Muita määrätyn integraalin sovelluksia

Transkriptio

1 Muit määrätyn integrlin sovelluksi Ekstr Pohint Auto kiihyttää tsisesti viiessä sekunniss vuhist 4 km/h vuhtiin 76 km/h. ) Muoost funktio, jok ilmisee uton vuhin v(t), kun on kulunut t sekunti kiihytyksen loittmisest. ) Kuink pitkän mtkn uto kulkee koko kiihytyksen ikn? ) Kuink pitkän mtkn uto kulkee viiennen kiihytyssekunnin ikn? Pohint Funktio f( ) välillä 4. on erään stunnismuuttujn X tiheysfunktio ) Osoit, että f on toell tiheysfunktio, j lske toennäköisyys P( X 4). ) Määritä kertymäfunktio F ( ) PX ( ), 4. Lske sen vull toennäköisyyet PX ( ) j PX (,5). MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA

2 Ekstr Muuttuneen määrän lskeminen Luvuss. trksteltiin tilnteit, joss tunnettiin määrän muutosnopeus f () j hluttiin selvittää määrä F(). Kosk muutosnopeus on määrän erivtt, määrä on muutosnopeuen eräs integrlifunktio. Jos hlutn tietää vin määrän muutos välillä [, ], se voin lske integrlifunktion rvojen erotuksen F () F (). Anlyysin perusluseen mukn tämä erotus on yhtä suuri kuin muutosnopeuen määrätty integrli välillä [, ]: jos f on muutosnopeus, määrän muutos välillä [, ] on f ( ). Esimerkki Rtkisu Vuotvn ilmpllon tyhjenemisnopeus on kääntäen verrnnollinen tyhjenemisen lust kuluneeseen ikn. Kun ik oli kulunut 4, sekunti, tyhjenemisnopeus oli,5 l/min. Kuink pljon ilm pllost poistuu seurvn sekunnin ikn? Merkitään: ik t (s) tyhjenemisnopeus v(t) (l/s) Kosk suureet ovt kääntäen verrnnolliset, niin v k t, joss k on verrnnollisuuskerroin Lähtötieoist voin selvittää k: Kun t 4, s niin v,5 l/min,5 6 l/s, joten,5 k vt Tyhjenemisnopeus on siis vt () 6t (l/s). Tyhjenemisnopeus on hetkeen t mennessä poistuneen ilmn V(t) muutosnopeus. Seurvn sekunnin kuluess, eli ikvälillä [4, 4], poistuneen ilmn määrä on siten V(4) V (4) eli Vstus t 6 t 6 / ln t 6(ln4 ln 4) 6t t 4 4 4,879..., (l), l, l

3 Liikkeen suuntisen vkiovoimn F mtkll s tekemä työ on W F s. Jos voim muuttuu lusekkeen F() mukisesti välillä [, ], voimn tekemä työ on määrätty integrli Ekstr W F ( ) Voimn F yksikkö on newton (N kg m/s ), j kun pikk on metreinä, työn yksiköksi tulee joule (J kg m /s ). Esimerkki Kun kierrejoust venytetään, trvittv voim F on suorn verrnnollinen jousen venymään. Tällöin F k, joss verrnnollisuuskerroin on jouselle omininen jousivkio. ) Jousi venyy 4,5 N:n suuruisen voimn vikutuksest 5 m. Kuink suuri työ tehään, kun smn jousen venymää ksvtetn 8 m:stä 5 m:iin? ) Mikä on sellisen m pitkän jousen jousivkio, jonk venyttämiseen m:stä 5 m:iin trvitn 4 joulen työ? Rtkisu ) Määritetään ensin jousivkio k, kun F 4,5 N j,5 m. F k F 4,5 N k 9,5 m Voim on siis F ( ) 9. Välillä,8 m,5 m työ on määrätty integrli W,5 9,8,5 9 /,8 45(,5,8 ),745,7 (J) MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA

4 Ekstr ) Jousen pituuksi m j 5 m vstvt venymät ovt m, m j 4 m,4 m. Kosk työ on 4 joule, sn yhtälö W,4 /, k,4, k(,4, ) 8 k 4 k, 8 :, k 67 -kohn mukisesti yksikkönä on N m. Vstus ),7 J ) 67 N m 4

5 Tiheysfunktio j kertymäfunktio Esimerkiksi stunnisesti perusjoukost vlitun henkilön pituus voi s mitä thns relilukurvoj joltin tietyltä väliltä. Stunnismuuttuj X stunnisen henkilön pituus snotn jtkuvksi stunnismuuttujksi. Jtkuvien stunnismuuttujien tutkimiseksi kurssiss MAA6 määriteltiin tiheysfunktio. Funktio f on tiheysfunktio jos Ekstr f ( ) kikill, eli f on ei-negtiivinen funktion f j -kselin väliin jäävän lueen pint-l on. A = Tiheysfunktio f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio, jos kikill funktion f kuvjn j -kselin välin väliin jäävä pintl on yhtä suuri kuin PX (. ) Trkstelln ei-negtiivist funktiot f, jok on määritelty kikill reliluvuill, mutt jolle f ( ) välin [, ] ulkopuolell. f Tällöin pint-l, jok jää funktion kuvjn j -kselin väliin välillä [, ], voin lske määrättynä integrlin. Siis ei-negtiivinen funktio f on tiheysfunktio, jos f ( ) Eelleen f on jtkuvn stunnismuuttujn X tiheysfunktio, jos PX ( ) f( ) P(X ) Jtkuvn stunnismuuttujn toennäköisyyet voin siis lske integroimll, jos tiheysfunktio tunnetn. f MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA 5

6 Ekstr Tiheysfunktio Oletetn, että funktio f on määritelty kikill reliluvuill j että f ( ) välin [, ] ulkopuolell. Tällöin f on tiheysfunktio, jos f ( ) kikill f f ( ). Jos f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio j jos, voin toennäköisyyet lske integroimll: PX ( ) f ( ) f P ( X) f( ) f PX ( ) f ( ) f Epäoleellinen integrli s. 4 Jos ei ole väliä [, ], jonk ulkopuolell f ( ), niin pint-lehto on f( ). Tämä on ns. epäoleellinen integrli, jot käsitellään trkemmin kurssill MAA. 6

7 Esimerkki, e Osoit, että funktio f( ) on tiheysfunktio. Lske muulloin toennäköisyys ) P( X 4) ) PX ( 5), kun f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio. Ekstr Rtkisu Funktio f on välillä [, e ] selvästi ei-negtiivinen. Trkistetn pintlehto: e e / e A ln (ln e ln) Siis f on tiheysfunktio. ) Toennäköisyys P( X 4) sn integroimll funktiot f yli välin [, 4]. P( X 4) 4 4 / ln ln (ln 4 ln ) (ln ln ) ( ln ln ),5 ) Toennäköisyys PX ( 5) sn integroimll yli välin [5, e ]. e PX ( 5) (lne ln5) 5 ln 5 ( ln 5), Vstus ) ln,5 ) ln 5, MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA 7

8 Ekstr Tiheysfunktion vull voin lske tärkeimmät jtkuvn stunnismuuttujn tunnusluvut, ootusrvo j keskihjont. Jtkuvn stunnismuuttujn tunnuslukuj Olkoon funktio f jtkuvn stunnismuuttujn X tiheysfunktio, jolle f ( ) välin [, ] ulkopuolell. Tällöin stunnismuuttujn X ootusrvo on EX ( ) μ f( ) vrinssi on D ( X) σ ( μ) f( ) keskihjont on DX ( ) σ D( X). Jos ei ole väliä [, ], jonk ulkopuolell f ( ), niin ootusrvo j vrinssi sn epäoleellisin integrlein μ f( ) j σ ( μ) f( ) mikäli nämä integrlit ovt olemss. 8

9 Esimerkki 4 Stunnismuuttujn X tiheysfunktio on f ( ), kun, j muull. Määritä stunnismuuttujn X ootusrvo j keskihjont. Ekstr Rtkisu Ootusrvo on Vrinssi on μ f ( ) / ( ) σ ( μ) f( ) ( 4) ( 9 4) /( ) ( ) Keskihjonnksi sn siten 69 σ 4, Vstus ootusrvo 4, keskihjont 69 4, MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA 9

10 Ekstr Stunnismuuttujn kertymäfunktion F rvo F() kertoo, kuink pljon toennäköisyysmss on kertynyt kohtn mennessä eli millä toennäköisyyellä stunnismuuttujn rvo on korkeintn. Jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn kertymäfunktion F rvo kohss on pint-l, jok tiheysfunktion F kuvjn j -kselin väliin on kertynyt kohtn mennessä. A = P(X ) Jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio, jok on välin [, ] ulkopuolell, niin kertymäfunktio sn integroimll: f F ( ) f( ), kun f Toislt jos tunnetn kertymäfunktio F ( ) f( ), niin tiheysfunktio sn erivoimll se. Perustelln tämä. Jos g on jokin funktion f integrlifunktio, niin / F ( ) f( ) g ( ) g ( ) g ( ) F( ) g( ) f( ) g() on vkio, joten sen erivtt on noll. Joissin tpuksiss stunnismuuttujlle voin ensin muoost kertymäfunktio, jost erivoimll sn tiheysfunktio. Tiheysfunktion vull voin sitten eelleen määrittää esimerkiksi ootusrvo j keskihjont.

11 Esimerkki 5 Kl-lls on täynnä vettä olev puolipllon muotoinen lls, jonk säe on,5 m. Toennäköisyys sille, että kl on jossin ltn osss, riippuu inostn osn tilvuuest, ei osn sijinnist. Stunnismuuttuj X ilmisee kln etäisyyen ltn seinämästä. ) Muoost kertymäfunktio F ( ) PX ( ),,5. ) Määritä stunnismuuttujn X tiheysfunktio. ) Määritä stunnismuuttujn X ootusrvo. Ekstr Rtkisu ) Piirretään tilnteest mllikuv. r =,5 R =,5 m Välillä,5 kertymäfunktio F ( ) PX ( ) on toennäköisyys, että kl on puolipllojen välisessä tilss V. F ( ) PX ( ) on siis tilvuuen V suhe isommn puolipllon tilvuuteen. F ( ) 4 4 πr πr 4 πr,75 π(,5 (,5 ) ) π,5,75 (,5 ),75 (,5 ) ) Välillä,5 tiheysfunktio f ( ) on kertymäfunktion erivtt. f( ) D (,5 ),75,75,75 (,5 ) ( ) (,5 ) MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA

12 Ekstr ) Ootusrvo sn lskemll määrätty integrli,5 μ f( ).,5 μ (,5 ),5,75,5,75,75 (,5 ) (,5 ),5 4 /,75 4 (,5 ) 4,75 4,5,5,5,5,5 (m) Vstus ) ( ) F (,5 ) ) f ( ) (,5 ) ),5 m,75,75

13 Tehtäviä Ekstr Perustehtävät Kiihyttävän uton vuhti t sekunnin kuluttu kiihytyksen loittmisest on v 5,6 (km/h). Lske uton kulkem mtk metrin trkkuuell ikvälillä ) [ s, s] ) [ s, s] ) [ s, s]. Auto kiihyttää tsisesti vuhist 5 km/h vuhtiin km/h kuuess sekunniss. Lske uton kulkem mtk metrin trkkuuell. E Uutuustuotteen päivämyynti on luksi kääntäen verrnnollinen tuotteen julkisupäivästä kuluneeseen ikn. Tuotett myytiin 5 kpplett päivässä, kun oli kulunut myyntipäivää. Kuink mont tuotett myytiin seurvn kymmenen päivän ikn? 4 Aluss piklln olevn uton oletetn kiihyttävän niin, että sen vuhti on jonkin ik suorn verrnnollinen lähöstä kuluneen jn potenssiin,7. Jos vuhti kuuen sekunnin kuluttu lähöstä on 7 km/h, niin kuink mont metriä uto on siihen mennessä ehtinyt kulke? 5 Kppleen nopeus (eli pikkkoorintin (t) erivtt) (m/s) on vt () t, joss t on lähöstä kulunut ik sekuntein. Nopeuen lusekkeest nähään, että kpple kulkee ensin positiiviseen j sitten negtiiviseen suuntn. Kuink kukn lähtöpisteestä kpple on khen minuutin kuluttu? E E 6 Joust jännittävä voim F on suorn verrnnollinen jousen venymään. Kun erästä joust venytettiin,5 m, niin jännittävä voim oli 4 newtoni. ) Muoost luseke voimlle F. ) Lske venytysvoimn tekemä työ, kun joust venytetään,5 metristä,5 metriin. 7 Kuink suuri on sellisen 5 m pitkän jousen jousivkio (yksikkönä N ), jonk venyttämiseen metristä khteen metriin trvitn khen m joulen työ? 8 Jousen venyttämiseksi 4 m trvittiin 5 N:n voim. Kuink pljon joust sn venymään viien joulen työllä? MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA

14 Ekstr E, 9 Osoit, että funktio f( ) on tiheysfunktio. Määritä muulloin toennäköisyyet PX ( ),5 j P(, X,7), kun f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio. E4 Stunnismuuttuj X s rvoj väliltä [, ], j sen tiheysfunktio on muoto f( ). Määritä vkio. Millä toennäköisyyellä X on välillä [, ]? [K7, 8], 4 Määritä vkiolle sellinen rvo, että funktio f( ) muulloin on tiheysfunktio. Määritä toennäköisyys PX ( ), kun f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio. Määritä eellisen tehtävän stunnismuuttujlle X ootusrvo. Stunnismuuttujn X tiheysfunktio on f( ), kun 8, j 6 muull. Määritä stunnismuuttujn X ootusrvo j keskihjont. 4 Määritä vkion rvo siten, että funktio ( ), f on muulloin tiheysfunktio. Määritä DX ( ), kun f on stunnismuuttujn X tiheysfunktio. 5 Jos funktio f j sen erivtt f ovt jtkuvi, funktion f kuvjn pi- tuus s välillä [, ] voin lske kvll s f( ). Lske funktion f( ) kuvjn pituus välillä [, 5]. 4

15 Syventävät tehtävät 6 Myyräpopultio voi suotuisiss oloiss ksv eksponentilisesti siten, että ksvunopeus t:n kuukuen kuluttu trkstelun lkuhetkestä t on vt () k,. Myyräpopultioss on tällä hetkellä 5 myyrää. Lske sn myyrän trkkuuell, kuink mont myyrää popultioss on vuoen kuluttu, kun ksvunopeus puolen vuoen kuluttu on 4 myyrää/kk. (Vstus: 5) Ekstr 7 Auto lähtee liikennevloist j kiihyttää tsisesti seitsemässä sekunniss vuhtiin 4 m/s. Tämän jälkeen uto kulkee sekunti tsist vuhti, jonk jälkeen kuljettj jrrutt (vuhin histuess tsisesti) neljä sekunti j pysähtyy seurviin vloihin. Kuink pitkä on liikennevlojen välimtk metrin trkkuuell? 8 Tikktulun säe on m, j tulu jkutuu kymmeneen smnkeskiseen yhtä leveään renkseen, jotk on numeroitu ulko sisäänpäin :stä :een. Grielin heittämät tikt osuvt tuluun siten, että niien etäisyys r tulun keskipisteestä noutt toennäköisyysjkum, jonk tiheysfunktio on r r 6 (4 ), f() r muulloin Tässä r on ilmistu senttimetreinä. ) Lske toennäköisyys, että Grielin heittämä tikk osuu 9:ään ti :een. ) Lske toennäköisyys, että Grielin heittämistä viiestä tikst inkin kolme osuu 9:ään ti :een. [K5, 9] 9 Jousimmunnss pyöreän tulun säe on 4 m. Tuluun (tähtäämättä) mmuttu nuoli osuu stunniseen kohtn. Olkoon stunnismuuttuj X tuluun osuneen nuolen etäisyys keskipisteestä. ) Millä toennäköisyyellä nuolen etäisyys keskipisteestä on pienempi kuin m? ) Muoost kertymä- j tiheysfunktio muuttujlle X. ) Määritä EX ( ). MUITA MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN SOVELLUKSIA 5

16 Ekstr E5 Puurokttil on knneton suor ympyrälieriö, jonk pohjn hlkisij j korkeus ovt m. Kttilss olevn riisipuuroon on kätketty mnteli. Olkoon stunnismuuttuj X mntelin etäisyys kttiln lähimmästä seinämästä (pohjst ti vipst). Määritä stunnismuuttujn X ) kertymäfunktio F ( ) PX ( ), ) tiheysfunktio ) ootusrvo. (Vstus: ) F ( ) ( ) ) f ( ) 5 5 ) μ, m ) Muurhiskeko on muooltn ympyräkrtio, jonk korkeus on 6 m j pohjn hlkisij metri. Keon stunnisess kohss (pinnll ti sisällä) on muurhinen. Olkoon stunnismuuttuj X muurhisen etäisyys keon huipust. ) Lske toennäköisyys PX ( ). ) Muoost kertymä- j tiheysfunktio muuttujlle X. ) Määritä EX ( ). Vlitn stunninen luku X väliltä [, 4]. Olkoon stunnismuuttuj Y X. ) Lske toennäköisyys PY ( ). ) Muoost kertymä- j tiheysfunktio muuttujlle Y. ) Määritä EY ( ). 6