Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Samankaltaiset tiedostot
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Ilkka Mellin (2008) 1/24

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Moniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

Ilkka Mellin (2006) 1/1

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio

TILASTOMATEMATIIKKA I

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

Suoran sovittaminen pistejoukkoon

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

TILASTOMATEMATIIKKA I

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

6. Stokastiset prosessit (2)

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Bernoullijakauma. Binomijakauma

Generoidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)

10.5 Jaksolliset suoritukset

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

3. Teoriaharjoitukset

6. Capital Asset Pricing Model

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Kokonaislukuoptimointi

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Monimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Käyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma

Todennäköisyyslaskennan kertausta

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Kohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ.

Monte Carlo -menetelmä

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

Transkriptio:

TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ >. Totea, että hätätodeäkösyys P(X > a), mssä a >, toteuttaa Markov epäyhtälö. Todelle hätätodeäkösyys: P( X > a) = e λa. ( X ) Markov epäyhtälö atama yläraja: P( X > a) a = λa. λa Nästä saadaa epäyhtälö e el λae λa. λa päyhtälö o todellak tos, sllä fukto e suur arvo o e <.. Opettaja lask 3 koepaper arvosaoje artmeettse keskarvo ja otoskeskhajoa. Hä sa tuloksks 7.9 ja.37 vastaavast. Tuusluvut laskettuaa hä löys pöydä alle pudoee koepaper ol arvosaa 5. Mkä o kakke 3 paper arvosaoje keskarvo ja otoskeskhajota? Vhje: Otosvarassa merktää yleesä s ja otoskeskhajota o tämä elöjuur. Ks. kaavakokoelma. = 3 3 s =.37 = 3 7.9 = 45 (arvosaoje summa täytyy olla kokoasluku) 3 s = ( ) ( ) = 56.37 3 ( ) = + 45 / 3 = 993 Huomaa, että myös arvosaoje elöde summa täytyy olla kokoasluku. Puuttuva paper lsäämse jälkee: = 3 3 = 3 7.9 + 5 = 5 (arvosaoje summa täytyy olla kokoasluku) 3 = = 7.85 3

3 + 45 / 3 + 5 = 8 s = 8 3 7.85.97 = 3 s s =.45 3. Radoaktvse aee sätelyä mtataa Geger-mttarlla. Mttaus tapahtuu reksterömällä mpulsse lukumäärä 6 seku akaa. Oletetaa, että mpulsse lukumäärä oudattaa Posso-jakaumaa tapahtumatesteett o mpulssa/s. a) Mkä o odotettavssa oleva mpulsse lukumäärä muut akaa? b) Mkä o keskmääräe odotusaka esmmäselle mpulsslle? c) Mllä todeäkösyydellä muutssa tulee korketaa 6 mpulssa? Impulsse lukumäärä X yhde muut akaa oudattaa Posso-jakaumaa Posso(λt), jossa λ = /s ja t = 6 s. Ste jakauma parametr λt = 6. a) (X) = λt = 6 b) Jos Posso-jakauma tapahtumatesteett o λ, esmmäse mpulss odotusaka Y ~ p(λ). Ste keskmääräe odotusaka esmmäselle mpulsslle o (Y) = /λ = / =. s. kspoettjakauma uohtamsomasuude vuoks tämä o samalla mpulsse keskmääräe välaka. c) Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X) = λt = 6 Var( X) = λt = 6 77.46 P( X 6) = 6 = 6! e 6 6 6 Φ =Φ (.9) =.95 6 Myös Posso-jakauma approksmossa vodaa käyttää jatkuvuuskorjausta kute bomjakauma tapauksessak. Tässä stä e ole käytetty. 4. Satuasmuuttuja X theysfukto o f ( ) =, < <. Olkoot X, X,, X 3 rppumattoma ja samo jakautueta ku X. Mllä todeäkösyydellä (lkma) summa Y = X + X + + X 3 o välllä Y? Käytä sopvaa ormaaljakaumaapproksmaatota.

3 ( X ) ( X) = d = = 6 3 3 4 ( X ) ( X ) = d = = 3 8 3 ( X ) ( X) ( X ) [ ( X) ] Var = Var = 9 ( Y) = 3 =, Var( Y) = 3 = 6.67 3 9 3 Keskese raja-arvolausee ojalla Y ~ N(, 6.67). P( Y ) Φ (.77) ( ) Φ =Φ Φ =.7794.5 =.794 6.67 6.67 5. Olkoot X, =,,, rppumattoma havatoja jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o. a) Todsta, että ( X ) = µ, mssä X o havatoje X artmeette keskarvo. b) Todsta, että havatoje X artmeettse keskarvo varass o peemp ku yksttäse havao varass, jos >. a) X = ( X + X + + X ) ( X) = ( X) ( X) ( X ) + + + = µ = µ (Tässä todstett, että artmeette keskarvo o harhato estmaattor odotusarvolle. stmota seuraa lsää myöhemm.) b) Var( X) ( X µ ) X X X µ + + + ( X + X + + X ) µ (( X µ ) + ( X µ ) + + ( X ) µ ) ( X µ ) ( X µ ) ( X ) ( µ X µ )( Xj µ ) + + + + j = ( ) ( ) ( ) X µ X µ X µ + + + = ( ) ( ) ( ) X µ X µ X µ + + + = = <, jos > Huomaa, että havatoje rppumattomuude taka ( X µ )( Xj µ ) = Cov ( X, Xj) = kaklla j

6. Olkoot X, =,,, rppumattoma havatoja jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja X X. varass o. Todsta, että ( ) = ( X) = ( X ) [ ( X) ] Var ( X ) = ( X) + [ ( X) ] () ( ) ( ) Var X = X X = X X X = X XX + X = X XX + X = = = ( X X) X ( X ) () X X + X + + X X + X + + X X X X X X X X = = ( ) ( ) ( ) ( ) Kohda perusteella () ( X ) X = + ( µ ) ( X ) = Var( X) + ( X) = + µ Jatketaa kohdasta () : = ( X X) = + µ, jote: ( X X) X ( X ) = ( + µ ) + µ = ( ) Jote: (Tässä todstett, että otosvarass (Lase kaavakokoelma kaava 68) o harhato estmaattor varasslle. Jos elösumma ( ) X X jaetaa termllä, saadaa systemaattsest la peä estmaatteja varasslle. Tämä todstus löytyy myös hema lyhyempää Lase krjasta, luku 9.5, otskko "Varass harhato estmaatt".) Pstetehtävä. Hetetää vrheetötä oppaa kertaa. a) Mkä o odotettavssa oleva kuutoste määrä? b) Mllä todeäkösyydellä kuutoste määrä o suljetulla välllä [96, 8]? Vhje: Käytä sopvaa ormaaljakauma-approksmaatota.

a) Kuutoste lukumäärä X oudattaa bomjakaumaa B(, p) = ja p = /6. Ste (X) = p =. b) Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X) = p = Var( X) = p( p) 666.67 4.8 8 5 P( 96 X 8) = = 96 6 6 96 8 P Z = P(.98 Z.96) 4.8 4.8 =Φ(.96) Φ(.98) =Φ(.96) ( Φ (.98) ) =.975 +.8365 =.85 Hema tarkemp tulos saadaa käyttämällä k. jatkuvuuskorjausta. Ks. Lase kaavakokoelma kaava 47. Jatkuvuuskorjaukse avulla saadaa laskettua myös approksmaatota yksttäslle pstetodeäkösyykslle. Pstetehtävä. Tehdas tuottaa trasstoreta, jode elkä o ekspoettjakautuut odotusarvoa 5 tuta. Kuka suurella todeäkösyydellä 5 trasstor yhteelaskettu elkä o yl 9 tuta? Vhje: Käytä sopvaa ormaaljakauma-approksmaatota. HUOM! kspoettjakautuede satuasmuuttuje summa e ole ekspoettjakautuut! Merktää X = "trasstore yhteelaskettu elkä". Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X ) = 5 = 5 5 = 75 λ Var( X ) = 5 = 5 5 = 5 λ 66.6 P( X > 9) = P( X 9) 9 75 P Z = P( Z.4) = Φ (.4) =.97 =.793 66.6 Vertalu vuoks Markov epäyhtälöstä saadaa yläraja hätätodeäkösyydelle: ( X ) 75 P ( X a), P( X 9).83 a 9 Markov epäyhtälö atama yläraja hätätodeäkösyydelle o todella varovae.