Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Transkriptio

1 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

2 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysfunktio Kaksiulotteisen jatkuvan jakauman tiheysfunktio Kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat 2 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 3 Kaksiulotteisen jakauman yleinen odotusarvo Reunajakaumien odotusarvot Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

3 Johdanto Yksi satunnaismuuttuja ei riitä kuvaamaan kaikkia satunnaisilmiöitä. Jos ilmiöön liittyy useita satunnaisia tekijöitä, ovat näiden tekijöiden väliset riippuvuudet tilastollisen mallintamisen kannalta erityisen mielenkiintoisia. Näiden riippuvuuksien mallintaminen tapahtuu yhteisjakauman avulla. Esimerkki 1: Kahden nopan heiton yhteisjakauma. Esimerkki 2: Miten tupakoinnin määrä (1) ja kesto (2) vaikuttuvat keuhkosyöpään (3). Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

4 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Toisin sanoen: X : R R Y : S R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: R S = {(r, s) r R, s S} Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y ) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: (X, Y ) : R S R 2 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

5 Kaksiulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysfunktio Reaaliarvoinen funktio f XY : R 2 R määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos 1 f XY (x, y) 0 kaikilla x, y, 2 x y f XY (x, y) = 1, 3 Pr(X = x Y = y) = f XY (x, y), Olkoon A R 2 jokin tapahtuma. Tällöin Pr((X, Y ) A) = f XY (x, y) (x,y) A Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

6 Esimerkki Heitetään (virheetöntä) kolikkoa kolme kertaa. Olkoon X saatujen kruunien kokonaismäärä ja Y kahdessa ensimmäisessä heitossa saatujen klaavojen määrä. Nyt X saa jonkin arvoista 0, 1, 2, 3 ja Y jonkin arvoista 0, 1, 2. Karteesinen tulo S XY = S X S Y on joukko S XY = {(0, 0), (0, 1),..., (3, 1), (3, 2)}. Joukon S XY pistetodennäköisyydet voidaan helposti laskea, ja ne on käytännöllistä esittää kaksiulotteisena taulukkona. Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

7 Kaksiulotteisen jatkuvan jakauman tiheysfunktio Reaaliarvoinen jatkuva funktio f XY : R 2 R määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktion, jos 1 f XY (x, y) 0 kaikilla x, y, Pr(a X b c Y d) = f XY (x, y) dy dx = 1, b d Olkoon A R 2 jokin tapahtuma. Tällöin Pr((X, Y ) A) = f XY (x, y) dy dx A a c f XY (x, y) dy dx Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

8 Kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio F XY määritellään seuraavasti: Diskreetille jakaumalle: F XY (x, y) = Pr(X x Y y) F XY (x, y) = Pr(X x Y y) = x i x Jatkuvalle jakaumalle: F XY (x, y) = Pr(X x Y y) = x y f XY (x i, y i ) y i y f XY (u, v) dv du Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

9 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat Yksittäisten satunnaismuuttujien X ja Y jakaumia sanotaan yhteisjakauman reunajakaumiksi. Diskreetissä tapauksessa satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan seuraavasti: f X (x) = Pr(X = x) = y f Y (y) = Pr(Y = y) = x f XY (x, y) f XY (x, y) Vastaavasti jatkuvassa tapauksessa satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktiot saadaan seuraavasti: f X (x) = f Y (y) = + + f XY (x, y) dy f XY (x, y) dx Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

10 Satunnaismuuttujien riippumattomuus, johdanto Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y kertymäfunktiot F X (x) = Pr(X x) ja F Y (y) = Pr(Y y). Merkitään A = {X x} ja B = {Y y}. Nyt F X (x) = Pr(A) ja F Y (y) = Pr(B), sekä A B = {s S X (s) x Y (s) y}. Siten F XY (x, y) = Pr(A B). Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos Pr(A B) = Pr(A)Pr(B). Tällöin F XY (x, y) = Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) = F X (x)f Y (y). Määritelmä: Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain jos F XY (x, y) = F X (x)f Y (y) kaikilla x, y R. Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

11 Satunnaismuuttujien riippumattomuus (yleisesti) Kaksi satunnaismuuttujaa ovat riippumattomia, jos ja vain jos seuraavat yhtäpitävät ehdot toteutuvat: 1 f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) 2 F XY (x, y) = F X (x)f Y (y) Tässä F X (x) ja F Y (y) ovat reunajakaumien kertymäfunktiot ja f X, f Y vastaavasti tiheysfunktiot. Yleisesti satunnaismuuttujille X 1, X 2,..., X n, joiden yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on f (x 1, x 2,..., x n ) ja reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio ovat f i (x i ), i = 1, 2,..., n (sekä vastaavat kertymäfunktiot merkittynä F i :llä): 1 f (x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) 2 F (x 1, x 2,..., x n ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 ) F n (x n ) Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

12 Esimerkki (Laininen) 1/2 Pyöreä tappi ja reikä tehdään koneellisesti toisistaan riippumatta. Tapin halkaisija X on tasaisesti jakautunut välille (20, 21) millimetriä ja reiän halkaisija Y välille (20.5, 22) mm. Laske todennäköisyys, että tappi ei mahdu reikään. Tiheysfunktiot ovat: { 1, kun 20 < x < 21, f X (x) = 0, muuten, { 1/1.5, kun 20.5 < x < 22, f X (x) = 0, muuten. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, joten f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) = 1/1.5, kun 20 < x < 21 ja 20.5 < y < 22. Muualla tiheysfunktio on nolla. Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

13 Esimerkki (Laininen) 2/2 Tappi ei mahdu reikään, jos X > Y. Saadaan Pr(X > Y ) = = = x x f XY (x, y) dy dx 1 dy dx 1.5 (x 20.5) dx = Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

14 Esimerkki (Niemi) 1/2 Olkoon f XY (x, y) = xy e x2 y 2. Funktio toteuttaa tiheysfunktiolta vaadittavat ehdot (1) ja (2), joten voidaan ajatella, että se on joidenkin jatkuvien satunnaismuuttujien X, Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Reunajakaumat ovat f X (x) = = x e x2 0 xy e x2 y 2 dy = x e x2 y e y 2 dy ye y 2 dy + x e x2 ye y 2 dy = 1 2 x e x x e x2 = x e x2. 0 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

15 Esimerkki (Niemi) 2/2 Vastaavasti saadaan f Y (y) = y e y 2. Koska f XY (x, y) = xy e x2 y 2 = x e x2 y e y 2 = f X (x)f Y (y), satunnaismuuttujat X, Y ovat riippumattomia. Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

16 Kaksiulotteisen jakauman yleinen odotusarvo Olkoon g : R 2 R jatkuva funktio. Tällöin diskreetissä tapauksessa: E(g(X, Y )) = g(x, y)f XY (x, y) x y Vastaavasti jatkuvassa tapauksessa: E(g(X, Y )) = + + g(x, y)f XY (x, y) dy dx Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17

17 Reunajakaumien odotusarvot Diskreetissä tapauksessa: E(X ) = xf XY (x, y) = x y x E(Y ) = yf XY (x, y) = x y y x y y x f XY (x, y) = x f XY (x, y) = y xf X (x) yf Y (y) Vastaavasti jatkuvassa tapauksessa: E(X ) = = x + xf XY (x, y) dy dx f XY (x, y) dy dx = + xf X (x) dx Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta / 17