Harjoitus Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Transkriptio

1 SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen φ gradφ l merkitystä. Tarkastellaan tätä varten pistevarauksen aiheuttamaa sähkökentän voimakkuutta. Pisteessä r oleva pistevaraus q aiheuttaa pisteeseen r kentät E(r) = q(r )(r r ) 4πɛ 0 3 ja φ(r) = q(r ) 4πɛ 0. Kiinnitä q:n arvoksi vaikka reaaliluku, joka on yhtä suuri kuin 4πɛ 0. Laske φ:n tarkka arvo sekä likiarvo E:n avulla r:n ja r :n kautta kulkevalla suoralla väleillä a) = pituusyksikköä b) = pituusyksikköä c) = pituusyksikköä d) = pituusyksikköä. Vastaukset: Huomaa ensin, että koska kyse on pistevarauksesta, E on (pallo-)symmetrinen kenttä ja se osoittaa kaikkialla pisteestä r poispäin. (a) Välin 0.4,..., 0.6 keskipiste on 0.5. Vektorikentän E arvo tässä keskipisteessä saadaan seuraavasti: q/4πɛ 0 = 1, ja = 0.5, joten (r r ) = (r r ) = 4.0(r r ) eli E = 4.0 (sähkökentän voimakkuuden yksikköä).

2 Vektori l on a)-kohdan tapauksessa ( ) (r r ) = 0.2 (r r ), joten potentiaalin r r r r muutos φ on likimääräisesti 0.2 (r r ) = 0.8 (r r ) = 0.8, koska yksikkövektorin (r r ) r r pistetulo itsensä kanssa on yksi. Potentiaalin muutoksen tarkka arvo on (huomaa, E = gradφ, joten meidän pitää huomioida etumerkki) a)-kohdan vastaus: (φ(0.6) φ(0.4)) = = = φ:n likiarvo on 0.8 (potentiaalin yksikköä). φ:n tarkka arvo on (potentiaalin yksikköä). 6 b) Potentiaalin muutoksen tarkka arvo on (φ(0.55) φ(0.45)) = = (r r ) = 0.4 (r r ) = 0.4. b)-kohdan vastaus: φ:n likiarvo on 0.4 (potentiaalin yksikköä). φ:n tarkka arvo on (potentiaalin yksikköä). c) Potentiaalin muutoksen tarkka arvo on (φ(0.525) φ(0.475)) = approx (r r ) = 0.2 (r r ) = 0.2. c)-kohdan vastaus: φ:n likiarvo on 0.2 (potentiaalin yksikköä). φ:n tarkka arvo on välillä ± 2 10 (potentiaalin yksikköä).

3 d) Potentiaalin muutoksen tarkka arvo on (φ(0.501) φ(0.499)) = (r r ) = (r r ) = d)-kohdan vastaus: φ:n likiarvo on (potentiaalin yksikköä). φ:n tarkka arvo on välillä ± 2 13 (potentiaalin yksikköä). Tehtävä 2: Yllättävän usein kuulee sanottavan, että luonnossa kaikki funktiot ovat sileitä ja hyvin käyttäytyviä, joten fysiikassa ja tekniikassa ei tarvitse murehtia matematiikan yksityiskohdista. Koestetaan seuraavaksi tällaisen ajattelutavan mielekkyyttä pienellä esimerkillä gradientista ja kartan korkeuskäyristä. Palautetaan aluksi mieleen, että gradientti tarkoittaa skalaarifunktion tiettyä derivaattaa. a) Mikä on funktio? b) Mikä on skalaarifunktio? c) Voidaanko (voitaisiinko) korkeuskäyrät esittää aina funktiona? d) Onko korkeuden gradientti, eli intuitiivisesti jyrkimmän ylämäen suunta ja suuruus aina löydettävissä? e) Johtopäätös: Onko kaikki luonnossa esitettävissä hyvin käyttätyvillä funktioilla? Vastaukset: (a) Tässä haettiin sitä, että funktio on relaatio joukolta X joukolle Y siten, että jokaista alkiota x X vastaa korkeintaan (tai täsmälleen, määritelmästä riippuen) yksi joukon Y alkio y. (b) Skalaarifunktio tarkoittaa, että kuvauksen maalijoukko on reaaliluvut R (tai laajan matematiikan lukijoille täsmennettynä jokin skalaarikunta). (c) Ajatellaan pystysuoraa kalliojyrkännettä tai eteenpäin kallistunuttu kalliota. Kartalla näitä ei pysty esittämään funktiona, koska jyrkänteen kohdalla yhtä kartan pistettä vastaa monta eri korkeutta. (d) Korkeuden gradienttia ei pysty määrittämään, jos korkeus ei ole esitettävissä funktiona. Joten jyrkimmän ylämäen suuntaa ei pysty aina löytämään, ja kallistunut kallion seinämä on tästä hyvä esimerkki. (e) Kuten juuri havaitsimme, arkipäiväiset asiat, joita kutsutaan funktioiksi, eivät aina edes ole funktoita saati sitten hyvin käyttäytyviä funktioita.

4 Tavoite: Omaksua ja sisäistää, miten mallissa hyödynnetään raja-arvon käsitettä. Tehtävä 3: Pistevaraus on sellaisenaan hankalasti ymmärrettävä käsite. Perimmiltään tulkitsemisen ongelma on siinä, että kyseessä on raja-arvo, ja että yleensä rajaarvoja on helpompi hahmottaa siihen liittyvien jonojen kuin itse ääriarvon avulla. Joten muodosta jono a) palloista, b) kuutioista, jotka konvergoivat kohti samaa pistevarausta, jonka nettovaraus on q tai siten, että nettovaraus on q = 1C. (a) Jos pallon ymmärtää tilavuuskappaleeksi, R-säteisen pallon tilavuus on V = 4 3 πr3. Merkitään ehdon ρv = q toteuttavaa vakio varaustiheyttä ρ:lla. Tällöin esimerkki pistevarausta q kohti konvergoivasta pallojen jonosta on vaikkapa Q 1 = ρ 4 3 πr3, Q 2 = 2 3 ρ 4 3 π ( R 2 ) 3, Q 3 = 3 3 ρ 4 3 π ( ) 3 R,..., Q n = n 3 ρ π ( ) 3 R. n Kun n pallon tilavuus lähestyy nollaa ja sen varaustiheys ρn 3 ρ lähestyy ääretöntä. Jos pallon ymmärtää pinnaksi, R-säteisen pallon pinta-ala on A = 4πR 2. Merkitään σa = q toteuttavaa vakio pintavaraustiheyttä σ:lla. Tällöin yksi esimerkki pistevarausta q kohti konvergoivasta pallojen jonosta on Q 1 = σ4πr 2, Q 2 = 2 2 σ4π, Q 3 = 3 2 σ4π 2,..., Q n = n 2 σ4π 3. n Kun n pallon pinta-ala lähestyy nollaa ja sen pintavaraustiheys σn 2 lähestyy ääretöntä. (b) Kuutioiden tapauksessa idea on ihan sama. Jos kuution kahden vastakkaisen pinnan etäisyys on D, tällöin kuution tilavuus on V = D 3. Valitaan vakio varaustiheys ρ siten, että ρv = q toteutuu. Jos kuution tilavuus on V n = (D/n) 3 ja varaustiheydeksi ρ n valitaan ρ n = n 3 ρ, tällöin sellainen jono kuutioista, jonka n:n alkion varaus on ρ n V n suppenee kohti pistevarausta q.

5 Tehtävä 4: Sähköinen dipoli on samalla tavoin raja-arvo. Dipolin idean hahmottamiseksi aloitetaan siitä, että a) miten tulkitsen sen, että dipolimomentti p on vektori? b) Muodosta kaksi erilaista jonoa, jotka konvergoivat kohti samaa dipolimomenttia p = 1u Cm, jossa u on yksikkövektori. c) Miten tulkitset sen, että useampi jono konvergoi kohti samaa dipolimomentin raja-arvoa? (a) Dipolimomentti on vektori tarkoittaa, että siirtymällä dipolin varaukselta toiselle on merkitystä mallin kannalta. (b) Sanotaan, että n:n alkion varaus on q = n C ja siirtymä vastaavasti u/n m. Tällöin kun valitsemme n = 1, 2, 3,... ja p n = (nq)(u/n) Cm saadaan jono dipoleja, jotka konvergoivat kohti dipolimomenttia p = u Cm. Toinen esimerkki on jono, jonka n:n alkion varaus on q n = n 2 C ja siirtymä u/n 2 m. (c) Intuitiivinen selitys: Kahdella kemian näkökulmasta eri molekyylillä voi olla sama dipolimomentti. Se tarkoittaa, että makroskooppisesti tarkasteltuna kyseiset molekyylit tuottavat sopivasti suunnattuna saman E-kentän. Tämän takia meidän ei tarvitse pitää kirjaa, mistä molekyylistä on kulloinkin kyse, vaan meille riittää että tiedämme dipolimomentit. Formaali selitys: Jos kahdella jonolla on sama raja-arvo, se tarkoittaa, että kummankin jonon dipolien tuottamat sähkökentän voimakkuudet E ovat raja-arvona samat. Toisin sanoen, jos toisesta jonosta otetaan n:s alkio ja toisesta m:s alkio ja tarkastellaan näiden dipolien aiheuttamia E-kenttiä, ne ovat lähellä toisiaan. Mitä suurempi n ja m, sitä pienempi on E-kenttien erotus.