Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut ) 1. Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä koneella tehdään 10 tuotetta. a) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy 2 kpl? b) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy? c) Mikä on odotettavissa oleva viallisten tuotteiden lukumäärä? Päivän aikana tehtyjen viallisten tuotteiden lukumäärä X on satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa: X Bin(n, p), missä n = 10 ja p = 0.2. Binomijakauman n n pistetodennäköisyysfunktio on f ( ) = P( X = ) = p ( 1 p), = 0,1, 2,, n a) P( X = 2) = b) P( X > 0) = 1 P( X = 0) = c) E( X) = np = = 2 2. a) Heitetään virheetöntä noppaa kunnes saadaan silmäluku 1. Merkitään tarvittavien heittojen lukumäärää satunnaismuuttujalla X. Millä todennäköisyydellä tarvitaan yli 5 heittoa? Jos on heitetty jo 10 kertaa saamatta ykköstä, millä todennäköisyydellä tullaan tarvitsemaan vielä yli 5 heittoa lisää? Yleistä. b) Vertailun vuoksi: Sekoitetusta korttipakasta nostetaan (ilman takaisinpanoa) kortteja, kunnes saadaan ässä. Millä todennäköisyydellä on nostettava yli 5 korttia? Jos on nostettu jo 10 korttia saamatta ässää, millä todennäköisyydellä täytyy nostaa vielä yli 5 korttia lisää? c) Mikä on a)-kohdan satunnaismuuttujan X (=ykköseen tarvittavien heittokertojen lukumäärä) odotusarvo? Jos pitää etukäteen arvata heittokertojen lukumäärä, mikä on paras arvaus? a) Heittojen lukumäärä X noudattaa geometrista jakaumaa: X Geom(p), missä p = 1/6. Geometrisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio on f ( ) = P( X = ) = p( 1 p) 1, = 1, 2,

2 Geometrisen jakauman kertymäfunktio on F( ) = P( X ) = 1 ( 1 p) [ ], = 1, 2,, missä [] on suurin kokonaisluku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin. P(X > 5) = (1 p) 5 (= todennäköisyys saada 5 kertaa peräkkäin jokin muu kuin ykkönen). 15 P( X > 15 ja X > 10) P( X > 15) ( 1 p) 5 P( X > 15 X > 10) = = = 10 = ( 1 p) P( X > 10) P( X > 10) ( 1 p) Yleistys: P(X > a+ X > a) = P(X > ) kaikilla a, (tätä kutsutaan unohtamisominaisuudeksi). b) Merkitään nostojen lukumäärää satunnaismuuttujalla Y. P(Y > 5) = P("5 ensimmäistä korttia muita kuin ässiä") = ja P(Y > 15 Y > 10) = siis P(Y > 5) P(Y > 15 Y > 10) Satunnaismuuttujalla Y ei ole unohtamisominaisuutta. c) E(X) = 1/p = 6. Paras arvaus X = 1 (eikä esim. 6), koska arvolla 1 on suurin todennäköisyys. Unohtamisominaisuus liittyy nimenomaan geometriseen jakaumaan (ja eksponenttijakaumaan, joka on jatkuva jakauma). Voidaan osoittaa, että jos satunnaismuuttujan X arvojoukko on numeroituva ja X:llä on unohtamisominaisuus, niin X:n jakauma on geometrinen jakauma jollakin parametrilla p. 3. Simpukassa on helmi todennäköisyydellä 0.4. Avataan simpukoita, kunnes on löydetty 2 helmeä. Olkoon avattujen simpukoiden lukumäärä satunnaismuuttuja X. a) Millä todennäköisyydellä joudutaan avaamaan vähintään 5 simpukkaa? b) Montako simpukkaa on keskimäärin avattava? Avattujen simpukoiden lukumäärä X noudattaa negatiivista binomijakaumaa: X Negbin(r, p), missä r = 2 ja p = 0.4. Negatiivisen binomijakauman pistetodennäköisyysfunktio on: 1 ( ) r r f = P( X = ) = ( 1 p) p, = r, r + 1, r + 2, r 1 (tietenkin P(X = 0) = P(X = 1) = 0, kun halutaan 2 helmeä ja oletetaan, että yhdessä simpukassa ei voi olla useampaa kuin 1 helmi).

3 1 0 2 P( X = 2) = ( 1 0.4) = P( X = 3) = ( 1 0.4) = P( X = 4) = ( 1 0.4) 0.4 = a) P(X 5) = 1 P(X 4) = 1 ( ) = b) E(X) = r/p = 2/0.4 = 5. (Jos tn löytää helmi on 0.4, yhden helmen löytämiseen tarvitaan keskimäärin 1/0.4 = 2.5 yritystä ja kahden helmen löytämiseen keskimäärin kaksi kertaa niin monta yritystä) 4. Uuno T:n vaatekaapissa on 20 samanlaista sukkaa, joista 13 on rikki. Uuno nappaa kiirellä mukaansa 10 sukkaa. Millä todennäköisyydellä hän saa ainakin 2 ehjää sukkaparia? Mukaan otettujen ehjien sukkien lukumäärä X noudattaa hypergeometrista jakaumaa: X Hypergeom(n, N, r), missä n = 10, N = 20 ja r = 7. Hypergeometrisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio on r N r n f ( ) = P ( X = ) =, ma{ 0, n ( N r) } min ( n, r N ) n ja P("ainakin 2 ehjää paria") = P(X 4) = 1 P(X 3) P( X = 0) = 286/ = P( X = 1) = 5005/ = P( X = 2) = / = P( X = 3) = 60060/ = P( X 4) = 1 = Komplementtitodennäköisyyden laskemisesta ei ole tässä tehtävässä hyötyä, koska yhtä hyvin voidaan laskea pistetodennäköisyydet f(4), f(5), f(6) ja f(7) yhteen. 5. Sairaalan tapaturma-asemalla tarvitaan tiettyä lääkeainetta satunnaisesti keskimäärin 1 annos / 2 vrk. Lääke säilyy vain muutaman viikon ajan, joten sitä varastoidaan mahdollisimman vähän. Miten monta annosta on varattava viikoksi (7 vrk), jotta olisi 99 %:n varmuus siitä, että lääke ei lopu kesken?

4 Merkitään X = "7 vrk:n aikana tarvittavien lääkeannosten lkm". X on Poisson-jakautunut (X Poisson(θ )), kun oletetaan, että lääkeaineen tarve viikossa ei riipu muiden viikkojen kulutuksesta. Poisson-jakauman pistetodennäköisyysfunktio on θ θ f ( ) = P ( X = ) = e, = 0, 1, 2, ja θ > 0! missä θ on odotusarvo (ja samalla jakauman varianssi). Tässä tapauksessa E(X) = 7 1/2 = 3.5 ja X Poisson(3.5). Ratkaistaan epäyhtälöstä P(X ) = ( /2! /!) e P(X 7) (ei aivan riitä) P(X 8) Lääkeainetta on siis varattava vähintään 8 annosta. 6. Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio (θ > 0) θ θ e kun 0, 1, 2, f ( ) P( X ) = = = =! (Poisson-jakauma) 0 muualla Määritellään uusi satunnaismuuttuja Y yhtälöllä Y = 4X. Määrää Y:n pistetodennäköisyysfunktio. Y:n otosavaruus on {0, 4, 8, }. Muunnoksen perusteella muotoa {Y = 4k, k } ja {X = Y/4} olevat tapahtumat ovat ekvivalentit, siis niillä on samat todennäköisyydet. Y:n pistetodennäköisyysfunktio on näin ollen y /4 θ θ e kun y = 0, 4, 8, f ( y) = P( Y = y) = P ( X = y/4) = ( y /4)! 0 muualla Pistetehtävä 1. Pullaan käytetään 1 dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa on laitettava 10 litran taikinaan, jotta pullasta löytyisi ainakin 1 rusina vähintään todennäköisyydellä 0.95? Oletetaan, että taikina sekoitetaan hyvin ja rusinan tilavuus on häviävän pieni. Rusinoiden lukumäärä X noudattaa approksimatiivisesti Poisson-jakaumaa: X a Poisson(λs), jossa s on tilavuusyksikkö ja λ on rusinoiden keskimääräinen lukumäärä tilavuusyksikössä. Jakaumatulos ei ole tarkka johtuen taikinan äärellisestä tilavuudesta. Tässä esimerkissä s = 1 dl. Todennäköisyys, että taikinassa on vähintään 1 rusina tilavuusyksikössä, on λ 0 e λ λ P( X 1) = 1 P( X < 1) = 1 P( X = 0) = 1 = 1 e. 0!

5 Asetetaan ehto P( X 1) = 1 e λ 0.95, joka toteutuu, kun ln( 0.05) λ ln() e 10 litran taikinasta tulee 100 pullaa, joten siihen pitää laittaa vähintään 300 rusinaa.

6 Vaihtoehtoinen ratkaisu: Taikinan äärellisestä tilavuudesta johtuen tämä on hieman tarkempi tulos. Taikinasta syntyy yhteensä 100 pullaa. P("pullassa vähintään 1 rusina") = 1 P("pullassa on 0 rusinaa") P("pullassa on 0 rusinaa") Laitetaan taikinaan rusinaa. Jos yksittäisessä pullassa ei ole yhtään rusinaa, kaikki rusinaa ovat muissa pullissa, joita on 99 kpl. Tästä saadaan epäyhtälö: 99 P ("pullassa 0 rusinaa" ) = ln( 0.05) ln( 0.99) Eli taikinaan pitää laittaa vähintään 299 rusinaa. Pistetehtävä 2. Tehdas väittää, että korkeintaan 1 % tuotteista on viallisia. Ostat 1000 tuotetta ja poimit satunnaisesti tarkastettavaksi 25 tuotetta ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta enemmän kuin 2 viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu? Viallisten lukumäärä X noudattaa hypergeometrista jakaumaa, jossa n = 25, r = 1000/100 = 10 (viallisten lukumäärän maksimi erässä, jos valmistajan lupaus pitää paikkansa) ja N = Koska otantasuhde n/n = 25/1000 = on pieni (usein rajana käytetään arvoa 0.05), hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla: X a Bin(n, p), jossa n = 25 ja p = P( X > 2) = 1 P( X 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) P( X = 2) = Hypergeometrista jakaumaa käyttämällä tehtävä ratkeaa kuten tehtävä 4. Tällöin joutuu laskemaan suuria binomikertoimia, joita kaikki laskimet eivät välttämättä anna suoraan. Vertailun vuoksi hypergeometrista jakaumaa käyttämällä saadaan P(X > 2) eli binomijakauma-approksimaatio on tässä tapauksessa erittäin hyvä.