Pieni silmukka-antenni duaalisuus. Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta.

Transkriptio

1 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta. S amalla saamme my ö s silmukan läh ikentät. Käy tämme h y v äksi sitä, että pienen silmukka-antennin rakenne o n d uaalinen id eaalisen d ipo lin kanssa. J o s kaksi antennia o v at d uaalisia keskenään, v o imme kirjo ittaa y h d en antennin kentät to iselle saad usta ratkaisusta, v aih tamalla so piv at suureet keskenään.

2 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Esimerkkinä piiriteoriasta, kuvan piirien a) ja b ) yhtälöt ovat keskenään duaalisia, a : V = R I + j ω L I b : I = G V + j ω C V, eli ne ovat samanmuotoisia, ne eroavat vain yhtälöissä esiintyvissä suureiden osalta. Kun ensimmäisen yhtälön ratkaisuun vaihtaa vastinsuureet jälkimmäisestä yhtälöstä, saadaan jälkimmäisen yhtälön ratkaisu.

3 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Vastaava duaalisuus näkyy myös M ax w ellin yhtälöissä. O letetaan ensin, että tunnemme antennitehtävässä virrantiheyden J 1 ja materiaaliparametrit (ε 1, µ 1, σ 1 ), E 1 = jωµ 1 ( H 1 ) (9 7 ) ( H 1 ) = jωɛ 1E 1 J 1 (9 8 ) T oisessa systeemissä ennalta tunnettuna lähteenä on kuvitteellinen mag neettinen virrantiheys M 2 ja materiaalina on (ε 2, µ 2, σ 2 ), H 2 = jωɛ 2E 2 (9 9 ) E 2 = jωµ 2 H 2 M 2 (10 0 )

4 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Huomataan, että yhtälöt ovat täysin samanmuotoisia, eli duaalisia, ja eri suureilla on yhtälöissä vastineensa seuraavasti: J 1 M 2 E 1 H 2 H 1 E 2 ɛ 1 µ 2 µ 1 ɛ 2 Koska tiedämme yhtälöiden (97) ja (98) ratkaisun, voidaan tätä ratkaisua käyttää myös yhtälöiden (99) ja (100) ratkaisuna, kunhan vain sijoitetaan ratkaisuun suureet ja materiaaliparametrit oheisen taulukon mukaisesti.

5 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Esimerkiksi, jos halutaan tietää H 2, se on sama kuin ensimmäisten yhtälöinen ratkaisu E 1, kunhan sen yhtälöön vaihdetaan materiaaliparametrit edellä olleen taulukon mukaisesti ja molemmissa tehtävissä on samanmuotoinen lähdevirta. P ieni silmukka-antenni voidaan esittää kuvitteellisena ideaalisena z:n pituisena magneettisena dipolina, jossa kulkee vakioamplitudinen magneettinen virta I m. D ipoli on kohtisuorassa silmukan tasoon nähden. Tämän magneettisen dipolin magneettikenttä saadaan nyt sähköisen ideaalidipolin sähkökentästä duaalisuuden nojalla, kun käytetään edellä olleen taulukon

6 Pieni silmukka-antenni duaalisuus vastaavuuksia. Saadaan H 2 = Im z 4π + Im z 2π jωε jωε ( jβr + 1 ) e jβ r (jβr) 2 sin θ ˆθ r ) e jβ r cos θ ˆr (101) r ( 1 jβr + 1 (jβr) 2 Vastaavasti E 2 saadaan sähköisen ideaalisen dipolin H 1 :stä vaihtamalla duaaliset väliaineparametrit, ( E 2 = Im z 4π jβ ) e jβ r sin θ jβr r ˆφ. (102) Edellä on oletettu, että µ 1 = µ 2 = µ ja ε 1 = ε 2 = ε.

7 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Huomatkaa, että β on sama molemmissa tehtävissä, sillä ε 1 korvataan µ 2 :lla ja µ 1 ε 2 :lla, jolloin β = ω εµ ei muutu. 1 Kaukokentässä taas kaikki jβr :n potenssit häviävät, H 2 = I m z jωε e jβr 4πr sin θ ˆθ (103 ) E 2 = I m z jβ e jβr 4πr sin θ ˆφ. (104) Kuvassa 2-15 on esitetty sekä sähköisen että magneettisen ideaalidipolin kenttien suunnat. Molemmissa antenneissa on sama kenttien säteilykuvio, sin θ.

8 Pieni silmukka-antenni duaalisuus Vertaamalla edellisiä kaukokenttälausekkeita aikaisemmin suoraa antennin virroista integroituihin kaukokenttäyhtälöihin (95) ja (96 ) huomataan, että I m z = jωµis. (105) Samalla saadaan yhteys magneettisen virran I m ja silmukan todellisen virran I välille. Pienen silmukka-antennin täydet kentät silmukkavirran avulla ilmaistuna saadaan lausekkeista (101) ja (102) käyttämällä yhtälöä (105).

9 Pienen silmukka-antennin ominaisuuksia Koska pienen silmukka-antennin säteilykuvio on sama kuin ideaalisella dipolilla, sitä käytetään samoihin tarkoituksiin kuin sähköisesti pieniä dipoleita, esimerkiksi edullisina vastaanottoantenneina matalilla taajuuksilla. Erona dipoliin on, että pienen silmukan tuottama aalto on vaakapolarisoitunut, kun taas ideaalidipolin aalto pystypolarisoitunut. Pienen silmukan säteilyresistanssi saadaan laskemalla sen säteilyteho yhtälöstä (53), P = 10I 2 (β 2 S) 2, jolloin R r = 2P ( ) 2 S I 2 = 20(β2 S) λ 2 Ω (106)

10 Pienen silmukka-antennin ominaisuuksia Säteilyresistanssia saadaan lisättyä lisäämällä silmukkaan useampia kierroksia tai laittamalla silmukan sisään ferriittiä, jolla on suuri µ. Huomaa, että säteilyresistanssi pienenee f 4 :n mukaan, kun taas lyhyen dipolin f 2 :n mukaan. Silmukka-antennin ohminen resistanssi saadaan samaan tapaan kuin lanka-antenneille, R w = L m 2πa R s, (107) jossa L m on silmukkajohtimen pituus ja a johtimen säde. Silmukka-antennin syöttöimpedanssi on induktiivinen.

11 Yleistä säh köisesti p ienistä antenneista Yleisiä sähköisesti pienien antennien ominaisuuksia Säteilyresistanssi syöttöreaktanssi Säteilykuvio ja suuntaavuus eivät riipu antennin koosta Säteilyresistanssi ja reaktanssi riippuvat taajuudesta korkea Q-arvo (Q = 2πf lähikenttiin varastoituneen tehon maksimi / keskimääräinen säteilyteho) syöttöimpedanssi herkkä taajuuden muutoksille tehon siirto antennille vaikeaa taajuuden muuttuessa kaistanleveys on rajoittunut supersuuntaavuus (superdirectivity)

12 Resiprookkisuus Tarkastellaan kahden antennin tilannetta, jossa ensimmäisessä on virrantiheys J a, joka aiheuttaa sähkökentän E a, ja toisen antennin virta J b aiheuttaa kentän E b. Oletetaan väliaine lineaariseksi (lisäksi ɛ ja µ symmetrisiä tensoreita), jolloin molempien virtojen aiheuttamat kentät toteuttavat erikseen Maxwellin yhtälöt. Kun yhtälöt vähennetään sopivasti toisistaan ja integroidaan koko avaruuden yli, saadaan (Lorentzin) resiprook k isuusteoreem a, E b J a dv = E a J b dv. (108)

13 Resiprookkisuus Hyvin johtavissa antenneissa E 0 muualla kuin syöttöpisteissä, jolloin (108) saa muodon Va oc I a = Vb oc I b, (109) jossa I a ja I b ovat virrat antennien syöttöpisteissä. Va oc antennin b aiheuttama tyhjäkäyntijännite antennin a syöttöpisteiden välillä, vastaavasti Vb oc. Tyhjäkäynti vastaa sitä, että antenneja syöttävien ideaalisten virtageneraattoreiden sisäimpedanssi on ääretön.

14 Resiprookkisuus Lineaarisuudesta johtuen kahden antennin järjestelmää voi mallintaa kuvan 9-5 mukaisella nelinavalla (kaksiportilla), jolloin V a = Z aa I a + Z ab I b (110) V b = Z ba I a + Z bb I b (111) Yhtälöstä (109) seuraa, että Z ab = V a = V a oc = V b oc I b I b I a Ia =0 = V b I a Ib =0 = Z ba (112) Myös yhtälöä Z ab = Z ba = Z m (jossa Z m on itseisimpedanssi) kutsutaan usein resiprookkisuudeksi, varsinkin piirianalyysissä.

15 Resiprookkisuus Tarkastellaan kuvan 9-6 mukaista tilannetta, jossa kaksi antennia ovat toistensa kaukokentässä. Tällöin Z aa Z m ja Z bb Z m, jolloin antennin a syöttöimpedanssi Z a = V a I a = Z aa + Z ab I b I a Z aa, vastaavasti Z b Z bb. 9-6a: antenniin a syötetään virta I a ja mitataan antenniin b kytkettyyn kuormaan Z L syötettyä tehoa, V b = I b Z L I b = Z ba Z bb +Z L I a P L = 1 2 Re { V bib } = I a 2 Z 2 ba 2 Z bb +Z L Re {ZL } (113) Kun vastaanottoantennia b liikutellaan, yhtälössä (113) ainoastaan Z ba muuttuu. Z ba 2 on siten suoraan verrannollinen antennin a (tehon) säteilykuvioon.

16 Resiprookkisuus Jos vaihdetaan antenni b lähettämään ja a vastaanottamaan, antennin a vastaanottama teho saadaan vastaavasti kuin edellä suoraan verrannolliseksi Z ab 2 :aan, eli Z ab 2 vastaa antennin vastaanottaman tehon suuntariippuvuutta. Koska resiprookkisuudesta johtuen Z ab = Z ba, resiprookkisen antennin säteily kuv io on sama lähety s- ja v astaanottotilanteessa. Huom! Myös ei-resiprookksia antenneja on olemassa, esimerkiksi ferriittiä sisältävät (silmukka)antennit.