kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa a)- ja b)-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein

Transkriptio

1 MAOL ry:n pisteytyssuositus PITKÄ MATEMATIIKKA KEVÄT 00. yhtälöt a) y = ) = + c) y= + + d) y= + + kuviot samassa tai eri koordinaatistoissa + a)- ja )-kohdissa riittävät pelkät vastaukset, jos kuviot ovat oikein. a) = 0 + jonkinlainen perustelu + ) = 0 + = 0 + = ± + juuret vain likiarvoina tai sieventämättä : kotimainen 00a, ulkomainen 00 tms. + järkevä jatko 00: 06( a+ ) = 95a+ 0 tai vastaava + a= 4 tms. + 0 prosentti 00 a+ + vastaus: 70 % tai 7 % tai 7, % + käytetty numeerisia arvoja - 4. π r 5 = r ( 4,6) π + verrannollisuuskerroin / tai käytetty yhdenmuotoisuutta + 00 pohjan halkaisija = 4 ( 7,) π + vastaus: 7, cm tai 7, cm +

2 vastauksena pohjan säde - laatumuunnosvirhe - 5. JOKO: jakojäännös ( + ) + ( a+ c), josta + = 0, a+ c= 0 TAI: = ( )( + ), jolloin P() = a+ + c+ = 0 ja P( ) = a + c = 0 P() = 4a+ + c= 4 + yhtälöryhmän ratkaisu a=, =, c= + P ( ) = + + yhtälöryhmä ratkaistu vain laskimella - 6. JOKO: idea, esim. ± y = + y ± y cosα ± cosα = 0 + o a) cos α =, α = 0 + ) cos o + TAI: a) kuvio, jossa vektorit, y, + y siitä päätelty: kulma = 0 o + ) kuvio, jossa vektorit, y, y + siitä päätelty: kulma = 60 o + 7. y = 0 y = 0/, + y= + 0/ eli ratkaisu (m) +,55 8,45 tai muu tarkistus, että ehto > 0 täyttyy y 6+ 6 (m), perustelu laskemalla, symmetrialla tms. + laskettu yhtälönä, vastauksessa vain arvot6 6, 6+ 6 (m) ma ei käsitelty epäyhtälöitä missään vaiheessa, vastaus silti epäyhtälönä perustelematta ma vastauksesta puuttuu yksikkö m -0 0 oikein, y vain muodossa y = tai y= -

3 8. integraalifunktio sin n n + sijoitus + sinn sinn n n n + raja-arvo = perusteluineen (esim. sinin arvot rajoitettuja) + sijoitettu rajat väärin päin - 9. ehto muodossa a+ > 0 kuvio, jossa alueen a+ > 0 ja neliön [ 0,] [ 0,] leikkauskolmio merkitty + leikkauskolmion ala = 5/ + 5/ 5 tn = = 0, laskettu komplementtitapaus ma 4 0. esim. pyramidin pohjaneliön sivu ja korkeus R + y RR ( + y) yhteys :n ja y:n välille, esim. = y R 4 R ( R+ y) 4 pyramidin tilavuus V( y) = ( R+ y) = y y R (esim.) + V ( y) = 0 y Ry R = 0 + tästä minimikohta y= R, minimin perusteluksi riittää esim. geometrinen päättely + pienin tilavuus + tilavuuksien suhde = π :8 +. JOKO: haettu kaksi tason suuntaista vektoria, esim. suuntavektori i+ j+ k ja yhdysvektori ( i+ j+ k) ( i+ j+ k) = j+ k näiden ristitulona tai pistetulojen avulla normaali esim. i j+ k + TAI: haettu tason yhtälö y+ z= 0 poimittu tämän kertoimista normaalivektori i j+ k +

4 . esimerkki injektiosta, f( ) = tms. esimerkki kuvauksesta, joka ei ole injektio, f( ) =vakio tms. + (kummassakin tapauksessa perusteluksi riittää esim. kuvaajaan vetoaminen) f( ) = on injektio perusteluineen (pohjana esim. f ( ) = ( ) tai f( ) = ( ) + 9) + esimerkki kuvauksesta, joka on injektio, mutta ei surjektio, f( ) = e tms.; perusteluksi riittää esim. kuvaajaan vetoaminen +. 9 geometrinen sarja, jossa 5 sin cos q 9 = sin 0 <, suppenee ja funktio määritelty + 0 f( ) = = sin 0+ 9sin suurin f = = 0,pienin f = = suurin, kun sin = = 4 + nπ π pienin, kun sin = = 4 + nπ + jaksot puuttuvat - puuttuu maininta n derivoimalla integraaliyhtälö saadaan f( ) = f ( ) ratkaistu differentiaaliyhtälö, saatu f( ) = Ce + tämä ei toteuta integraaliyhtälöä, jos C + 5. järkevä tapa polynomien laskemiseen T ( ) =, T( ) = ( ) = + + 8, ξ / n+ T T ( ) = e Rn+ ( ) = n+ ( n + )! + n+ tästä ehto ( n+ )! > 6 e 0 + kokeilemalla ratkaisu n 4 (kelpaa n = 4 tai n = 5 ) +

5 Lyhyt koe, kevät Pisteet osoittavat kunkin osatehtävän osuuden kokonaispistemäärästä. Hakasuluissa oleva teksti on tarkoitettu helpottamaan arvostelua. Huomautuksia. a) muoto 9 9 ) sijoitus ratkaisukaavaan, 4 vastaukset likiarvoina p/vastaus. idea, esim. kuvio + järkevä käyttö r tai vast. Q 48 ulkoneliön ala = ( r) 4 r [ ] Q = [ 5, ] 5, 8 cm sisäneliön ala = ( r ) r [ ] Q = [ 7, ] 7,64 cm 4 käytetty säteestä [r =,9544 ] liian karkeata likiarvoa -p -p voi syntyä poikkeava ratkaisu (vrt. taulukko s.9). a) miljardi = mk kukin ) jakajat: /60/60/4/65 aika vuosissa,70979 v. 04 tai 05 (molemmat oltava) 4. aritmeettisen summan laskemisen periaate + järkevä käyttö 888. termi = termi = termin summa termin summa prosentin laskeminen [0,654 ] vastaus: 7 % suurempi (vähint. kahdella numerolla) 6 [ a,56 0 s ] [huhtikuun puolen välin jälkeen syntyneet vuonna 05] virheitä summien arvoissa, prosenttilaskussa oikea logiikka p K0L

6 5. kaavio tai vastaava, josta merkinnät käyvät ilmi: Ennen Jälkeen Muroja paketissa (kg) Paketin hinta ( Myynti (pkt) m h p,0m,h 0,90p Huomautuksia käytetty asoluuttisia lukuarvoja -p 6. murojen myynnin määrällinen kehitys: Ennen Jälkeen mp,0m. 0,90 p = 0,99 mp vähennystä % murojen myynnin hintakehitys: Ennen Jälkeen hp,h. 0,90 p =,008 hp lisäystä 0,8 % tai % kuvio tai muu perustelu + järkevä aloitus 0 tan B [ 0, 077 K] 4500 o B,9458K, 9 (oikea tarkkuus) Hyväksytään tulkinta, jossa 4,5 km on vino etäisyys maston juureen, jolloin vaakasuora etäisyys = 4,49988 km ja B,946K o lausekkeessa yhteen sopimattomat yksiköt tms. p tulos radiaaneissa (0,076 rad) vastaus 0,0 -p 7. = 0:,97 = 00:,9997 = 000:, = 0 000:, selvitys oikeasta laskutavasta [Sievennetty muoto = ] kaksi ensimmäistä tulosta saadaan suoraan sijoittamalla ja laskimella laskien laskimen tarkkuus riittämätön viimeistään neljännessä laskussa (tulos = ) selitys desimaalit lisääntyvät kahdella yhdeksiköllä 4p K0L

7 8. kg:ssa liuosta suolaa 0,5 kg; lisätään vettä kg, liuos 0-prosenttista: 0,0( ) 0, 5 =,5 kg pitoisuus p (%) lausekkeena 00 0,5 5 p tai taulukkona graafinen esitys oikea väli [ 0;,5] Huomautuksia: akselit väärinpäin p y-akselin asteikko 5 0 6p 9. perustelut (esim. kuviot ja selitykset) P(jälkimmäinen > edellinen) = tai [= 0, 466 ] 0,4 tai 4 % kun ensimmäisellä saatu, on P(tois. > ensimm. ja kolm. > tois.) = 6 tai [= 0,08 ] 0,08 tai 8, % 0. poijun ulkosäde R, sisäsäde r syrjäytetyn vesimäärän massa 4 = QR dm. kg/dm 4 yhtälö: 47 QR R 4,806K (dm) Q 47 kg rautapoijun tilavuus = 7,7 kg/dm yhtälö: QR Qr 7,7 r [ 4 ( )] Q 5,4 II noppa I noppa III noppa II noppa mukana tn P(ensimmäisellä ) = /6 p laskettu tietoisesti approksimoimalla: tilavuus = 4QR levyn paksuus (vastaus 6, mm tai 6, mm) 6p 5076,7580K (dm) 77Q R r = 0,064 dm paksuus 6, mm (järkevä tarkkuus) K0L

8 4. f a( ) q ehto D4q0 perustelu ehdolle q f a( ) 0º o 4q o q 6 väli q [, q ]. 6 a), [=79,9077 ] 790 tai 800 konetta ) merkitty geometrinen summa 4,5,5 470,5 tms. summan laskeminen [4958,86 ] tai konetta. kuviot sekä kateettien a, ja hypotenuusan c merkitseminen kuvioihin termien a,, c identifiointi pinta-aloina perustelut + johtopäätös 4. korkotekijä q =,05 a = Anjan, = Arton sijoitus: 5 9 ehdot a9500, q aq yhtälöparin ratkaiseminen [a = 4984,89, = 455,606 ] Anja 4 984,9 WDL Arto 4 55,6 WDL Huomautuksia kelpaa sieventämättömänä annettu q:n vakioarvolla ainakin jokin väli (esim. kun q = - väli [-, ]) -p laskettu termeittäin, taulukoitu ja laskettu lopuksi summa Termi Koneita. 587, , , -4p-6p.termi virheellisesti 470 -p a c pelkkä yhtälö tuo pisteitä a a a c a c ei sinänsä c K0L

9 5 Huomautuksia 5.. koe: keskiarvo = 5,74 hajonta =,470. koe: keskiarvo = 7, hajonta = 4,7954 kaksi em. luvuista oikein loput kaksi em. lukua oikein korrelaatio = 0,64 kaikissa em. luvuissa järkevä tarkkuus ( tai desimaalia, korrelaatiosssa 4) kaavat: keskiarvo = S n, Kaavat taulukkokirjoista T S hajonta = ( ) ( ) n n nu y SS y korrelaatio = ( nt S )( nt S ) y y K0L