Määrätty integrli 1/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Määrätyn integrlin määrittely Olkoon nnettun suljetull välillä [, b] määritelty relirvoinen funktio f. Tämän ei trvitse oll derivoituv eikä edes jtkuv. Jetn väli [, b] osväleihin jkopisteillä x k, joille pätee = x <x 1 <x 2 <...<x n =b. suljettu väli funktio (reli-) derivoituvuus jtkuvuus Osvälejä on tällöin n kpplett. Niiden pituuksi merkitään x k = x k x k 1 ; osvälien ei trvitse oll yhtä pitkiä. Olkoon v k jokin k:nnen osvälin piste: v k [x k 1,x k ]. lkio summmerkintä Funktion f rvoist välillä [, b] muodostettu summ n f(v k ) x k kutsutn Riemnnin summksi. Lisätään jkopisteiden määrää välin [, b] joss siten, että pisteiden määrän ksvess pisimmänkin osvälin pituus lähestyy noll. (Tämä merkitsee jon tihentämistä tietyssä mielessä tsisesti, so. suurin piirtein smll tvoin välin eri osiss.) Tällöin vstvss Riemnnin summss n j x k, ts.termien lukumäärä ksv, mutt smll jokinen yksittäinen termi lähestyy noll. Ei ole selvää, miten Riemnnin summ tällöin käyttäytyy: kumpi voitt, äärettömyyteen vievä termien lukumäärä vi nolln vievä yksittäisten termien suuruus. Jos Riemnnin summll edellä kuvtuss rjprosessiss on rj-rvo riippumtt siitä, miten pisteet v k osväleiltä vlitn j miten jon tsinen tihentäminen tphtuu, snotn, että funktio f on integroituv välillä [, b] j sen määrätty integrli on minittu rj-rvo. Merkitään f(x) dx = lim n f(v k ) x k. Rjprosessi on luonteeltn erilinen kuin lukujonon ti funktion rj-rvo. Itse siss määrätyn integrlin täsmällinen määrittely edellyttäisi tämänkin rjrvotyypin määrittelyä δ ɛ -tekniikll. Voidn osoitt, että jos f on jtkuv funktio, niin Riemnnin summn rjrvo on olemss. Se on olemss myös monille epäjtkuville funktioille, mutt ei kikille. Integrlien käyttö perustuu usein Riemnnin summien mukiseen jtteluun, kuten seurvt esimerkit osoittvt. rj-rvo (lukujonon) rj-rvo (funktion) Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 2/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Esimerkki 1 Riemnnin summst Ilmkehän tiheys korkeudell z on krken mllin mukn ρ(z) =1.23 e.12z, eksponenttifunktio missä korkeus nnetn metreissä j tiheyden yksikkönä on kg/m 3. Sdn kilometrin korkeudess on ilm jo niin ohutt, että voidn ktso ilmkehän kokonisuudessn olevn tätä lempn. Ilmnpine mnpinnll iheutuu yläpuolell olevn ilmmssn pinost. Pine voidn siis lske määrittämällä esimerkiksi neliömetrin suuruisen lueen yläpuolell olevn ilmptsn mss. Ongelmn on, että ilmn tiheys ei ole vkio, vn pienenee eo. kvn mukisesti. Likimääräisesti ilmmäärä voidn lske jkmll ptss esimerkiksi kilometrin korkuisiin osptsisiin j käyttämällä jokisen osn tiheydelle osptsn puolen välin rvo. Tällöin sdn summ 1 ρ(1k 5) kg m 3 1 m2 1 m = 1 ρ(v k ) z k kg, missä v k = 1k 5 j z k = 1. Lskemll summ sdn 1243.79 kg. Jos ptss jetnkin sdn metrin korkuisiin osptsisiin, sdn vstvll tvll 1 ρ(1k 5) kg m 1 1 3 m2 1 m = ρ(v k ) z k kg. Summnrvoon1249.88 kg. Kumpikin ovt edellä esitetyn trkstelun mukisi Riemnnin summi. Jälkimmäinen on stu edellisestä tihentämällä jkovälien pituudet kymmenesosn. Jos jko edelleen tihennetään, summt lähestyvät ilmkehän pksuuden ( 1 m) yli otettu integrli 1 ρ(z) dz. Tämän rvo on 1249.94 kg, kuten integroimllvoidn todet. Vertilun vuoksi lskettkoon em. ilmmssn pinoisen, neliömetrin llle sopivn elohopeptsn korkeus. Kosk elohopen tiheys on 1355 kg/m 3, sdn ptsn korkeudeksi 125/1355.756 metriä, mikä vst vrsin hyvin normli ilmnpinett 76 mmhg. integrointi (kvt) integrointi (kvt) Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 3/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Esimerkki 2 Riemnnin summst Olkoon funktio f jtkuv j suljetull välillä [, b]. Kuvjn y = f(x) j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l voidn pproksimoid seurvll tvll: y y = f(x) funktio (reli-) jtkuvuus suljettu väli kuvj pint-l v k b x Jetn väli [, b] osväleihin pisteissä x k, missä = x < x 1 < x 2 <... < x n = b. Muodostetn suorkulmiot, joiden kntn on x-kselin osväli [x k 1,x k ] (pituudeltn x k ) j korkeus määräytyy funktion osvälillä smien rvojen mukn: f(v k ), missä v k [x k 1,x k ]. Al pproksimoi tällöin suorkulmioiden pint-lojen summ n f(v k ) x k. Tämä on muodoltn jälleen Riemnnin summ. Mitä tiheämpi välin [, b] jko on, sitä trkemmin suorkulmiot ntvt etsityn pint-ln j toislt sitä lähempänä Riemnnin summ on vstv integrli. Al on siis sm kuin integrli f(x) dx. Edellä snottu pätee vin, mikäli f(x) trksteluvälillä. Jos f s negtiivisi rvoj, tulee vstvn lueen pint-l otetuksi huomioon negtiivisen Riemnnin summss j myös integrliss. Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 4/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Määrätyn integrlin j integrlifunktion yhteys Määrätty integrli voidn lske integrlifunktion vull. Jos nimittäin F (x) on jokin funktion f(x) integrlifunktio kikill x [, b],on integrlifunktio f(x)dx = F (b) F (). Tulos tunnetn nlyysin perusluseen nimellä. Todistust ei tässä käsitellä. Usein käytetään merkintöjä / b F (x) =F(b) F() j F (x) b = F (b) F (). Esimerkiksi on ce kx dx = / b c k e kx = c k ( e k e kb). Funktion f integrlifunktio voidn lusu määrätyn integrlin muodoss. Kosk x f(t) dt = F (x) F (),on derivtt d dx x f(t) dt = F (x) =f(x). Integrlifuntio voidn siis kirjoitt muotoon integrointi (kvt) integrointi (kvt) F (x) = x f(t)dt + C. Huomttkoon, että määrätyn integrlin integroimismuuttuj edellä t voi oll mikä thns. Sehän kto lusekkeest rjojen sijoittmisen jälkeen. Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 5/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Määrätyn integrlin lskusäännöt Integrlien lskemist helpottvt seurvt ominisuudet. Summ voidn integroid termeittäin j vkio voidn siirtää integrlimerkin eteen: [f(x)+g(x)] dx = [cf(x)] dx = c f(x) dx + f(x) dx (c vkio). g(x) dx, Näitä kutsutn yhteisellä nimellä integrlin linerisuudeksi. Integrli on myös dditiivinen integroimisvälin suhteen: integrlifunktio f(x) dx + c b f(x) dx = c f(x) dx. Tulos on ilmeinen, jos <b<c, mutt se on voimss suuruusjärjestyksestä riipumtt, kun määritellään f(x) dx = b f(x) dx, jos <b, j f(x) dx =. Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 6/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Esimerkkejä määrätyn integrlin lskemisest 1) Funktio sin x on ei-negtiivinen välillä [,π]. Kuvjn y =sinxj x-kselin sini väliin jäävän lueen pint-l on pint-l π sin xdx= / π cos x = ( 1) ( 1) = 2. 2) Käyrät y =sinxj y =cosxrjvt välillä [,π/2] kksiosisen lueen. käyrä (tso-) Kosk käyrät leikkvt toisens, kun x = π/4, on lueen pint-l lskettv khdess osss: = π/4 / π/4 (cos x sin x) dx + (sin x +cosx)+ π/2 π/4 / π/2 π/4 = 2 2 1+( 1) + 2 2 =2 2 2. (sin x cos x) dx ( cos x sin x) y 1 y=cosx 1 π 4 π 2 π 3π 2 x y=sinx Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 7/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Ympyrän ln lskeminen integroimll R-säteisen ympyrän voidn ktso muodostuvn smnkeskisistä ympyrärenkist. Jos ympyrärengs, jonk sisäsäde on r k 1 j ulkosäde r k, leiktn poikki j tivutetn sisäreun sopivsti venyttäen j ulkoreun sopivsti kuroen suorksi nuhksi, sdn suorkulmio, jonk pint-l on täsmälleen sm kuin ympyrärenkn pint-l. Suorkulmion leveys on tällöin r k = r k r k 1 j pituus 2πv k, missä säde v k on vlittu sopivst kohdst: r k 1 <v k <r k. ympyrä (esimerkki) ympyrä ympyrä (l) 2πv k r k Ympyrän l on tällöin suorkulmioiden lojen summ: n 2πv k r k.tämä on Riemnnin summ, jok jko tihennettäessä, so. jettess ympyrä yhä usempiin j yhä kpempiin ympyrärenkisiin, lähenee integrli R 2πr dr = / R πr 2 = πr 2. Ei siis ole sttum, että ympyrän pint-ln derivtt on sen kehän pituus! Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Määrätty integrli 8/8 Sisältö ESITIEDOT: summ j tulo, integrlifunktio Hkemisto KATSO MYÖS: integroimistekniikk Määrätyn integrlin histori Integrlin käsitettä voidn lähestyä khdest näkökulmst: Integrointi derivoinnin käänteistoimituksen j integrli tietynlisen summn rj-rvon. Anlyysin perusluse kytkee nämä yhteen. Historillisesti jälkimmäinen, integrli summn rj-rvon, on vnhempi. Ensimmäiset merkit tähän suuntn vievästä jttelust on löydettävissä jo vnhlt jlt Eukleideen Stoikhei-teoksest j Arkhimedeen trksteluist eräiden pint-lojen määrittämiseksi. Tällöin puhutn ekshustiomenetelmästä; määritettävä pint-l ikäänkuin tyhjennetään poistmll siitä yhä pienempiä suorkulmioit ti muutoin pint-lltn tunnettuj osi. Pohjois-Itliss 16-luvun lkupuolell trkstelivt Glileo Glilei j hänen oppilns Bonventur Cvlieri kuvioiden muodostumist jkmttomist osist ( indivisiibeleistä ). Esimerkiksi kolmion voidn ktso muodostuvn sen yhden sivun suuntisist jnoist, jotk lyhenevät siirryttäessä kohden vstkkist kärkeä. Tältä pohjlt määritettiin kuvioiden pint-loj. Arbimtemtikoiden kehittämä lgebr oli jo tällöin levinnyt Eurooppn j geometristen probleemojen käsittelyssä stettiin käyttää myös lgebrllisi menetelmiä. 16-luvun loppupuolell ik oli kypsä meidän tuntemmme integrlilskun syntymiseen. Englntilinen Isc Newton loi derivoinnin j sen käänteisopertion integroinnin. Smn ikn skslisen Gottfried Wilhelm Leibniz otti käyttöön määrätyn integrlin käsitteen summn rj-rvon. Molemmt tunsivt integrlilskun khden näkökulmn välisen yhteyden. Integrlimerkintä f(x) dx on peräisin Leibnizilt. Integrlimerkki on venytetty S, snn summ lkukirjin. Määrätyn integrlin täsmällinen määrittely sellisen kuin se nykyään esitetään on kuitenkin peräisin vst viime vuosisdlt rnsklisen Augustin Louis Cuchyn j skslisen Bernhrd Riemnnin töistä. Tämän jälkeenkin integrlikäsitettä on yleistetty. Yliopistollisiss peruskursseiss käsitellään yleensä Riemnnin integrli, joll kuitenkin on rjoituksens. Pidemmälle menevät mtemtiikn kurssit edellyttävät rnsklisen Henri Lebesguen (1875 1941) mukn nimettyä, hiemn bstrktimp integrlikäsitettä. Eukleides Arkhimedes pint-l Glilei Cvlieri lgebr geometri geometri Newton Leibniz Cuchy Riemnn Lebesgue Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11