Ympäristötiedon keruu MAA-C2001

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ympäristötiedon keruu MAA-C2001"

Transkriptio

1 Ympäristötiedon keruu MAA-C2001 luento 5: Korkeudet, korkeusjärjestelmät, geopotentiaali ja geoidi Martin Vermeer / 51

2 Sisältö: Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus Painovoima, gravitaatio ja potentiaali Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus" Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000,... 2 / 51

3 Korkeus, geopotentiaali ja geoidi Korkeudet ilmaisevat pisteiden sijainnit Maan paikallisen painovoiman vektorin (vertikaalin eli luotiviivan) suuntaan, etäisyydet sopivasta vertauspinnasta, keskimerenpinnasta. Maan todellinen muoto on monimutkainen: sopiva vertauspinta on kaareva, jopa kumpuileva. Vertauspintaa kutsutaan geoidiksi: se on Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, sellainen pinta, jolla kaikilla pisteillä on sama geopotentiaali, Maan painovoimakentän potentiaali. Painovoiman suunta eli luotiviiva on kaikkialla kohtisuora sitä vastaan. Pisteen etäisyyttä tästä pinnasta, mitattuna luotiviivaa pitkin, kutsutaan sen ortometriseksi korkeudeksi. Näin ollen ortometrisella korkeudella on yksinkertainen geometrinen tulkinta, ja se on tietysti metrinen suure. 3 / 51

4 Ortometrinen korkeus Luotiviiva P Kuilu H Topograa Tunneli Merenpinta, geoidi Vertausellipsoidi Ortometriset korkeudet ovat metrisiä etäisyyksiä geoidista, eli siitä vesipinnasta, joka muodostuisi, jos merivesi pääsisi vapaasti liikkumaan topograan alla mielikuvituksellisen tunneliverkoston kautta. Ortometrista korkeutta voitaisiin siinä tapauksessa suoraan mitata luotiviivaa pitkin kuvatunlaisen kuilun kautta. 4 / 51

5 Eri korkeuden vertauspinnat ja korkeuskäsitteet 5 / 51

6 Suomen geoidi Suomen geoidimalli FIN2000 (data c Geodeettinen laitos). Yksikkö m Oct 20 13:27:28 6 / 51

7 Vaaituksen geometria, linjavaaitus Vaaituslatat Vaakasuora tähtäys t Vaaituskoje e H = t e 20 näkymä t 1 e 1 t2 e2 t n e n 7 / 51

8 Miten korkeusjärjestelmä luodaan Linjavaaituksen antamat korkeuserot H ei saa (suuremmilla alueilla) summata yhteen sellaisenaan. Ne on ensin muunnettava geopotentiaalieroiksi C : C = g H, missä g on paikallinen painovoima. Sen jälkeen pätee geopotentiaalieroille C = 0, sulj. silm. vaikka raa'oille korkeuseroille sulj. silm. H 0! B Toisin sanoen, kun korkeuserojen summa H riippuu valitusta matkasta A:sta B:hen eikä siis ole yksiselitteinen on taas potentiaalierojen B summa C riippumaton matkan valinnasta. Yksiselitteisenä A geopotentiaali sopii paremmin alueen korkeusjärjestelmän perusteeksi. A 8 / 51

9 Miten korkeusdatum luodaan Kuvittele hetkeksi ettei Helsinki vaan Turku olisi Suomen pääkaupunki, ja että Suomen korkeusjärjestelmän datum-pisteeksi olisi valittu merkki Tuomiokirkon seinällä. Silloin kaikki Turun lähistöllä olevat korkeuspisteet olisivat hyvin tarkkoja, mutta Helsingin alueen pisteet olisivat saman verran epätarkkoja kuin nykyjärjestelmässä ovat Turun pisteet: onhan vaaitus Turun ja Helsingin välillä jonkin verran epätarkka. Tarkkuus riippuu näkökohdasta, valitusta datumista. Vaihtoehtoisia korkeusdatumeita A ja B. 9 / 51

10 Datumin esimerkki: korkeusdatumi N60 (1) Graniittipaasi (pääkiintopiste), N60- datumin vertauspiste, Helsingin tähtitornin pihalla Kaivopuistossa. Siihen kaiverrettu korkeusarvo on 30,4652 m. Tämä on korkeus Katajanokan siltaan kiinnitetyn vesiasteikkon nollapisteen yläpuolella, mikä vuosina oli 109 mm keskimerenpinnan alapuolella. Ensimmäinen Suomen tarkkavaaitus käytti tätä lähtöpisteenään ja tuotti korkeusdatumin nimeltä NN. Toisessa tarkkavaaituksessa luotiin väliaikainen korkeusdatumi N43 samalla lähtöpisteellä. Rakkauden Silta 10 / 51

11 Korkeusdatumi N60 (2) Kuten kerrotaan julkaisussa [Kääriäinen, 1966] sivulla 49, N60 datumin määrityksessä otettiin tämän pääkiintopisteen korkeudeksi 30,51376 m. Tämä kiintopiste oli Suomen toisen tarkkavaaituksen lähtöpiste, josta levitettiin tämä korkeusjärjestelmä kaikkialle Suomessa sijaitseville kiintopisteille, näin tarjoten tarkkoja korkeuksia infrastruktuuri- ja yhdyskuntarakentamisen käyttöön kaikkialla Suomessa. Korkeuksia laskettaessa otettiin huomioon postglasiaalinen maannousu ja N60-datumin 'epookki' (määrittelyn ajanhetki) on / 51

12 Korkeusdatumi N2000 (1) Suomen kolmannen tarkavaatuksen valmistuttua perustettiin uusi korkeusdatumi epookilla Vanha epookki oli liian kauas menneesyydessä ja sen järjestelmän korkeudet eivät enää ollut Suomen tilanteessa realistisia: maannousu vaihtelee arvosta 4 mm /yr Helsingin seudulla arvoon 9 mm /yr Oulun lähistöllä. Neljänkymmenen vuoden aikana se tuotti 20 senttimetrin kallistus. Kuvassa ( c FGI) erotukset N N / 51

13 Korkeusdatumi N2000 (2) N.A.P. Lähtöpiste taas graniittipaasi, nyt Metsähovissa mihin korkeuslukema on kaiverrettu. Nyt nollataso on käsitteellisesti Amsterdamin eli N.A.P. (Normaal Amsterdams Peil) -datumi Ordnance_Datum Kuitenkaan Amsterdam ei ole enää merikaupunki N.A.P.:n toteutus erilainen Vaaitusmatka Suomi-Amsterdamhyvin pitkä, tarkkuus kärsi Merenpinta Helsingissä on n. 30 cm yli Amsterdamin merenpinta, johtuen meritopografasta (Liittyy Itämeren suolaisuusgradienttiin). 13 / 51

14 Vaaituskoje Putkitasain Jalkaruuvit Nostoruuvi Säätöruuvi Pystyakseli Kolmijalka Kaukoputki Mittaus- 14 / 51

15 Automaattivaaituskoje Kuvataso Kompensaattorin taso Objektiivi 2α α s s 15 / 51

16 Digitaalinen vaaituskoje (1) Digitaalivaaituskojeiden tuoma mittauksen automatisointi säästää kustannuksia. Mittaukset tallennetaan suoraan kojeen muistiin ja tarvittavat tarkistukset tehdaan heti. Digitaalivaaituskojeen kanssa käytetään viivakoodilatta: luetaan korkeusarvoja CCD-kameran ja prosessorijärjestelmän avulla. Kone varoittaa jos jos eteen ja taakse -etäisyydet eroavat toisistaan liikaa. 16 / 51

17 Digitaalinen vaaituskoje (2) Toisin kuin perinteinen vaaituslatta missä mittaus aina kohdistuu yhteen tai korkeintaan kahteen jaotuksen reunaan, käytetään digitaalilatasta aina kokonainen alue, 30 cm Zeiss DiGi12 -kojeen tapauksessa. Tästä on sekä etuja että haittoja / 51

18 Vaaituslattoja cm cm cm 5 cm Latta-asteikon jaotusvaihtoehtoja: E-jaotus, shakkilautajaotus, tarkkuuslatta, digijaotus (viivakoodi). Oikealla vaaitusmikrometri. 18 / 51

19 Vaaituslatat käyttötarkoituksen mukaan 19 / 51

20 Latanalustat (Nuija) Suojakappale Latta Kahva Vaaituksen eri latanalustat: kilpikonna, kiila, raidekenkä. 20 / 51

21 Itselaskeva latta eli pintavaaituslatta: jaotus kasvaa ylhäältä alas alapäässä aseteltava jalka, jota voidaan vetää ulos tunnetulla pisteellä, jotta saadaan oikea metrin osa-arvo näkyviin. Sen jälkeen lähdetään maastoon kartoittamaan pisteiden korkeuksia.,75,38 12,75 Tunnettu, taakse (t) 12,38 Uusi piste, eteen (e) 21 / 51

22 Pintavaaitus Ks. kuva. Pintavaaituksen tuloksia tarvitaan ja käytetään numeerisia korkeusmalleja (DTM, Digital Terrain Model) luotaessa paikallisesti ja korkealla erotuskyvyllä siirrettävien maamassojen laskemiseen. e e e e e e Koje e e e t t e Kiintopiste 22 / 51

23 Tekninen vaaitus (1) Asennusmittaus teollisuudessa ja rakennustyömailla. Tämä kuuluu insinöörigeodesian alaan. Ääritapaus: CERNin hiukkastörmäytin Genevessä, ympärysmitta 27 km, tarkkuus millimetrien luokkaa [Schrock, 2014] Paperikoneet, telakat Tierakentaminen, sillat, tunnelit jne. jne. 23 / 51

24 Tekninen vaaitus (2) Muodonmuutosten eli deformaatioiden mittaus Ääritapaus: postglasiaalinen maannousu Kaasun, öljyn tai juomaveden pumppaamisen aiheuttamat seuraukset, antropogeeni maan vajoaminen Patojen, vesialtaiden deformaatiot Vanhoja rakennuksia; Pisan torni jne. jne. 24 / 51

25 Proilien ja poikkileikkausten vaaitus Kiintopiste Linja, esim. tien linjaus Poikkileikkaus Poikkileikkaus Proili on maan pinnan pitkittäisleikkaus tietyn reitin mukaan, yleensä suunniteltua tietä, rautatietä tai vesiväylää pitkin. Poikkileikkaus on maan pinnan poikittaisleikkaus, kohtisuora linjaa vastaan. Taittokohdissa jaetaan kulma tasan. Tyypillinen pituus 2050 m. Tarkoitus on antaa tukea suunnittelutyölle ja mahdollistaa maansiirtovolyymien laskenta. 25 / 51

26 Lasertaso Lasertasot ovat kompensaattoristabiloituja laitteita joissa laservaloa heitetään pyörivän prisman kautta ympäristöön vaakatasoa muodostamaan. Kojeet ovat käteviä rakennustyömailla, joilla ne realisoivat vaakatasoa, jota käyttäjä voi saada näkyviin esim. kepin avulla. Mm. hiekan levittäminen tai seinän muuraaminen suoraksi helpottuu olennaisesti. Sopivalla (digitaali-)ilmaisimella varustettu latta antaa suoraan alla olevan pisteen korkeus. 26 / 51

27 Lisää geopotentiaalista Maaston korkeus h (x, y) korkeuskäyrillä kuvattuna ja korkeusgradientit (nuolet). Oikealla maaston perspektiivikuva. Kuvaan on piirretty nuolina korkeuskentän gradientti, vektorikenttä v (x, y) = h (x, y) i + x h (x, y) j. y Gradientti on aina kohtisuora korkeuskäyrää kohtaan, joka on samaa korkeusarvoa omaavien pisteiden joukko eli ekviarvokäyrä. Korkeuskentän h (x, y) tavalla voidaan kuvata myös geopotentiaalia W (x, y, z) kolmiulotteisessa avaruudessa, korkeuskäyrien eli ekvipotentiaalipintojen ja kolmiulotteisen gradientin avulla. 27 / 51

28 Geopotentiaalipöytä W (x, y, z) Tällaiset pöydät löytyvät monessa tiedekeskusksessa. Pöydän pinnan korkeus kuvaa Maan painovoimapotentiaalia, tosin vain kahdessa ulottuvuudessa. Nuolet kuvaavat taas geopotentiaalin gradienttia eli pöydän pinnan kaltevuutta. Geopotentiaalipöydällä lasikuulaa voidaan saada kiertämään maapallon ympäri elliptisessä Kepler-radassa, mikäli pinnan muoto on riittävän realistinen eli Newtonin painovoimakaavan mukainen. 28 / 51

29 Maan normaalipainovoimakenttä Vertausellipsoidi on normaalipainovoimakentän eräs ekvipotentiaalipinta, samalla tavalla kuin geoidi on todellisen painovoimakentän ekvipotentiaalipinta. 29 / 51

30 Painovoima potentiaalin gradienttina Painovoimavektori on geopotentiaalin W (x, y, z) gradientti 1 : g = W = gradw = W x i + W y j + W z k, jossa i, j, k ovat x,y ja z suuntaiset yksikkövektorit. Samalla tavalla on myös normaalipainovoimavektori γ = U = gradu = U x i + U y j + U z k, normaalipainovoimapotentiaalin U gradientti. 1 Symbolin nimi on nabla. 30 / 51

31 Häiriöpotentiaali Vähentämällä todellisesta painovoimapotentiaalista normaalipotentiaali saadaan häiriöpotentiaali: T W U. Normaalipainovoiman suuruutta merkitään symbolilla γ γ, samalla tavalla kuin todellisen painovoiman suuruus g g. Koska molemmat vektorit ovat melkein samansuuntaisia suoraan alaspäin voidaan myös kirjoittaa g = dw dh, γ = du dh. Normaalikentän painovoimaa voidaan eksaktisti laskea, jos on tiedossa pisteen P leveysaste ϕ P ja korkeus vertausellipsoidista h P : γ P = γ (ϕ P, h P ). Normaalipainovoima, kuten todellinenkin painovoima, vähenee nopeasti korkeuden mukaan. Vähennys on n. 0,3 mgal jokaista metriä kohti. Riippuvuus leveysasteesta on paljon heikompaa. 31 / 51

32 Tasopinnat ja luotiviivat Geopotentiaalikenttä Normaalipotentiaali Ekvipotentiaalipinta Voimaviiva (luotiviiva) Vertausellipsoidi Geoidi 32 / 51

33 Todellisen ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat W P = U Q U P U Q W 0 = U 0 U 0 Luotiviiva (Φ P, Λ P ) Geoidi N.. ζ Q Ellipsoidin normaali H (ϕ P, λ P ) h. P Vertausellipsoidi 33 / 51

34 Brunsin kaava (1) Kuvassa W P = U Q, seuraa (linearisointi korkeuden h mukaan): U P U Q + ζ U h = U Q + ζγ P. P Vähentämällä saadaan häiriöpotentiaali T P W P U P = ζγ P ζ = T P γ P. (1) Kaava (1) on kuuluisa Brunsin kaava. Suure ζ kutsutaan pisteen P korkeusanomaliaksi. 34 / 51

35 Brunsin kaava (2) Kun piste P sijaitsee merenpinnalla (geoidilla), on W P = W 0 ja Q sijaitsee vertausellipsoidilla, eli U Q = U 0 = W 0. Tässä tapauksessa ζ N, geoidi-undulaatio eli geoidin etäisyys vertausellipsoidista. Brunsin kaava on nyt N = T 0 γ 0, jossa sekä T 0 että γ 0 lasketaan merenpinnan tasolla. Käytännössä N ζ, paitsi vuoristoissa. 35 / 51

36 Globaali geoidi Maailman geoidimalli EGM08. Geoidikorkeudet GRS80-vertausellipsoidista 107 m (sininen) +86 m (punainen). c {} U.S. National Geospatial-Intelligence Agency. 36 / 51

37 Painovoima potentiaalin gradienttina Ekvipotentiaalipinnat W = vakio. Piste P.. W = W 0 3 W z W = W 0 2 W W = W 0 W W z W = W 0 k O j i y W y W x x Painovoimavektori g = W x i + W y j + W z k Painovoimavektori on geopotentiaalin gradientti, eli derivaatta kolmen paikkakoordinaatin mukaan. 37 / 51

38 Painovoiman ominaisuuksia Tästä syystä paikallinen painovoima on 1. vektorina aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan, ja 2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eri ekvipotentiaalipinnat ovat. Painovoimakenttä on konservatiivinen kenttä. Tämä merkitsee, että kun kuljetetaan koemassa suljetun polun ympäri, ei tehdä työtä. Konservatiivista voimakenttää voidaan aina kirjoittaa potentiaalin gradienttina kuvassa esitetyllä tavalla. 38 / 51

39 Työintegraali W = vakio W B B x 4 g 4 x 3 x 2 x1 g 3 g 2 W A g 1 A Työn polku-integraali: W A W B = A B g d x 4 g i=1 i xi. 39 / 51

40 Geopotentiaalilukuja Käytännössä käytetään usein itse geopotentiaalin W sijasta sen ero C (W W 0 ) keskimerenpinnan potentiaalista W 0. Tämä potentiaaliero, joka kasvaa ylöspäin, kutsutaan geopotentiaaliluvuksi ja yo. integraalikaavasta tulee ˆ B C B C A = g d x. A Suljetun polun tapauksessa meilla on g d x = 0. Geopotentiaalilukuja lasketaan maan yli ulottuvan vaaituksen mittaustuloksista. Kaikki metriset korkeudet, kuten esimerkiksi ortometrinen korkeus, lasketaan geopotentiaaliluvuista. 40 / 51

41 Geopotentiaaliyksikkö, GPU Geopotentiaalin SI-yksikkö on m2 /s 2 : matka voima / massa = matka kiihtyvyys = m m /s 2. Maan painovoimakentässä Maan pinnan lähellä, missä painovoiman kiihtyvyys on g = 9, 8 m /s 2, vastaa yhden metrin korkeusero n. 9, 8 m2 /s 2 potentiaalieroon. Määritetään geopotentiaaliyksikkö, GPU (GeoPotential Unit): 1 GPU 10 m2 /s 2, niin yhden metrin korkeusero vastaa n. 0, 98 GPU potentiaalieroon; vastaavasti, 1 GPU potentiaaliero vastaa n. 1, 02 m korkeuseroon. Näin voidaan, kiitos siitä, että g sattuu olemaan noin 10 m /s 2, ilmaistaa geopotentiaalierot yksikössä, joka on hieman intuitiivisempi kuin vastaava SI-yksikkö! 41 / 51

42 Ortometrisia korkeuksia, taas g P W P H 3 g H 2 H H 2 H 1 W 0 Geoidi H 1 Korkeudet ja ekvipotentiaalipinnat. Huomaa, että miten suurempi (vahvempi) painovoima g (aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan), sitä lähempänä toisiaan ovat ekvipotentiaalipinnat. Kuvassa pisteen P ortometrinen korkeus on H = H 1 + H 2 + H 3, Kuitenkin vaaitus antaa korkeuserot H 1, H 2, H 3 maastossa, maanpinnalla pisteen ja rannikon välillä, ja H H 1 + H 2 + H 3! 42 / 51

43 Geopotentiaaliluku rannikolta Jos pisteessä O on W = W 0, seuraa, että C O = 0. Silloin kuvan esimerkkitapauksessamme 2 pisteen P geopotentiaaliluku on: C = C 1 + C 2 + C 3 = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3 2 Yleisessä tapauksessa kaava on C = ˆ H 0 g (z) dz. 43 / 51

44 Geopotentiaaliluku luotiviivaa pitkin Kuitenkin myös: jossa g i C = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3, painovoima-arvoja kallion sisällä pisteen P luotiviivalla. Lasketaan luotiviivan keskipainovoima 3 : g g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3 H 1 + H 2 + H 3 = g 1 H 1 + g 2 H 2 + g 3 H 3. H Nyt C = gh H = C g, klassinen ortometristen korkeuksien määritelmäkaava. 3 Yleinen kaava on taas g = 1 H ˆ H 0 g (z) dx. 44 / 51

45 Ortometristen korkeuksien ongelma Ongelmaksi tässä jää g:n eli painovoiman keskiarvon määritys luotiviivaa pitkin, kallion sisällä. Tarkassa laskennassa myös maaston muotoja tarvitaan. Eli, vaikka ortometriset korkeudet ovat fysikaalisesti elegantteja, niiden tarkka määritys voi olla käytännössä hankala. Käytännön määritys lähtee maanpinnalla mitatusta arvosta g P, olettamalla, että painovoima kasvaa alaspäin maankuoren sisällä tietyn kaavan mukaisesti, esim. Poincaré'n ja Prey'n kaavan mukaan, ks. [Heiskanen and Moritz, 1967]. Näin saatu likiarvo on Suomen alueella täysin riittävä. 45 / 51

46 Normaalikorkeuksia Normaalikorkeuksien kaava on H = C γ, jossa γ on normaalipainovoiman keskiarvo, laskettuna taas pisteen luotiviivaa pitkin. Toisin kuin ortometrisillä korkeuksilla, normaalikorkeuksilta puuttuu intuitiivinen, suoraan fysikaalinen tulkintatapa. Ne ovat kuitenkin myös korkeuksia merenpinnalta, ja itse merenpinnan normaalikorkeus on 0. Suomen alueella erot ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä on millimetriluokka. Vuoristoissa ne voivat olla useita desimetrejä. 46 / 51

47 Dynaamisia korkeuksia Käytetään harvemmin. Saadaan yksinkertaisesti jakamalla geopotentiaaliluku C leveysasteen 45 maanpinnan normaalipainovoimalla γ 45, joka on vakio: H dyn = C γ / 51

48 Korkeustyyppien ominaisuudet Metrinen oikeellisuus: jos on kaksi pistettä P ja Q toistensa suoraan yläpuolella, ja niiden välinen etäisyys on 1 m, niin myös H P H Q on tarkasti 1 m. Vain ortometrisilla korkeuksilla on tämä ominaisuus. Dynaamisten korkeuksien metrinen oikeellisuus on varsin heikko. Metrinen oikeellisuus on sitä parempaa, miten lähempänä kaavan nimittäjässä oleva ilmaisu on todellista keskimääräistä painovoimaa luotiviivaa pitkin. Energeettinen oikeellisuus: vesi virtaa aina alaspäin kyseessä olevassa korkeustyypissä. Kolmesta mainitusta tyypistä vain dynaamiset korkeudet ovat energeettisesti oikeellisia kun ovat suoraan verrannollisia geopotentiaalilukuihin C. Tarkka laskettavuus, riippumattumuus epävarmoista hypoteeseista Normaalikorkeudet ja dynaamiset korkeudet ovat tarkasti laskettavissa teorian perusteella. Normaalikorkeuksien tapauksessa on ilmoitettava mikä normaalikenttä on valittu laskennoissa. Ortometriset korkeudet edellyttävät sekä todellisen painovoimakentän että topograan muodon ja tiheyden tuntemusta. Käytännössä kuitenkin näiden tekijöiden aiheuttama epävarmuus on suhteellisen pieni. 48 / 51

49 Esimerkki: Päijänne Pohjoinen Päijänne: W = W ,9 GPU g E Etelä g P H E Päijänne H P Geoidi: W = W 0 Ortometrisissa korkeuksissa katsottuna vesi voi joskus virrata ylöspäin. Vaikka Päijänteen pohjois- ja eteläpäät ovat samalla geopotentiaalitasolla, 76,9 geopotentiaaliyksikköä keskimerenpinnan potentiaalia korkeammin, on eteläpään ortometrinen korkeus HE suurempi kuin pohjoispään HP, koska paikallinen painovoima g on pohjoisessa vahvempi kuin etelässä. Korkeusero on Päijänteen tapauksessa 8 mm (Jaakko Mäkinen, henkilökohtainen viesti). Normaalipainovoimakentän avulla laskettuna saadaan 6 mm. Loput 2 mm tulee painovoima-anomalioiden erosta järven pohjois- ja eteläpäiden välillä. 49 / 51

50 Yhteenveto, kysymyksiä Tämän päivän aiheita: Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus Painovoima, gravitaatio ja potentiaali Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus" Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000,... Kysymyksiä? Kiitos! 50 / 51

51 Kirjallisuutta Heiskanen, W. A. and Moritz, H. (1967). Physical Geodesy. W.H. Freeman and Company, San Francisco. Kääriäinen, E. (1966). The Second Levelling of Finland in Publication 61, Finnish Geodetic Institute, Helsinki. Schrock, G. (Kesäkuu 2, 2014). CERN. xyht / 51

Vermeer, Martin Mistä korkeuksissa on kysymys - teoria ja historiaa

Vermeer, Martin Mistä korkeuksissa on kysymys - teoria ja historiaa Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Vermeer, Martin Mistä korkeuksissa

Lisätiedot

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Versio: 6.6.2008 Julkaistu: 19.6.2007 Voimassaoloaika: 30.6.2010 Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Soveltamisala... 2 3 Termit ja määritelmät... 2 4 EVRF-korkeusrealisaation

Lisätiedot

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä

Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Markku Poutanen Geodeettinen laitos Uusi koordinaatti- ja korkeusjärjestelmä Taustaa Uuden koordinaattijärjestelmän perusteet JHS ja käyttöönotto Uusi korkeusjärjestelmä

Lisätiedot

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Versio: 6.6.2008 Julkaistu: 19.6.2007 Voimassaoloaika: 30.6.2010 Sisällys 1 Johdanto...... 1 2 Soveltamisala...... 2 3 Termit ja määritelmät...... 2 4 EVRF korkeusrealisaation

Lisätiedot

... Entä korkeudet? Martin Vermeer. January 22, 2004

... Entä korkeudet? Martin Vermeer. January 22, 2004 ... Entä korkeudet? Martin Vermeer January 22, 2004 Page 1 of 19 Page 2 of 19 1. Johdanto Kun Suomen kolmas tarkkavaaitus on lähestymässä päätöstään ja muissakin pohjoismaissa vastaavat korkeusjärjestelmän

Lisätiedot

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 2. Aiemmat korkeusjärjestelmät ja niiden väliset muunnokset

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 2. Aiemmat korkeusjärjestelmät ja niiden väliset muunnokset JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 2. Aiemmat korkeusjärjestelmät ja niiden väliset muunnokset Versio: 1.0 Julkaistu: 6.9.2019 Voimassaoloaika: toistaiseksi 1 Aiemmat suomalaiset korkeusjärjestelmät

Lisätiedot

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio

Koordinaatistoista. Markku Poutanen Geodeettinen laitos. Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaatistoista Markku Poutanen Geodeettinen laitos Koordinaattijärjestelmä Koordinaatisto Karttaprojektio Koordinaattijärjestelmä sisältää määritelmät, Reference system contains definitions koordinaatisto

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 6: EUREF-FIN:n ja KKJ:n välinen kolmiulotteinen yhdenmuotoisuusmuunnos ja sen tarkkuus Versio: 1.0 / 3.2.2016

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

KIINTOPISTEREKISTERI N2000-LASKENTATILANNE Matti Musto / Etelä-Suomen maanmittaustoimisto

KIINTOPISTEREKISTERI N2000-LASKENTATILANNE Matti Musto / Etelä-Suomen maanmittaustoimisto KIINTOPISTEREKISTERI N2000-LASKENTATILANNE 1.1.2010 Matti Musto / Etelä-Suomen maanmittaustoimisto KORKEUSKIINTOPISTELUOKITUS Ensimmäisen luokan vaaitussilmukat, sekä niiden sisäpuolella sijaitsevat, Maanmittauslaitoksen

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit Versio: 1.0 Julkaistu: 6.9.2019 Voimassaoloaika: toistaiseksi 1 FIN2005N00 1.1 Mallin luonti ja tarkkuus FIN2005N00 on korkeusmuunnospinta,

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti

TTY Mittausten koekenttä. Käyttö. Sijainti TTY Mittausten koekenttä Käyttö Tampereen teknillisen yliopiston mittausten koekenttä sijaitsee Tampereen teknillisen yliopiston välittömässä läheisyydessä. Koekenttä koostuu kuudesta pilaripisteestä (

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa

KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa KIINTOPISTEMITTAUKSET MML:ssa ESITYKSEN SISÄLTÖ: Koordinaattijärjestelmän uudistus (EUREF-FIN) Korkeusjärjestelmän uudistus (N2000) MML:n tasokiintopistemittaukset MML:n korkeuskiintopistemittaukset Mittaukset

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia

Leica Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter Siitä vain... Paina nappia Sprinter 50 Tähtää, paina nappia, lue tulos Pölyn ja veden kestävä Kompakti ja kevyt muotoilu Virheettömät korkeuden ja etäisyyden lukemat Toiminnot yhdellä painikkeella

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima

Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Kpl 2: Vuorovaikutus ja voima Jos kaksi eri kappaletta vaikuttavat toisiinsa jollain tavalla, niiden välillä on vuorovaikutus Kahden kappaleen välinen vuorovaikutus saa aikaan kaksi vastakkaista voimaa,

Lisätiedot

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Korkeusjärjestelmän muutos ja niiden sijoittuminen tulevaisuuteen

Korkeusjärjestelmän muutos ja niiden sijoittuminen tulevaisuuteen Rakennusvalvontamittaus 15.02.2010-> Korkeusjärjestelmän muutos ja niiden sijoittuminen tulevaisuuteen Ongelmat suurimmillaan parin vuoden kuluttua, kun maastossa on yhtä paljon uuden korkeusjärjestelmän

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Lahden kaupungin N2000- korkeusjärjestelmävaihdos. Petri Honkanen, Lahden kaupunki Tekninen- ja ympäristötoimiala,maankäyttö

Lahden kaupungin N2000- korkeusjärjestelmävaihdos. Petri Honkanen, Lahden kaupunki Tekninen- ja ympäristötoimiala,maankäyttö Lahden kaupungin N2000- korkeusjärjestelmävaihdos Miksi siirtyä N2000-järjestelmään? Maannousu Lahden seudulla maannousu 50:ssä vuodessa n. 26 cm. Kiinnostus maannousun epätasaisessa toteumassa Ongelmat

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

N2000-tarkkavaaitushanke Tuusulan kunnassa

N2000-tarkkavaaitushanke Tuusulan kunnassa N2000-tarkkavaaitushanke Tuusulan kunnassa Matias Rinta Opinnäytetyö Tekniikan ja liikenteen ala Maanmittaustekniikka Insinööri (AMK) 2016 Opinnäytetyön tiivistelmä Tekniikan ja liikenteen ala Maanmittaustekniikka

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

KORKEUDEN- MITTAUS. Vaaituskojeet ja tasolaserit. Korkeudenmittaus Rakennusmittauksen perusteet - 1-1988-1997 M-Mies Oy

KORKEUDEN- MITTAUS. Vaaituskojeet ja tasolaserit. Korkeudenmittaus Rakennusmittauksen perusteet - 1-1988-1997 M-Mies Oy KORKEUDEN- MITTAUS Vaaituskojeet ja tasolaserit Rakennusmittauksen perusteet - 1-1988-1997 M-Mies Oy LAITTEISTO VAAITUSKOJE Vaaituskalusto muodostuu vaaituskojeesta, jalustasta ja tarvittaessa vaaituslatasta.

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA

EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 1 (10) EUREF-FIN/N2000-MUUNNOKSET HELSINGIN KAUPUNGISSA 5.3.2012 2 (10) Sisältö: 1 Johdanto... 3 1.1 Muunnosasetukset paikkatieto-ohjelmistoissa... 3 1.2 Lisätiedot... 3 2 Korkeusjärjestelmän muunnos NN

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi

Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,

Lisätiedot

Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271

Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271 Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271 Martin Vermeer martin.vermeer@hut.fi g N N 4. helmikuuta 2013 3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso IV, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä. Osaamistavoitteet Kurssin

Lisätiedot

TURKU. http://fi.wikipedia.org/wiki/turku

TURKU. http://fi.wikipedia.org/wiki/turku Turun kaupungin maastomittauspalvelut ja koordinaaattijärjestelmän vaihto käytännössä Tampereen seutukunnan maanmittauspäivät Ikaalisten kylpylässä 17.-18.3.2010, Harri Kottonen Kuka Harri Kottonen, Mittaustyöpäällikkö

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Palautekooste ja työryhmän vastine (1. vaihe): JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 -päivitys

Palautekooste ja työryhmän vastine (1. vaihe): JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 -päivitys Palautekooste ja työryhmän vastine (1. vaihe): JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 -päivitys 15.10.2018 1. Organisaatio 5 Lohjan kaupunki Kyyjärven kunta Rääkkylän kunta Virtain kaupunki Paimion kaupunki

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x

a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa

GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa GPS:n käyttömahdollisuudet mareografitutkimuksessa Maaria Tervo, Markku Poutanen ja Hannu Koivula Geodeettinen laitos, maaria.tervo@fgi.fi Abstract Sea level monitoring is an important part of oceanography

Lisätiedot

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia. Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Yläilmakehän luotaukset Synoptiset säähavainnot antavat tietoa meteorologisista parametrestä vain maan pinnalla Ilmakehän

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Fysikaalinen geodesia 53516

Fysikaalinen geodesia 53516 Fysikaalinen geodesia 53516 g N N Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi Esipuhe Tämän kirjan tavoitteena on esittää Maan painovoimakentän 1 tutkimuksen nykytilan yleiskuvan, mukaanlukien ne geofysiikan

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan

Lisätiedot