Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen"

Transkriptio

1 Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03

2

3 Sisältö Polynomit Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kokonaislukujen jakolasku Polynomien jakaminen jakokulmassa Murtoluvut ja murtolausekkeet Funktio Funktion määritelmä Käänteisfunktio Funktion kuvaaja Yhdistetty funktio Raja-arvo Raja-arvon määritelmä Raja-arvojen yhdistäminen Äärettömyyteen kasvavan funktion raja-arvo Raja-arvo äärettömässä Derivaatta Käyrän tangentti Derivaatta funktiona Derivaatan yhtäpitävät kaavat Derivointisääntöjä Trigonometristen funktioiden derivointi Yhdistetyn funktion derivointi Integrointi Määräämätön integraali Integrointikaavoja Yhdistetyn funktion integrointi Osittaisintegrointi Murtofunktion integrointi Määrätty integraali Lukujonot ja sarjat Lukujonot Sarjat Kirjallisuutta ja nettiosoitteita

4 Lukiomatematiikan hallinta perustuu jo ennen lukiota luettujen perusasioiden hallintaan, joten niitä on esitetty tässäkin. Monisteesta puuttuvia asioita voi kerrata esimerkiksi Timo Neuvosen monisteesta Matematiikan peruskurssi A. Polynomit Polynomissa a n x n +a n x n + +a x +a x+a 0 luvut a n, a n,..., a, a ja a 0 ovat polynomin kertoimet ja x on muuttuja, jonka paikalle voi sijoittaa lukuja. Mitkä tahansa kertoimista a n,..., a 0 voivat olla nolliakin. Lukuja a n x n,..., a x, a 0 sanotaan termeiksi ja termin a i x i eksponenttia i termin asteeksi. Polynomin korkeimman asteen termin astetta sanotaan polynomin asteeksi. Siten jos a n ei ole nolla, niin polynomin a n x n + a n x n + +a x + a x + a 0 aste on n. Polynomeja merkitään lausekkeilla p(x), q(x),... Tähän kirjoitetaan x näkyviin korostamaan muuttujan nimeä tarvittaessa. Esimerkki.. Polynomin x 5 4x 3 +x+7 aste on 5. Polynomit lasketaan yhteen termeittäin, samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen. Polynomi kerrotaan luvulla kertomalla jokainen termi luvulla erikseen. Esimerkki.. (3x 5 +x 3 x+)+(x 5 x 4 +3x 7) = 4x 5 x 4 +x 3 +x 5 (3x 5 +x 3 x+) (x 5 x 4 +3x 7) = x 5 +x 4 +x 3 4x+9 4(3x 5 +x 3 x+) = x 5 +8x 3 4x+8 Polynomit p(x) ja q(x) kerrotaan siten, että polynomin p(x) jokaisella termillä kerrotaan polynomin q(x) termit ja saadut uudet termit lasketaan yhteen. Esimerkki.3. (x +)(x 3 +3x 5) = x (x 3 +3x 5)+(x 3 +3x 5) = (x x 3 +x 3x x 5)+(x 3 + 3x 5) = (x 5 +3x 4 5x )+(x 3 +6x 0) = x 5 +3x 4 +x 3 +x 0 Sama voidaan tehdä myös allekkain. x 3 + 3x - 5 x + x 3 + 6x - 0 x 5 + 3x 4-5x x 5 + 3x 4 + x 3 + x - 0 Muuttujan x paikalle voidaan sijoittaa mikä tahansa luku a, jolloin saadaan polynomin arvo kohdassa tai pisteessä a. Tätä arvoa merkitään p(a):lla. 4

5 Esimerkki.4. Polynomiin p(x) = x 3 6x +5x+ sijoitetaan ja 4: p() = = = 6 p(4) = = = 0 Jos polynomin p(x) arvo pisteessä a on nolla eli p(a) = 0, niin a:ta sanotaan polynomin p(x) nollakohdaksi. Esimerkki.5. Edellisen esimerkin polynomilla on siis nollakohta 4. Myös 3 ja - ovat sen nollakohtia: p(3) = = = 0 p( ) = ( ) 3 6 ( ) +5 ( )+ = 6 5+ = 0 Enempää nollakohtia esimerkin polynomilla ei olekaan. Nimittäin polynomilla voi olla vain sen asteen verran eri nollakohtia. Lause.6. n-asteisella polynomilla on enintään n eri nollakohtaa. Jos a on polynomin nollakohta, polynomi voidaan jakaa tasan polynomilla x a. Jos esimerkiksi 3-asteisen polynomin nollakohdat ovat a, b ja c, sen tekijät ovat x a, x b ja x c. Silloin voidaan kirjoittaa a 3 x 3 +a x +a x+a 0 = a 3 (x a)(x b)(x c). Huomaa, että kun tosiaan sijoitetaan polynomiin a 3 (x a)(x b)(x c) jokin arvoista a, b tai c, saadaan nolla. Esimerkki.7. Edellisen esimerkin polynomi p(x) = x 3 6x + 5x + voidaan kirjoittaa muodossa x 3 6x +5x+ = (x 4)(x 3)(x+). Toisaalta jos polynomilla p(x) on tekijä x a, niin silloin p(x) = (x a)q(x), jossa q(x) on jokin toinen polynomi. (Se on myös polynomin p(x) tekijä.) Silloin p(x):llä on nollakohta a, sillä p(a) = (a a)q(a) = 0. Lause.8. Jos a on polynomin p(x) nollakohta, niin x a on polynomin p(x) tekijä. Jos x a on polynomin p(x) tekijä, niin a on polynomin p(x) nollakohta. Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kerrataan tässä vaiheessa jakokulman käyttö vaiheittain, joka on saattanut unohtua laskimia käytettäessä. Muita kurssin käsittelemiä aiheita voi kerrata eri kirjoista, monisteista ja nettisivuista, joita on lueteltu tämän vihkosen lopussa. 5

6 . Kokonaislukujen jakolasku Seuraava esimerkki näyttää, miten kokonaislukujen jakolasku toimii. Samalla tavoin tehdään myös polynomien jakolasku, joten tämä algoritmi kannattaa opetella Tulokseksi saadaan 3407 = Algoritmin askelmat ovat seuraavat: Alkutilanteessa jakaja on kirjoitettu jakokulman vasemmalle puolelle ja jaettava oikealle Jaettavan alussa on 3, se on liian pieni, mutta 34:ään mahtuu 3 kertaa Kerrotaan kolmella ja vähennetään 33 34:stä. Saadaan Lainataan jaettavasta. Saadaan menee yhden kerran :een Vähennetään :sta 6

7 ja saadaan Lainataan jaettavasta 0. Saadaan ei mene 0:een kokonaisena, vaan 0 kertaa (Vähennetään 0.) Lainataan jaettavasta vielä menee 07:ään 9 kertaa Vähennetään 07:stä 99. 7

8 Saadaan 8. Enempää ei voida lainata jaettavasta, jako päättyy Tuloksena on vaillinainen osamäärä 309 ja jakojäännös = Jos halutaan tulos reaalilukuna, jakolaskua jatketaan samoin desimaalien selville saamiseksi. Desimaalipilkku vain lisätään tässä vaiheessa.. Polynomien jakaminen jakokulmassa Polynomien jakolasku toimii samalla menetelmällä kuin lukujenkin jakolasku. Jaetaan esimerkkinä polynomi p(x) = 3x 4 +4x 3 x +7 polynomilla q(x) = x+. Polynomin p aste on 4 ja polynomin q, joten tulos on polynomi astetta 3. Polynomien jakolaskua tarvitaan esimerkiksi integroitaessa. Jakokulma alustetaan kuten luvuilla. Järjestä termit asteen mukaan kummassakin polynomissa. x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Katsotaan jaettavan korkeimman asteen termiä 3x 4. Nyt jakajan termi x on kerrottava 3x 3 :lla, jotta termi 3x 4 saadaan kumottua pois. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Kerrotaan koko jakaja x+ 3x 3 :lla, jolloin saadaan 3x 4 +6x 3. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 Vähennetään 3x 4 +6x 3 jaettavasta. 8

9 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 Jäljelle jää x 3 ja alemman asteen termejä, joista korkeinta astetta on x. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Termin x 3 kumoamiseksi jakaja on kerrottava x :lla. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Tulo on x 3 4x, 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Erotus on x ( 4x ) = 3x ja alemman asteen termejä. 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Kerrotaan jakaja vielä 3x:llä, saadaan 3x +6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x ja vähennetään se jäljellä olevasta jaettavasta. 9

10 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Saadaan 6x x 3x + 6x - 6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Kerrotaan jakaja 6:lla, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x saadaan 6x, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta 6x+7. 0

11 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - 9 Saadaan erotukseksi 9. Jakolasku loppuu tähän, sillä erotuksen aste, 0, on pienempi kuin jakajan aste,. Millään polynomilla kertomalla ei kuitenkaan saada x + :sta lukua 9. Jakojäännös on siis 9, vaillinainen osamäärä on 3x 3 x +3x 6. Siis 3x 4 +4x 3 x +7 x+ = 3x 3 x +3x 6+ 9 x+. 3 Murtoluvut ja murtolausekkeet Murtoluvut. Murtoluvussa a b luvut a jabovat kokonaislukuja 0,±,±,...jabei saa olla 0, koska nollalla ei saa jakaa. Tässä lukua a kutsutaan osoittajaksi (numerator) ja lukua b nimittäjäksi (denominator). Murtoluvut on ensin muutettava samannimisiksi, ennen kuin ne voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Se tehdään kertomalla sekä osoittaja että nimittäjä samalla kokonaisluvulla, joka ei tietenkään voi olla nolla, jottei nollalla jakoa syntyisi. Tässä operaatiossa murtoluvun arvo ei muutu, joten yhtäsuuruus-merkkiä voidaan käyttää. Operaatiota sanotaan laventamiseksi. a b = ac, kun c 0. bc Tämän jälkeen samannimiset (tarkoittaa, että nimittäjä on kummallakin murtoluvulla sama) voidaan laskea yhteen: ac bc + d bc = ac+d. bc Osoittajat lasketaan yhteen ja nimittäjä pysyy koko ajan samana. Esimerkki = = +5 3 = Edellä tehtiin luvut /3 ja 5/ samannimisiksi laventamalla ensimmäinen luku :lla ja toinen luku 3:lla.

12 Esimerkki = = 3 7 =. Tässä ei tarvinnut laventaa 6:lla ja 4:llä, sillä 3:lla ja :lla laventaminen riitti tekemään luvuista samannimiset. Tämä johtui siitä, että 4:llä ja 6:lla on yhteinen tekijä:. Kun murtoluvut kerrotaan keskenään, niitä ei tarvitse tehdä samannimisiksi. Uusi osoittaja saadaan kertomalla kerrottavien osoittajat keskenään ja uusi nimittäjä kertomalla nimittäjät keskenään. a b c d = ac bd. Esimerkki 3.3. Lopussa on supistettu :lla = 8 50 = 4 75 Murtoluku jaetaan toisella siten, että jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. / a c b d = a b d c = ad bc. Esimerkki 3.4. / = = = 7 = 3. Jakolaskun tulos on ensin supistettu :lla ja sitten 7:llä. Murtoluku korotetaan potenssiin korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä erikseen. ( a b) c = a c b c. Esimerkki 3.5. ( ) 5 = = 5 43 Murtolausekkeet. Murtolausekkeita käsitellään täsmälleen samoilla tavoilla. Murtolausekkeessa p(x) q(x) sekä osoittaja p(x) että nimittäjä q(x) ovat polynomeja. Murtolausekkeen arvo ei ole määritelty niillä x:n arvoilla, joilla q(x) on nolla. Yleisemmässä tapauksessa osoittaja ja nimittäjä voivat olla mitä tahansa lausekkeita. Esimerkki 3.6. Lasketaan yhteen /(x + ) ja x/(x ). Nämä ovat murtolausekkeita ja ne on tehtävä samannimisiksi ensin. Ensimmäinen lauseke lavennetaan x :llä ja toinen x+:llä. Huomaa, että (x+)(x ) = x x+x = x.

13 Tämän jälkeen molemmissa nimittäjissä on sama lauseke x. Nyt osoittajat voidaan laskea yhteen. Esimerkki 3.7. x+ + x x = x (x+)(x ) + x(x+) (x )(x+) = x x + x +x x = (x )+(x +x) x x+ x x = x (x+)(x ) = x x = x +x x Esimerkki 3.8. / x x x x+ = x x x+ = x(x+) x (x )x = x+ x = x+ (x+)(x ) = x Tässä kerrotaan jaettava jakajan x/(x + ) käänteisluvulla (x + )/x. Sen jälkeen supistetaan x:llä ja vielä lopuksi huomataan, että voidaan supistaa x+:llä. Supistaminen. Laventamisen vastakohta on supistaminen. Murtoluku on supistetussa muodossa, kun osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä. Esimerkki = = = 0 Tässä yhteisiä tekijöitä on ja 3, joita kumpiakin voidaan supistaa yhdet kappaleet. Murtolausekkeen polynomit on jaettava tekijöihin, että saadaan selville, onko osoittajalla ja nimittäjällä yhteisiä tekijöitä, jotka voidaan supistaa. Esimerkki 3.0. x x+ x 3x+ = (x ) (x )(x ) = x x Kun polynomit jaetaan tekijöihin, toisen asteen polynomeihin voi käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Sillä saadaan ensin selville polynomin ax +bx+c nollakohdat r ja s, jolloin polynomi voidaan jakaa tekijöihin. Siis r ja s ovat jolloin on voimassa yhtäsuuruus b± b 4ac, a ax +bx+c = (x r)(x s). 3

14 Esimerkki 3.. Jaetaan polynomi x +x 35 tekijöihin. Saadaan nollakohdiksi ± 4 ( 35) = ± 44 = ± = ±6, joten r = 5 ja s = 7. (Tässä ei ole väliä, kummin päin r ja s ovat.) Siten x +x 35 = (x 5)(x ( 7)) = (x 5)(x+7). Toisen asteen polynomin hajottaa tekijöihin joskus myös arvaamalla nollakohdat. Esimerkki 3.. Tarkastellaan uudestaan polynomia x +x 35. Annetaan sille nimi p(x). Vakiotermi on 35, jonka voi hajottaa tekijöihin ±5 ja ±7: 35 = ( ) 5 7. Kokeillaan sijoittaa näistä 5 x:n paikalle polynomiin p(x): p(5) = = = 0. Koska siis p(5) = 0, niin polynomin toinen tekijä on x 5. (Jos sijoitetaan 7, saadaan p(7) = = = 8, joka ei ole nolla. Tästä ei voi päätellä mitään.) Jaetaan p(x) tekijällä x 5, jolloin saadaan toinen tekijä x + 7. Toisena vaihtoehtona voidaan arvata toinen tekijä esimerkiksi näin: kirjoitetaan x +x 35 = (x 5)(x a) = x ax 5x+5a = x +( a 5)x+5a, josta nähdään, että termien x ja ( a 5)x pitäisi olla samat ja termien 35 ja 5a pitäisi olla samat, joten a:n täytyy olla 7. Joka tapauksessa tulokseksi saadaan x +x 35 = (x 5)(x+7). Mistä tietää, ettei polynomeja voi enempää supistaa? Esimerkki 3.3. Merkitään p(x) = x 3 +x x ja q(x) = x 3 x x ja halutaan supistaa p(x)/q(x) eli x 3 +x x x 3 x x. Tässä osoittaja p(x) ja nimittäjä q(x) ovat molemmat kolmannen asteen polynomeja, joilla kyllä on ratkaisukaava, mutta sitä ei yleensä käytetä monimutkaisuutensa vuoksi. Nimittäjästä puuttuu vakiotermi (jokaisessa yhteenlaskettavassa on x:ää), joten siinä on yhtenä tekijänä x: x 3 x x = x(x x ). Tämä jälkeen hajotetaan toisen asteen polynomi x x tekijöihin esimerkin 3. tai 3. mukaan. Saadaan x x = (x )(x+). Siten nimittäjä on x 3 x x = x(x )(x+). Nyt voidaan myös osoittaja jakaa tekijöihin. Voidaan päästä myös vähemmällä, meidän tarvitsee tietää vain, onko osoittajalla samoja tekijöitä kuin nimittäjällä ja mitkä ne 4

15 tekijät ovat. Tämä voidaankin tehdä testaamalla, ovatko nimittäjän nollakohdat osoittajan nollakohtia. Nimittäjän x 3 x x nollakohdat ovat tekijöihinjaon perusteella 0, ja. Sijoitetaan nämä osoittajaan x 3 +x x ja katsotaan, tuleeko lausekkeen arvoksi nolla. Osoittajan nimihän oli p(x). p(0) = = p() = 3 + = 8+8 = p( ) = ( ) 3 + ( ) ( ) = ++ = 0. Nyt tiedetään, että koska p(0) 0, niin x 0 eli x ei ole polynomin p(x) tekijä. Samoin myöskään x ei ole p(x):n tekijä. Mutta koska p( ) = 0, tarkoittaa tämä, että on polynomin p(x) nollakohta ja x+ polynomin p(x) tekijä. Seuraavaksi jaetaan p(x) polynomilla x+. x + x - x + x 3 + x - x - x 3 + x x - x x + x - x - - x - Täten x 3 +x x = (x+)(x +x ) ja voidaan supistaa murtolausekkeesta x + : x 3 +x x x 3 x x = (x+)(x +x ) x(x )(x+) = x +x x(x ). Enempää ei todellakaan voi supistaa, sillä nimittäjän nollakohdat 0 ja eivät ole osoittajan nollakohtia. 4 Funktio 4. Funktion määritelmä Funktio, toiselta nimeltä kuvaus, tarkoittaa sääntöä, joka yhdistää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon yhden maalijoukon alkion. Funktiossa on siis aina kolme osaa: määrittelyjoukko A, maalijoukko B ja itse sääntö. Säännön voi ilmoittaa aina jollakin sopivalla tavalla, kunhan siitä aina ilmenee, mikä alkio yhdistetään mihin alkioon. Funktiota merkitään seuraavasti f : A B. Tässä f on funktion nimi, A on määrittelyjoukko ja B maalijoukko. Joukkoa A sanotaan myös lähtöjoukoksi. 5

16 Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin funktion f : A B sääntö voidaan ilmoittaa yksinkertaisesti luettelemalla, mikä joukon A luvuista kuvautuu mihinkin B-joukon lukuun: f() = 8, f() = 7, f(3) = 8. A f B Kuva : funktio joukolta A joukkoon B Huomaa, että vaikka määrittelyjoukolla ja maalijoukolla on yhtä monta alkiota, silti B-joukossa voi olla lukuja, joihin mikään A-joukon luku ei kuvaudu. Jos f : A B on funktio ja a on joukon A alkio ja b joukon B alkio ja jos f yhdistää a:n b:hen, niin sanotaan, että f kuvaa a:n b:ksi ja b on a:n kuva. Silloin merkitään f(a) = b. Myös sanotaan, että a on b:n alkukuva. Edellisessä esimerkissä f kuvaa :n 8:ksi ja siten 8 on :n kuva. Luvulla 8 on kaksi alkukuvaa: ja 3. Sen sijaan millään alkiolla ei voi olla kahta kuvaa. Jos näin olisi, niin f ei ole funktio, sen siis kieltää funktion määritelmä. Myös jokaisella määrittelyjoukon alkiolla on oltava kuva; jos näin ei ole, taaskaan f ei ole funktio, sen kieltää jälleen alussa mainittu funktion määritelmä. Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin säännöstä f() = 8, f() = 9, f() = 7, f(3) = 8 ei saada funktiota f : A B, sillä :llä olisi nyt kaksi kuvaa: 8 ja 9, mikä on kiellettyä. Myöskään säännöstä f() = 8, f() = 7 ei saada funktiota f : A B, sillä 3:lla ei ole nyt kuvaa. Esimerkki 4.3. Olkoon A kaikkien turkulaisten joukko ja B joukko {0,,...,0}. Säännöstä f(x) on turkulaisen x ikä saadaan nyt funktio f : A B. Sen sijaan säännöstä f(x) on turkulaisen x sisaren ikä ei saada funktiota, sillä joillakin turkulaisilla saattaa olla useampi kuin yksi sisar. Säännöstä f(x) on turkulaisen x vanhimman sisaren ikä ei myöskään saada funktiota, sillä voi olla, että jollakin turkulaisella ei ole lainkaan sisaria. 6

17 A f B A f B Kuva : epäfunktioita joukolta A joukkoon B Tavallista on, että määrittelyjoukkona ja maalijoukkona on ääretön joukko, esimerkiksi R, joka sisältää kaikki reaaliluvut. Siksi funktioita ei pystytä ilmoittamaan luettelemalla. Esimerkki 4.4. Funktio f : R R, jonka sääntö on f(x) = x, kuvaa jokaisen reaaliluvun neliökseen. Vaikka negatiivisilla reaaliluvuilla ei ole alkukuvaa, f on täysin pätevästi määritelty funktio. Merkinnällä N tarkoitetaan kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoa: N = {0,,,...}. Seuraava esimerkki kuvaa tavallaan algoritmista funktion määrittelyä. Esimerkki 4.5. Funktio f : N N kuvaa luvun x seuraavasti. Lausutaan x suomen kielellä ja lasketaan kirjaimien määrä. Esimerkiksi f(0) = 5, f() = 4, f() = 5,,..., f(0) = 4,..., sillä esimerkiksi 0 on kaksisataayksi. Esimerkki 4.6. Halutaan määritellä funktio f : R R, jossa sääntönä olisi f(x) = x. Miksi näin ei voi tehdä? Siksi että nolla on reaaliluku, joka kuuluu f:n määrittelyjoukkoon R, mutta sääntö ei ilmoita, miten nolla pitää kuvata. Korjaustapoja on kaksi: Määrittelyjoukosta voi jättää nollan pois. Silloin merkitään f : R\{0} R, f(x) = x. Tässä R\{0} on joukko, jossa on kaikki muut reaaliluvut paitsi nolla. Toinen tapa on määritellä nollalle erikseen jokin kuva, esimerkiksi {, jos x 0, x f : R R, f(x) = 0, jos x = 0. 7

18 A f B B f? A Käänteisfunktio Kuva 3: nuolien kääntö funktiossa Tarkastellaan vielä esimerkin 4. funktiota joukolta A joukkoon B. Jos nuolet käännetään, saadaanko uusi funktio, nyt joukolta B joukkoon A? Kun ensin kuvautui 8:ksi, nyt 8 kuvautuu :ksi, jne. Ei saada, kahdesta syystä. Ensinnäkin luku 8 kuvautuu nyt kahteen lukuun, :een ja 3:een. Toiseksi lähtöjoukon luku 9 ei kuvaudu miksikään joukon B luvuksi, vaikka sen pitäisi. Jotta funktio f saataisiin käännetyksi, sen on täytettävä kaksi ehtoa: injektiivisyys ja surjektiivisuus. Injektiivisyys täyttyy, jos mihinkään maalijoukon alkioon ei kuvaudu kahta lähtöjoukon alkiota. Jos joukon B alkioon b alkioon kuvautuvat alkiot a ja a, niin silloin f(a ) = b ja f(a ) = b. Jos tällainen tilanne halutaan kieltää ja kuitenkin on voimassa f(a ) = f(a ), niin ainoa mahdollisuus on, että alkioiden a ja a pitää olla samat. Siten injektiivisyyden toteamiseksi näytetään matemaattinen seuraus f(a ) = f(a ) = a = a. Tämä tarkoittaa, että jos f(a ) = f(a ), niin sitten on oltava a = a, jotta f olisi injektio. Injektiivisyys voidaan ajatella myös toisin päin. Mitkään kaksi eri lähtöjoukon alkiota eivät saa kuvautua samaksi maalijoukon alkioksi. Siis jos a ja a ovat kaksi eri joukon A alkiota, niin f(a ) ei ole f(a ). Matemaattisesti a a = f(a ) f(a ). Siis jos a on eri kuin a, niin niiden kuvat f(a ) ja f(a ) ovat eri alkiot. Surjektiivisuus oli toinen ehto, joka oli täytettävä. Esimerkin 4. funktiota ei voinut kääntää, koska käännetty funktio ei tiennyt, mihin luku 9 kuvataan. Tämä johtui siitä, että funktio f ei kuvannut mitään joukon A luvuista 9:lle. On siis vaadittava, että maalijoukon kaikkiin alkioihin kuvautuu (ainakin) yksi lähtöjoukon alkio. Toisin sanoen jokaisella joukon B alkiolla b on oltava jokin joukon A sellainen alkio a, että b = f(a). Tämä merkitään matemaattisesti kvanttoreita käyttäen: ( b B)( a A) : b = f(a). 8

19 A f B a b a Kuva 4: epäinjektiivinen funktio Tässä on kaikki-kvanttori, joka luetaan kaikilla, ja on olemassaolo-kvanttori, joka luetaan on olemassa. Yllä oleva tarkoittaa siis, että kaikilla joukon B alkioilla b on olemassa sellainen joukon A alkio a, että b = f(a). A f B a b a b b 3 Kuva 5: epäsurjektiivinen funktio Esimerkki 4.7. Onko funktiof : R R, jossaf(x) = x 3x+, injektio tai surjektio? Lasketaan ensin f(x) = x 3x+ = (x )(x ). Tästä nähdään, että f() = 0 ja f() = 0. Koska nyt kaksi eri alkiota, ja, kuvautuvat samaksi alkioksi, f ei ole injektio. Entä onko f surjektio? Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, sillä termin x kerroin,, on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että negatiivisella y-akselilla on lukuja b, joilla ei ole olemassa sellaista x-akselin lukua a, että pari (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan. Jos (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan, niin olisi f(a) = b. Siten jo kuvasta näemme, ettei f ole surjektio. Funktion f epäsurjektiivisuus voidaan näyttää myös matemaattisemmin. Näytetään, että maalijoukon alkiolla ei ole alkukuvaa. Merkitään f(a) =, ja etsitään a. f(a) = a 3a+ = a 3a+3 = 0 a = 3± ( 3) 4 3 a = 3± 3. Koska neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, niin a ei voi olla olemassa. Täten luvulla - ei ole alkukuvaa kuvauksessa f ja f ei ole surjektio. 9

20 Esimerkki 4.8. Tarkastellaan funktiota f : [0,3] R, f(x) = x +x. Onko se injektio? Otetaan kaksi lukua a ja a väliltä [0,3] ja laitetaan ne kuvautumaan samaksi luvuksi. Jos osoittautuu, että lukujen a ja a on pakko olla samoja, niin f on silloin injektio. f(a ) = f(a ) a +a = a +a a a = a a (a +a )(a a ) = (a a ) a +a = tai a a = 0 0 a,a 3 a = a. Yllä saatiin yhtälön molemmille puolille sama tekijä a a. Kun se jaetaan pois kummaltakin puolelta, jäljelle jää a + a =. Pitää kuitenkin muistaa se mahdollisuus, että a a voi olla myös nolla, sillä silloinhan yhtälön molemmat puolet ovat nollia ja sellainen yhtälö pitää paikkansa. Siitä saadaan siis toinen tai-vaihtoehto. Seuraavaksi muistettiin, että a ja a ovat välillä [0,3], joten niiden summa ei voi millään olla negatiivinen -. Ainoaksi vaihtoehdoksi jää siten, että a on a. Siispä f on injektio. Samoin kuin edellisessä esimerkissä nähdään, että funktio ei ole surjektio, sillä esimerkiksi luvulla - ei ole alkukuvaa. Esimerkki 4.9. Onko funktio f : [0,3] [,0], f(x) = x +, surjektio? Kysytään siis, onko jokaisella maalijoukon alkiolla alkukuva lähtöjoukossa? Onko siis jokaisella välin [,0] luvulla b jokin välillä [0,3] oleva luku a, joka kuvautuu b:ksi? Merkitään f(a) = b, missä b 0, ja yritetään ratkaista tästä a. Jos ratkaisu on olemassa (ja vielä oikealla välillä) riippumatta b:n arvosta, f on surjektio. f(a) = b a + = b a = b a = ± b. Neliöjuuri voidaan ottaa, jos b. Näin on, sillä b:nhän oletettiin kuuluvan väliin [, 0]. Entä onko a positiivinen tai negatiivinen? Tässä valitaan positiivinen a, sillä a:n pitää olla välillä [0,3]. Onko sitten a todella välillä [0,3], jos b on välillä [,0]? On, sillä b 0 a a 9 (a 0) 0 a 3. Siten a löydetään oikealta väliltä jokaista b:tä kohti, joten f on surjektio. Jos funktio on injektio ja surjektio, se on bijektio. Funktiolla f : A B on olemassa käänteisfunktio, jos f on bijektio. Käänteiskuvausta merkitään f :llä, ja se on f : B A. Lisäksi pätee f(x) = y f (y) = x. 0

21 Esimerkki 4.0. Olkoot A = {,,3} ja B = {7,8,9}, ja f : A B funktio, jonka sääntö on f() = 8, f() = 9, f(3) = 7. Tämä f on injektio, koska eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, ja surjektio, koska maalijoukon B kaikilla alkioilla on alkukuvat. Siten funktiolla f on käänteisfunktio f : B A, ja sen sääntö on f (7) = 3, f (8) =, f (9) =. A f B B f A Kuva 6: funktio ja sen käänteiskuvaus Esimerkki 4.. Etsi funktion f : R R, f(x) = 3x 5, käänteisfunktio. Tarkistetaan ensin, että f on bijektio. Olkoot x ja x R. f(x ) = f(x ) 3x 5 = 3x 5 3x = 3x x = x. Siten f on injektio. Merkitään surjektiivisuuden tarkistusta varten f(x) = y, missä x, y R. 3x 5 = y 3x = y +5 x = y Jokaistay:tä kohti on siis olemassa sopivax, jonkaf kuvaay:ksi, jaf on surjektio. Käänteisfunktio f : R R, on siis olemassa, ja sen sääntö saadaan surjektiivisuuslaskusta vaihtamalla y:n tilalle x: f (x) = x Funktion kuvaaja Jos funktion f : A B määrittelyjoukko A ja maalijoukko B ovat reaalilukuvälejä (tai koko R) tai niiden unioneja, niin funktiota f sanotaan reaalifunktioksi. Tällaisen funktion kuvaaja piirretään xy-tasoon. Pistepari (x, y) kuuluu kuvaajaan, jos y = f(x). Kun nämä pisteparit merkitään xy-tasoon, saadaan käyrä, joka on funktion f kuvaaja. Funktion f kuvaaja eli graafi on siis pisteparien joukko {(x,y) y = f(x)}.

22 Esimerkki 4.. Funktion f : A B, missä A = {,,3,4,5} ja B = {,}, ja f() =, f() =, f(3) =, f(4) =, f(5) =, kuvaaja on joukko {(,), (,), (3,), (4,), (5,)}. Se on piirretty kuvaan Kuva 7: esimerkin 4. funktion kuvaaja Esimerkin 4.7 funktion f : R R, f(x) = x 3x +, kuvaaja on ääretön ja jatkuu loputtomasti ylöspäin, joten sitä ei voi piirtää kokonaan näkyviin. Sen sijaan esimerkin 4.8 funktion f : [0,3] R, f(x) = x + x, kuvaaja on esitetty kokonaan kuvassa y x x 3 4 Kuva 8: esimerkin 4.7 ja esimerkin 4.8 kuvaajat Funktion f kuvaajan avulla on helppo hahmotella funktion käänteisfunktion f kuvaaja. Jos f(x) = y, niin f (y) = x käänteisfunktion määritelmän mukaan. Koska funktiot kuitenkin halutaan ilmoittaa yleensä x:n funktiona, kaavassa f (y) = x

23 vaihdetaan x:n ja y:n paikka. Tämä näkyy myös funktioiden kuvaajissa. Kun xy-tason akselien paikka vaihdetaan, alkuperäinen käyrä kääntyy nurin, itse asiassa se peilautuu x- ja y-akselien välistä kulkevan suoran suhteen. Täysin keskellä x- ja y-akselia on suora y = x. Siten funktion f ja käänteisfunktion f kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen. Esimerkki 4.3. Jatketaan esimerkkiä 4.9, jossa f : [0,3] [,0], f(x) = x +, todettiin surjektioksi. Se on myös injektio, sillä jos 0 x, x 3, niin f(x ) = f(x ) x + = x + x = x x = x, sillä x ja x eivät ole negatiivisia. Siispä funktiolla f on käänteisfunktio f : [,0] [0,3]. Funktioiden f ja f kuvaajat ovat kuvassa y x Kuva 9: esimerkin 4.9 funktion f : [0,3] [,0], f(x) = x + (vasemmalla) ja sen käänteisfunktion kuvaaja (oikealla) ja suoran y = x kuvaaja 4.4 Yhdistetty funktio Hyödyllisiä funktioita vanhoista funktioista saadaan yhdistämällä. Jos f : A B ja g : B C ovat funktioita, niiden yhdiste eli yhdistetty funktio on funktio g f : A C, jonka sääntö saadaan funktioiden f ja g säännöistä: (g f)(x) = g(f(x)). Tässä g f luetaan "g pallo f". Huomaa, että funktiot f ja g voidaan yhdistää vain, jos funktion f maalijoukko B on sama kuin funktion g määrittelyjoukko B. Jos näin 3

24 ei ole ja yhdistettä tarvittaisiin, on usein mahdollista muokata ensin funktioita f ja g jättämällä sopivia arvoja funktion f määrittelyjoukosta A pois. Huomaa myös, että joukot A ja B voivat joskus olla niin erilaiset, että funktiolle f eivät kelpaa joukon B alkiot syötteiksi eikä funktiolle g joukon A arvot. Täten on huolehdittava jokaisen funktion "ruokavaliosta". A f B g C A g f C Kuva 0: funktioiden f ja g yhdiste g f Esimerkki 4.4. Kuvassa 0 on yhdistetty funktio f : {,,3} {4,5,6} ja g : {4,5,6} {7,8} funktioksi g f : {,,3} {7,8}, jossa (g f)() = g(f()) = g(5) = 7, (g f)() = g(f()) = g(4) = 8, (g f)(3) = g(f(3)) = g(5) = 7. Esimerkki 4.5. Yhdistetään funktiot f : R R, f(x) = x, ja g : R R, g(x) = x +. Yhdiste on funktio g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = x +. Funktiot voidaan tässä tapauksessa yhdistää myös niin, että f onkin ulkofunktiona. Silloin yhdiste on f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+) = (x+). 5 Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f(x) käyttäytymistä, kun x vaihtelee. Joillakin funktioilla f(x) muuttuu vain vähän, kun x muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f(x) hyppää tai vaihtelee arvaamattomasti, kun x muuttuu vähän. Esimerkki 5.. Olkoon f : R R, f(x) = x +3x+. Kun x lähestyy lukua 0, niin x 0, 0, ,0-0, - näyttää siltä, että f(x) lähestyy lukua. f(x) 6,3,03...,97,7 0 Kun x on täsmälleen 0, niin f(x) onf(0) =. Funktio käyttäytyy siten aivan odotetusti. Esimerkki 5.. Olkoon f : R\{} R, f(x) = x 4 x. 4

25 Funktiota ei ole määritelty, kun x =, mutta se on määritelty aina, kun x on erittäin lähellä arvoa, mutta x. Mitä tapahtuu, kun x lähestyy :sta sen kummaltakin x,9,99...,0, 3 puolelta? Näyttää siltä, että f(x) lähestyy f(x) 3 3,9 3, ,0 4, 5 arvoa 4, kun x lähestyy :sta. Mistä tämä johtuu? Selitys on siinä, että f(x):n arvoa voidaan yksinkertaistaa: f(x) = x 4 x = (x )(x+) x = x+. Sitenf on melkein sama funktio kuin g : R R,g(x) = x+, paitsi ettäg on määritelty kaikkialla, kun taas f ei ole määritelty pisteessä x =. Siksi kun x lähestyy arvoa, f(x) seuraa funktiota g(x) ja lähestyy arvoa g() = + = Kuva : esimerkin 5. funktion kuvaaja 5. Raja-arvon määritelmä Kun f(x) lähestyy arvoa A, kun x lähestyy arvoa a (vaikkei ehkä ikinä saavuta sitä), merkitään lim x a f(x) = A ja sanotaan, että A on funktion f raja-arvo pisteessä x = a. Voidaan myös merkitä f(x) x a A, joka on kätevämpi pitkissä ketjuissa, kun lim-sanaa ei tarvitse toistaa. Vaikka edellisissä esimerkeissä raja-arvoa on etsitty laskimen avulla, siihen ei kannata sokeasti luottaa vaan käyttää matemaattista järkeilyä. Esimerkki 5.3. Olkoon f : R R, f(x) = x sinx. 00 Lasketaan joitakin funktion arvoja, kun x lähestyy nollaa, tällä kertaa vain oikealta puolelta, vaikka hyvin olisi voitu myös laskea arvot vasemmalta puolelta. 5

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 2. Opettajan aineisto. Polynomifunktiot MAA2. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Polynomifunktiot MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Toimittaja: Sanna Mäkitalo Taitto: Tekijät. painos Painovuosi

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot