MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

Transkriptio

1 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö B = C, jos A ei olekaan kääntyvä? Perustele. a) A on kääntyvä ja B ja C ovat m n-matriiseja, joten A:n on oltava m m- neliömatriisi. Kerrotaan yhtälön molemmat puolet vasemmalta A:n käänteismatriisilla: A 1 AB = A 1 AC I m B = I m C B = C b) Tarkastellaan vastaesimerkkinä matriiseja A = [ 1 1 ], B = [ ] ja C = [ [ ] [ ] [ ] AB = = [ ] [ ] [ ] 1 2 AC = = Tässä siis AB = AC toteutuu, mutta B = C ei, joten jälkimmäinen ei seuraa edellisestä. Yleisesti matriisiyhtälöllä muotoa AX = B ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, jos A ei ole kääntyvä. Kaikille luvuille a, s, t pätee [ ] [ ] s a = [ at ]. t Tässä matriisi [ a ] [ ] ei ole kääntyvä. Tulosta saadaan arvoksi at kaikilla s, eli erilaisilla matriiseilla saadaan sama lopputulos. s t Tehtävä 2 (L): Millaisen matriisin saat, kun kerrot a) diagonaalimatriisin toisella diagonaalimatriisilla? b) yläkolmiomatriisin toisella yläkolmiomatriisilla? c) alakolmiomatriisin toisella alakolmiomatriisilla? Perustele vastaukset. 1 2 ]: 1

2 n n-matriisien A ja B tulon AB alkiot määräytyvät seuraavan kaavan mukaan: A ik B kj a) A diag. B diag. A ii B ij = { A ii B ii, jos j = i muuten. Toisin sanoen A:n ja B:n tuloksi tulee diagonaalimatriisi, jonka diagonaalin alkiot muodostuvat A:n ja B:n diagonaalialkioiden tuloista. b) A ja B ovat yläkolmiomatriiseja eli A ij = = B ij tapauksessa i > j. Tällöin pätee A y.k. B y.k.,i>j A ik =. k=i k=i Näin ollen kaavan oikeasta puolesta tulee nolla kaikilla i > j, joten yläkolmiomatriisien tulo AB on myös yläkolmiomatriisi. c) Nyt A ja B ovat alakolmiomatriiseja eli A ij = = B ij tapauksessa i < j. Tällöin pätee A a.k. i B a.k.,i<j i A ik =. k= k= Kaikilla i < j summa on siis nolla, joten tulo on alakolmiomatriisi Tehtävä 3 (P): Tarkastellaan matriisia A = Lisäämällä ensimmäinen rivi 4:llä kerrottuna 4 5 toiseen riviin saadaan toisen rivin 1. alkio nollaksi. Tämä eliminaatioaskel voidaan esittää myös kertolaskulla: = Matriisi A kerrotaan siis eliminaatiomatriisilla E 21. Saattaaksesi matriisi A porrasmuotoon, tee sille vielä seuraavat askeleet: i) Lisää ensimmäinen rivi 2:lla kerrottuna kolmanteen riviin ii) Lisää toinen rivi 1:lla kerrottuna kolmanteen riviin Etsi näiden askelten eliminaatiomatriisit E 31 ja E 32 ja tarkista, että saamallesi porrasmuotoiselle matriisille U pätee E 32 E 31 E 21 A = U. 2

3 Eliminaatiomatriisit muodostetaan kuten tehtävänannon esimerkissä. i) 1 E 31 = E 31 E 21 A = = ii) 1 E 32 = E 32 E 31 E 21 A = = 3 6 = U Tarkistetaan tulos: E 32 E 31 E 21 A = = 3 6 = U Tehtävä 4 (P): Matriisin LU-hajotelmassa matriisi esitetään kahden matriisin tulona A = LU, missä matriisi L on alakolmiomatriisi ja U yläkolmiomatriisi. Käytännössä U on se porrasmuoto, johon matriisi saadaan Gaussin eliminaatioaskelilla, ja L sisältää informaation näistä askelista. Laske nyt tehtävän 3 matriisin A LU-hajotelma saamasi yhtälön E 32 E 31 E 21 A = U avulla: matriisi U sinulla on jo valmiina, matriisin L saat eliminaatiomatriiseista. Tarkista, että A = LU. Merkitään E 32 E 31 E 21 = E = puolittain vasemmalta E 1 :llä, jolloin saadaan: [ ] 4 1. LU-hajotelma saadaan muodosta EA = U kertomalla E 1 EA = E 1 U A = E 1 U. Lasketaan E 1 : (E I) = R2=R2+4R R3=R3 2R = (I E 1 ) R3=R3+R2 3

4 LU-hajotelma on nyt muotoa: Tehtävä 5 (L): Osoita, että matriiseille A = det(ab) = det(a) det(b). A = E 1 U = ja B = pätee Lasketaan tulo AB. AB = = Sitten lasketaan determinantit matriiseista A, B ja AB. det(a) = = ( 1) = 2 ( 6 3) + ( 8 2) = det(b) = = = 5 (4 2) = det(ab) = = ( 11) = 2 (36 36) + 11 ( 36 ( 16)) + 4 ( 27 ( 12)) = 28 det(a)det(b) = 28 1 = 28 = det(ab). Tehtävä 6 (L): a) Jos tiedetään, että erästä lineaarikuvausta esittävän matriisin determinantti on 5, niin mitä tämä kertoo kyseisestä kuvauksesta? b) Lineaarikuvaus projisoi R 3 :n vektorit xy-tasoon. Mikä on sitä esittävän matriisin determinantti? Vastaa ensin ja tarkista sitten laskulla. 4

5 a) Olkoon A R n n. Determinantin det(a) negatiivisuus merkitsee sitä, että avaruuden suunnistus eli kätisyys vaihtuu lineaarikuvauksessa A : R n R n. Toisin sanoen A kuvaa vasenkätiset oliot oikeakätisiksi (erityisesti tutuissa arkisissa dimensioissa n = 2 ja n = 3). Determinantin itseisarvo det(a) puolestaan on olioiden n-dimensioisen tilavuuden skaalauskerroin (dimensiossa n = 2 tämä tarkoittaa 2-tilavuuden eli tavallisen pintaalan kasvukerrointa, dimensiossa n = 3 puolestaan 3-tilavuuden eli tavallisen tilavuuden kasvukerrointa, ja osataan suurinpiirtein kuvitella mitä tarkoittaa n-dimensioisen tiiliskiven n-dimensioinen tilavuus.). Jos siis esimerkiksi det(a) = 5, tarkoittaa tämä sitä, että lineaarikuvaus A : R n R n vaihtaa suunnistuksen (eli kätisyyden) ja skaalaa n-dimensioisen tilavuuden 5-kertaiseksi. Huomaa, että jos lineaarikuvaus B : R n R n määritellään kaavalla Bu = tu (missä t R vakio), niin det(b) = t n, jolloin n-dimensioinen tilavuus t n -kertaistuu, ja kätisyys riippuu siitä, onko t n negatiivinen (mikä on mahdollista vain parittomissa dimensioissa n). b) Olkoon A kuvausta esittävä matriisi. Selvästi z-akselilla kuvaus skaalaa avaruuden nollan pituiseksi. Pitäisi siis olla det(a) =. a 1 a 2 a 3 v 1 a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 Av = b 1 b 2 b 3 v 2 = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3, (1) c 1 c 2 c 3 v 3 kaikilla v R 3. Selvästi A:n alkioiden c 1, c 2 ja c 3 (A:n alin rivi) on siis oltava nollia. Matriisin, jonka yksi rivi on vain nollia, determinantti on aina. Tehtävä 7 (P): a) Tason kierto origon ympäri kulman t R verran voidaan esittää matriisina [ ] cos(t) sin(t) A =. sin(t) cos(t) Vaikka tulos on geometrisesti selvä, laske det(a). b) Laske det(b), kun cos(φ) sin(φ) cos(θ) sin(θ) cos(ψ) sin(ψ) B = sin(φ) cos(φ) 1 sin(ψ) cos(ψ), 1 sin(θ) cos(θ) 1 a) missä θ π ja φ, ψ < 2π. Millaista avaruuden muunnosta tämä matriisi esittää? det(a) = cos(t) sin(t) sin(t) cos(t) = cos(t) cos(t) ( sin(t) sin(t)) = cos2 (t) + sin 2 (t) = 1 Matriisin determinantti on pääteltävissä sen annetusta käyttötarkoituksesta. Mikäli tämä lineaarikuvaus vain kiertää pistejoukkoa tasossa, ei se skaalaa sitä millään tavalla, joten suurennussuhde on 1. 5

6 b) Koska det(ab) = det(a) det(b), saadaan cos(φ) sin(φ) det(b) = sin(φ) cos(φ) 1 cos(θ) sin(θ) 1 sin(θ) cos(θ) cos(ψ) sin(ψ) sin(ψ) cos(ψ) 1 = (1 cos(φ) sin(φ) sin(φ) cos(φ) ) (1 cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) ) (1 cos(ψ) sin(ψ) sin(ψ) cos(ψ) ) = (cos 2 (φ) + sin 2 (φ)) (cos 2 (θ) + sin 2 (θ)) (cos 2 (ψ) + sin 2 (ψ)) = = 1. Kaikki tulon matriisit ovat rotaatiomatriiseja. Matriisi B on yhdistetty kuvaus näistä matriiseista. Muunnos on siis kierto xy-tasossa φ verran vastapäivään (z-akselin ympäri), kierto xz-tasossa θ verran myötäpäivään (y-akselin ympäri) ja kierto ψ verran vastapäivään xytasossa (taas z-akselin ympäri). Tehtävä 8 (P): Tarkista, että vektoreiden a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ja b = b 1 i + b 2 j + b 3 k vektoritulo a b voidaan laskea determinanttina seuraavasti: i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3. Laske sitten tämän tiedon avulla sellaisen suunnikkaan ala, jolla on kärkipisteet ( 1, 2), (1, 1) ja (, 2). Tunnetusti vektoreiden a ja b ristitulo on (a 2 b 3, a 3 b 1, a 1 b 2 ) (a 3 b 2, a 1 b 3, a 2 b 1 ). Lasketaan annettu determinantti auki: i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a 1 a 3 b 1 b 3 + k a 1 a 2 b 1 b 2 = i (a 2 b 3 a 3 b 2 ) j (a 1 b 3 a 3 b 1 ) + k (a 1 b 2 a 2 b 1 ) Muodostetaan suunnikkaan sivujen vektorit u ja v. = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) u = (1, 1) ( 1, 2) = (2, 1) v = (, 2) ( 1, 2) = (1, 4) = a b. Lasketaan vektoritulo: i j k u v = 1 4 = k = k ( 8 ( 1)) = 7k. Kärkipisteiden muodostaman suunnikkaan pinta-ala on tunnetusti sivujen vektoreiden ristitulon pituus. Kysytty pinta-ala on siis 7k = 7. 6