Fysikaalinen geodesia Maa
|
|
- Matti Lahti
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fysikaalinen geodesia Maa Martin Vermeer g N N 4. helmikuuta 2013
2
3 3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso IV, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä. Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa tehdä yksinkertaisten kappaleiden painovoimakentän laskentoja. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja painovoima-anomalioiden ja maastokorjauksen kanssa. Osaa laskea geopotentiaalilukujen, ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja liittyen isostaattiseen kompensaatioon. Osaa tilastollisesti predikoida painovoima-anomaliat kollokaatiomenetelmällä. Ymmärtää Maan painovoimakentän esittämistä pallofunktiokertoimilla, sekä painovoima-anomalioiden ja geoidikorkeuksien spektraalikäyttäytymistä. Ymmärtää gravimetrisen geoidimäärityksen perusteet. Sisältö Maan painovoimakenttä ja sen esitystavat; geopotentiaali ja pallofunktiokehitelmät; eri havaintotyypit ja niiden käsittely; painovoima-anomaliat; Maan muoto (geoidi) ja sen määritys; korkeudenmittaus ja korkeusjärjestelmät; maastomallit ja maastoefektit; painovoima ja Maan sisäinen rakenne; merenpinta, geoidi ja merenpinnan topograa; satelliittien käyttö painovoimakentän määrityksessä. Esitiedot Maa tai Maa Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa Kohderyhmä Suoritustavat Kokonaissuoritus koostuu tentistä ja laskuharjoituksista.
4 Työmäärä toteutustavoittain Luennot 6 4 t = 24 t Materiaalin itsenäinen opiskelu 31 t Laskuharjoitukset 30 1t josta 25 pakollisia = 25 t (itsenäinen työskentely) Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste. Taustamateriaalina HeiskanenMoritz Heiskanen and Moritz (1967). Opetuskieli Suomi Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309, nimi@tkk. Vastaanottoajat Sovitaan CEFR-taso Lisätietoja Kiitokset Hannu Ruotsalaiselle ja monelle opiskelijalle hyödyllisistä kommentteista ja korjausehdotuksista. Tämän dokumentin laatimiseen käytettiin mm. seuraavat työkalut: visuaalinen L A TEX-editori LYX, piirtämisohjelma xfig, ja bibliograaohjelma BibTEX.
5 Sisältö 5 Sisältö 1 Newtonin gravitaatioteoria Yleistä Kahden massan välinen gravitaatio Pistemäisen kappaleen potentiaali Pallon muotoisen kuoren potentiaali Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kiinteän kappaleen potentiaali Käyttäytyminen äärettömyydellä Laplacen ja Poissonin yhtälöt Mittainvarianssi Yksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros Gaussin lause Esitys Intuitiivinen kuvaus Gaussin lauseen potentiaaliversio Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio Greenin lauseet Chaslesin lause Reuna-arvotehtävät Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea Harjoitustehtäviä Tehtävä: Massaviivan potentiaali Tehtävä: Gaussin yhtälön tarkistus erikoistapauksessa Tehtävä: Yksinkertaisen massatiheyskerroksen divergenssi Tehtävä: Kappaleen kokonaismassan määritys Laplace'n yhtälö Yleistä Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa Riippuvuus korkeudesta Legendren funktiot Legendre-polynomien ortogonaalisuus
6 6 Sisältö 2.8 Eri suureiden spektraaliesitykset Potentiaali Gravitaatio Funktion hajoittaminen asteosuuksiin Matalan asteluvun pallofunktiot Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät Ellipsoidiset harmoniset [vaikea] Harjoitustehtäviä Tehtävä: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa Tehtävä: Pallofunktiokertoimet Normaalipainovoimakenttä Normaalikentän perusajatus Keskipakoisvoima ja sen potentiaali Tasopinnat ja luotiviivat Luonnolliset koordinaatit Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea] Normaalipainovoima Numeeriset arvot ja kaavat Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä Häiriöpotentiaali Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen, Somigliana-Pizettin kaava Painovoimagradientista Keskipakoisvoimasta Luotiviivapoikkeamat geoidimäärityksessä Painovoimakentän anomaaliset suureet Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat Painovoimahäiriöt Painovoima-anomaliat Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi Ilma-anomaliat Harjoitustehtäviä Tehtävä: Painovoima-anomalioiden spektri Tehtävä: Painovoimakentän koko Tehtävä: Johda yllä annettua kaavaa: Geofysikaaliset reduktiot Yleistä Bouguer-anomaliat Maastoefektit ja maastokorjaus Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa
7 Sisältö Helmert-kondensaatio [vaikea] Topograan sisäinen potentiaali Topograan ulkoinen potentiaali Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali Helmert-kondensaation painovoimavaikutus Helmert-kondensaation sisäinen potentiaali Dipolimenetelmä Isostasia Klassisia hypoteeseja Laskentakaavoja Isostasian nykykäsitys Isostaattiset reduktiot Isostaattinen geoidi [vaikea] Harjoitustehtäviä Tehtävä: Maaston vaikutus gradienttiin Korkeusjärjestelmät Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi Ortometriset korkeudet Normaalikorkeudet Molodenskyn teoria Molodenskyn todistus [vaikea] Normaalikorkeus ja korkeusanomalia Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta Normaalikorkeuksien tarkka laskenta Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus Harjoitustehtäviä Risteilyohjuksen ongelmasta Stokesin kaava ja muut integraalikaavat Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin Luotiviivapoikkeamat ja Vening-Meineszin kaavat Poissonin integraalikaava Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa Painovoima-anomalian pystygradientti Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä Molodenskii-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa Laskentapiste vertaustasoksi Remove-Restore menetelmä Ytimen modikaatio remove-restore menetelmässä Paikallisen vyöhykkeen vaikutus
8 8 Sisältö 8 Spektraalimenetelmät, FFT Stokesin lause konvoluutiona Integraatio FFT:llä Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa Strang van Hees-menetelmä Spherical FFT, monivyöhykemall Spherical FFT, Taylor-kehitelmämalli D-FFT Mutkat matkalla: bordering, tapering Geoidilasku FFT:llä GRAVSOFT-ohjelmisto Suomen FIN2000 geoidi FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä Satelliitti-altimetria Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria Maastokorjausten laskeminen FFT:llä Tilastolliset menetelmät Epävarmuuden rooli geofysiikassa Lineaariset funktionaalit Tilastotiede Maan pinnalla Painovoimakentän kovarianssifunktio Pienimmän neliösumman kollokaatio Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa Signaali ja kohina Estimaattori ja sen virhevarianssi Optimaalisuuden todistus Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille Laskuesimerkki PNS-kollokaation teoria Painovoima-anomalioiden prediktio Kovarianssifunktio ja astevarianssit Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet Kovarianssien kasautumislaki Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin Toinen esimerkki: Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio Globaaliset kovarianssifunktiot Kollokaatio ja spektraalinäkökohta Harjoitustehtäviä Tehtävä: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio Kovarianssien kasautuminen Tehtävä: Prediktiosta
9 Sisältö Maanalaiset massapisteet Kovarianssimatriiseistä Gravimetriset mittauslaitteet Historia Relatiivinen (jousi-) gravimetri Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri Suprajohtava gravimetri Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen Ilmagravimetria ja GPS Harjoitustehtäviä Ballistisen gravimetrin vaihtoehtoiset havaintoyhtälöt Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa Peruskäsitteet Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit Geoidi ja postglasiaalinen maannousu Menetelmiä meritopograan määrittämiseksi Globaalinen meritopograa ja lämmönkuljetus Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen Merenpintayhtälö Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot Satelliitti-altimetria Crossover-tasoitus Satelliittiradan valinta Retracking Merentutkimus altimetrian avulla Satelliittipainovoimamissiot Harjoitustehtäviä Satelliittiradan laskenta Crossover-tasoitus Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet Teoreettinen vuorovesi Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio Vuoroveden pysyvä osa Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen Maan painovoimakentän tutkimus Kansainvälisesti Eurooppa ja pohjoismaat Oppikirjat Kirjallisuutta 199
10 10 Sisältö A Kenttäteorian ja vektorianalyysin rautaisannos 203 A.1 Vektorilaskenta A.1.1 Skalaaritulo A.1.2 Muodollisesti A.1.3 Ulkoinen tulo eli vektoritulo A.1.4 Muodollisesti A.1.5 Keplerin toinen laki A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä A.2.1 Määritelmät A.2.2 Avaruuden kanta A.2.3 Nabla-operaattori A.2.4 Gradientti A.2.5 Divergenssi A.2.6 Rotaatio (en. curl) A.2.7 Konservatiiviset kentät A.2.8 Laplace-operaattori A.3 Integraalit A.3.1 Käyrä-integraali A.3.2 Pinta-integraali A.3.3 Stokesin reuna-integraalilause A.3.4 Gaussin integraalilause A.4 Aineen jatkuvuus B Funktioavaruudet 215 B.1 Abstraktinen vektoriavaruus B.2 Fourier-funktioavaruus B.3 Sturm-Liouville dierentiaaliyhtälöt B.3.1 Ominaisarvotehtävä B.3.2 Itseadjungoitu operaattori B.3.3 Itseadjungoidut dierentiaaliyhtälöt B.4 Legendre-polynomit B.5 Pallofunktiot C Miksi FFT toimii? 223 Hakemisto 225
11 Taulukot 2.1 EGM96-pallofunktiokehitelmän harmonisia kertoimia Altimetriasatelliittit kautta aikojen Teoreettisen vuoroveden eri periodit Kuvat 1.1 Gravitaatio on universaalinen Pallon ohut kuori koostuu renkaista Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä Kaksinkertainen massatiheyskerros Gaussin lauseen graanen selostus Pieni kuutio Greenin kaavan ulkoinen geometria Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on sisäpuolella Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle Painovoimakentän vaimennus korkeuden mukaan Pallokoordinaattien määritelmä Geodeettisten koordinaattien määritelmä Muutama Legendren polynomi Legrendren liitännäisfunktioita Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat Eri vertauspinnat Bouguer-laatan vetovoima Bouguer-laatta topograan approksimaationa Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa
12 12 Kuvat 5.4 Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä Bouguer-anomalian laskennan vaiheet Helmert-kondensaatio ja sen Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi Airy-Heiskanen isostaatinen hypoteesi Isostaattisen kompensaation suureita Isostasian nykykäsitys Vaaituksen periaate Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate Stokes-kaavan integraatio geometrisesti Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; ) Generoiva funktio Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille Residual terrain Model (RTM) Modioituja Stokes-ydinfunktioita Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa Karttaprojektiokoordinaatit x; y Suomen FIN2000ögeoidi Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina Sirkulaarinen geometria Autograv CG5 jousugravimetri Jousigravimetrin toimintaperiaate Astatisoinnin idea Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate FG5 absoluuttinen gravimetri Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia Fennoskandian 63 leveyspiirin painovoimalinja Meritopograan ja merivirtausten välinen yhteys Merenpintayhtälö Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet Eräs crossoverien yksinkertainen geometria
13 Kuvat Aurinkosynkroonisen radan mekanismi No-shadow -radan geometria Altimetriapulssin analyysi Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti GRACE-satelliittien perusidea Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliitin Satelliitti-altimetrian ratageometria Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun paikallinen zeniittikulma A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo A.2 Keplerin toinen laki A.3 Gradientti A.4 Divergenssi A.5 Rotaatio A.6 Stokesin rotaatiolause A.7 Gaussin divergenssilause
14
15 Luku 1 Newtonin gravitaatioteoria 1.1 Yleistä Tässä luvussa käsitellään Newtonin gravitaatioteorian perusteet. Intuitiivisesti gravitaatioteoriaa on helpointa ymmärtää kaukaisen vaikutuksen (En. action at a distance) ilmiönä, jossa kahden massan välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin gravitaatiolain kaikille tuttu ilmaisumuoto. On olemassa vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria, joka kuvaa gravitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä kuvaa kenttäyhtälöt. Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta on tehokas teoreettinen apuväline. Tässä luvussa tutustutaan kenttäteorian keskeiseen gravitaatiopotentiaalin käsitteeseen. Tutkitaan myös yksinkertaisen ja kaksinkertaisen massatiheyskerroksen aiheuttamat, teoreettisesti mielenkiintoiset potentiaalikentät. Niiden sovelluksista teoriassa ja käytännössä mainittakoon Bouguer-kerros ja ns. Helmert-kondensaatio. Seuraavassa käsitellään seikkaperäisesti niiden ominaisuudet. Massatiheyskerroksia käytetään myös Greenin lauseiden johtamisessa. Tulemme tutustumaan keskeisiin integraalilauseisiin kuten Gaussin ja Greenin lauseet, joiden avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttää avaruudessa vain tietyllä pinnalla annetujen kenttäarvojen perusteella. Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause, Stokesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu. Toisessa luvussa nämä potentiaaliteorian perusteet sovelletaan Maan gravitaatiokentän spektraaliesityksen, ns. pallofunktiokehitelmän, johtamiseksi. Luentomonisteen alussa johdetaan suurehko määrä matemaattisia kaavoja, mm. integraalikaavoja. Tämä on valitettavasti välttämätön pohjatyö. Kuitenkaan kaavat eivät ole itsetarkoitus eikä niitä kannata oppia ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja miten historiallisesti eri tuloksiin on päädytty, sekä hankkia itsellesi jonkinlaista sormituntumaa teorian luonteesta.
16 2 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Kuva 1.1 Gravitaatio on universaalinen. Hubble-teleskoopin kuvaama gravitaatiolinssi, galaksijoukko etäisyydellä 2.2 miljardia valovuotta. Lähde NASA & ESA 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio Maan painovoimakentän tutkiminen aloitetaan sopivasti Isaac Newtonin yleisestä gravitaatiokaavasta: F = G m 1m 2 `2 : (1.1) F on kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima; m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat ja ` on niiden välinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi. Vakio G on arvoltaan G = 6: m 3 kg 1 s 2 : G:n arvo määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish käyttämällä herkkää torsiovaakaa. Jos nyt kutsutaan mielivaltaisesti, vaikka yleensä m on pieni kappale, koemassa, esim. satelliitti, ja M suuri massa, planeetta tai Aurinko massa m 1 = M vetoavaksi massaksi
17 1.2. Kahden massan välinen gravitaatio 3 ja m 2 = m vedetyksi massaksi, saadaan F = G mm `2 : Newtonin liikelain mukaan F = ma; missä a on kappaleen m kiihtyvyys. Tästä seuraa a = G M`2 : Tästä kaavasta suure m = m 2 on hävinnyt. Tämä on kuuluisa Galilei'n havainto, että kaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti 1, niiden massasta riippumatta. Tätä tunnetaan myös Einsteinin ekvivalenssiperiaatteena. Sekä voima F että kiihtyvyys a ovat saman suuntaisia kuin kappaleiden yhdistävä viiva. Siksi käytetään yhtälö (1.1) usein vektorikaavana, jolla on suurempi ilmaisukyky: a = GM r R `3 ; (1.2) missä vedetyn ja vetäävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määritellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaatteissa 2 : r = xi + yj + zk; R = Xi + Y j + Zk; missä yksikkövektorien kolmikko fi; j; kg on eukliidisen avaruuden R 3 ortonormaalinen kanta ja ` = kr Rk =q(x X) 2 + (y X) 2 + (z Z) 2 (1.3) on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettuna. Huomaa, että vektorikaavassa (1.2) on miinusmerkki! Tämä kertoo vain, että voiman suunta on päinvastainen kuin vektorin r R suunta. Tämä vektori on vedetyn massan m paikka vetäävän massan M paikasta laskettuna. Toisin sanoen, tämä kertoo että kyseessä on vetovoima eikä työntövoima. 1 Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten Kuulla höyhen ja vasara putoavat yhtä nopeasti! 2 Vektorin notaatioksi voidaan käyttää joko! v (nuoli yläpuolella) tai v (lihava). Tässä käytetään lihava notaatiotapa, paitsi kreikkalaisin kirjaimin merkittyille vektoreille, joille lihavointi ei onnistu.
18 4 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen eikä siis ajasta riippuvainen, se on konservatiivinen. Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä suljettua reittiä pitkin, matkan lopussa ei ole menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystä voi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti tarra johon voi merkitä yksikkö- eli koemassan energiamäärä, joka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitusta lähtöpisteestä kyseessä olevaan pisteeseen. Tarralle kirjoitettu arvo kutsutaan potentiaaliksi. (Huomaa, että lähtöpisteen valinta on mielivaltainen! Tähän asiaan palataan vielä.) Pistemäisen kappaleen M näin määritelty potentiaalifunktio on: V = G = ; M` GM` (1.4) jossa ` on taas, kuten yllä, vektorin r R pituus ` = kr Rk. Vakiolla GM on Maapallon tapauksessa (GRS80-vertausjärjestelmän mukainen, konventionaalinen) arvo: GM = 3; m 3 =s 2 : Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo taas on: GM = 3; m 3 =s 2 : 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali Voimme kirjoittaa kaavan (1.4) perusteella laajan kappaleen potentiaali seuraavaan muotoon: ˆ dm V = G m ` : (1.5) Tämä on integraali massa-alkoiden dm yli, missä jokainen massa-alkio dm sijaitsee paikalla R. Potentiaali V lasketaan paikalla r ja ` = kr rk. Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin kaavan, ks. kuva 1.2, jossa olemme laittaneet pallon keskipiste origoksi O. Koska kapean renkulan, leveys b d, ympärysmitta on 2b sin, on sen pinta-ala (2b sin ) (b d) : Olkoon kuoren paksuus p (pieni) ja sen ainetiheys. Saamme renkulan kokonaismassaksi: 2pb 2 sin d: Koska renkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä ` pisteestä P; voimme kirjoittaa potentiaaliksi pisteessä P : V P = 2Gpb2 sin d : `
19 1.4. Pallon muotoisen kuoren potentiaali 5 bd p b O r ` P Q Kuva 1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista Kosinisäännön avulla: `2 = r 2 + b 2 2rb cos (1.6) saadaan kaavan (1.5) avulla koko kuoren potentiaaliksi: ˆ V P = 2Gpb 2 sin d p r2 + b 2 2rb cos : Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttuja :stä `:ksi. Dierentioimalla (1.6) saadaan `d` = br sin d; ja muistamalla että ` = p r 2 + b 2 2rb cos saadaan: V P = 2Gpb 2 ˆ `2 `1 d` br : Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren ulkopuolella, ovat `:n integraatiorajat `1 = r b ja `2 = r + b, ja pisteen P potentiaaliksi saadaan 2" #`=r+b ` V P = 2Gpb br `=r b = 4Gpb2 : r Koska koko kuoren massa on M d = 4b 2 p, seuraa, että kuoren potentiaali on sama kuin sen keskipisteessä O olevan, samansuuruisen massan potentiaali : V P = GM d ; r
20 6 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 4Gb Kiihtyvyys 4Gb b2 r 2 4Gb b r Potentiaali 0 0 b r Kuva 1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä jossa r on nyt laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteestä O. Nähdään, että tämä on sama kaava kuin 1.4. Samalla tavoin pallokuoren vetovoima (kiihtyvyys) on r O a = rv = 4Gpb 2 r P r P r O = GM r 3 d ; r 3 taas identtinen samanmassaisen, pisteessä O sijaitsevan pistemassan aiheuttaman kiihtyvyyden kanssa, ks. kaava 1.2. Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren sisäpuolella, `1 = b integraali muuttu seuraavaksi: r ja `2 = b + r ja yllä oleva 2" #`=b+r ` V P = 2Gpb = 4Gpb: br `=b r Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi rv P potentiaalin gradienttina häviää. = 0 ja vetovoima Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on kuoren ulkopuolella a = GM r 2 ; missä M on kuoren kokonaismassa ja r havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä, ja 0 kuoren sisällä. Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman (eli kiihtyvyyden, vetovoima-per-massayksikkö) käyrät. Jos kappale koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta (kuten melko tarkasti Maapallo ja useimmat taivaankappaleet) aiheuttavat kappaleen sisällä vetovoimaa vain ne massakerrokset jotka ovat havaintopisteen sisäpuolella, ja vetovoima on sama kuin mitä se olisi jos koko niiden massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tätä tapausta, jossa massatiheysjakauma kappaleen sisällä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveystai pituusasteesta, kutsutaan isotrooppiseksi tiheysjakaumaksi.
21 1.5. Vetovoiman laskeminen potentiaalista Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kuten yllä argumentoitiin on potentiaali ns. matka-integraali. Kääntäen voidaan potentiaalista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin komponentit dierentioimalla paikan suhteen, ts. ottamalla gradientti: a =! rv =! gradv + + : (1.7) Tässä symboli r (Nabla) on usein käytetty ns. dierentiaalioperaattori, r : Tässä fi; j; kg on taas eukliidisen avaruuden R 3 suorakulmaisten, keskenään kohtisuorien yksikkövektorien kanta. Kokeillaan tätä dierentiaatiota pistemassan M potentiaalikentän tapauksessa. Sijoita ylläolevat V :n (1.4) ja `:n (1.3) kaavat @` = GM 1 `2 x X ` Vastaavasti lasketaan y- = GM y Y = GM z Z : `3 = GM x X `3 : Nämä ovat gravitaatiokiihtyvyyden komponentit kun kentän lähde on yksi pistemassa M. Siis tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa: a =! gradv =! rv: Huomautus: fysikaalisessa geodesiassa toisin kuin esim. fysiikassa potentiaali lasketaan aina positiiviseksi jos vetäävä massa M on positiivinen (kuten tiettävästi aina on). Kuitenkin kappaleen m potentiaalienergia massan M kentässä on negatiivinen! Tarkemmin, kappaleen m potentiaalinen energia on: E pot = V m: Käytännössä kutsutaan gravitaatiokiihtyvyysvektori yksinkertaisemmin gravitaatiovektoriksi. Seuraamme tätä käytäntöä. 3 Kaavasta ` =q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 =h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i1 2 seuraa 2i1 X) + (y Y ) 2 + (z X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) = 1 2 h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i 1 2 (x = 2 (x X) = x X : `
22 8 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali Seuraavaksi tutkitaan kiinteä kappale, jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä siis keskitetty yhteen pisteeseen. Maapallo on tästä esimerkki: sen massajakauma avaruudessa voidaan kuvata tiheysfunktiolla : (x; y; z) = dm (x; y; z) dv (x; y; z) ; jossa dm on massa-alkio ja dv on avaruuden tilavuusalkio siinä, missä massa-alkio sijaitsee. :n dimensio on tiheys, sen yksikkö SI-järjestelmässä kg =m³. Koska gravitaatiokiihtyvyys (1.7) on lineaarinen ilmaisu potentiaalissa V, ja voima- tai kiihtyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa, että myös kappaleen kokonaispotentiaali saadaan summaamalla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksi n massapisteen kokoelman potentiaali on V = G nx m i i=1 `i josta saadaan gravitaatiokiihtyvyys yksinkertaisesti gradienttilauseen (1.7) kautta. Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla summa integraalilla, seuraavalla tavalla. (Huomaa että valitettavasti sama symboli V käytetään sekä potentiaalille että tilavuudelle): dm V = G kappale ` = G kappale dv: (1.8) ` Symboli integraalimerkin sisällä liittyy vetäävään massa-alkioon; ` = kr Rk =q(x X) 2 + (y Y ) 2 vetäävän massa-alkion ja mittauspisteen välinen etäisyys. Selvemmin: V (x; y; z) = G kappale q(x (X; Y; Z) dxdy dz: X) 2 + (y Y ) (z Z) Kuten yllä jo näytetty massapisteelle, myös kiinteän kappaleen geopotentiaalin V ensimmäinen derivaatta eli gradientti paikan suhteen,! gradv =! rv = a; antaa kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee yleisesti. (1.9)
23 1.7. Laplacen ja Poissonin yhtälöt Käyttäytyminen äärettömyydellä Mikäli kappale on äärellisen kokoinen (ts. se on kokonaan -säteisen, origoa ympäröivän pallon sisällä) ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa että koska krk! 1 ) V (r)! 0; 1 `! 0: Gravitaation kiihtyvyydelle pätee kaikille kolmelle komponenteille, siis myös vektorisuureen pituusarvolle, samaa: krk! 1 )! rv! 0: Tätä tulosta voidaan vielä tarkentaa: Jos krk! 1, silloin 1 ` =q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 1 missä r on pisteen r etäisyys origosta eli krk.! x 2 + y 2 + z = 1 r ; Kun sijoitetaan tätä yllä olevaan integraaliin (1.8), seuraa, että suureille etäisyyksille krk! 1: V = G r dv = G dv = GM r r ; kappale kappale missä M, tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri sen kokonaismassa. Tästä nähdään että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleen kenttä on lähes identtinen sen kentän kanssa, joka aiheutuu pistemassasta, jonka kokonaismassa on sama kun kappaleen kokonaismassa M. Tämä tärkeä huomautus teki jo Newton. Tämän ilmiön seurauksena voimme taivaanmekaniikassa käsitellä Aurinko ja planeetat (muttei Kuu!) massapisteinä, vaikka tiedetään että ne eivät sitä ole. 1.7 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Geopotentiaalin toinen derivaatta paikan suhteen, gravitaatiokiihtyvyysvektorin ensimmäinen paikan derivaatta eli divergenssi, on myös geofysikaalisesti mielenkiintoista. Voidaan kirjoittaa: diva = D! r a E = D! r! rv E = D! r! r E V = V 2 missä D! r! r E on tunnettu symboli nimeltä V V V; (1.10)
24 10 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Massapistepotentiaalin kaavasta (1.4) voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdierentiaatiot (1.10), että: V = 0; tunnettu Laplace-yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella, ja yleisemmin kaikkialla tyhjässä avaruudessa: kaikki massathan voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäisistä massa-alkioista. Tai kaavassa (1.8) voidaan suoraan dierentioida kolminkertaisen integraalimerkin sisällä, kayttäen hyväksi se, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminen keskenään on sallittu, jos molemmat on määriteltyjä. Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö: V = 4G: Tätä yhtälöä kutsutaan Poisson-yhtälöksi. Yhtälöpari! gradv = a diva = 4G tunnetaan gravitaatiokentän kenttäyhtälöiksi. Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömagnetismissä Maxwellin kenttäyhtälöt. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä, ylläolevissa ei ole aikakoordinaatti mukana. Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa kaavaa sähkömagneetisten aaltojen vastaavien gravitaatio-aaltojen kulusta avaruudessa. Nykyisin tiedetään että yo. Newtonin kenttäyhtälöt ovat vain likimääräisiä, ja että tarkka teoria on Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa Newtonin teoria on yleensä riittävän tarkka ja tulemme rajoittumaan siihen. 1.8 Mittainvarianssi Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että, jos siihen lisätään vakio C, mitään painovoimaan liittyvä, mitattavissa oleva suure ei muutu. Tätä kutsutaan mittainvarianssiksi (En. gauge invariance). Painovoima itse saadaan dierentioimalla, operaatio joka hävittää vakiotermi. Siksi potentiaalin määrittely on jonkin verran mielivaltainen: kaikki tietyllä C:n valinnalla saadut potentiaalikentät V ovat samanarvoisia. Havainnoistakin saadaan vain potentiaalieroja, kuten vaaitsijat hyvin tietävät. Usein valittu potentiaalimääritelmä lähtee siitä, että jos krk! 1, silloin myös V! 0; mikä on fysikaalisesti järkevä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi olla V = 0 keskimerenpinnan kohdalla vaikka sekin aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi Maapallon massalle M fysikaalisesti järkevä potentiaaliesitys on V = GM r ;
25 1.9. Yksinkertainen massatiheyskerros 11 joka häviää äärettömyyteen r! 1 kun taas käytännöllisesti järkevä esitys olisi V = GM GM r R ; missä R on Maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla missä r = R, Maan pinnalla. GM Limiitissä r! 1 sen arvo on eikä nolla. R 1.9 Yksinkertainen massatiheyskerros Jos kappaleen pinnan päälle laitetaan massatiheyden pinnoitus tiheydellä = dm ds ; saadaan potentiaaliksi integraalikaava, joka on samannäköinen kuin (1.8), mutta pintaintegraali: V = G pinta dm ` = G pinta ds: (1.11) ` Tässä taas ` on etäisyys tarkastuspisteen eli koemassan P ja integroinnissa liikkuvan massaalkion dm (tai pinta-alkion ds) välillä. Huomaa että pintatiheyden dimensio on kg =m², eli erilainen kuin tavallisen (tilavuus-) tiheyden dimensio. Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaalisesti epärealistinen. Funktio V on näet kaikkialla jatkuva, myös pinnan S kohdalla; kuitenkin jo sen ensimmäiset derivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuora olevassa suunnassa, ns. normaaliderivaatassa. Tutkitaan yksinkertainen tapaus jossa pallo, säde R, on pinnoitettu kerroksella jonka pintatiheys on vakio. Laskemalla ylläoleva integraali (1.11) voidaan todistaa (monimutkaisesti) että ulkoinen potentiaali on sama kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä. Aikaisemmin (osa 1.4) tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali on vakio. Siten ulkoinen vetovoima (` > R) on a e (`) = G M`2 4R2 = G `2 Sisäinen vetovoima (` < R) on a i (`) = 0: = 4G R` 2 : Tämä merkitsee että pallon pinnalla vetovoima on epäjatkuva: a e (R) a i (R) = 4G: Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että a = kak missä n on normaalisuunta, ts. pintaan S kohtisuora oleva suunta tai koordinaatti-akseli. Mikäli pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, kaava (1.12) pätee yleisesti; silloin vetovoimavektori tarkemmin, kiihtyvyysvektori on kohtisuora pintaa S kohtaan, ja sen suuruus on sama kuin normaaliderivaatta.
26 12 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria P ` n Kuva 1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros 1.10 Kaksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkita dipolitiheyskerrokseksi. Dipolit ovat orientoituneet pinnan normaalin suuntaan. Jos dipoli koostuu kahdesta varauksesta m ja m paikoilla r 1 ja r 2, siten että niiden välinen vektorietäisyys on r r 1 r 2, on dipolin momentti d = m r, vektorisuure. Ks. kuva 1.4. Olkoon dipolikerroksen tiheys = dm ds ; missä dm on dipolikerros-elementti; tätä kerrosta voidaan katsoa kahden yksinkertaisen kerroksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä ja negatiivinen kerros tiheydellä ja niiden välinen etäisyys on, syntyy pienellä -arvoilla likimääräinen vastaavuus: : Edellisen kappaleen mukaan kahden yksinkertaisen massakerroksen yhteenlaskettu potentaali on `2 1 V = G ds: pinta 1`1 `1:n, `2:n ja :n välillä pätee seuraava yhteys (funktion 1` Taylor-kehitelmä): 1 `1 = 1`2 1` +
27 1.11. Gaussin lause on suureen derivaatta pinnan normaalisuuntaan. Sijoittamalla yhtälöön saadaan: V = ds = G pinta ds: Jos on riittävän pieni (ja vastaavasti suuri), tämä on eksakti. On helppo näyttää, että yo. potentiaali ei edes ole jatkuva; epäjatkuvuus sattuu pinnalla S. Tutkitaan taas yksinkertaisuuden vuoksi pallo, säde R, jossa vakiokerros tiheydellä : Ulkopuolinen V e = G 1` ds = 0; pinta koska integraali on 0. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää Gaussin integraalilause, josta enemmän myöhemmin. Sisäpuolinen V i = G 1` ds = 4R G 2 = 4G; 1`2`=R laskemalla pintaintegraali evaluointipisteenä pallon keskipiste, ja käyttämällä aiemmin todettu seikkä, että yksinkertaisen massakerroksen peittämän pallon sisällä potentiaali on vakio. Nyt limiitissä `! R tulos on erilainen ulkopuoliselle ja sisäpuoliselle potentiaalille. Ero on V e (R) V i (R) = 4G: 1.11 Gaussin lause Esitys Fysiikan kuuluisa Gaussin lause on vektorimuodossaan: diva dv = ha ni ds; (1.14) missä n on pinnan S ulkoapäin suuntautunut normaali, nyt vektorina: vektorin pituus oletetaan knk = on kappaleen V pinta. Tämä lause pätee kaikille dierentioitaville vektorikentille a ja kaikille kunnollisille kappaleille V joiden pinnalla S on kaikkialla normaalisuunta n olemassa. Toisin sanoen, tämä ei ole gravitaatiokiihtyvyysvektorin erikoisominaisuus, vaikka se pätee sillekin.
28 14 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Kenttäviiva Vuo Lähteet Kappaleen pinta Kuva 1.5 Gaussin lauseen graanen selostus Intuitiivinen kuvaus Huomauttakoon, että diva = V = 4G on lähdefunktio. Se kuvaa paljonko pinnan S sisäpuolella olevassa osa-avaruudessa painovoimakentän positiivisten ja negatiivisten lähteiden tiheyksiä (En. sources and sinks). Tilanne on täysin analoginen nesteen virtauskuvion kanssa: positiiviset lataukset vastaavat pisteisiin joista lisätään nestettä virtaukseen, negatiiviset lataukset vastaavat kaivoihin minkä kautta nestettä häviää. Vektori a on tässä vertauskuvassa virtauksen nopeusvektori; lähteiden ja kaivojen puuttuessa se täyttää ehdon diva = 0; mikä kuvaa ainemäärän säilyvyyttä ja kokoonpuristumattomuus. Toisaalta funktio ha kutsutaan usein vuofunktioksi (En. ux); ts. paljonko kenttää vuotaa ulos aivan nestevirtauksen tavoin pinnan S sisäiseltä avaruuden osalta ulospäin S:n kautta. Gaussin yhtälö toteaa molemmat määrät yhtä suureiksi: se on tavallaan kirjanpitolause joka vaatii, että kaikki mitä tuotetaan pinnan sisällä diva on tultava myös ulos pinnan kautta ha ni. Kuvassa 1.5 on graasesti selostettu, että lähteiden summa kappaleen sisäisen avaruusosan läpi, eli P (+ + + : : :), on oltava sama kuin vuon summa P (""" : : :) koko avaruusosaa rajoittavan reunapinnan yli.
29 1.11. Gaussin lause 15 a a + z z a + y a + x a x a y a z y x Kuva 1.6 Pieni kuutio Gaussin lauseen potentiaaliversio Kirjoitetaan Gaussin yhtälö hiemän eri tavalla, käyttämällä potentiaali painovoimavektorin V dv = ds; jossa on tehty yllä annetut sijoitukset. Tässä näkyy myös suosittua kappaleen pintaa tarkoittavaa notaatiota. Esitystapoja (1.15) ja (1.14) yhdistää kaavat (1.10) ja (1.9), V :n ja a:n välissä Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio Tarkastetaan pieni kuutio, jonka sivut ovat x; y; z; niin pieni, että kenttä a (x; y; z) on sen sisällä lähes lineaarinen paikan funktio. Kirjoitetaan a potentiaalin V gradienttina: jossa a = rv + + = ia x + ja y + ka z a ; a ; a : Nyt tilavuusintegraali V diva z x y z
30 16 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria kun taas pinta-integraali x ha ni ds a + x a y + a + y a y x z+ + a + z a z x y: Tässä on a + x komponentin a x :n arvo toisessa pinnassa x-suunnassa ja a x sen arvo toisessa pinnassa, jne. Esim. a + z on a z :n arvo kuution ylä- ja a z sen alapinnassa. Kuutiolla on tiettävästi kuusi pintaa, jokaisen kolmen koordinaattisuunnan ala- ja yläsuunnassa. Silloin a + x a + y a y a y; a + z a z; ja sijoittamalla nähdään, ha ni x x y y y x z z x y x y z; sama kaava kuin Eli tässä yksinkertaisessa tapauksessa Gaussin kaava pätee. Ilmeisimmin kaava pätee myös, jos näistä tiiliskiveistä rakennettaisiin suurempi kappale, koska eri tiiliskivien toisiinsa koskevat, vastaavat pinnat ovat vastakkaisesti orientoituneet ja putoavat pois pintaintegraalista. Hieman vaikeampaa on todistaa, että se pätee myös kappaleille, joilla on vinopintoja Greenin lauseet Kaytä Gaussin kaava vektorikentälle F = U! rv:
31 1.12. Greenin lauseet 17 Tässä U ja V ovat kaksi eri skalaarikenttää. Saadaan: divf D dv = E V!! = r U rv dv D = E V!! = U V dv + ru rv dv =! = U V @V + dv ja = V U rv n V hf ni ds = D U! rv n E ds ds: Lopputulos on ensimmäinen U V @V + V U ds: Tätä voidaan siivota koska vasemman puolen toinen termi on symmetrinen U:n ja V :n keskinäisen vaihdon suhteen. Vaihdetaan siis U ja V keskenään, ja vähennä saadut yhtälöt toisistaan. Tulos on toinen Greenin lause:! (U V V U) dv = @n Oletamme kaikissa operaatioissa, että funktiot U ja V ovat hyvin käyttäytäviä, ts. kaikki tarvittavat derivaatat jne. ovat kaikkialla kappaleessa V olemassa. Hyödyllinen erikoistapaus on se, missä funktioksi U on valittu: U = 1` ; jossa ` on etäisyys annetusta laskentapisteestä P. Tämä funktio U on hyväkäytöksinen kaikkialla paitsi juuri itse pisteessä P, jossa se ei ole määritelty. Siinä tapauksessa, että piste P on ulkopuolella, tulos saadaan yksinkertaisesti sijoittamalla: 1 V dv = ds: 1` Tämä tapaus on kuvattu kuvassa 1.7.
32 18 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria P etäisyys ` Pinta-elementti dv Pintanormaali n Kappale V Pinta S Kuva 1.7 Geometria G reenin kaavan johtamiseksi jos piste P on ulkopuolella Siinä tapauksessa, että piste P on sisäpuolella, laskenta mutkistuu jonkin verran. Kannattaa tutustua siihen ovelaan tekniikkaan, joka tässä tapauksessa, ja muissakin auttaa. Siksi kuvaamme sen lyhyesti. Muodostetaan pieni, -säteinen, pallero V 2 pisteen P ympäri; nyt muodollisesti voimme määrittää kappaleeksi V V 1 V 2, reikäjuusto, ja samalla sen tulee kaksiosainen 1. Nyt voidaan kirjoittaa tilavuusintegraali kahteen osaan:: V dv = V dv V dv; V ` V 1 ` V 2 ` missä toinen termi voidaan integroida pallokoordinaateissa: ˆ 1 V 2 ` V dv V P 4`2 1` d` = 2 V p 2 ; 0 mikä menee nollaan jos annetaan! 0: Pintaintegraaliksi saamme Gaussin integraalilauseen (1.15) 2 ds ds = 1 V dv 1 V 2 V P ; mikä myös menee nollaan jos! 0: Toinen pintaintegraali: V ds = 2 2 V 1 2 ds 42 2 V P : Yhdistämällä kaikki tulokset oikeilla etumerkeillään saadaan siis tapauksessa missä P on pinnan S sisäpuolella : 1 ` V dv = 4V P + ` ds; (1.17)
33 1.13. Chaslesin lause 19 Piste P osa 1 Tila V osa 2 Kuva 1.8 Geometria G reenin kaavan johtamiseksi jos piste P on sisäpuolella Tämän jälkeen lienee intuitiivisesti selvä, ja esitämme ilman sen kummempaa todistusta, että 1 ` V dv = 2V P + ` ds; 1` jos piste P on kappaleen V reunalla. Tämä kuitenkin edellyttää normaaliderivaatan, ja erityisesti normaalisuunnan, olemassaoloa juuri pisteessä P! Geodesiassa tyypillinen on tilanne missä kappale jonka tilavuuden läpi halutaan laskea volyymi-integraali, on koko maapallon ulkopuolinen avaruuden osa. Tässä tapauksessa kätevästi V = 0 ja koko integraali menee nollaksi. Tulosta (1.17) voidaan yleistää tähän tapaukseen, missä V on koko avaruus pinnan S ulkopuolella. Tämä yleistys tehdään valitsemalla pinnaksi S nyt kolmiosainen pinta S = S 1 +S 2 +S 3 ; missä S 3 on suurisäteinen pallo P :n ympäri. Sen säde annetaan jälkeenpäin limiitissä kasvaa äärettömyyteen, jolloin kaikki integraalit sekä pinnan S 3 että sen ulkopuolella olevan avaruusosan yli häviävät. Myös pinnan S 3, kuten yllä käytetyn pikkupalleron, normaalisuunta on käänteinen eli normaali on sisäänpäin, Maapalloon päin, suuntautunut. Lopputulos on:! ds; (1.18) V 1 ` V dv = 4V V 1` Koska tässä tapauksessa, missä V on Maapallon ulkopuolinen avaruuden osa, vasemmanpuolinen volyymi-integraali häviää, voidaan ilmaista pisteen P potentiaaliarvo kätevästi kaksitermisena pinta-integraalina yli. Ks. alla Chaslesin lause Tutkitaan yllämainittua tapausta missä kappale on ulkopuolinen avaruuden osa (siis käytännössä: Maapallon ulkopuolinen avaruus). Yllä johdetusta Greenin yhtälöstä (1.18) voidaan johtaa harmoniselle funktiolle V (ts. V = 0) ulkoavaruudessa: 1 V p = ds + 1 V ds:
34 20 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Piste P Integrointitila V osa 2 Aine osa 3 osa 1 (Limiitti) Kuva 1.9 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle Tulkinta: mielivaltaisen pinnan ulkopuolinen, harmoninen potentiaali voidaan esittää pinnassa sijaitsevien, yksinkertaisen ja kaksinkertaisen pintatiheyden summana. Selostus: Yksinkertaisen massakerroksen tiheys saadaan kaavan (1.11) avulla: = ; kaksinkertaisen massatiheyden kerroksen tiheys saadaan kaavan (1.13) avulla: = V 4G : Jos tätä sijoitetaan" kaavaan (1.19), saadaan: V P = G # Siinä tapauksessa että on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, seuraa että yksinkertainen massatiheyskerros riittää, koska @ ds = V 0 1` ds = koska oikeanpuolinen integraali on nolla Gaussin lauseen perusteella (funktio 1 =` on harmoninen V:n sisällä). Tämä on Chaslesin lause 4, myös kutsuttu Greenin vastaavan kerroksen lauseeksi (en. equivalent layer theorem). 4 Michel Chasles,
Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271
Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271 Martin Vermeer martin.vermeer@hut.fi g N N 14. toukokuuta 2015 Kurssiesite Laajuus 5 op Opetusjakso III, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä. Osaamistavoitteet Kurssin
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotFysikaalinen geodesia 53516
Fysikaalinen geodesia 53516 g N N Martin Vermeer martin.vermeer@aalto.fi Esipuhe Tämän kirjan tavoitteena on esittää Maan painovoimakentän 1 tutkimuksen nykytilan yleiskuvan, mukaanlukien ne geofysiikan
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotF x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään
31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotRAK-31000 Statiikka 4 op
RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotSijoitus integraaliin
1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt
MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt Antti Rasila 2016 Vektorit Pysty- eli sarakevektori v = ( v1 v 2 missä v 1, v 2 ovat v:n komponentit. ), Matriisilaskenta 2/6 Vektorit
LisätiedotFYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotOpetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille: Teknillinen fysiikka ja matematiikka
Kurssin nimi ja koodi MS-A0001 Matriisilaskenta 5 op (Matrisräkning, Kuvaus: kurssi käsittelee lineaarisia yhtälöryhmiä sekä vektoreita ja matriiseja sovelluksineen. Sisältö: vektorilaskentaa, matriisit
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotOpetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille:
Kurssin nimi ja koodi Muut kommentit MS-A0001 Matriisilaskenta 5 op (Matrisräkning, Kuvaus: kurssi Teknillinen fysiikka ja matematiikka käsittelee lineaarisia yhtälöryhmiä sekä vektoreita ja matriiseja
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Lisätiedot