766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

Transkriptio

1 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ F ) () Energivälillä (ɛ, ɛ + dɛ) eli vuhtivälillä (v, v + dv) olevien elektronien lukumäärä d(ɛ) 4πV h (m) ɛ dɛ e β(ɛ µ) + 1 (114) Absoluuttisess nollpisteessä termi e β(ɛ µ) e β(ɛ F ɛ) e, jolloin elektronien lukumäärä d(ɛ) ɛ dɛ eli päädytään luentojen yhtälöprin (114) mukiseen tulokseen Energi ɛ mv /, jost sdn dɛ/dv mv dɛ mv dv Sijoittmll nämä elektronien lukumäärän yhtälöön d(ɛ) sdn d(v) 4πV h (m) mv /mv dv 8πV m v dv h (b) Elektronien lukumäärä voidn esittää tiln miehitysluvun j tilojen lukumäärän tulon Fermionien tpuksess tiln i keskimääräinen miehitysluku on n i 1 e β(ɛ i µ) + 1, (11) missä eksponenttitermi on bsoluuttisess nollpisteessä jälleen noll, jolloin keskimääräinen miehitysluku n i 1 kikill tiloill i Yksihiukkstiloj, joiden liikemäärä on välillä (p, p + dp) on f(p)dp 8πV p dp h (111) kpplett Liikemäärän lusekkeest p mv sdn dp m dv Sijoittmll nämä lusekkeeseen f(p)dp sdn yksihiukkstilojen lukumäärä f v (v)dv vuhtivälillä (v, v + dv) j edelleen elektronien lukumääräksi mikä on sm tulos kuin kohdss () d(v) n i f v (v)dv 1 8πV (mv) m dv h 8πV m v dv, h (c) Elektronien lukumäärä d(v) v dv on vuhdin ksvv funktio Fermin energin sti, joss se menee (bsoluuttisess nollpisteessä) skelmisesti nolln (ktso esimerkiksi luentojen kppleen 11-6 kuv ) Vuhdin ksvess siis ksv niiden elektronien lukumäärä, joill on kyseinen vuhti Todennäköisin vuhdin rvo on siten se, joll d(v) svutt mksimins, mikä tphtuu täsmälleen Fermin energin kohdll Tätä vstv vuhti v F kutsutn Fermin vuhdiksi 1

2 (d) Diskreetin muuttujn x pinotettu keskirvo on x n i1 x iw i n i1 w, i missä w i ovt rvojen x i pinokertoimi Jos muuttuj noudtt jtkuv jkum w(x), sen keskirvo välillä (, b) on vstvsti x b b xw(x) dx w(x) dx Merkitään d(v):n lusekkeess esiintyviä vkioit 8πV m h, jolloin d(v) v dv Tällöin nopeuden keskirvoksi sdn v d(v) v d(v) Sijoittmll d(v) j huomioimll, että luentojen yhtälöryhmän (114) mukisesti se on nollst poikkev vin Fermin energin (eli nopeuteen) sti, sdn v v F v F vv dv v dv / vf 4 / vf 4 v F v 4 dv v dv (e) Vuhdin neliön keskirvo on v v d(v) d(v) / vf v 5 5 / vf v 5 v F eliöllinen keskivuhti on tämän vull v 5 v F

3 Elektroniksun Helmholtzin vpn energin srjkehitelmä on F (T, V, ) ( ) 5 ɛ F 1 5π kt + ] 1 Sen vull voidn joht pineen, entropin j sisäisen energin srjkehitelmien lkuost ottmll huomioon edellä minitun kehitelmän kksi ensimmäistä termiä () Tilnyhtälö sdn muodostmll Helmholtzin vpn energin vull pineelle yhtälö muiden tilmuuttujien funktion Luentojen mukn ( ) F P (519) V T F ɛ F ɛ F V, missä on käytetty derivoinnin ketjusääntöä, kosk F F (ɛ F ) j ( ) ɛ F (, V ) h (1145) m 8πV Sijoittmll pineen lusekkeeseen Helmholtzin vpn energin srjkehitelmän kksi ensimmäistä termiä sdn derivoinnist ( ( ) ) P 5 1 5π kt + 5 ( ) ] 1 ɛ ɛ F 5π kt ɛ 1 F F 1 ɛ F ( ) ] h V 1 m 8πV Jälkimmäinen hksulkuluseke on ɛ FV 1, joten tilnyhtälöksi sdn P V ( ) ] 5 ɛ F 1 + 5π kt 1 (b) Myös entropin luseke sdn Helmholtzin vpt energi derivoimll, ( ) F S T V ( ( ) )] T 5 ɛ F 1 5π kt 1 ɛ F 6 ( ) 5 ɛ 5π kt 1 F 1 T ɛ F ɛ F ɛ F (79) (c) Helmholtzin vp energi on luentojen yhtälön (51) mukn F E T S, joten sisäinen energi on kohdn (b) tuloksen vull E F + T S ( ) ] 5 ɛ F 1 5π kt 1 ɛ F 5 ɛ F 1 + 5π ( ) ] kt 1 P V ɛ F + ( ) 5 ɛ 5π kt F 1 ɛ F

4 Absoluuttisess nollpisteessä T K Hopen tiheys ρ 1,5 g/cm j moolimss M m 17,9 g/mol Jokisest hope-tomist irto elektroniksuun yksi elektroni, jonk mss m e 9, kg Hopen elektroniksun Fermin energi tilvuudess V 1 m on edellä esitetyn yhtälön mukn j pine ɛ F h m h m e ( 8π ( 8π V ) ρ A M m ) (6, J s) 9, kg ( 8π 1,5 16 g m 6, mol 1 17,9 g mol 1 8, J 5,5 ev P ( ) ] 5 V ɛ F 1 + 5π kt 1 ɛ F ) ρ A ɛ F 5 M m 5 1,5 16 g m 6, mol 1 17,9 g mol 1 8, J, P,7 1 1 P Entropi on kohdn (b) mukn suorn verrnnollinen lämpötiln, jolloin bsoluuttisess nollpisteessä S J/K Tällöin myös T S J, joten elektroniksun sisäinen energi j Helmholtzin vp energi ovt yhtä suuri, E F 5 ɛ F 5 V ɛ FV ρ A ɛ F V 5 M m 5 1,5 16 g m 6, mol 1 17,9 g mol 1 8, J 1 m, J,1 1 1 J Trkstelln suljetuss säiliössä olev, identtisestä bosonist koostuv ideliksu Yhden hiukksen prtitiofunktio on tehtävännnon mukn ( ) πmkt Z 1 Z1 tr V (1) h 4

5 () Rjll T, µ hiukksten lukumäärä voidn esittää luentojen yhtälön (1161) mukn muodoss Tc /, missä vkio,61v ( πmk/h ) / Tällöin ( ) πmk V, h,61t c jolloin prtitiofunktio (1) sdn muotoon missä vkio α,61 ( πmk Z 1 V α ( T h ), ) T () (b) Todennäköisyys sille, että lämpötilss T / säiliössä yksinään olev hiukknen on perustilss, jonk energi on ɛ 1, on p 1 e βɛ 1 Z 1 (4) e Z 1 ( Tc α T α ( Tc α Jos on kondenstiolämpötil ksulle, jot säiliössä on n 1 mol, hiukksten lukumäärä on Avogdron luvun vull esitettynä n A j ) ) p 1 α n A,61 1 mol 6, mol 1 1, , 1 (c) Jos hiukksi on kpplett j ne ovt toisistn riippumttomi, perustiln keskimääräinen miehitysluku sdn hiukksten lukumäärän j yhden hiukksen todennäköisyyden p 1 tulon, n 1 p 1 α,61 7, ,9 5

6 (d) Kun huomioidn Bose-Einstein-kondenstio, hiukksten suhteellinen lukumäärä perustilss on luentojen mukn ( ) 1 T 1, kun T < Tc (1164) Lämpötilss T / tämän lukurvoksi sdn ( ) 1 1 Tc 1 1, Kun ksu on n 1 mol, n A j perustiln keskimääräinen miehitysluku 1, n A, mol 6, mol 1, ,89 1, mikä on huomttvsti suurempi luku kuin kohdss (c) lskettu (e) Äärimmäisen mtliss lämpötiloiss β 1/(kT ) on hyvin suuri, jolloin prtitiofunktion Z 1 r e βɛr e βɛ 1 + e βɛ + e βɛ + ensimmäinen termi (ɛ 1 ) e βɛ 1 1 on hyvin suuri verrttun muihin termeihin Yhtälön (1) mukisen prtitiofunktion johto perustuu luentojen integrliin (918), joss perustil vstv termiä ei huomioid linkn, kosk f(p)dp p dp, kun p Äärimmäisen mtliss lämpötiloiss yhtälöä (1) on siis korjttv lisäämällä siihen puuttuv termi e 1, jolloin sdn ( ) πmkt Z V () Yhtälön () vull tämä voidn kirjoitt myös muodoss Z ( ) T α Korjus on trpeellinen, kun korjustermi on sm luokk kuin Z 1 ilmn korjust Asettmll korjustermi yhtäsuureksi vkiotermin 1 knss sdn ( ) T 1 α h α T T c ( α T ) Tc Lämpötil T, joss korjustermi tulee merkittäväksi on pieni, kosk on suuri Jos ksu on esimerkiksi yksi mooli, suhteellinen lämpötil T/,

7 (f) Todennäköisyys sille, että bsoluuttisess nollpisteessä yksinään olev hiukknen on perustilss (ɛ 1 ), on korjtun prtitiofunktion () vull p 1 e βɛ 1 Z 1 e Z V ( πmkt h ) ] 1 Jos toisistn riippumttomi hiukksi on kpplett, keskimääräinen miehitysluku on T K lämpötilss n 1 p 1 Bose-Einstein-kondenstio huomioiden sdn luentojen yhtälön (1164) mukn ( ) 1 T eli bsoluuttisess nollpisteessä sdn kummllkin tvll sm tulos 4 Kondenstiolämpötil voidn rtkist luennoiss johdetust yhtälöstä V ( h πmk ) /,61, (116) jost sdn moolimssn M m m A vull ( ) 1 h A,61 V πm m k () triumtomeist muodostuvn ksun hiukkstiheys /V 4 1 tomi/m j moolimss M m, g/mol Kondenstiolämpötilksi sdn ( ) 1 h A,61 V πm m k ( ) 4 1 m,61 (6, J s) 6, mol 1 π, kg mol 1 1, J K 1, K,8 µk (b) Oletetn helium 4 He ideliksuksi Kiehumispisteessä T 4, K sen tiheys ρ 1 kg/m j moolimss M m 4, g/mol Hiukkstiheydeksi sdn V ρ m 7 ρ A M m

8 j kondenstiolämpötilksi siten ( ) ρ A h A,61 M m πm m k ( ) ρ h 5 A,61 πm 5 m k ( ) 1 kg m,61 (6, J s) (6, mol 1 ) 5 π (,4 kg mol 1 ) 5 1, J K 1, K,8 K Helium-:n spin on 1 eli se on fermioni Fermionit noudttvt Pulin kieltosääntöä eivätkä siis voi koke Bose-Einstein-kondenstiot 5 Kun lämpötil on kondenstiolämpötiln lpuolell (T < ), bosoneist koostuvn ideliksun lämpökpsiteetti vkiotilvuudess on ( ) T C V 1,9nR () Ksun sisäinen energi on lämpökpsiteetin määritelmän (11) mukn de C V dt, joten sisäiseksi energiksi sdn E T C V dt Sijoittmll tähän lämpökpsiteetin luseke j suorittmll integrointi sdn E 1,9nR T c T T dt 5 1,9nRT c T 5 Kondenstiolämpötiln luseke voidn rtkist luentojen yhtälöstä (116), kuten tehtävässä 4 Lämpötiln lusekkeeksi tulee ( ) 1 h,61 V πmk j sijoittmll se sisäisen energin lusekkeeseen sdn tulokseksi ( ) / πmk T 5/ E 5 1,9nR,61 V h 8

9 Kosk inemäärä n / A j ksuvkio R k A, missä k on Boltzmnnin vkio j A Avogdron luku, nr/ k j sisäisen energin lusekkeeksi sdn E 1,9,61 (π) 5 1, V m (kt ) 5 h 1,8(kT ) 5 m V h V m k 5 T 5 h (b) Ksun entropin infinitesimlinen muutos on määritelmän mukn ds d Q T (58) Luentojen yhtälön (56) mukn lämpömäärä d Q C V dt Sijoittmll se edelliseen yhtälöön j integroimll sdn entropin lusekkeeksi S T C V T dt Sijoittmll tähän tehtävännnon lämpökpsiteetin C V luseke sdn S 1,9nR T c T T T dt 1,9nRT c T Vertmll tätä kohdss () lskettuun tulokseen sdn entropiksi S 5 E T (c) Ksun pine sdn lskettu yhtälöstä ( ) F P, (79) V T, missä F on Helmholtzin vp energi Kohdn (b) tuloksen vull jonk vull pineelle sdn luseke F E T S (51) E T 5 E T E, P E V 9

10 Sijoittmll energiksi kohdn () tulos sdn pineeksi ( ) P 1, (kT ) 5 m V V h 1,174765(kT )5/ m / h 1,(kT )5/ m / h Stu tulos voidn tulkit niin, että jos bosoneist muodostuv ideliksu puristetn isotermisesti, pine pysyy puristuksess hiemn yllättäen vkion 1