annettin esimerkkejä (1/2) ja lineaarisuuden kerrottin myös mahdollistavan (keskinäis)induktanssin (1/2). Lisäksi huomautettiin että aaltoja voidaan summata (ei vaadittu tarkkaa selvitystä siitä kuinka kahden mielivaltaisen aaltoyhtälön ratkaisun summa on aina aaltoyhtälön ratkaisu) (1/2). d) Pyörrevirran syntytavan yhteydessä oli mainittava magneettikentän aikamuutos, muutoin ei koko pistettä saanut. Ajan suhteen muutuuva magneettikenttä (1/2) indusoi sähkökentän tai SMV:n (1/2), ja johtavassa aineessa se saa varaukset liikeelle (1/2). Myös suora virran indusoiminen hyväksyttiin puolella pisteellä vaikka luennoilla selitettiin että se on käsitteellinen loikka SMV:n yli. e) Rajapintaehdot ovat tarpeen, koska rajapinnoilla kentät eivät derivoidu eikä Maxwellin differentiaaliyhtälöitä (tai aaltoyhtälöitä) voi siksi käyttää (1/2). Ne johdetaan siksi Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista (1/2) silmukka- tai pillerirasiatekniikalla (1/2). Niitä tarvitaan mm. aaltojen heijastumsen ja taittumisen analyysissä (1/2). f) Sähköisesti suuri rakenne on aallonpituuteen nähden niin suuri (1) että se toimii hyvin antennina (1/2), käytännössä suurin mitta suurempi kuin λ 10 (1). Tällöin varaukset saadaan helposti pakkautumaan (1/2). Dipoli om esimerkki rakenteesta joka on sähköisesti pieni (varaukset hyvin lähellä toisiaan) (1/2). Huomaa että ns. dipoliantennit tehdään sähköisesti suuriksi, kuten λ 2 tai λ 4. 3. Tehtävä jakaantuu kolmeen osioon, joista kustakin 2p. Ideana on ruotia mitkä piirin osat tuottavat, varastoivat ja kuluttava energiaa ja kertoa energian säilymislakia käyttäen tehon kulusta. a) Ensin patteri muuttaa kemiallista energiaa SMG-muotoon (1/2), joka näkyy tehon nettotuottotermissä V 1 E J dv (1/2). Jos sähkö- ja magneettikentät eivät muutu, kaikki tämä teho siirtyy ulos alueesta V 1 koska siihen tuotu energia ei voi hävitä (1/2) ja tämä näkyy Poyntingin vektorin sisältävässä termissä yhtälössä (1/2) E J dv = E H n da. V 1 V 1 Huomaa että Poyntingin vektorin vuo pinnan läpi kuvaa systeemistä sähkömagneettisessa muodossa poistuvaa tehoa. Sen ei tarvitse olla välttämättä aalto! Jonkin verran oli ollut ongelmia erottaa energia ja virta toisistaan. Lähettäähän sähkölaitos laskun vaikka joudut palauttamaan kaikki heidän elektroninsa...
b) Jos kuormana on vastus, sähkö- ja magneettikentät eivät taaskaan muutu. Alueessa V 2 vastuksessa muuttuu sähkömagneettista tehoa toiseen muotoon (1/2) (lämmöksi) ja tämä näkyy taas termissä V 2 E J dv (1/2). Entä mistä tämä teho tulee, jos sitä ei tuoteta alueessa V 2? Se on tietysti patterin tuottamaa ja siirtyy alueesta V 1 (1/2) pinnan V 2 läpi. Tämä näkyy taas oikeanpuoleisena terminä (1/2) yhtälössä E J dv = E H n da. V 2 V 2 Lämpö ei ole yksiselitteisesti sähkömagneettista säteilyä: Lämmön johtuminen materiaalissa ei tarvitse smg aaltoa selityksekseen, pelkästään lämpösäteily. c) Kolmannessa kohdassa on kyseessä latautuva kondensaattori, eli sen levyille tulee yhtäsuuret mutta vastaikaissuuntaiset virrat ja siksi niihin kertyy erimerkkiset varaukset. Tämä aiheuttaa puolestaan kondensaattorin sähkökentän kasvun, ja siihen varautuu energiaa (1/2). Tämä näkyy termissä 1 d 2 dt V 2 E D dv (1/2). Magneettikentän muutokset ovat tähän nähden melko pieniä (ellei virta ja sen muutos ole huima). Myös lämpöhäviöt saa unohtaa. Tässäkin tapauksessa teho on patterin tuottamaa ja tulee alueesta V 1 (1/2), ja energian säilymislaiksi (1/2) jää 0 = 1 d E D dv + E H n da. 2 dt V 2 V 2 Pisteitä tuli jos mielsi kaiken tehon tulevan b) ja c)-kohdassa patterista, vaikka ei osannut kytkeä sitä tehon virtaukseen pintojen läpi. Myös Poyntingin teoreeman säilymislakimerkityksen ja termien opettelusta ulkoa ilman soveltamistaitoa palkittiin vähän. 4. Tehtävän a)- ja b)-kohdasta kummastakin on jaossa 3 pistettä. a) Kohta koostuu kolmesta pikkukysymyksestä, joista jokainen on yhden pisteen arvoinen. Pelkästä kyllä tai ei vastauksesta ei saanut pisteitä, eikä täysin väärin perustelluista vastauksista. i) Aalto on monokromaattinen, koska aallon lausekkeessa näkyy vain yhtä taajuutta ω. ii) Kyseessä ei ole palloaalto, vaan z-suuntaan etenevä tasoaalto. iii) Polarisaatio on lineaarinen, koska virrantiheys (ja siten samalla sähkökenttä) värähtelee ainoastaan x-suuntaan. Eli kyseessä on x-suuntaan lineaarisesti polarisoitunut aalto. b) Puolet pisteistä (1.5p) sai siitä, että tajusi varausten pakkautumisen liittyvän virran jatkuvuusyhtälöön div J = dρ dt, jossa J on virrantiheys ja ρ varaustiheys. Varauksen pakkautuvat, eli dρ dt 0, kun div J 0. Toisen puolen pisteistä (1.5p) sai, jos osasi laskea divergenssin tehtäväpaperin virrantiheydelle. Tähän on useampia tapoja. Helpoin tapa lienee käyttää kaavakokoelman (tenttipaperin takana) kaavaa (15) tapaukseen φ = J 0 e αz e i(αz ωt) ja F = i. Koska i on vakio, div i = 0. Tällöin ( div Ĵ(z, t) = div ij 0 e αz e i(αz ωt)) = grad φ i + φ div i }{{} =0 = d dz J 0e αz e i(αz ωt) }{{} k i = 0. =0 Koska φ riippuu vain z:sta, gradientilla on vain k:n suuntainen komponentti. Pistetulo menee nollaksi, koska z- ja x-suuntaiset yksikkövektorit k ja i ovat kohtisuorassa keskenään. Tulokseksi saadaan, että varausta ei pakkaudu, koska virralla on vain x-komponentti ja virran arvo riippuu ainoastaan z:n arvosta.
Divergenssi saadaan myös laskettua karteesisessa koordinaatistossa (ei opetettu tällä kurssilla): ( div Ĵ(z, t) = div ij 0 e αz e i(αz ωt)) = d dx J 0e αz e i(αz ωt) + d dy 0 + d dz 0 = 0 + 0 + 0 = 0. Arvauksista ja täysin vääristä perusteluista ei saanut pistetä. Tarkastajan huomioita tehtävästä: Osassa vastauksista oli perusteltu, että aalto ei voi olla monokromaattinen, koska taajuuden arvoa ei ole annettu, vaan se voi olla mikä tahansa. Tämä on väärä johtopäätös, koska riippumatta taajuuden arvosta, aallossa esiintyy vain värähtelyä yhdellä taajuudella. Se, että virralla on vain x-suuntainen komponentti, ei riitä kumoamaan sitä mahdollisuutta, että kyseessä voisi olla palloaalto. Yleisellä palloaallolla voi olla minkä suuntaisia kenttäkomponentteja tahansa. Polarisaatio tuotti isolle osalle vastaajista ongelmia. Monet yrittivät harjoituksissa esitettyä tapaa, mutta eivät olleet ymmärtäneet ideaa tarkastelun takana. Olisi riittänyt nähdä, että kentällä on vain yksi komponentti. Termi e αz ei liity mitenkään polarisaatioon, se vain kertoo aallon vaimenevan väliaineessa. i on x-suuntainen yksikkövektori, ei imaginaariyksikkö i. Jos merkinnät hämäsivät, olisi tämän pitänyt huomata siitä, että virrantiheys on vektori- eikä skalaarisuure. Virran pakkautumista on käytännössä mahdotonta nähdä ilman divergenssin idean käyttöä. Jos vastauksessa ei näkynyt mitään diverssin tyylistä ideaa, vastauksesta ei voinut antaa ainakaan täysiä pisteitä. Aalto liikuttaa varauksia edestakaisin kohtisuorassa suunnassa aallon etenemissuuntaan. Tämä ei aiheuta virran pakkaantumista, toisin kuin z-suuntainen virrantiheys aiheuttaisi. Useat väittivät varausten pakkautuvan, koska aalto vaimenee. Tämä ei kuitenkaan aiheuta pakkautumista, koska virralla ei ole z-komponenttia. Varauksen pakkautumista piti tarkastella johteen sisällä tehtäväpaperissa annetun virrantiheyden avulla, ei johteen pinnalla. Huomioita: Tehtävä oli tenttijöille selvästi vaikein kaikista tehtävistä. a)-kohdassa useimmat osasivat sanoa, että kyseessä on monokromaattinen tasoaalto. Varausten pakkautuminen ei tuntunut olevan tuttu asia monellekaan. b) -kohdassa opiskelijan oletettiin osaavan päätyä divergenssin laskemiseen virrantiheydestä ja se jälkeen löytää kaavakokoelmasta sopiva kaava, jonka avulla tuloksen näki helposti. Divergenssiä ei osannut laskea kuin alle 10% tenttijöistä. Tehtävästä saattoi kuitenkin saada 4.5 pistettä ilman, että varsinaisesti osasi laskea divergenssin arvoa. 5. Alla ovat ne kohdat, jotka hyvästä vastauksesta tulisi löytyä, suuntaa antavien oikeiden vastausten kera (esitettynä tavalla, joka ei esitä kelvollista tapaa vastata esseekysymykseen): Mikrofonin toiminta perustuu sähkömagneettiseen induktioon, jota kuvaa Faradayn laki: E dl = V = d B n da = dφ S, S dt S dt
E = db dt. Kestomagneetilla magnetoitu, värähtelevä kitaran kieli aiheuttaa kelan läpi ajan suhteen muuttuvan magneettivuon, joka indusoi sähkömotorisen voiman, mikä voidaan havaita jännitemittarilla. Jaossa 2 pistettä, mikäli ilmiö on osattu nimetä ja karakterisoida. Olennaisia suureita: Mitä suurempi magneettivuon muutos, sitä suurempi smv. Tähän voidaan vaikuttaa esimerkiksi johdinkierrosten lukumäärällä kelan poikkipinta-alalla kestomagneetin voimakkuudella kielen magneettisilla ominaisuuksilla kielen etäisyydellä magneetista. Mitään yllä olevista ominaisuuksista ei kuitenkaan voi muuttaa rajattomasti ilman sitä, että jossain tulee turpaan. Esimerkiksi kasvattamalla kestomagneetin voimakkuutta magneettivuon muutokset kasvavat, mutta samalla kieli kytkeytyy entistä voimakkaammin magneettiin, eikä kieli enää värähtele vapaasti. Jaossa 2 pistettä, mikäli mainitut olennaiset suureet ovat järkeviä, ja niitä on riittävästi. Jännitemittarin lukema on verrannollinen kielen nopeuteen, ja riippuu (ainakin) värähtelyn amplitudista, taajuudesta, kielen poikkeamasta nollakohtaan nähden ja vaimenemisen vuoksi myös ajasta. Jännitemittari ei havaitse sitä, kummalla puolella magneettia kieli on, mutta etumerkistä voi päätellä, onko kieli loittonemassa vai lähestymässä nollakohtaa. Tutkimalla jännitemittarin lukemien jaksonaikaa, päästään käsiksi kielen värähtelytaajuuteen ja tutkimalla jännitettä taajuustasossa päästään käsiksi värähtelyn eri taajuuskomponentteihin (kielen värähtely on usein varsin kaukana puhtaan sinimuotoisesta, vain yhtä taajuuskomponenttia sisältävästä värähtelystä). Jaossa 2 pistettä, mikäli jännitemittarin lukeman ja kielen tilan yhteys on esitetty järkevästi ja perustellusti. Tehtävän kokonaispistemäärä ei välttämättä ole osiensa summa; mikäli esitetyt kohdat löytyvät, mutta sen lisäksi löytyy selkeää katkaistun haulikon käyttöä lukuisine hatarine perusteluineen, tippuu pistemäärä vastaavasti. Tarkastajan huomioita tehtävästä: Pohjimmiltaan on kyse laitteesta, joka muuntaa mekaanista (kielen värähtelyyn liittyvää) energiaa sähköiseksi energiaksi (tässä jännitesignaaliksi). Järjestelmässä vain kieli liikkuu, ei kestomagneetti. Muuttuva magneettivuo indusoi sähkömotorisen voiman, mikä aiheuttaa johteessa virran. Faradayn laki toimii aivan yhtä hyvin myös eristekappaleen tapauksessa, vaikka syntyvä sähkömotorinen voima ei tällöin realisoidukaan virtana. Jännitemittarin toiminta ei perustu siihen, että sen läpi menisi suuri virta, vaan jännitemittarin (tai yhtä hyvin vahvistimen) sisääntuloimpedanssi on erittäin suuri, jolloin piirissä kulkeva virta on itse asiassa häviävän pieni. Virta on Lentzin lain mukaisesti sen suuntainen, että se pyrkii vastustamaan muutoksia, mutta tässä tapauksessa se on niin pieni, että ilmiön vaikutus on olematon. Pieni virta minimoi myös kelassa tapahtuvat resistiiviset häviöt, jolloin kelan resistanssin vaikutus mikin toimintaan pienenee.
Kyse on induktiosta, ei induktanssista: Induktanssiin liittyy usein virtapiirit/piirikomponentit ja niiden vuorovaikutukset, kun taas induktiossa riittää tarkastella magneettivuota, riippumatta siitä mikä sen aiheuttaa. On periaatteessa mahdollista selittää myös tehtävän tapaus induktanssin avulla, mutta se on varsin pitkällinen toimenpide, eikä sille ole perusteltua syytä. Kun pyydetään esittämään ilmiön kannalta oleellisia suureita, vastaus B, E, n ja da tms. ei ole sitä, mitä haetaan. Oleellisinta on tunnistaa tekijöitä, jotka selvästi vaikuttavat kokonaisuuteen sekä tekijöitä, joilla voidaan (helposti) vaikuttaa mikin toimintaan. Lopuksi muutama kommentti tarkastamisesta: Ilahduttavan moni tunnisti, mikä ilmiö on kyseessä, ja osasi selittää mikin toimintaperiaatteen vähintään tyydyttävästi. Faradayn lakia (tms, lain nimeksi ehdotettiin kaikkea Lorenzin laista Ampére-Maxwelliin) formaalisti kirjoitettaessa oli hajonta jo suurempaa; vastauksissa näkyi vähän kaikenlaista yritelmää. Eniten sekaannusta aiheutti induktanssi, mihin monet tapauksen samaistivat (tästä rankaistiin keskimäärin yhdellä pisteellä). Yllättävän moni (yli kymmenen) luuli, että kestomagneetti liikkuu, mutta tämä ei johtanut dramaattisiin pistevähennyksiin (tapauksesta riippuen 1-2 pistettä). Varsin harva oli ymmärtänyt sähkömotorisen voiman roolin, ja useimmat puhuivatkin induktiovirroista. Tätä katsottiin käytännössä läpi sormien. Volttimittarin toiminta oli hieman hataralla pohjalla, mutta tämä ei liene kurssin kannalta mitenkään oleellinen asia.