ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)"

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen /IV V

2 Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin kertoimet Geometrinen optiikka Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Heijastus pallopinnasta Taittuminen pallopinnalla Ohuet linssit Lähde: Terje O. Nordvik Miksi kuvassa näkyy kuusi kaarta? 2 (33)

3 Luentoviikko 10 Tavoitteet Tavoitteena on oppia miten Huygensin periaate auttaa heijastuksen ja taittumisen analysoinnissa tunnistamaan E- ja B-kenttien rajapintaehdot tunnistamaan Fresnelin kertoimet, kun aalto osuu kohtisuorasti rajapintaan miten peilit muodostavat kuvan miten linssit muodostavat kuvan 3 (33)

4 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Valon sironta Valon sironta Miksi taivas on sininen? Miksi auringonlasku on punainen? Miksi taivas näyttää joissakin suunnissa tummemmalta polarisoivien lasien läpi? Kun auringonvalo osuu ilman molekyyleihin, molekyylit eivät virity, mutta niiden elektronipilvi värähtelee aallon sähkökentän suunnassa = harmonisesti värähtelevä dipolimomentti = dipolimomentti toimii antennina, joka lähettää uuden aallon ympärilleen (paitsi dipolin värähtelyn [akselin] suuntaan) = sironta sironnutta valoa tulevaa valoa Auringonvalo on polarisoitumatonta, mutta valonsäteen kulkusuuntaa vastaan kohtisuoraan suuntaan sironnutta valoa tarkasteleva näkee lineaarisesti polarisoitunutta valoa (eli polarisoivien lasien kanssa...?) Valon taajuus ei muutu sironnassa (koska ei tapahdu virittymistä)! 4 (33)

5 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Valon sironta Taivaan, auringonlaskun ja pilvien väri Kun sirottajan koko λ, kyseessä on Rayleigh n sironta: sironnut intensiteetti 1/λ 4 (eli f 4 ) = sininen valo siroaa n. 15 kertaa voimakkaammin kuin punainen = taivaan väri Auringonlaskua seuraava näkee valoa, josta on sironnut pois sininen Tiheät pilvet sirottavat valoa moninkertaisesti joka suuntaan = näkyvät valkoisina (vai pimentävät taivaan?) Maidon väri johtuu maidon rasvapallosista 5 (33)

6 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Huygensin periaate (1678) Huygensin periaate ilmaisee, että jos tiedämme aaltorintaman muodon jollain hetkellä, voimme muodostaa sen perusteella rintaman myöhemmän muodon, eli: Jokainen aaltorintaman piste toimii lähteenä alkeisaalloille, jotka etenevät kaikkiin suuntiin aallon etenemisnopeudella Etenevän aaltorintaman uusi paikka myöhemmällä tarkasteluhetkellä on alkeisaaltojen yhteinen tangenttipinta eli verhopinta tuolla hetkellä Periaatteen avulla voi johtaa heijastumis- ja taittumislait Perustana mm. diffraktion ja interferenssin tai aukkoantennien (esim. parabolinen heijastinantenni) analyysille Johdettavissa Maxwellin yhtälöistä (esim. Lindell, I.V., Huygens principle in electromagnetics, IEE Proceedings Science, Measurement and Technology, vol. 143, no. 2, pp , Mar 1996: libproxy.aalto.fi/xpl/articledetails.jsp?tp=&arnumber= ) 6 (33)

7 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella B C n a n b θ a A D θ r Tuleva aaltorintama AB kohtaa rajapinnan pisteet eri aikoina Jokainen rajapinnan piste lähettää alkeisaallon (joka etenee nopeudella c/n a ) Alkeisaaltojen summa (verhopinta) muodostaa uuden aaltorintaman, joka etenee nopeudella v a = c/n a Kuvassa CD on AB:stä syntynyt heijastunut rintama, θ a on tulokulma ja θ r on heijastumiskulma (ohuet viivat ovat rintamien paikkoja eri hetkillä) 7 (33)

8 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Heijastuslaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta C:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman CD: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AC v a = BD = AC BD = AD sinθ a, AC = AD sinθ r Yhdistämällä päätelmät saadaan mikä oli odotettu tulos sinθ a = sinθ r = θ a = θ r, 8 (33)

9 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella B n a n b A θ a D θ b E Alkeisaallot etenevät läpäisypuolen materiaalissa nopeudella c/n b Alkeisaallot muodostavat uuden aaltorintaman (nopeus v b = c/n b ) AB:stä syntyy taittunut rintama ED; θ a on tulokulma, θ b taittumiskulma 9 (33)

10 Valon luonne ja eteneminen (YF 33(6 7)) Huygensin periaate Taittumislaki Huygensin periaatteella Jatkoa Kun tuleva aaltorintama on kulkenut B:stä D:hen (ajassa t), pinnan pisteestä A lähteneet alkeisaallot ovat kulkeneet A:sta E:hen ja muodostavat muiden väliltä AD lähteneiden alkeisaaltojen kanssa rintaman ED: t = BD v a Kuvasta saadaan kolmioiden avulla = AE v b = n a BD = n b AE BD = AD sinθ a, AE = AD sinθ b Yhdistämällä päätelmät saadaan n a sinθ a = n b sinθ b, mikä oli odotettu tulos 10 (33)

11 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Asetelma Tarkastellaan sähkömagneettista kenttää materiaalien 1 ja 2 rajapinnassa (numeroalaindeksi ilmaisee, kumman aineen puolella olevasta kentästä on kyse) Kenttien on toteutettava Maxwellin yhtälöt molemmin puolin rajapintaa Käytetään standardikikkaa: Tarkastellaan kenttiä sylinterinmuotoisessa tonnikalapurkissa, jonka pohja on materiaalissa 2 etäisyydellä h 2 rajapinnasta ja jonka kansi on materiaalissa 1 korkeudella h 1 rajapinnasta Purkin korkeuden h = h 1 + h 2 annetaan lopuksi lähestyä nollaa Seuraavassa alaindeksi t tarkoittaa kentän tangentiaalikomponenttia rajapinnan suhteen ja alaindeksi n kentän normaalikomponenttia rajapinnan suhteen; kenttä on aina jaettavissa tangentiaali- ja normaalikomponentteihin rajapinnalla 11 (33)

12 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Magnetismin Gaussin laki Purkilla on kolme pintaa pohja, kansi ja vaippa joten B ˆndA = B ˆn1 da + B ˆn0 da + B ˆn2 da = 0 pohja kansi vaippa Annetaan h 0, jolloin ( ˆn 1 ja ˆn 2 ovat pohjan ja kannen pintanormaalit) B ˆn0 da 0 ja B ˆndA ( B1 ˆn 1 + B2 ˆn 2 )da = 0 vaippa pohja, kansi Valitaan yhteinen pintanormaali ˆn = ˆn 1 = ˆn 2, joka osoittaa aineesta 2 aineeseen 1 = ( B1 ˆn B2 ˆn)dA = 0 pohja, kansi Ehdon pitää toteutua mielivaltaisilla kansi- ja pohjavalinnoilla, joten B1 ˆn = B2 ˆn B 1n = B 2n 12 (33)

13 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Faradayn laki Otetaan purkin vaipasta l-levyinen ja h 1 + h 2 -korkuinen suikale ja tarkastellaan suikaletta ja sen reunaa: E d d l = B ˆndA dt le 1t + h 1 E 1n + h 2 E 2n le 2t h 2 E 2n h 1E 1n = d B ˆndA dt Annetaan h 1,h 2 0 (jolloin myös h 0): d B ˆndA 0 dt = l(e1t E 2t ) 0 = E 1t = E 2t Edellä valittiin E1t d l, mutta miten voitiin päätellä E1t E2t? Myös: E1t = E2t ˆn E1 = ˆn E2 13 (33)

14 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Rajapintaehdot Rajapintaehdot Gaussin laki ja Ampèren laki Tutkitaan erityistapaus: kahden ei-johtavan (mutta mahdollisesti magneettisen) väliaineen rajapinta, joissa ei ole vapaita varauksia tai virtoja Kun Gaussin lain tarkastelee samoin kuin magnetismin Gaussin lain, saa ehdon K 1 ɛ 0 E 1n = K 2 ɛ 0 E 2n (varaukseton rajapinta) Kun Ampèren lain tarkastelee samoin kuin Faradayn lain, saa ehdon B 1t /(K m1 µ 0 ) = B 2t /(K m2 µ 0 ) (virraton rajapinta) 14 (33)

15 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Tarkastellaan kahta ei-johtavaa eristeainetta a ja b, joissa ei ole vapaita varauksia eikä virtoja; taitekertoimet ovat n a = K a ja n b = K b Tuleva tasoaalto on [kenttien suuntien valinta on luennoijan oma] Ea (x,t) = ĵe a cos(k a x ωt), x 0 ja se kohtaa aineiden rajapinnan kohtisuorasti (θ a = 0) tasolla x = 0 Heijastunut tasoaalto olkoon Er (x,t) = ĵe r cos(k a x + ω r t + φ r ), x 0 ja läpäissyt tasoaalto vastaavasti Eb (x,t) = ĵe b cos(k b x ω b t φ b ), x 0 Lisäksi pitää muodostaa näitä vastaavat magneettikentät Ba, Br ja Bb Tangentiaalisen sähkökentän rajapintaehto on nyt Ea (0,t) + Er (0,t) = Eb (0,t) (ja magneettikentän normaalikomponentin ehto toteutuu automaattisesti) 15 (33)

16 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Amplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet Jatkoa Jotta reunaehto voi toteutua kaikilla ajanhetkillä, aaltojen vaiheen on muututtava samaan tahtiin = Taajuus ei muutu: ω = ω r = ω b = Vakiovaihetermit: φ r = φ b = 0 (tämä ei päde, jos aineissa on johtavuutta) = E a + E r = E b (I) Magneettikentän tangentiaalikomponentin jatkuvuusehdosta (nyt: epämagneettiset aineet) seuraa Ba (0,t)/µ 0 + Br (0,t)/µ 0 = Bb (0,t)/µ 0 eli E a /(c/n a ) E r /(c/n a ) = E b /(c/n b ) = n a E a n a E r = n b E b (II) (ja sähkökentän normaalikomponentin ehto toteutuu automaattisesti) Määritellään sähkökentän heijastus- ja läpäisykertoimet Γ ja τ, E r = ΓE a ja E b = τe a, ja ratkaistaan kertoimet yhtälöistä (I) ja (II) eli 1+Γ = τ ja n a n a Γ = n b τ 16 (33)

17 Kenttien rajapintaehdot (~U-II 12(1 3)) Fresnelin kertoimet Fresnelin kertoimet Kohtisuorasti rajapintaan tulevan aallon (θ a = θ r = θ b = 0) Fresnelin kertoimet eli heijastus- ja läpäisykertoimet ovat siis: Γ = n a n b n a + n b ja τ = 2n a n a + n b = 1 + Γ (ei-johtava eristeaine) (Ylikurssia:) Vinosti kahden ei-johtavan eristeaineen rajapintaan tuleva tasoaalto on jaettava tulotason kanssa yhdensuuntaisesti ( ) ja tulotasoa vastaan kohtisuorasti ( ) lineaaripolarisoituneeseen komponenttiin Näiden kahden ominaispolarisaation Fresnelin kertoimet ovat [jälleen luennoijan valinnoilla] Γ = n a cosθ a n b cosθ b n a cosθ a + n b cosθ b Γ = n a cosθ b n b cosθ a n a cosθ b + n b cosθ a 2n a cosθ a 2n a cosθ a τ = τ n a cosθ a + n b cosθ = b n a cosθ b + n b cosθ a (Niin, mitkä ovat luennoijan valitsemat sähkökenttäkomponenttien oletussuunnat?) Näistä ilmenee yhdessä Snellin lain kanssa mm. heijastuksen polaroivuus 17 (33)

18 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrinen optiikka Valon kulkua havainnollistetaan valonsäteiden avulla Ovat aaltorintamien normaaleja Osoittavat valon etenemissuuntaan Geometrinen optiikka Pistemäiset valonlähteet Valonsäteet ovat homogeenisessa aineessa suoria viivoja Valon aaltoluonne jätetään huomiotta Valaistun tai säteilevän kappaleen jokainen piste on valon lähde (vrt. Huygens) Optiikalla kuvataan pistemäinen tai laajempi mitallinen kohde (= äärellisen kokoinen joukko pisteitä) kuvapisteeksi tai mitalliseksi kuvaksi (= joukoksi pisteitä) Useimpien optisten laitteiden (kamerat, mikroskoopit, teleskoopit) suunnittelun pohja Ihminen ajattelee ( näkee ) kohteen tai kuvan olevan siinä suunnassa, josta valonsäteet saapuvat silmään 18 (33)

19 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrinen optiikka käsitteet Kohdeavaruus Kuva-avaruus P P Sädekimppu hajaantuu pistelähteestä Kuvantava optinen järjestelmä kerää sädekimpun kohdepisteestä P ja suuntaa sen kuvapisteeseen P Sädekimppu keskittyy kohti kuvapistettä Todellinen kuva Kuvapisteeseen voidaan asettaa varjostin ja kuva näkyy Virtuaalinen kuva Kuvapiste on näennäinen: varjostimelle ei synny kuvaa 19 (33)

20 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Geometrisen optiikan merkinnät Samat merkinnät kuin kirjassa (keväällä 2014 eri merkinnät, caveat emptor) Kohde (object) ja kuva (image) Etäisyydet: s on kohteen etäisyys optisesta järjestelmästä, s on kuvan etäisyys Korkeudet: y on (mitallisen) kohteen korkeus, y on kuvan korkeus Kohdepiste on P, kuvapiste on P 20 (33)

21 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Tasopeili Kohteena on piste P Kohteesta lähteneet valonsäteet heijastuvat Snellin lain mukaisesti Heijastuneiden säteiden suunta on sama kuin olisivat lähteneet pisteestä P = heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauskohta Pisteet P ja P ovat yhtä kaukana peilipinnasta eli s = s Onko kyseessä todellinen vai virtuaalinen kuva? P P 21 (33)

22 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastuminen ja taittuminen tasopinnassa Merkkisäännöt heijastaville ja taittaville pinnoille Säännöt ovat samat kuin kirjassa (huom. tässä valo tarkoittaa valoa ihan oikeasti, ei esim. säteiden jatkeita!) Kohteen etäisyys s on positiivinen, kun kohde on samalla puolella heijastavaa tai taittavaa pintaa kuin tuleva valo (muuten s < 0) Kuvan etäisyys s on positiivinen, kun kuva on samalla puolella heijastavaa tai taittavaa pintaa kuin lähtevä valo (muuten s < 0) Heijastavan tai taittavan pinnan kaarevuussäde (esim. R) on positiivinen, kun pinnan kaarevuuskeskipiste (C) on samalla puolella pintaa kuin lähtevä valo (muuten negatiivinen) Kohteen ja kuvan korkeudet y, y ovat positiiviset akselin samalla puolella (ks. seuraava kalvo) Järjestelmän lateraalinen ( sivuttainen ) suurennus m = y y 22 (33)

23 Mitallisen kohteen kuva: tasopeili Piirretään mitallista kohdetta kuvaamaan pystynuoli kuten kuvassa; kohteen korkeus (nuolen pituus) on y > 0 Nuolen kannan kuvapiste on kannasta kohtisuorasti tasopeiliin osuvan säteen jatkeella; nuolen kärjen kuvapiste on nuolen P P kärjestä kohtisuorasti peiliin osuvan säteen jatkeella; muiden kohdepisteiden kuvat muodostuvat samoin s s Kuvapisteiden etäisyys tasopeilistä on sama kuin kohdepisteiden etäisyys peilistä, minkä näkee tutkimalla kahta kohdepisteestä piirrettyä valonsädettä (niiden jatkeet leikkaavat kuvapisteessä) Kohteen etäisyys s > 0 (miksi?), kuvan etäisyys s = s < 0 (miksi?) Kuvan korkeus y > 0 ( akseli on kuvan pisteviiva), joten m = y /y = +1 Kuva on pysty (erect, = samaan suuntaan kuin kohde) ja käänteinen (reversed, = etu taka-suunta on kääntynyt) [jos kuva(nuoli) olisi vastakkaiseen suuntaan kuin kohde, se olisi ylösalainen (inverted)] Q Q y y

24 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastus pallopinnasta Pallopintojen nimitykset Jos valo tulee vasemmalta, C V V C tämä on kovera peili ja R > 0 tämä on kupera peili ja R < 0 Peilin kaarevuuskeskipiste on C (siis sen pallon keskipiste, josta peili on osa); peilin keskipiste on huippupisteessä (verteksissä) V; suora CV on peilin optinen akseli 24 (33)

25 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Heijastus pallopinnasta Geometria Johdetaan tulos 1 s + 1 s = 2 R B θ h R α φ P C P β δ s s 25 (33)

26 Heijastus pallopinnasta Paraksiaalinen approksimaatio Kolmiot PBC ja P BC: φ = α + θ ja β = φ + θ = α + β = 2φ s,s,r > 0 (merkkisäännöt!), joten tanα = h s δ, tanβ = h s δ, tanφ = h R δ Tällä ei ole algebrallista ratkaisua, mutta jos kulma α on pieni, muutkin kulmat ovat pieniä (kaikki radiaaneissa) ja voidaan approksimoida α h s, β h s, φ h R Yhdistetään tulokset: 1 s + 1 s = 2 R Yhtälössä ei ole α-riippuvuutta = kaikki P:stä lähteneet säteet leikkaavat P :ssa (lähes akselin suuntaiset säteet lähellä akselia ovat paraksiaalisia säteitä ja yllä tehtiin paraksiaalinen approksimaatio)

27 Heijastus pallopinnasta Polttoväli ja suurennos Todellisuudessa pallopeili ei heijasta kaikkia säteitä yhden pisteen kautta = kuvausvirhe = pallopoikkeama (eli palloaberraatio) Kun piste P hyvin kaukana, s = R 2 def = f Yhdensuuntaiset säteet heijastuvat kulkemaan pisteen F (polttopiste) kautta ja polttopisteen kautta peilille kulkevat säteet heijastuvat peilin akselin suuntaisiksi (tämä pätee tarkasti parabolisille peileille) Polttopiste on etäisyydellä f (= polttoväli) peilipinnasta = 1 s + 1 s = 1 f Mitallisen kohteen kuvan suurennus (s ja s sijoitetaan etumerkkeineen) m = y /y = s /s Kuperan peilin f = R/2 < 0, mutta muuten sama analyysi pätee (merkit!)

28 Graafinen menetelmä peileille Itseopiskelua Pääakselin suuntainen säde kulkee heijastuttuaan polttopisteen F kautta C F Polttopisteen F kautta tuleva säde heijastuu pääakselin suuntaiseksi C F Kaarevuuskeskipisteen kautta kulkeva säde palaa samaa reittiä takaisin C F

29 Taittuminen pallopinnalla Geometria Kahden aineen rajapinta Taitekertoimet n a ja n b, kaarevuussäde R > 0 Väite: kaikki kohdepisteestä P pieniin α-kulmiin lähtevät säteet kulkevat saman pisteen P kautta θ a B n a < n b n b P α δ h θ b R φ C β P s s

30 Taittuminen pallopinnalla Paraksiaalinen approksimaatio Geometriasta: θa B na < nb nb θ a = α + φ, φ = β + θ b P α δ h θb R φ C β P Snellin laki: n a sinθ a = n b sinθ b Edelleen geometriasta: s s tanα = h s + δ, tanβ = h s δ, tanφ = h R δ Kulmat pieniä: tanα sinα α, joten n a θ a n b θ b, δ 0 ja α h s, β h s, φ h R Snellin lain approksimaatiosta ja geometriayhtälöistä saadaan θ b = n a n b θ a = n a n b (α + φ) = φ β n a α + n b β = (n b n a )φ = n a s + n b s = n b n a R Ei h- eikä α-riippuvuutta!

31 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Ohuet linssit Kaksi taittavaa pintaa Linsseissä on kaksi taittavaa pintaa Linssi on ohut, kun pintojen välimatka t on merkityksettömän pieni Analyysiin sovelletaan kahdesti yhtälöä n a s + n b s = n b n a R Etupinnan kuva on takapinnan kohde Linssin etupinnan etupuolella on ainetta n a, linssin sisällä on ainetta n b ja takapinnan takapuolella ainetta n c : n a + n b s 1 s = n b n a n b ja + n c 1 R 1 s 2 s = n c n b 2 R 2 Ilma lasi ilma-yhdistelmälle (n a = n c = 1.00 ja n b = n; lisäksi s 2 = s 1 [takapinnan kohde on eri puolella pintaa kuin pintaan tuleva valo]): 1 s 1 + n s 1 = n 1 ja n R 1 s s = 1 n 2 R 2 31 (33)

32 Geometrinen optiikka (YF 34(1 4)) Ohuet linssit Linssintekijän yhtälö Summataan edelliset: 1 s s 2 ( 1 = (n 1) 1 ) R 1 R 2 Vaihdetaan s 1 = s ja s 2 = s ja käytetään peileistä tuttua tulosta 1/s + 1/s = 1/f (jonka johtoa linsseille ei näytetty), jolloin saadaan linssintekijän yhtälö 1 f ( 1 = (n 1) 1 ) R 1 R 2 (ohut linssi) Lateraalisuurennos on (merkit!) m = s s 32 (33)

33 Graafinen menetelmä linsseille Itseopiskelua Kohdeavaruudesta tuleva pääakselin suuntainen säde taittuu polttopisteen F 2 kautta F 2 Optisen keskipisteen kautta kulkeva säde ei taitu Polttopisteestä F 1 tuleva säde taittuu pääakselin suuntaiseksi kuvaavaruuteen F 1

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 10 Geometrinen optiikka (YF 34) Heijastuminen

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 9 Valon luonne ja eteneminen (YF 33) Valon

Lisätiedot

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste Geometrinen optiikka Tasopeili P = esinepiste P = kuvapiste Valekuva eli virtuaalinen kuva koska säteiden jatkeet leikkaavat (vs. todellinen kuva, joka muodostuu itse säteiden leikkauspisteeseen) Tasomainen

Lisätiedot

3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu

3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu 3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan

Lisätiedot

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3. 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon 1 1 1 + =.

Lisätiedot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä

Lisätiedot

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Kuva 1. Valon polarisoituminen. P = polarisaattori, A = analysaattori (kierrettävä).

Kuva 1. Valon polarisoituminen. P = polarisaattori, A = analysaattori (kierrettävä). P O L A R I S A A T I O VALON POLARISAATIO = ilmiö, jossa valon sähkökentän värähtelyt tapahtuvat vain yhdessä tasossa (= polarisaatiotasossa) kohtisuorasti etenemissuuntaa vastaan Kuva 1. Valon polarisoituminen.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

5.3 FERMAT'N PERIAATE

5.3 FERMAT'N PERIAATE 119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Optiikka Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 5. Optiikka Geometrinen optiikka Peilit ja linssit Perussuureita Kuvausvirheet Aalto-optiikka Optiikan suunnittelu 5.1 Geometrinen optiikka Klassinen

Lisätiedot

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n 141 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

Kenttäteoria. Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen

Kenttäteoria. Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen Kenttäteoria Viikko 10: Tasoaallon heijastuminen ja taittuminen Tämän viikon sisältöä Todellinen aalto vai tasoaalto Desibelit Esitehtävä Kohtisuora heijastus metalliseinästä Kohtisuora heijastus ja läpäisy

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Valo, valonsäde, väri

Valo, valonsäde, väri Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 8 Tavoitteet Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 8 Tavoitteet Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen energia ja liikemäärä Seisovat sähkömagneettiset aallot

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: E =0, B =0, E = B/ t, B = ɛ o μ o E/ t.

Maxwellin yhtälöt sähkämagneettiselle kentälle tyhjiössä differentiaalimuodossa: E =0, B =0, E = B/ t, B = ɛ o μ o E/ t. Osa 2: OPTIIKKAA 33. Valo ja sen eteneminen 33.1 Aallot ja säteet Kirjan luvussa 32 (kurssi fysp105) opitaan, että sähkömagneettista kenttää kuvaavilla Maxwellin yhtälöillä on aaltoratkaisuja. sim. tyhjiössä

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 12 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tarkastelemme tässä luvussa sähkömagneettisten aaltojen heijastumis- ja taittumisominaisuuksia erilaisten väliaineiden rajapinnalla, ja lopuksi tutustutaan

Lisätiedot

34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

VALON KÄYTTÄYTYMINEN RAJAPINNOILLA

VALON KÄYTTÄYTYMINEN RAJAPINNOILLA VALON KÄYTTÄYTYMINEN RAJAPINNOILLA 1 Johdanto 1.1 Valon nopeus ja taitekerroin Maxwellin yhtälöiden avulla voidaan johtaa aaltoyhtälö sähkömagneettisen säteilyn (esimerkiksi valon) etenemiselle väliaineessa.

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka (kuva: @www.goldastro.com) Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 11 Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit

Lisätiedot

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron 9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 12 Tavoitteet Diffraktio Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Sisältö Johdanto Sironnan sähkömagneettinen mallinnus Analyyttinen sirontateoria Sironta ei-pallomaisista hiukkasista Johdanto

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI

11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI 47 11 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri.

Lisätiedot

7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO

7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 7.1 Valon luonne Valon mallit: Hiukkasmalli: Valo koostuu pienistä hiukkasista Aaltomalli: Valo on aaltoliikettä Aaltohiukkasdualismi: Valoa voidaan tarkastella sekä

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO

oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO ,/ VALO-OPPI oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO kurssi FY1 tehnyt Markus Hagmal1 Jätetty syyskuun 28. päivä 1999 Tarkastaja Jari Pyy LYHENNELMÄ Tutkielma käsittelee optiikkaa eli valo-oppia Lukiessasi tätä

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 11 / versio 23. marraskuuta 2015 Aaltojohdot ja resonaattorit (Ulaby 8.6 8.11) TE-, TM- ja TEM-aaltomuodot Suorakulmaisen aaltoputken perusaaltomuoto

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisuja

Kertaustehtävien ratkaisuja Kertaustehtävien ratkaisuja. c) Jaksonaika on 300 s T = = 0,50 s, f = = 600 T 0,50 s =,0 Hz.. b) Lasketaan ensin jousivakion suuruus ja sitten värähdysaika. k = - mg,0 kg 9,8 m/ s = = 98, N/ m x 0,0 m

Lisätiedot

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista

2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista 33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi?

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 11 Tavoitteet Geometrinen optiikka Kamerat Silmä

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun

Diffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua

Lisätiedot