Matematiikan pohjatietokurssi. Eija Jurvanen

Transkriptio

1 Matematiikan pohjatietokurssi Eija Jurvanen 03

2

3 Sisältö Polynomit Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kokonaislukujen jakolasku Polynomien jakaminen jakokulmassa Murtoluvut ja murtolausekkeet Funktio Funktion määritelmä Käänteisfunktio Funktion kuvaaja Yhdistetty funktio Raja-arvo Raja-arvon määritelmä Raja-arvojen yhdistäminen Äärettömyyteen kasvavan funktion raja-arvo Raja-arvo äärettömässä Derivaatta Käyrän tangentti Derivaatta funktiona Derivaatan yhtäpitävät kaavat Derivointisääntöjä Trigonometristen funktioiden derivointi Yhdistetyn funktion derivointi Integrointi Määräämätön integraali Integrointikaavoja Yhdistetyn funktion integrointi Osittaisintegrointi Murtofunktion integrointi Määrätty integraali Lukujonot ja sarjat Lukujonot Sarjat Kirjallisuutta ja nettiosoitteita

4 Lukiomatematiikan hallinta perustuu jo ennen lukiota luettujen perusasioiden hallintaan, joten niitä on esitetty tässäkin. Monisteesta puuttuvia asioita voi kerrata esimerkiksi Timo Neuvosen monisteesta Matematiikan peruskurssi A. Polynomit Polynomissa a n x n +a n x n + +a x +a x+a 0 luvut a n, a n,..., a, a ja a 0 ovat polynomin kertoimet ja x on muuttuja, jonka paikalle voi sijoittaa lukuja. Mitkä tahansa kertoimista a n,..., a 0 voivat olla nolliakin. Lukuja a n x n,..., a x, a 0 sanotaan termeiksi ja termin a i x i eksponenttia i termin asteeksi. Polynomin korkeimman asteen termin astetta sanotaan polynomin asteeksi. Siten jos a n ei ole nolla, niin polynomin a n x n + a n x n + +a x + a x + a 0 aste on n. Polynomeja merkitään lausekkeilla p(x), q(x),... Tähän kirjoitetaan x näkyviin korostamaan muuttujan nimeä tarvittaessa. Esimerkki.. Polynomin x 5 4x 3 +x+7 aste on 5. Polynomit lasketaan yhteen termeittäin, samanasteisten termien kertoimet lasketaan yhteen. Polynomi kerrotaan luvulla kertomalla jokainen termi luvulla erikseen. Esimerkki.. (3x 5 +x 3 x+)+(x 5 x 4 +3x 7) = 4x 5 x 4 +x 3 +x 5 (3x 5 +x 3 x+) (x 5 x 4 +3x 7) = x 5 +x 4 +x 3 4x+9 4(3x 5 +x 3 x+) = x 5 +8x 3 4x+8 Polynomit p(x) ja q(x) kerrotaan siten, että polynomin p(x) jokaisella termillä kerrotaan polynomin q(x) termit ja saadut uudet termit lasketaan yhteen. Esimerkki.3. (x +)(x 3 +3x 5) = x (x 3 +3x 5)+(x 3 +3x 5) = (x x 3 +x 3x x 5)+(x 3 + 3x 5) = (x 5 +3x 4 5x )+(x 3 +6x 0) = x 5 +3x 4 +x 3 +x 0 Sama voidaan tehdä myös allekkain. x 3 + 3x - 5 x + x 3 + 6x - 0 x 5 + 3x 4-5x x 5 + 3x 4 + x 3 + x - 0 Muuttujan x paikalle voidaan sijoittaa mikä tahansa luku a, jolloin saadaan polynomin arvo kohdassa tai pisteessä a. Tätä arvoa merkitään p(a):lla. 4

5 Esimerkki.4. Polynomiin p(x) = x 3 6x +5x+ sijoitetaan ja 4: p() = = = 6 p(4) = = = 0 Jos polynomin p(x) arvo pisteessä a on nolla eli p(a) = 0, niin a:ta sanotaan polynomin p(x) nollakohdaksi. Esimerkki.5. Edellisen esimerkin polynomilla on siis nollakohta 4. Myös 3 ja - ovat sen nollakohtia: p(3) = = = 0 p( ) = ( ) 3 6 ( ) +5 ( )+ = 6 5+ = 0 Enempää nollakohtia esimerkin polynomilla ei olekaan. Nimittäin polynomilla voi olla vain sen asteen verran eri nollakohtia. Lause.6. n-asteisella polynomilla on enintään n eri nollakohtaa. Jos a on polynomin nollakohta, polynomi voidaan jakaa tasan polynomilla x a. Jos esimerkiksi 3-asteisen polynomin nollakohdat ovat a, b ja c, sen tekijät ovat x a, x b ja x c. Silloin voidaan kirjoittaa a 3 x 3 +a x +a x+a 0 = a 3 (x a)(x b)(x c). Huomaa, että kun tosiaan sijoitetaan polynomiin a 3 (x a)(x b)(x c) jokin arvoista a, b tai c, saadaan nolla. Esimerkki.7. Edellisen esimerkin polynomi p(x) = x 3 6x + 5x + voidaan kirjoittaa muodossa x 3 6x +5x+ = (x 4)(x 3)(x+). Toisaalta jos polynomilla p(x) on tekijä x a, niin silloin p(x) = (x a)q(x), jossa q(x) on jokin toinen polynomi. (Se on myös polynomin p(x) tekijä.) Silloin p(x):llä on nollakohta a, sillä p(a) = (a a)q(a) = 0. Lause.8. Jos a on polynomin p(x) nollakohta, niin x a on polynomin p(x) tekijä. Jos x a on polynomin p(x) tekijä, niin a on polynomin p(x) nollakohta. Jakokulman käyttö luvuilla ja polynomeilla Kerrataan tässä vaiheessa jakokulman käyttö vaiheittain, joka on saattanut unohtua laskimia käytettäessä. Muita kurssin käsittelemiä aiheita voi kerrata eri kirjoista, monisteista ja nettisivuista, joita on lueteltu tämän vihkosen lopussa. 5

6 . Kokonaislukujen jakolasku Seuraava esimerkki näyttää, miten kokonaislukujen jakolasku toimii. Samalla tavoin tehdään myös polynomien jakolasku, joten tämä algoritmi kannattaa opetella Tulokseksi saadaan 3407 = Algoritmin askelmat ovat seuraavat: Alkutilanteessa jakaja on kirjoitettu jakokulman vasemmalle puolelle ja jaettava oikealle Jaettavan alussa on 3, se on liian pieni, mutta 34:ään mahtuu 3 kertaa Kerrotaan kolmella ja vähennetään 33 34:stä. Saadaan Lainataan jaettavasta. Saadaan menee yhden kerran :een Vähennetään :sta 6

7 ja saadaan Lainataan jaettavasta 0. Saadaan ei mene 0:een kokonaisena, vaan 0 kertaa (Vähennetään 0.) Lainataan jaettavasta vielä menee 07:ään 9 kertaa Vähennetään 07:stä 99. 7

8 Saadaan 8. Enempää ei voida lainata jaettavasta, jako päättyy Tuloksena on vaillinainen osamäärä 309 ja jakojäännös = Jos halutaan tulos reaalilukuna, jakolaskua jatketaan samoin desimaalien selville saamiseksi. Desimaalipilkku vain lisätään tässä vaiheessa.. Polynomien jakaminen jakokulmassa Polynomien jakolasku toimii samalla menetelmällä kuin lukujenkin jakolasku. Jaetaan esimerkkinä polynomi p(x) = 3x 4 +4x 3 x +7 polynomilla q(x) = x+. Polynomin p aste on 4 ja polynomin q, joten tulos on polynomi astetta 3. Polynomien jakolaskua tarvitaan esimerkiksi integroitaessa. Jakokulma alustetaan kuten luvuilla. Järjestä termit asteen mukaan kummassakin polynomissa. x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Katsotaan jaettavan korkeimman asteen termiä 3x 4. Nyt jakajan termi x on kerrottava 3x 3 :lla, jotta termi 3x 4 saadaan kumottua pois. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 Kerrotaan koko jakaja x+ 3x 3 :lla, jolloin saadaan 3x 4 +6x 3. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 Vähennetään 3x 4 +6x 3 jaettavasta. 8

9 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 Jäljelle jää x 3 ja alemman asteen termejä, joista korkeinta astetta on x. 3x 3 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Termin x 3 kumoamiseksi jakaja on kerrottava x :lla. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x Tulo on x 3 4x, 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta. 3x 3 - x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Erotus on x ( 4x ) = 3x ja alemman asteen termejä. 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x Kerrotaan jakaja vielä 3x:llä, saadaan 3x +6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x ja vähennetään se jäljellä olevasta jaettavasta. 9

10 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Saadaan 6x x 3x + 6x - 6x 3x 3 - x + 3x x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x Kerrotaan jakaja 6:lla, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x saadaan 6x, 3x 3x + 6x - 6x + 7 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - joka vähennetään jäljellä olevasta jaettavasta 6x+7. 0

11 3x 3 - x + 3x - 6 x + 3x 4 + 4x 3 - x + 7 3x 4 + 6x 3 - x 3 - x - x 3-4x 3x 3x + 6x - 6x + 7-6x - 9 Saadaan erotukseksi 9. Jakolasku loppuu tähän, sillä erotuksen aste, 0, on pienempi kuin jakajan aste,. Millään polynomilla kertomalla ei kuitenkaan saada x + :sta lukua 9. Jakojäännös on siis 9, vaillinainen osamäärä on 3x 3 x +3x 6. Siis 3x 4 +4x 3 x +7 x+ = 3x 3 x +3x 6+ 9 x+. 3 Murtoluvut ja murtolausekkeet Murtoluvut. Murtoluvussa a b luvut a jabovat kokonaislukuja 0,±,±,...jabei saa olla 0, koska nollalla ei saa jakaa. Tässä lukua a kutsutaan osoittajaksi (numerator) ja lukua b nimittäjäksi (denominator). Murtoluvut on ensin muutettava samannimisiksi, ennen kuin ne voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Se tehdään kertomalla sekä osoittaja että nimittäjä samalla kokonaisluvulla, joka ei tietenkään voi olla nolla, jottei nollalla jakoa syntyisi. Tässä operaatiossa murtoluvun arvo ei muutu, joten yhtäsuuruus-merkkiä voidaan käyttää. Operaatiota sanotaan laventamiseksi. a b = ac, kun c 0. bc Tämän jälkeen samannimiset (tarkoittaa, että nimittäjä on kummallakin murtoluvulla sama) voidaan laskea yhteen: ac bc + d bc = ac+d. bc Osoittajat lasketaan yhteen ja nimittäjä pysyy koko ajan samana. Esimerkki = = +5 3 = Edellä tehtiin luvut /3 ja 5/ samannimisiksi laventamalla ensimmäinen luku :lla ja toinen luku 3:lla.

12 Esimerkki = = 3 7 =. Tässä ei tarvinnut laventaa 6:lla ja 4:llä, sillä 3:lla ja :lla laventaminen riitti tekemään luvuista samannimiset. Tämä johtui siitä, että 4:llä ja 6:lla on yhteinen tekijä:. Kun murtoluvut kerrotaan keskenään, niitä ei tarvitse tehdä samannimisiksi. Uusi osoittaja saadaan kertomalla kerrottavien osoittajat keskenään ja uusi nimittäjä kertomalla nimittäjät keskenään. a b c d = ac bd. Esimerkki 3.3. Lopussa on supistettu :lla = 8 50 = 4 75 Murtoluku jaetaan toisella siten, että jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla. / a c b d = a b d c = ad bc. Esimerkki 3.4. / = = = 7 = 3. Jakolaskun tulos on ensin supistettu :lla ja sitten 7:llä. Murtoluku korotetaan potenssiin korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä erikseen. ( a b) c = a c b c. Esimerkki 3.5. ( ) 5 = = 5 43 Murtolausekkeet. Murtolausekkeita käsitellään täsmälleen samoilla tavoilla. Murtolausekkeessa p(x) q(x) sekä osoittaja p(x) että nimittäjä q(x) ovat polynomeja. Murtolausekkeen arvo ei ole määritelty niillä x:n arvoilla, joilla q(x) on nolla. Yleisemmässä tapauksessa osoittaja ja nimittäjä voivat olla mitä tahansa lausekkeita. Esimerkki 3.6. Lasketaan yhteen /(x + ) ja x/(x ). Nämä ovat murtolausekkeita ja ne on tehtävä samannimisiksi ensin. Ensimmäinen lauseke lavennetaan x :llä ja toinen x+:llä. Huomaa, että (x+)(x ) = x x+x = x.

13 Tämän jälkeen molemmissa nimittäjissä on sama lauseke x. Nyt osoittajat voidaan laskea yhteen. Esimerkki 3.7. x+ + x x = x (x+)(x ) + x(x+) (x )(x+) = x x + x +x x = (x )+(x +x) x x+ x x = x (x+)(x ) = x x = x +x x Esimerkki 3.8. / x x x x+ = x x x+ = x(x+) x (x )x = x+ x = x+ (x+)(x ) = x Tässä kerrotaan jaettava jakajan x/(x + ) käänteisluvulla (x + )/x. Sen jälkeen supistetaan x:llä ja vielä lopuksi huomataan, että voidaan supistaa x+:llä. Supistaminen. Laventamisen vastakohta on supistaminen. Murtoluku on supistetussa muodossa, kun osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä. Esimerkki = = = 0 Tässä yhteisiä tekijöitä on ja 3, joita kumpiakin voidaan supistaa yhdet kappaleet. Murtolausekkeen polynomit on jaettava tekijöihin, että saadaan selville, onko osoittajalla ja nimittäjällä yhteisiä tekijöitä, jotka voidaan supistaa. Esimerkki 3.0. x x+ x 3x+ = (x ) (x )(x ) = x x Kun polynomit jaetaan tekijöihin, toisen asteen polynomeihin voi käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Sillä saadaan ensin selville polynomin ax +bx+c nollakohdat r ja s, jolloin polynomi voidaan jakaa tekijöihin. Siis r ja s ovat jolloin on voimassa yhtäsuuruus b± b 4ac, a ax +bx+c = (x r)(x s). 3

14 Esimerkki 3.. Jaetaan polynomi x +x 35 tekijöihin. Saadaan nollakohdiksi ± 4 ( 35) = ± 44 = ± = ±6, joten r = 5 ja s = 7. (Tässä ei ole väliä, kummin päin r ja s ovat.) Siten x +x 35 = (x 5)(x ( 7)) = (x 5)(x+7). Toisen asteen polynomin hajottaa tekijöihin joskus myös arvaamalla nollakohdat. Esimerkki 3.. Tarkastellaan uudestaan polynomia x +x 35. Annetaan sille nimi p(x). Vakiotermi on 35, jonka voi hajottaa tekijöihin ±5 ja ±7: 35 = ( ) 5 7. Kokeillaan sijoittaa näistä 5 x:n paikalle polynomiin p(x): p(5) = = = 0. Koska siis p(5) = 0, niin polynomin toinen tekijä on x 5. (Jos sijoitetaan 7, saadaan p(7) = = = 8, joka ei ole nolla. Tästä ei voi päätellä mitään.) Jaetaan p(x) tekijällä x 5, jolloin saadaan toinen tekijä x + 7. Toisena vaihtoehtona voidaan arvata toinen tekijä esimerkiksi näin: kirjoitetaan x +x 35 = (x 5)(x a) = x ax 5x+5a = x +( a 5)x+5a, josta nähdään, että termien x ja ( a 5)x pitäisi olla samat ja termien 35 ja 5a pitäisi olla samat, joten a:n täytyy olla 7. Joka tapauksessa tulokseksi saadaan x +x 35 = (x 5)(x+7). Mistä tietää, ettei polynomeja voi enempää supistaa? Esimerkki 3.3. Merkitään p(x) = x 3 +x x ja q(x) = x 3 x x ja halutaan supistaa p(x)/q(x) eli x 3 +x x x 3 x x. Tässä osoittaja p(x) ja nimittäjä q(x) ovat molemmat kolmannen asteen polynomeja, joilla kyllä on ratkaisukaava, mutta sitä ei yleensä käytetä monimutkaisuutensa vuoksi. Nimittäjästä puuttuu vakiotermi (jokaisessa yhteenlaskettavassa on x:ää), joten siinä on yhtenä tekijänä x: x 3 x x = x(x x ). Tämä jälkeen hajotetaan toisen asteen polynomi x x tekijöihin esimerkin 3. tai 3. mukaan. Saadaan x x = (x )(x+). Siten nimittäjä on x 3 x x = x(x )(x+). Nyt voidaan myös osoittaja jakaa tekijöihin. Voidaan päästä myös vähemmällä, meidän tarvitsee tietää vain, onko osoittajalla samoja tekijöitä kuin nimittäjällä ja mitkä ne 4

15 tekijät ovat. Tämä voidaankin tehdä testaamalla, ovatko nimittäjän nollakohdat osoittajan nollakohtia. Nimittäjän x 3 x x nollakohdat ovat tekijöihinjaon perusteella 0, ja. Sijoitetaan nämä osoittajaan x 3 +x x ja katsotaan, tuleeko lausekkeen arvoksi nolla. Osoittajan nimihän oli p(x). p(0) = = p() = 3 + = 8+8 = p( ) = ( ) 3 + ( ) ( ) = ++ = 0. Nyt tiedetään, että koska p(0) 0, niin x 0 eli x ei ole polynomin p(x) tekijä. Samoin myöskään x ei ole p(x):n tekijä. Mutta koska p( ) = 0, tarkoittaa tämä, että on polynomin p(x) nollakohta ja x+ polynomin p(x) tekijä. Seuraavaksi jaetaan p(x) polynomilla x+. x + x - x + x 3 + x - x - x 3 + x x - x x + x - x - - x - Täten x 3 +x x = (x+)(x +x ) ja voidaan supistaa murtolausekkeesta x + : x 3 +x x x 3 x x = (x+)(x +x ) x(x )(x+) = x +x x(x ). Enempää ei todellakaan voi supistaa, sillä nimittäjän nollakohdat 0 ja eivät ole osoittajan nollakohtia. 4 Funktio 4. Funktion määritelmä Funktio, toiselta nimeltä kuvaus, tarkoittaa sääntöä, joka yhdistää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon yhden maalijoukon alkion. Funktiossa on siis aina kolme osaa: määrittelyjoukko A, maalijoukko B ja itse sääntö. Säännön voi ilmoittaa aina jollakin sopivalla tavalla, kunhan siitä aina ilmenee, mikä alkio yhdistetään mihin alkioon. Funktiota merkitään seuraavasti f : A B. Tässä f on funktion nimi, A on määrittelyjoukko ja B maalijoukko. Joukkoa A sanotaan myös lähtöjoukoksi. 5

16 Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin funktion f : A B sääntö voidaan ilmoittaa yksinkertaisesti luettelemalla, mikä joukon A luvuista kuvautuu mihinkin B-joukon lukuun: f() = 8, f() = 7, f(3) = 8. A f B Kuva : funktio joukolta A joukkoon B Huomaa, että vaikka määrittelyjoukolla ja maalijoukolla on yhtä monta alkiota, silti B-joukossa voi olla lukuja, joihin mikään A-joukon luku ei kuvaudu. Jos f : A B on funktio ja a on joukon A alkio ja b joukon B alkio ja jos f yhdistää a:n b:hen, niin sanotaan, että f kuvaa a:n b:ksi ja b on a:n kuva. Silloin merkitään f(a) = b. Myös sanotaan, että a on b:n alkukuva. Edellisessä esimerkissä f kuvaa :n 8:ksi ja siten 8 on :n kuva. Luvulla 8 on kaksi alkukuvaa: ja 3. Sen sijaan millään alkiolla ei voi olla kahta kuvaa. Jos näin olisi, niin f ei ole funktio, sen siis kieltää funktion määritelmä. Myös jokaisella määrittelyjoukon alkiolla on oltava kuva; jos näin ei ole, taaskaan f ei ole funktio, sen kieltää jälleen alussa mainittu funktion määritelmä. Esimerkki 4.. Jos A = {,,3} ja B = {7,8,9}, niin säännöstä f() = 8, f() = 9, f() = 7, f(3) = 8 ei saada funktiota f : A B, sillä :llä olisi nyt kaksi kuvaa: 8 ja 9, mikä on kiellettyä. Myöskään säännöstä f() = 8, f() = 7 ei saada funktiota f : A B, sillä 3:lla ei ole nyt kuvaa. Esimerkki 4.3. Olkoon A kaikkien turkulaisten joukko ja B joukko {0,,...,0}. Säännöstä f(x) on turkulaisen x ikä saadaan nyt funktio f : A B. Sen sijaan säännöstä f(x) on turkulaisen x sisaren ikä ei saada funktiota, sillä joillakin turkulaisilla saattaa olla useampi kuin yksi sisar. Säännöstä f(x) on turkulaisen x vanhimman sisaren ikä ei myöskään saada funktiota, sillä voi olla, että jollakin turkulaisella ei ole lainkaan sisaria. 6

17 A f B A f B Kuva : epäfunktioita joukolta A joukkoon B Tavallista on, että määrittelyjoukkona ja maalijoukkona on ääretön joukko, esimerkiksi R, joka sisältää kaikki reaaliluvut. Siksi funktioita ei pystytä ilmoittamaan luettelemalla. Esimerkki 4.4. Funktio f : R R, jonka sääntö on f(x) = x, kuvaa jokaisen reaaliluvun neliökseen. Vaikka negatiivisilla reaaliluvuilla ei ole alkukuvaa, f on täysin pätevästi määritelty funktio. Merkinnällä N tarkoitetaan kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoa: N = {0,,,...}. Seuraava esimerkki kuvaa tavallaan algoritmista funktion määrittelyä. Esimerkki 4.5. Funktio f : N N kuvaa luvun x seuraavasti. Lausutaan x suomen kielellä ja lasketaan kirjaimien määrä. Esimerkiksi f(0) = 5, f() = 4, f() = 5,,..., f(0) = 4,..., sillä esimerkiksi 0 on kaksisataayksi. Esimerkki 4.6. Halutaan määritellä funktio f : R R, jossa sääntönä olisi f(x) = x. Miksi näin ei voi tehdä? Siksi että nolla on reaaliluku, joka kuuluu f:n määrittelyjoukkoon R, mutta sääntö ei ilmoita, miten nolla pitää kuvata. Korjaustapoja on kaksi: Määrittelyjoukosta voi jättää nollan pois. Silloin merkitään f : R\{0} R, f(x) = x. Tässä R\{0} on joukko, jossa on kaikki muut reaaliluvut paitsi nolla. Toinen tapa on määritellä nollalle erikseen jokin kuva, esimerkiksi {, jos x 0, x f : R R, f(x) = 0, jos x = 0. 7

18 A f B B f? A Käänteisfunktio Kuva 3: nuolien kääntö funktiossa Tarkastellaan vielä esimerkin 4. funktiota joukolta A joukkoon B. Jos nuolet käännetään, saadaanko uusi funktio, nyt joukolta B joukkoon A? Kun ensin kuvautui 8:ksi, nyt 8 kuvautuu :ksi, jne. Ei saada, kahdesta syystä. Ensinnäkin luku 8 kuvautuu nyt kahteen lukuun, :een ja 3:een. Toiseksi lähtöjoukon luku 9 ei kuvaudu miksikään joukon B luvuksi, vaikka sen pitäisi. Jotta funktio f saataisiin käännetyksi, sen on täytettävä kaksi ehtoa: injektiivisyys ja surjektiivisuus. Injektiivisyys täyttyy, jos mihinkään maalijoukon alkioon ei kuvaudu kahta lähtöjoukon alkiota. Jos joukon B alkioon b alkioon kuvautuvat alkiot a ja a, niin silloin f(a ) = b ja f(a ) = b. Jos tällainen tilanne halutaan kieltää ja kuitenkin on voimassa f(a ) = f(a ), niin ainoa mahdollisuus on, että alkioiden a ja a pitää olla samat. Siten injektiivisyyden toteamiseksi näytetään matemaattinen seuraus f(a ) = f(a ) = a = a. Tämä tarkoittaa, että jos f(a ) = f(a ), niin sitten on oltava a = a, jotta f olisi injektio. Injektiivisyys voidaan ajatella myös toisin päin. Mitkään kaksi eri lähtöjoukon alkiota eivät saa kuvautua samaksi maalijoukon alkioksi. Siis jos a ja a ovat kaksi eri joukon A alkiota, niin f(a ) ei ole f(a ). Matemaattisesti a a = f(a ) f(a ). Siis jos a on eri kuin a, niin niiden kuvat f(a ) ja f(a ) ovat eri alkiot. Surjektiivisuus oli toinen ehto, joka oli täytettävä. Esimerkin 4. funktiota ei voinut kääntää, koska käännetty funktio ei tiennyt, mihin luku 9 kuvataan. Tämä johtui siitä, että funktio f ei kuvannut mitään joukon A luvuista 9:lle. On siis vaadittava, että maalijoukon kaikkiin alkioihin kuvautuu (ainakin) yksi lähtöjoukon alkio. Toisin sanoen jokaisella joukon B alkiolla b on oltava jokin joukon A sellainen alkio a, että b = f(a). Tämä merkitään matemaattisesti kvanttoreita käyttäen: ( b B)( a A) : b = f(a). 8

19 A f B a b a Kuva 4: epäinjektiivinen funktio Tässä on kaikki-kvanttori, joka luetaan kaikilla, ja on olemassaolo-kvanttori, joka luetaan on olemassa. Yllä oleva tarkoittaa siis, että kaikilla joukon B alkioilla b on olemassa sellainen joukon A alkio a, että b = f(a). A f B a b a b b 3 Kuva 5: epäsurjektiivinen funktio Esimerkki 4.7. Onko funktiof : R R, jossaf(x) = x 3x+, injektio tai surjektio? Lasketaan ensin f(x) = x 3x+ = (x )(x ). Tästä nähdään, että f() = 0 ja f() = 0. Koska nyt kaksi eri alkiota, ja, kuvautuvat samaksi alkioksi, f ei ole injektio. Entä onko f surjektio? Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, sillä termin x kerroin,, on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että negatiivisella y-akselilla on lukuja b, joilla ei ole olemassa sellaista x-akselin lukua a, että pari (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan. Jos (a,b) kuuluisi funktion f kuvaajaan, niin olisi f(a) = b. Siten jo kuvasta näemme, ettei f ole surjektio. Funktion f epäsurjektiivisuus voidaan näyttää myös matemaattisemmin. Näytetään, että maalijoukon alkiolla ei ole alkukuvaa. Merkitään f(a) =, ja etsitään a. f(a) = a 3a+ = a 3a+3 = 0 a = 3± ( 3) 4 3 a = 3± 3. Koska neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, niin a ei voi olla olemassa. Täten luvulla - ei ole alkukuvaa kuvauksessa f ja f ei ole surjektio. 9

20 Esimerkki 4.8. Tarkastellaan funktiota f : [0,3] R, f(x) = x +x. Onko se injektio? Otetaan kaksi lukua a ja a väliltä [0,3] ja laitetaan ne kuvautumaan samaksi luvuksi. Jos osoittautuu, että lukujen a ja a on pakko olla samoja, niin f on silloin injektio. f(a ) = f(a ) a +a = a +a a a = a a (a +a )(a a ) = (a a ) a +a = tai a a = 0 0 a,a 3 a = a. Yllä saatiin yhtälön molemmille puolille sama tekijä a a. Kun se jaetaan pois kummaltakin puolelta, jäljelle jää a + a =. Pitää kuitenkin muistaa se mahdollisuus, että a a voi olla myös nolla, sillä silloinhan yhtälön molemmat puolet ovat nollia ja sellainen yhtälö pitää paikkansa. Siitä saadaan siis toinen tai-vaihtoehto. Seuraavaksi muistettiin, että a ja a ovat välillä [0,3], joten niiden summa ei voi millään olla negatiivinen -. Ainoaksi vaihtoehdoksi jää siten, että a on a. Siispä f on injektio. Samoin kuin edellisessä esimerkissä nähdään, että funktio ei ole surjektio, sillä esimerkiksi luvulla - ei ole alkukuvaa. Esimerkki 4.9. Onko funktio f : [0,3] [,0], f(x) = x +, surjektio? Kysytään siis, onko jokaisella maalijoukon alkiolla alkukuva lähtöjoukossa? Onko siis jokaisella välin [,0] luvulla b jokin välillä [0,3] oleva luku a, joka kuvautuu b:ksi? Merkitään f(a) = b, missä b 0, ja yritetään ratkaista tästä a. Jos ratkaisu on olemassa (ja vielä oikealla välillä) riippumatta b:n arvosta, f on surjektio. f(a) = b a + = b a = b a = ± b. Neliöjuuri voidaan ottaa, jos b. Näin on, sillä b:nhän oletettiin kuuluvan väliin [, 0]. Entä onko a positiivinen tai negatiivinen? Tässä valitaan positiivinen a, sillä a:n pitää olla välillä [0,3]. Onko sitten a todella välillä [0,3], jos b on välillä [,0]? On, sillä b 0 a a 9 (a 0) 0 a 3. Siten a löydetään oikealta väliltä jokaista b:tä kohti, joten f on surjektio. Jos funktio on injektio ja surjektio, se on bijektio. Funktiolla f : A B on olemassa käänteisfunktio, jos f on bijektio. Käänteiskuvausta merkitään f :llä, ja se on f : B A. Lisäksi pätee f(x) = y f (y) = x. 0

21 Esimerkki 4.0. Olkoot A = {,,3} ja B = {7,8,9}, ja f : A B funktio, jonka sääntö on f() = 8, f() = 9, f(3) = 7. Tämä f on injektio, koska eri alkiot kuvautuvat eri alkioille, ja surjektio, koska maalijoukon B kaikilla alkioilla on alkukuvat. Siten funktiolla f on käänteisfunktio f : B A, ja sen sääntö on f (7) = 3, f (8) =, f (9) =. A f B B f A Kuva 6: funktio ja sen käänteiskuvaus Esimerkki 4.. Etsi funktion f : R R, f(x) = 3x 5, käänteisfunktio. Tarkistetaan ensin, että f on bijektio. Olkoot x ja x R. f(x ) = f(x ) 3x 5 = 3x 5 3x = 3x x = x. Siten f on injektio. Merkitään surjektiivisuuden tarkistusta varten f(x) = y, missä x, y R. 3x 5 = y 3x = y +5 x = y Jokaistay:tä kohti on siis olemassa sopivax, jonkaf kuvaay:ksi, jaf on surjektio. Käänteisfunktio f : R R, on siis olemassa, ja sen sääntö saadaan surjektiivisuuslaskusta vaihtamalla y:n tilalle x: f (x) = x Funktion kuvaaja Jos funktion f : A B määrittelyjoukko A ja maalijoukko B ovat reaalilukuvälejä (tai koko R) tai niiden unioneja, niin funktiota f sanotaan reaalifunktioksi. Tällaisen funktion kuvaaja piirretään xy-tasoon. Pistepari (x, y) kuuluu kuvaajaan, jos y = f(x). Kun nämä pisteparit merkitään xy-tasoon, saadaan käyrä, joka on funktion f kuvaaja. Funktion f kuvaaja eli graafi on siis pisteparien joukko {(x,y) y = f(x)}.

22 Esimerkki 4.. Funktion f : A B, missä A = {,,3,4,5} ja B = {,}, ja f() =, f() =, f(3) =, f(4) =, f(5) =, kuvaaja on joukko {(,), (,), (3,), (4,), (5,)}. Se on piirretty kuvaan Kuva 7: esimerkin 4. funktion kuvaaja Esimerkin 4.7 funktion f : R R, f(x) = x 3x +, kuvaaja on ääretön ja jatkuu loputtomasti ylöspäin, joten sitä ei voi piirtää kokonaan näkyviin. Sen sijaan esimerkin 4.8 funktion f : [0,3] R, f(x) = x + x, kuvaaja on esitetty kokonaan kuvassa y x x 3 4 Kuva 8: esimerkin 4.7 ja esimerkin 4.8 kuvaajat Funktion f kuvaajan avulla on helppo hahmotella funktion käänteisfunktion f kuvaaja. Jos f(x) = y, niin f (y) = x käänteisfunktion määritelmän mukaan. Koska funktiot kuitenkin halutaan ilmoittaa yleensä x:n funktiona, kaavassa f (y) = x

23 vaihdetaan x:n ja y:n paikka. Tämä näkyy myös funktioiden kuvaajissa. Kun xy-tason akselien paikka vaihdetaan, alkuperäinen käyrä kääntyy nurin, itse asiassa se peilautuu x- ja y-akselien välistä kulkevan suoran suhteen. Täysin keskellä x- ja y-akselia on suora y = x. Siten funktion f ja käänteisfunktion f kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen. Esimerkki 4.3. Jatketaan esimerkkiä 4.9, jossa f : [0,3] [,0], f(x) = x +, todettiin surjektioksi. Se on myös injektio, sillä jos 0 x, x 3, niin f(x ) = f(x ) x + = x + x = x x = x, sillä x ja x eivät ole negatiivisia. Siispä funktiolla f on käänteisfunktio f : [,0] [0,3]. Funktioiden f ja f kuvaajat ovat kuvassa y x Kuva 9: esimerkin 4.9 funktion f : [0,3] [,0], f(x) = x + (vasemmalla) ja sen käänteisfunktion kuvaaja (oikealla) ja suoran y = x kuvaaja 4.4 Yhdistetty funktio Hyödyllisiä funktioita vanhoista funktioista saadaan yhdistämällä. Jos f : A B ja g : B C ovat funktioita, niiden yhdiste eli yhdistetty funktio on funktio g f : A C, jonka sääntö saadaan funktioiden f ja g säännöistä: (g f)(x) = g(f(x)). Tässä g f luetaan "g pallo f". Huomaa, että funktiot f ja g voidaan yhdistää vain, jos funktion f maalijoukko B on sama kuin funktion g määrittelyjoukko B. Jos näin 3

24 ei ole ja yhdistettä tarvittaisiin, on usein mahdollista muokata ensin funktioita f ja g jättämällä sopivia arvoja funktion f määrittelyjoukosta A pois. Huomaa myös, että joukot A ja B voivat joskus olla niin erilaiset, että funktiolle f eivät kelpaa joukon B alkiot syötteiksi eikä funktiolle g joukon A arvot. Täten on huolehdittava jokaisen funktion "ruokavaliosta". A f B g C A g f C Kuva 0: funktioiden f ja g yhdiste g f Esimerkki 4.4. Kuvassa 0 on yhdistetty funktio f : {,,3} {4,5,6} ja g : {4,5,6} {7,8} funktioksi g f : {,,3} {7,8}, jossa (g f)() = g(f()) = g(5) = 7, (g f)() = g(f()) = g(4) = 8, (g f)(3) = g(f(3)) = g(5) = 7. Esimerkki 4.5. Yhdistetään funktiot f : R R, f(x) = x, ja g : R R, g(x) = x +. Yhdiste on funktio g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = x +. Funktiot voidaan tässä tapauksessa yhdistää myös niin, että f onkin ulkofunktiona. Silloin yhdiste on f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x+) = (x+). 5 Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f(x) käyttäytymistä, kun x vaihtelee. Joillakin funktioilla f(x) muuttuu vain vähän, kun x muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f(x) hyppää tai vaihtelee arvaamattomasti, kun x muuttuu vähän. Esimerkki 5.. Olkoon f : R R, f(x) = x +3x+. Kun x lähestyy lukua 0, niin x 0, 0, ,0-0, - näyttää siltä, että f(x) lähestyy lukua. f(x) 6,3,03...,97,7 0 Kun x on täsmälleen 0, niin f(x) onf(0) =. Funktio käyttäytyy siten aivan odotetusti. Esimerkki 5.. Olkoon f : R\{} R, f(x) = x 4 x. 4

25 Funktiota ei ole määritelty, kun x =, mutta se on määritelty aina, kun x on erittäin lähellä arvoa, mutta x. Mitä tapahtuu, kun x lähestyy :sta sen kummaltakin x,9,99...,0, 3 puolelta? Näyttää siltä, että f(x) lähestyy f(x) 3 3,9 3, ,0 4, 5 arvoa 4, kun x lähestyy :sta. Mistä tämä johtuu? Selitys on siinä, että f(x):n arvoa voidaan yksinkertaistaa: f(x) = x 4 x = (x )(x+) x = x+. Sitenf on melkein sama funktio kuin g : R R,g(x) = x+, paitsi ettäg on määritelty kaikkialla, kun taas f ei ole määritelty pisteessä x =. Siksi kun x lähestyy arvoa, f(x) seuraa funktiota g(x) ja lähestyy arvoa g() = + = Kuva : esimerkin 5. funktion kuvaaja 5. Raja-arvon määritelmä Kun f(x) lähestyy arvoa A, kun x lähestyy arvoa a (vaikkei ehkä ikinä saavuta sitä), merkitään lim x a f(x) = A ja sanotaan, että A on funktion f raja-arvo pisteessä x = a. Voidaan myös merkitä f(x) x a A, joka on kätevämpi pitkissä ketjuissa, kun lim-sanaa ei tarvitse toistaa. Vaikka edellisissä esimerkeissä raja-arvoa on etsitty laskimen avulla, siihen ei kannata sokeasti luottaa vaan käyttää matemaattista järkeilyä. Esimerkki 5.3. Olkoon f : R R, f(x) = x sinx. 00 Lasketaan joitakin funktion arvoja, kun x lähestyy nollaa, tällä kertaa vain oikealta puolelta, vaikka hyvin olisi voitu myös laskea arvot vasemmalta puolelta. 5