Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen"

Transkriptio

1 Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03

2

3 Sisältö Polynomit Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kokonaislukujen jakolasku Polynomien jakaminen jakokulmassa Murtoluvut ja murtolausekkeet Funktio Funktion määritelmä Käänteisfunktio Funktion kuvaaja Yhdistetty funktio Raja-arvo Raja-arvon määritelmä Raja-arvojen yhdistäminen Äärettömyyteen kasvavan funktion raja-arvo Raja-arvo äärettömässä Derivaatta Käyrän tangentti Derivaatta funktiona Derivaatan yhtäpitävät kaavat Derivointisääntöjä Trigonometristen funktioiden derivointi Yhdistetyn funktion derivointi Integrointi Määräämätön integraali Integrointikaavoja Yhdistetyn funktion integrointi Osittaisintegrointi Murtofunktion integrointi Määrätty integraali Lukujonot ja sarjat Lukujonot Sarjat Kirjallisuutta ja nettiosoitteita

4 Lukiomatematiikan hallinta perustuu jo ennen lukiota luettujen perusasioiden hallintaan, joten niitä on esitetty tässäkin. Monisteesta puuttuvia asioita voi kerrata esimerkiksi Timo Neuvosen monisteesta Matematiikan peruskurssi A. Polynomit Polynomissa a n x n +a n x n + +a x +a x+a 0 luvut a n, a n,..., a, a ja a 0 ovat polynomin kertoimet ja x on muuttuja, jonka paikalle voi sijoittaa lukuja. Mitkä tahansa kertoimista a n,..., a 0 voivat olla nolliakin. Lukuja a n x n,..., a x, a 0 sanotaan termeiksi ja termin a i x i eksponenttia i termin asteeksi. Polynomin korkeimman asteen termin astetta sanotaan polynomin asteeksi. Siten jos a n ei ole nolla, niin polynomin a n x n + a n x n + +a x + a x + a 0 aste on n. Polynomeja merkitään lausekkeilla p(x), q(x),... Tähän kirjoitetaan x näkyviin korostamaan muuttujan nimeä tarvittaessa. Esimerkki.. Polynomin x 5 4x 3 +x+7 aste on 5. Polynomit lasketaan yhteen termeittäin, samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen. Polynomi kerrotaan luvulla kertomalla jokainen termi luvulla erikseen. Esimerkki.. (3x 5 +x 3 x+)+(x 5 x 4 +3x 7) = 4x 5 x 4 +x 3 +x 5 (3x 5 +x 3 x+) (x 5 x 4 +3x 7) = x 5 +x 4 +x 3 4x+9 4(3x 5 +x 3 x+) = x 5 +8x 3 4x+8 Polynomit p(x) ja q(x) kerrotaan siten, että polynomin p(x) jokaisella termillä kerrotaan polynomin q(x) termit ja saadut uudet termit lasketaan yhteen. Esimerkki.3. (x +)(x 3 +3x 5) = x (x 3 +3x 5)+(x 3 +3x 5) = (x x 3 +x 3x x 5)+(x 3 + 3x 5) = (x 5 +3x 4 5x )+(x 3 +6x 0) = x 5 +3x 4 +x 3 +x 0 Sama voidaan tehdä myös allekkain. x 3 + 3x - 5 x + x 3 + 6x - 0 x 5 + 3x 4-5x x 5 + 3x 4 + x 3 + x - 0 Muuttujan x paikalle voidaan sijoittaa mikä tahansa luku a, jolloin saadaan polynomin arvo kohdassa tai pisteessä a. Tätä arvoa merkitään p(a):lla. 4

5 Esimerkki.4. Polynomiin p(x) = x 3 6x +5x+ sijoitetaan ja 4: p() = = = 6 p(4) = = = 0 Jos polynomin p(x) arvo pisteessä a on nolla eli p(a) = 0, niin a:ta sanotaan polynomin p(x) nollakohdaksi. Esimerkki.5. Edellisen esimerkin polynomilla on siis nollakohta 4. Myös 3 ja - ovat sen nollakohtia: p(3) = = = 0 p( ) = ( ) 3 6 ( ) +5 ( )+ = 6 5+ = 0 Enempää nollakohtia esimerkin polynomilla ei olekaan. Nimittäin polynomilla voi olla vain sen asteen verran eri nollakohtia. Lause.6. n-asteisella polynomilla on enintään n eri nollakohtaa. Jos a on polynomin nollakohta, polynomi voidaan jakaa tasan polynomilla x a. Jos esimerkiksi 3-asteisen polynomin nollakohdat ovat a, b ja c, sen tekijät ovat x a, x b ja x c. Silloin voidaan kirjoittaa a 3 x 3 +a x +a x+a 0 = a 3 (x a)(x b)(x c). Huomaa, että kun tosiaan sijoitetaan polynomiin a 3 (x a)(x b)(x c) jokin arvoista a, b tai c, saadaan nolla. Esimerkki.7. Edellisen esimerkin polynomi p(x) = x 3 6x + 5x + voidaan kirjoittaa muodossa x 3 6x +5x+ = (x 4)(x 3)(x+). Toisaalta jos polynomilla p(x) on tekijä x a, niin silloin p(x) = (x a)q(x), jossa q(x) on jokin toinen polynomi. (Se on myös polynomin p(x) tekijä.) Silloin p(x):llä on nollakohta a, sillä p(a) = (a a)q(a) = 0. Lause.8. Jos a on polynomin p(x) nollakohta, niin x a on polynomin p(x) tekijä. Jos x a on polynomin p(x) tekijä, niin a on polynomin p(x) nollakohta. Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kerrataan tässä vaiheessa jakokulman käyttö vaiheittain, joka on saattanut unohtua laskimia käytettäessä. Muita kurssin käsittelemiä aiheita voi kerrata eri kirjoista, monisteista ja nettisivuista, joita on lueteltu tämän vihkosen lopussa. 5

6 . Kokonaislukujen jakolasku Seuraava esimerkki näyttää, miten kokonaislukujen jakolasku toimii. Samalla tavoin tehdään myös polynomien jakolasku, joten tämä algoritmi kannattaa opetella Tulokseksi saadaan 3407 = Algoritmin askelmat ovat seuraavat: Alkutilanteessa jakaja on kirjoitettu jakokulman vasemmalle puolelle ja jaettava oikealle Jaettavan alussa on 3, se on liian pieni, mutta 34:ään mahtuu 3 kertaa Kerrotaan kolmella ja vähennetään 33 34:stä. Saadaan Lainataan jaettavasta. Saadaan menee yhden kerran :een Vähennetään :sta 6

7 ja saadaan Lainataan jaettavasta 0. Saadaan ei mene 0:een kokonaisena, vaan 0 kertaa (Vähennetään 0.) Lainataan jaettavasta vielä menee 07:ään 9 kertaa Vähennetään 07:stä 99. 7

8 Saadaan 8. Enempää ei voida lainata jaettavasta, jako päättyy Tuloksena on vaillinainen osamäärä 309 ja jakojäännös = Jos halutaan tulos reaalilukuna, jakolaskua jatketaan samoin desimaalien selville saamiseksi. Desimaalipilkku vain lisätään tässä vaiheessa.. Polynomien jakaminen jakokulmassa Polynomien jakolasku toimii samalla menetelmällä kuin lukujenkin jakolasku. Jaetaan esimerkkinä polynomi p(x) = 3x 4 +4x 3 x +7 polynomilla q(x) = x+. Polynomin p aste on 4 ja polynomin q, joten tulos on polynomi astetta 3. Polynomien jakolaskua tarvitaan esimerkiksi integroitaessa. Jakokulma alustetaan kuten luvuilla. Järjestä termit asteen mukaan kummassakin polynomissa. x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Katsotaan jaettavan korkeimman asteen termiä 3x 4. Nyt jakajan termi x on kerrottava 3x 3 :lla, jotta termi 3x 4 saadaan kumottua pois. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Kerrotaan koko jakaja x+ 3x 3 :lla, jolloin saadaan 3x 4 +6x 3. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 Vähennetään 3x 4 +6x 3 jaettavasta. 8

9 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 Jäljelle jää x 3 ja alemman asteen termejä, joista korkeinta astetta on x. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Termin x 3 kumoamiseksi jakaja on kerrottava x :lla. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Tulo on x 3 4x, 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Erotus on x ( 4x ) = 3x ja alemman asteen termejä. 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Kerrotaan jakaja vielä 3x:llä, saadaan 3x +6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x ja vähennetään se jäljellä olevasta jaettavasta. 9

10 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Saadaan 6x x 3x + 6x - 6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Kerrotaan jakaja 6:lla, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x saadaan 6x, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta 6x+7. 0

11 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - 9 Saadaan erotukseksi 9. Jakolasku loppuu tähän, sillä erotuksen aste, 0, on pienempi kuin jakajan aste,. Millään polynomilla kertomalla ei kuitenkaan saada x + :sta lukua 9. Jakojäännös on siis 9, vaillinainen osamäärä on 3x 3 x +3x 6. Siis 3x 4 +4x 3 x +7 x+ = 3x 3 x +3x 6+ 9 x+. 3 Murtoluvut ja murtolausekkeet Murtoluvut. Murtoluvussa a b luvut a jabovat kokonaislukuja 0,±,±,...jabei saa olla 0, koska nollalla ei saa jakaa. Tässä lukua a kutsutaan osoittajaksi (numerator) ja lukua b nimittäjäksi (denominator). Murtoluvut on ensin muutettava samannimisiksi, ennen kuin ne voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Se tehdään kertomalla sekä osoittaja että nimittäjä samalla kokonaisluvulla, joka ei tietenkään voi olla nolla, jottei nollalla jakoa syntyisi. Tässä operaatiossa murtoluvun arvo ei muutu, joten yhtäsuuruus-merkkiä voidaan käyttää. Operaatiota sanotaan laventamiseksi. a b = ac, kun c 0. bc Tämän jälkeen samannimiset (tarkoittaa, että nimittäjä on kummallakin murtoluvulla sama) voidaan laskea yhteen: ac bc + d bc = ac+d. bc Osoittajat lasketaan yhteen ja nimittäjä pysyy koko ajan samana. Esimerkki = = +5 3 = Edellä tehtiin luvut /3 ja 5/ samannimisiksi laventamalla ensimmäinen luku :lla ja toinen luku 3:lla.

12 Esimerkki = = 3 7 =. Tässä ei tarvinnut laventaa 6:lla ja 4:llä, sillä 3:lla ja :lla laventaminen riitti tekemään luvuista samannimiset. Tämä johtui siitä, että 4:llä ja 6:lla on yhteinen tekijä:. Kun murtoluvut kerrotaan keskenään, niitä ei tarvitse tehdä samannimisiksi. Uusi osoittaja saadaan kertomalla kerrottavien osoittajat keskenään ja uusi nimittäjä kertomalla nimittäjät keskenään. a b c d = ac bd. Esimerkki 3.3. Lopussa on supistettu :lla = 8 50 = 4 75 Murtoluku jaetaan toisella siten, että jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. / a c b d = a b d c = ad bc. Esimerkki 3.4. / = = = 7 = 3. Jakolaskun tulos on ensin supistettu :lla ja sitten 7:llä. Murtoluku korotetaan potenssiin korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä erikseen. ( a b) c = a c b c. Esimerkki 3.5. ( ) 5 = = 5 43 Murtolausekkeet. Murtolausekkeita käsitellään täsmälleen samoilla tavoilla. Murtolausekkeessa p(x) q(x) sekä osoittaja p(x) että nimittäjä q(x) ovat polynomeja. Murtolausekkeen arvo ei ole määritelty niillä x:n arvoilla, joilla q(x) on nolla. Yleisemmässä tapauksessa osoittaja ja nimittäjä voivat olla mitä tahansa lausekkeita. Esimerkki 3.6. Lasketaan yhteen /(x + ) ja x/(x ). Nämä ovat murtolausekkeita ja ne on tehtävä samannimisiksi ensin. Ensimmäinen lauseke lavennetaan x :llä ja toinen x+:llä. Huomaa, että (x+)(x ) = x x+x = x.

13 Tämän jälkeen molemmissa nimittäjissä on sama lauseke x. Nyt osoittajat voidaan laskea yhteen. Esimerkki 3.7. x+ + x x = x (x+)(x ) + x(x+) (x )(x+) = x x + x +x x = (x )+(x +x) x x+ x x = x (x+)(x ) = x x = x +x x Esimerkki 3.8. / x x x x+ = x x x+ = x(x+) x (x )x = x+ x = x+ (x+)(x ) = x Tässä kerrotaan jaettava jakajan x/(x + ) käänteisluvulla (x + )/x. Sen jälkeen supistetaan x:llä ja vielä lopuksi huomataan, että voidaan supistaa x+:llä. Supistaminen. Laventamisen vastakohta on supistaminen. Murtoluku on supistetussa muodossa, kun osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä. Esimerkki = = = 0 Tässä yhteisiä tekijöitä on ja 3, joita kumpiakin voidaan supistaa yhdet kappaleet. Murtolausekkeen polynomit on jaettava tekijöihin, että saadaan selville, onko osoittajalla ja nimittäjällä yhteisiä tekijöitä, jotka voidaan supistaa. Esimerkki 3.0. x x+ x 3x+ = (x ) (x )(x ) = x x Kun polynomit jaetaan tekijöihin, toisen asteen polynomeihin voi käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Sillä saadaan ensin selville polynomin ax +bx+c nollakohdat r ja s, jolloin polynomi voidaan jakaa tekijöihin. Siis r ja s ovat jolloin on voimassa yhtäsuuruus b± b 4ac, a ax +bx+c = (x r)(x s). 3

14 Esimerkki 3.. Jaetaan polynomi x +x 35 tekijöihin. Saadaan nollakohdiksi ± 4 ( 35) = ± 44 = ± = ±6, joten r = 5 ja s = 7. (Tässä ei ole väliä, kummin päin r ja s ovat.) Siten x +x 35 = (x 5)(x ( 7)) = (x 5)(x+7). Toisen asteen polynomin hajottaa tekijöihin joskus myös arvaamalla nollakohdat. Esimerkki 3.. Tarkastellaan uudestaan polynomia x +x 35. Annetaan sille nimi p(x). Vakiotermi on 35, jonka voi hajottaa tekijöihin ±5 ja ±7: 35 = ( ) 5 7. Kokeillaan sijoittaa näistä 5 x:n paikalle polynomiin p(x): p(5) = = = 0. Koska siis p(5) = 0, niin polynomin toinen tekijä on x 5. (Jos sijoitetaan 7, saadaan p(7) = = = 8, joka ei ole nolla. Tästä ei voi päätellä mitään.) Jaetaan p(x) tekijällä x 5, jolloin saadaan toinen tekijä x + 7. Toisena vaihtoehtona voidaan arvata toinen tekijä esimerkiksi näin: kirjoitetaan x +x 35 = (x 5)(x a) = x ax 5x+5a = x +( a 5)x+5a, josta nähdään, että termien x ja ( a 5)x pitäisi olla samat ja termien 35 ja 5a pitäisi olla samat, joten a:n täytyy olla 7. Joka tapauksessa tulokseksi saadaan x +x 35 = (x 5)(x+7). Mistä tietää, ettei polynomeja voi enempää supistaa? Esimerkki 3.3. Merkitään p(x) = x 3 +x x ja q(x) = x 3 x x ja halutaan supistaa p(x)/q(x) eli x 3 +x x x 3 x x. Tässä osoittaja p(x) ja nimittäjä q(x) ovat molemmat kolmannen asteen polynomeja, joilla kyllä on ratkaisukaava, mutta sitä ei yleensä käytetä monimutkaisuutensa vuoksi. Nimittäjästä puuttuu vakiotermi (jokaisessa yhteenlaskettavassa on x:ää), joten siinä on yhtenä tekijänä x: x 3 x x = x(x x ). Tämä jälkeen hajotetaan toisen asteen polynomi x x tekijöihin esimerkin 3. tai 3. mukaan. Saadaan x x = (x )(x+). Siten nimittäjä on x 3 x x = x(x )(x+). Nyt voidaan myös osoittaja jakaa tekijöihin. Voidaan päästä myös vähemmällä, meidän tarvitsee tietää vain, onko osoittajalla samoja tekijöitä kuin nimittäjällä ja mitkä ne 4

15 tekijät ovat. Tämä voidaankin tehdä testaamalla, ovatko nimittäjän nollakohdat osoittajan nollakohtia. Nimittäjän x 3 x x nollakohdat ovat tekijöihinjaon perusteella 0, ja. Sijoitetaan nämä osoittajaan x 3 +x x ja katsotaan, tuleeko lausekkeen arvoksi nolla. Osoittajan nimihän oli p(x). p(0) = = p() = 3 + = 8+8 = p( ) = ( ) 3 + ( ) ( ) = ++ = 0. Nyt tiedetään, että koska p(0) 0, niin x 0 eli x ei ole polynomin p(x) tekijä. Samoin myöskään x ei ole p(x):n tekijä. Mutta koska p( ) = 0, tarkoittaa tämä, että on polynomin p(x) nollakohta ja x+ polynomin p(x) tekijä. Seuraavaksi jaetaan p(x) polynomilla x+. x + x - x + x 3 + x - x - x 3 + x x - x x + x - x - - x - Täten x 3 +x x = (x+)(x +x ) ja voidaan supistaa murtolausekkeesta x + : x 3 +x x x 3 x x = (x+)(x +x ) x(x )(x+) = x +x x(x ). Enempää ei todellakaan voi supistaa, sillä nimittäjän nollakohdat 0 ja eivät ole osoittajan nollakohtia. 4 Funktio 4. Funktion määritelmä Funktio, toiselta nimeltä kuvaus, tarkoittaa sääntöä, joka yhdistää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon yhden maalijoukon alkion. Funktiossa on siis aina kolme osaa: määrittelyjoukko A, maalijoukko B ja itse sääntö. Säännön voi ilmoittaa aina jollakin sopivalla tavalla, kunhan siitä aina ilmenee, mikä alkio yhdistetään mihin alkioon. Funktiota merkitään seuraavasti f : A B. Tässä f on funktion nimi, A on määrittelyjoukko ja B maalijoukko. Joukkoa A sanotaan myös lähtöjoukoksi. 5

16 Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin funktion f : A B sääntö voidaan ilmoittaa yksinkertaisesti luettelemalla, mikä joukon A luvuista kuvautuu mihinkin B-joukon lukuun: f() = 8, f() = 7, f(3) = 8. A f B Kuva : funktio joukolta A joukkoon B Huomaa, että vaikka määrittelyjoukolla ja maalijoukolla on yhtä monta alkiota, silti B-joukossa voi olla lukuja, joihin mikään A-joukon luku ei kuvaudu. Jos f : A B on funktio ja a on joukon A alkio ja b joukon B alkio ja jos f yhdistää a:n b:hen, niin sanotaan, että f kuvaa a:n b:ksi ja b on a:n kuva. Silloin merkitään f(a) = b. Myös sanotaan, että a on b:n alkukuva. Edellisessä esimerkissä f kuvaa :n 8:ksi ja siten 8 on :n kuva. Luvulla 8 on kaksi alkukuvaa: ja 3. Sen sijaan millään alkiolla ei voi olla kahta kuvaa. Jos näin olisi, niin f ei ole funktio, sen siis kieltää funktion määritelmä. Myös jokaisella määrittelyjoukon alkiolla on oltava kuva; jos näin ei ole, taaskaan f ei ole funktio, sen kieltää jälleen alussa mainittu funktion määritelmä. Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin säännöstä f() = 8, f() = 9, f() = 7, f(3) = 8 ei saada funktiota f : A B, sillä :llä olisi nyt kaksi kuvaa: 8 ja 9, mikä on kiellettyä. Myöskään säännöstä f() = 8, f() = 7 ei saada funktiota f : A B, sillä 3:lla ei ole nyt kuvaa. Esimerkki 4.3. Olkoon A kaikkien turkulaisten joukko ja B joukko {0,,...,0}. Säännöstä f(x) on turkulaisen x ikä saadaan nyt funktio f : A B. Sen sijaan säännöstä f(x) on turkulaisen x sisaren ikä ei saada funktiota, sillä joillakin turkulaisilla saattaa olla useampi kuin yksi sisar. Säännöstä f(x) on turkulaisen x vanhimman sisaren ikä ei myöskään saada funktiota, sillä voi olla, että jollakin turkulaisella ei ole lainkaan sisaria. 6

17 A f B A f B Kuva : epäfunktioita joukolta A joukkoon B Tavallista on, että määrittelyjoukkona ja maalijoukkona on ääretön joukko, esimerkiksi R, joka sisältää kaikki reaaliluvut. Siksi funktioita ei pystytä ilmoittamaan luettelemalla. Esimerkki 4.4. Funktio f : R R, jonka sääntö on f(x) = x, kuvaa jokaisen reaaliluvun neliökseen. Vaikka negatiivisilla reaaliluvuilla ei ole alkukuvaa, f on täysin pätevästi määritelty funktio. Merkinnällä N tarkoitetaan kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoa: N = {0,,,...}. Seuraava esimerkki kuvaa tavallaan algoritmista funktion määrittelyä. Esimerkki 4.5. Funktio f : N N kuvaa luvun x seuraavasti. Lausutaan x suomen kielellä ja lasketaan kirjaimien määrä. Esimerkiksi f(0) = 5, f() = 4, f() = 5,,..., f(0) = 4,..., sillä esimerkiksi 0 on kaksisataayksi. Esimerkki 4.6. Halutaan määritellä funktio f : R R, jossa sääntönä olisi f(x) = x. Miksi näin ei voi tehdä? Siksi että nolla on reaaliluku, joka kuuluu f:n määrittelyjoukkoon R, mutta sääntö ei ilmoita, miten nolla pitää kuvata. Korjaustapoja on kaksi: Määrittelyjoukosta voi jättää nollan pois. Silloin merkitään f : R\{0} R, f(x) = x. Tässä R\{0} on joukko, jossa on kaikki muut reaaliluvut paitsi nolla. Toinen tapa on määritellä nollalle erikseen jokin kuva, esimerkiksi {, jos x 0, x f : R R, f(x) = 0, jos x = 0. 7

18 A f B B f? A Käänteisfunktio Kuva 3: nuolien kääntö funktiossa Tarkastellaan vielä esimerkin 4. funktiota joukolta A joukkoon B. Jos nuolet käännetään, saadaanko uusi funktio, nyt joukolta B joukkoon A? Kun ensin kuvautui 8:ksi, nyt 8 kuvautuu :ksi, jne. Ei saada, kahdesta syystä. Ensinnäkin luku 8 kuvautuu nyt kahteen lukuun, :een ja 3:een. Toiseksi lähtöjoukon luku 9 ei kuvaudu miksikään joukon B luvuksi, vaikka sen pitäisi. Jotta funktio f saataisiin käännetyksi, sen on täytettävä kaksi ehtoa: injektiivisyys ja surjektiivisuus. Injektiivisyys täyttyy, jos mihinkään maalijoukon alkioon ei kuvaudu kahta lähtöjoukon alkiota. Jos joukon B alkioon b alkioon kuvautuvat alkiot a ja a, niin silloin f(a ) = b ja f(a ) = b. Jos tällainen tilanne halutaan kieltää ja kuitenkin on voimassa f(a ) = f(a ), niin ainoa mahdollisuus on, että alkioiden a ja a pitää olla samat. Siten injektiivisyyden toteamiseksi näytetään matemaattinen seuraus f(a ) = f(a ) = a = a. Tämä tarkoittaa, että jos f(a ) = f(a ), niin sitten on oltava a = a, jotta f olisi injektio. Injektiivisyys voidaan ajatella myös toisin päin. Mitkään kaksi eri lähtöjoukon alkiota eivät saa kuvautua samaksi maalijoukon alkioksi. Siis jos a ja a ovat kaksi eri joukon A alkiota, niin f(a ) ei ole f(a ). Matemaattisesti a a = f(a ) f(a ). Siis jos a on eri kuin a, niin niiden kuvat f(a ) ja f(a ) ovat eri alkiot. Surjektiivisuus oli toinen ehto, joka oli täytettävä. Esimerkin 4. funktiota ei voinut kääntää, koska käännetty funktio ei tiennyt, mihin luku 9 kuvataan. Tämä johtui siitä, että funktio f ei kuvannut mitään joukon A luvuista 9:lle. On siis vaadittava, että maalijoukon kaikkiin alkioihin kuvautuu (ainakin) yksi lähtöjoukon alkio. Toisin sanoen jokaisella joukon B alkiolla b on oltava jokin joukon A sellainen alkio a, että b = f(a). Tämä merkitään matemaattisesti kvanttoreita käyttäen: ( b B)( a A) : b = f(a). 8

19 A f B a b a Kuva 4: epäinjektiivinen funktio Tässä on kaikki-kvanttori, joka luetaan kaikilla, ja on olemassaolo-kvanttori, joka luetaan on olemassa. Yllä oleva tarkoittaa siis, että kaikilla joukon B alkioilla b on olemassa sellainen joukon A alkio a, että b = f(a). A f B a b a b b 3 Kuva 5: epäsurjektiivinen funktio Esimerkki 4.7. Onko funktiof : R R, jossaf(x) = x 3x+, injektio tai surjektio? Lasketaan ensin f(x) = x 3x+ = (x )(x ). Tästä nähdään, että f() = 0 ja f() = 0. Koska nyt kaksi eri alkiota, ja, kuvautuvat samaksi alkioksi, f ei ole injektio. Entä onko f surjektio? Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, sillä termin x kerroin,, on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että negatiivisella y-akselilla on lukuja b, joilla ei ole olemassa sellaista x-akselin lukua a, että pari (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan. Jos (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan, niin olisi f(a) = b. Siten jo kuvasta näemme, ettei f ole surjektio. Funktion f epäsurjektiivisuus voidaan näyttää myös matemaattisemmin. Näytetään, että maalijoukon alkiolla ei ole alkukuvaa. Merkitään f(a) =, ja etsitään a. f(a) = a 3a+ = a 3a+3 = 0 a = 3± ( 3) 4 3 a = 3± 3. Koska neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, niin a ei voi olla olemassa. Täten luvulla - ei ole alkukuvaa kuvauksessa f ja f ei ole surjektio. 9

20 Esimerkki 4.8. Tarkastellaan funktiota f : [0,3] R, f(x) = x +x. Onko se injektio? Otetaan kaksi lukua a ja a väliltä [0,3] ja laitetaan ne kuvautumaan samaksi luvuksi. Jos osoittautuu, että lukujen a ja a on pakko olla samoja, niin f on silloin injektio. f(a ) = f(a ) a +a = a +a a a = a a (a +a )(a a ) = (a a ) a +a = tai a a = 0 0 a,a 3 a = a. Yllä saatiin yhtälön molemmille puolille sama tekijä a a. Kun se jaetaan pois kummaltakin puolelta, jäljelle jää a + a =. Pitää kuitenkin muistaa se mahdollisuus, että a a voi olla myös nolla, sillä silloinhan yhtälön molemmat puolet ovat nollia ja sellainen yhtälö pitää paikkansa. Siitä saadaan siis toinen tai-vaihtoehto. Seuraavaksi muistettiin, että a ja a ovat välillä [0,3], joten niiden summa ei voi millään olla negatiivinen -. Ainoaksi vaihtoehdoksi jää siten, että a on a. Siispä f on injektio. Samoin kuin edellisessä esimerkissä nähdään, että funktio ei ole surjektio, sillä esimerkiksi luvulla - ei ole alkukuvaa. Esimerkki 4.9. Onko funktio f : [0,3] [,0], f(x) = x +, surjektio? Kysytään siis, onko jokaisella maalijoukon alkiolla alkukuva lähtöjoukossa? Onko siis jokaisella välin [,0] luvulla b jokin välillä [0,3] oleva luku a, joka kuvautuu b:ksi? Merkitään f(a) = b, missä b 0, ja yritetään ratkaista tästä a. Jos ratkaisu on olemassa (ja vielä oikealla välillä) riippumatta b:n arvosta, f on surjektio. f(a) = b a + = b a = b a = ± b. Neliöjuuri voidaan ottaa, jos b. Näin on, sillä b:nhän oletettiin kuuluvan väliin [, 0]. Entä onko a positiivinen tai negatiivinen? Tässä valitaan positiivinen a, sillä a:n pitää olla välillä [0,3]. Onko sitten a todella välillä [0,3], jos b on välillä [,0]? On, sillä b 0 a a 9 (a 0) 0 a 3. Siten a löydetään oikealta väliltä jokaista b:tä kohti, joten f on surjektio. Jos funktio on injektio ja surjektio, se on bijektio. Funktiolla f : A B on olemassa käänteisfunktio, jos f on bijektio. Käänteiskuvausta merkitään f :llä, ja se on f : B A. Lisäksi pätee f(x) = y f (y) = x. 0

21 Esimerkki 4.0. Olkoot A = {,,3} ja B = {7,8,9}, ja f : A B funktio, jonka sääntö on f() = 8, f() = 9, f(3) = 7. Tämä f on injektio, koska eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, ja surjektio, koska maalijoukon B kaikilla alkioilla on alkukuvat. Siten funktiolla f on käänteisfunktio f : B A, ja sen sääntö on f (7) = 3, f (8) =, f (9) =. A f B B f A Kuva 6: funktio ja sen käänteiskuvaus Esimerkki 4.. Etsi funktion f : R R, f(x) = 3x 5, käänteisfunktio. Tarkistetaan ensin, että f on bijektio. Olkoot x ja x R. f(x ) = f(x ) 3x 5 = 3x 5 3x = 3x x = x. Siten f on injektio. Merkitään surjektiivisuuden tarkistusta varten f(x) = y, missä x, y R. 3x 5 = y 3x = y +5 x = y Jokaistay:tä kohti on siis olemassa sopivax, jonkaf kuvaay:ksi, jaf on surjektio. Käänteisfunktio f : R R, on siis olemassa, ja sen sääntö saadaan surjektiivisuuslaskusta vaihtamalla y:n tilalle x: f (x) = x Funktion kuvaaja Jos funktion f : A B määrittelyjoukko A ja maalijoukko B ovat reaalilukuvälejä (tai koko R) tai niiden unioneja, niin funktiota f sanotaan reaalifunktioksi. Tällaisen funktion kuvaaja piirretään xy-tasoon. Pistepari (x, y) kuuluu kuvaajaan, jos y = f(x). Kun nämä pisteparit merkitään xy-tasoon, saadaan käyrä, joka on funktion f kuvaaja. Funktion f kuvaaja eli graafi on siis pisteparien joukko {(x,y) y = f(x)}.

22 Esimerkki 4.. Funktion f : A B, missä A = {,,3,4,5} ja B = {,}, ja f() =, f() =, f(3) =, f(4) =, f(5) =, kuvaaja on joukko {(,), (,), (3,), (4,), (5,)}. Se on piirretty kuvaan Kuva 7: esimerkin 4. funktion kuvaaja Esimerkin 4.7 funktion f : R R, f(x) = x 3x +, kuvaaja on ääretön ja jatkuu loputtomasti ylöspäin, joten sitä ei voi piirtää kokonaan näkyviin. Sen sijaan esimerkin 4.8 funktion f : [0,3] R, f(x) = x + x, kuvaaja on esitetty kokonaan kuvassa y x x 3 4 Kuva 8: esimerkin 4.7 ja esimerkin 4.8 kuvaajat Funktion f kuvaajan avulla on helppo hahmotella funktion käänteisfunktion f kuvaaja. Jos f(x) = y, niin f (y) = x käänteisfunktion määritelmän mukaan. Koska funktiot kuitenkin halutaan ilmoittaa yleensä x:n funktiona, kaavassa f (y) = x

23 vaihdetaan x:n ja y:n paikka. Tämä näkyy myös funktioiden kuvaajissa. Kun xy-tason akselien paikka vaihdetaan, alkuperäinen käyrä kääntyy nurin, itse asiassa se peilautuu x- ja y-akselien välistä kulkevan suoran suhteen. Täysin keskellä x- ja y-akselia on suora y = x. Siten funktion f ja käänteisfunktion f kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen. Esimerkki 4.3. Jatketaan esimerkkiä 4.9, jossa f : [0,3] [,0], f(x) = x +, todettiin surjektioksi. Se on myös injektio, sillä jos 0 x, x 3, niin f(x ) = f(x ) x + = x + x = x x = x, sillä x ja x eivät ole negatiivisia. Siispä funktiolla f on käänteisfunktio f : [,0] [0,3]. Funktioiden f ja f kuvaajat ovat kuvassa y x Kuva 9: esimerkin 4.9 funktion f : [0,3] [,0], f(x) = x + (vasemmalla) ja sen käänteisfunktion kuvaaja (oikealla) ja suoran y = x kuvaaja 4.4 Yhdistetty funktio Hyödyllisiä funktioita vanhoista funktioista saadaan yhdistämällä. Jos f : A B ja g : B C ovat funktioita, niiden yhdiste eli yhdistetty funktio on funktio g f : A C, jonka sääntö saadaan funktioiden f ja g säännöistä: (g f)(x) = g(f(x)). Tässä g f luetaan "g pallo f". Huomaa, että funktiot f ja g voidaan yhdistää vain, jos funktion f maalijoukko B on sama kuin funktion g määrittelyjoukko B. Jos näin 3

24 ei ole ja yhdistettä tarvittaisiin, on usein mahdollista muokata ensin funktioita f ja g jättämällä sopivia arvoja funktion f määrittelyjoukosta A pois. Huomaa myös, että joukot A ja B voivat joskus olla niin erilaiset, että funktiolle f eivät kelpaa joukon B alkiot syötteiksi eikä funktiolle g joukon A arvot. Täten on huolehdittava jokaisen funktion "ruokavaliosta". A f B g C A g f C Kuva 0: funktioiden f ja g yhdiste g f Esimerkki 4.4. Kuvassa 0 on yhdistetty funktio f : {,,3} {4,5,6} ja g : {4,5,6} {7,8} funktioksi g f : {,,3} {7,8}, jossa (g f)() = g(f()) = g(5) = 7, (g f)() = g(f()) = g(4) = 8, (g f)(3) = g(f(3)) = g(5) = 7. Esimerkki 4.5. Yhdistetään funktiot f : R R, f(x) = x, ja g : R R, g(x) = x +. Yhdiste on funktio g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = x +. Funktiot voidaan tässä tapauksessa yhdistää myös niin, että f onkin ulkofunktiona. Silloin yhdiste on f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+) = (x+). 5 Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f(x) käyttäytymistä, kun x vaihtelee. Joillakin funktioilla f(x) muuttuu vain vähän, kun x muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f(x) hyppää tai vaihtelee arvaamattomasti, kun x muuttuu vähän. Esimerkki 5.. Olkoon f : R R, f(x) = x +3x+. Kun x lähestyy lukua 0, niin x 0, 0, ,0-0, - näyttää siltä, että f(x) lähestyy lukua. f(x) 6,3,03...,97,7 0 Kun x on täsmälleen 0, niin f(x) onf(0) =. Funktio käyttäytyy siten aivan odotetusti. Esimerkki 5.. Olkoon f : R\{} R, f(x) = x 4 x. 4

25 Funktiota ei ole määritelty, kun x =, mutta se on määritelty aina, kun x on erittäin lähellä arvoa, mutta x. Mitä tapahtuu, kun x lähestyy :sta sen kummaltakin x,9,99...,0, 3 puolelta? Näyttää siltä, että f(x) lähestyy f(x) 3 3,9 3, ,0 4, 5 arvoa 4, kun x lähestyy :sta. Mistä tämä johtuu? Selitys on siinä, että f(x):n arvoa voidaan yksinkertaistaa: f(x) = x 4 x = (x )(x+) x = x+. Sitenf on melkein sama funktio kuin g : R R,g(x) = x+, paitsi ettäg on määritelty kaikkialla, kun taas f ei ole määritelty pisteessä x =. Siksi kun x lähestyy arvoa, f(x) seuraa funktiota g(x) ja lähestyy arvoa g() = + = Kuva : esimerkin 5. funktion kuvaaja 5. Raja-arvon määritelmä Kun f(x) lähestyy arvoa A, kun x lähestyy arvoa a (vaikkei ehkä ikinä saavuta sitä), merkitään lim x a f(x) = A ja sanotaan, että A on funktion f raja-arvo pisteessä x = a. Voidaan myös merkitä f(x) x a A, joka on kätevämpi pitkissä ketjuissa, kun lim-sanaa ei tarvitse toistaa. Vaikka edellisissä esimerkeissä raja-arvoa on etsitty laskimen avulla, siihen ei kannata sokeasti luottaa vaan käyttää matemaattista järkeilyä. Esimerkki 5.3. Olkoon f : R R, f(x) = x sinx. 00 Lasketaan joitakin funktion arvoja, kun x lähestyy nollaa, tällä kertaa vain oikealta puolelta, vaikka hyvin olisi voitu myös laskea arvot vasemmalta puolelta. 5

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Mika Kähkönen L'Hospitalin sääntö Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Tutkielman sisältö........................

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot