Pulttiliitoksen laskentalomake

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pulttiliitoksen laskentalomake"

Transkriptio

1 Tampereen ammattioreaoulu Raennusteniian oulutusojelma Talonraennusteniia Olli Mattila Opinnäytetyö Pulttiliitosen lasentalomae Eurooodi 5:n muaan Työn ojaaja Työn tilaaja Tampere 05/009 DI Raimo Koreasalo KPM-Engineering Oy, valvojana ra.ins. Heii Löytty

2 Tampereen ammattioreaoulu Raennusteniian oulutusojelma, Talonraennusteniia Mattila, Olli Pulttiliitosen lasentalomae 31 sivua + 1 liitesivu Tououu 009 Työn ojaaja DI Raimo Koreasalo Työn tilaaja KPM-Engineering Oy, valvojana ra.ins. Heii Löytty Tiivistelmä Tämän opinnäytetyön tulosena syntyi pulttiliitosien mitoitusojelma, joa perustuu tunnettuun tauluolasentaojelmaan. Ojelma sisältää erilaisia liitostyyppejä puusauvojen ja liitoslevyjen välille. Lasentalomaeen on taroitus palvella yritystä myös tulevaisuuden tarpeissa. Raporttiosa äsittelee pulttiliitosen mitoitusen vaieet, niin uin ne on äytetty lasentalomaeessa, ja lasentalomaeen teossa äsitellyt asiat. Lisäsi raportti äsittelee standardeja ja syitä misi työ on tety. Ytenä osana työtä oli myös artoittaa lasentalomaeen madolliset eitysmadollisuudet ja tutia, millaisille ojelmille on jatossa tarvetta. Lasentalomaeen toimivuuden taristamisesi työn loppuun on tety lasentaesimeri. Lasuesimerin lisäsi toimesiantaja tarastutti ojelman ja näin toimivuus saatiin varmistettua. Avainsanat eurooodi, pulttiliitos, lasentalomae

3 TAMK University o Applied Sciences Construction Engineering, Building construction Mattila, Olli ield seet or bolted connections 31 pages + 1 appendix page May 009 Tesis Supervisor Raimo Koreasalo (MSc) Co-operating Company KPM-Engineering Ltd, supervisor engineer Heii Löytty Abstract Tis tesis is made or KPM-Engineering Ltd. As a result o tis tesis, te Excel program or bolted connections as been made. Te program contains some dierent connection types or timber and gusset plates. Te ield seet is purposed to serve te company in te uture needs. Te report part o tis tesis deals wit calculations o bolted connections same way as tey are used in Excel. It also deals wit matters tat were tougt wen te wor was done. One part o tis report was to inquire ow large development potential tis tesis as and wat oter inds o ield seets are needed in te company. Te last part o tis report is te calculation example o one ind o bolted connection. It is made or ensure tat te program is woring correctly. Keywords eurocode, bolted connection, ield seet

4 Tampereen ammattioreaoulu Raennusteniian oulutusojelma Talonraennusteniia Sisällysluettelo 1 Jodanto... 6 Standardit Lasentalomaeen eitys Sisältö Uloasu Ongelmat Keitysmadollisuudet Mitoitus Yleistä Vaatimuset Lätöarvoja Leiausestävyys Läpiloeamismurto Haleamisestävyys Teräslevyjen mitoitus Teräslevyn vetoestävyys Teräslevyn reunapuristusestävyys Teräslevyn palamurtuminen Lasentaesimeri Lätötietoja Vaatimuset Leiausestävyys Läpiloeaminen Haleamisestävyys Lopputulos Yteenveto Läteet Liitteet... 3 Liite 1: Esimerilasun tuloste... 3

5 1 Jodanto Suomessa luovutaan raentamismääräysooelman mitoitusojeista vuonna 010, ja tämän jäleen aii suunnittelu tulee tedä eurooodin pojalta. Kuten muutin vastaavat yrityset, myös KPM-Engineering Oy, suunnittelee vielä pääasiassa vanan normin muaan. Tämän vuosi KPM-Engineering Oy tarjosi opinnäytetyösi mitoituslomaeen eitystä. Osastonpääliön anssa äydyissä esusteluissa päädyttiin soveltamaan tauluolasentaojelmaa, joa voidaan nimetä mitoitus-excelisi. Työn taroitus on eittää yleisimmille puuosien pulttiliitosille lasentalomae. Työn oessa tulisi myös iinnittää erityisesti uomiota lomaeen äytettävyyteen, seleyteen ja myös ulonäöön. Ytenä osana työtä olisi artoittaa yritysen sisällä, minälaisia lasentaojelmia tarvitaan, un siirrytään eurooodin muaiseen suunnitteluun. Varsinainen opinnäytetyö olisi yritysen äyttöön tuleva väline, joa elpottaa suunnittelijan työtä analien lasujen anssa ja tarjoaa yrityselle lätöodan tulevaisuudessa tarvittaville uusille lasentalomaeille.

6 6(3) Standardit Vuonna 007 elouussa otettiin Suomessa äyttöön eurooodi-standardi (EN). Tästä aloi ns. siirtymäaia eurooodeiin. Siirtymäaiana Suomessa on madollista äyttää olmenlaisia suunnittelumääräysiä. Ne ovat EN-eurooodit (ansalliset liitteet, NA), ENV-eurooodin esistandardi (ansalliset soveltamisasiairjat, NAD) seä Suomen raentamismääräysooelman B-sarja. Joainen em. suunnittelumääräysistä on oma oonaisuutensa, eiä niitä tule äyttää suunnittelussa ristiin toistensa anssa. Nyt äytössä olevasta B-sarjasta on taroitus luopua Tämän vuosi monilla suunnittelutoimistoilla on jo iire tietojensa päivittämisessä eurooodien muaisisi. Suomessa on myös paljon äytetty valmistajien ja ydistysten laatimia suunnitteluojeita. Tällaisia ovat esimerisi Betoniydistys BY ja Raennusinsinöörien liitto RIL. Suuri osa näistäin ojeista perustuu vielä vanoiin ansallisiin normeiin, mutta osa on jo päivitetty eurooodeiin. Esimerisi RIL on julaissut Puuraenteiden suunnitteluojeen (RIL ), joa perustuu eurooodi EN :een. Tässä ojeirjassa on tiivistetysti ja äyttäjäystävällisesti oottu EN :n täreimmät asiat. Osaa aavoista on myös muoattu elpommisi ja lasemaan ieman varmalle puolelle. Kyseistä julaisua äytin pääasiassa laatiessani pulttiliitosen mitoitus-exceliä. Vaia erilaiset liitot ovat teneet erilaisia suunnittelua elpottavia ojeita, eurooodeilla laseminen on silti osoittautunut ieman analammasi uin vanojen normien muaan lasenta. Varsinainen mitoitus ei ole merittävästi muuttunut ainaaan puuraenteiden mitoitusessa, mutta muaan on tullut monia uusia ertoimia, joiden tuntemus vaatii ovasti peretymistä niiin. Joiltain osin mitoitus on muuttunut myös taremmasi, ja tämä tuottaa lisää töitä. Erityisesti uormien lasenta eurooodien muaan on uomattavasti aastavampaa uin vanan raentamismääräysooelman muainen. Näiden tosiasioiden perusteella voidaan todeta, että eurooodeiin siirtyminen vaatii suunnittelijoilta asiaan syvällistä peretymistä ja paljon lisätöitä. Tämä tulee uluvan vuoden aiana ja jatossain uormittamaan suunnittelutoimistoja uomattavasti.

7 7(3) 3 Lasentalomaeen eittäminen 3.1 Sisältö Lasentalomaeen eittäminen aloi sisällön potimisesta. Työ aloitettiin yselemällä muilta työtovereilta, millaisille liitosille ojelma tulisi eittää. Mielipiteiden lisäsi tämän raportin laatija aaruoi itse työn laajuutta luiessaan suunnitteluojetta. Lasennassa päätin soveltaa pääosin RIL:n suunnitteluojetta. Tämä oje on uitenin ysinertaistettu varsinaisesta eurooodista, ja sisi sen ojeiden muaan ei voi lasea aivan aienlaisia liitosia. Näiden podintojen jäleen ja työn ojaajan anssa äydyn esustelun perusteella valittiin liitoset, jota tulevat muaan mitoitusexceliin. Kuviossa 1 on otos lasenta- Excelin etusivulta, ja siitä selviää avainnollisesti, mitä liitoset ovat päässeet muaan. Kuvio 1 Lasentalomaeen etusivu ja liitostyypit Erilaisista puutyypeistä muaan otettiin yleisimmät saatavara- ja liimapuulaadut. Valitettavasti ertopuut oli pao jättää pois, osa niiden lasennassa äytetään osittain erilaisia aavoja, ja se olisi vaieuttanut Excelin teemistä uomattavasti. Puulevyistä muaan valittiin vain vaneri, osa sitä äytetään paljon enemmän uin esim. lastulevyä. Kaii vanerilaadut, jolle RIL esittää lujuusarvoja, ovat muana vaitoetoina.

8 8(3) Oleellinen asia lasentapojan eittämisessä on sen äyttäjäystävällisyys. Tään panostettiin luomalla erilaisia valintanappeja ja -valioita, joista äyttäjä voisi valita oiean vaitoedon omaan työönsä. Usein uitenin tällainen toiminto rajoittaa vaitoetoja eiä sisi sovi äytettäväsi. Pelät tuloset eivät usein riitä suunnittelijalle, vaan tarvitaan myös tapa, jolla asia voidaan esittää asiaaalle tai tarastajalle. Tämän vuosi joaisesta lasennasta opioituvat tiedot tulostuspojalle, jota suunnittelija voi jaaa eteenpäin. Tulostuspoja tuli yrityseltä. Näin pyritään saamaan oo yritysen tulosteet ytenäisisi ja seleisi. Tulostuspojan uloasu on liitteestä 1, jossa on esitetty esimerilasun tulos. Käyttäjän olisi myös täreää tietää mitä normia lasentalomae äyttää. Tätä varten päätettiin tedä erillinen ino-sivu, josta selviävät äytettyjen normien lisäsi Excelin version numero ja madollisesti uomatut ja orjatut vireet. Sisällön tavoitteesi asetettiin tedä valituista liitostyypeistä madollisimman yleispätevät ja seleät lasentapojat. Tämä osoittautui työn edetessä yvin aastavasi, jopa madottomasi. 3. Uloasu Keitysen alussa eseinen asia oli myös lasentalomaeen uloasu, osa sillä voidaan vaiuttaa yvin paljon äyttäjäystävällisyyteen ja seleyteen. Seleä järjestys on täreä myös sen taia, että se väentää äyttäjien vireitä. Tämän vuosi on täreää, että äyttäjien syöttämät odat on seleästi eroteltu muista. Reunusten äyttö elpottaa asioiden toisistaan erottelua, ja sillä voi lisätä seleyttä. Myös väriteosteilla voi orostaa eri enttiä. Excelissä voidaan äyttää testin värjäystä ja solun taustan värjäystä. Työssä päädyttiin muotoiluun, jossa vasemmassa reunassa on solun selite tai symboli. Noin näytön esellä on valintasolu, jossa on joo vetovalio tai täytettävä solu. Täytettävät solut on värjätty ruseisi, ja sivun ylälaidassa on oje, että äyttäjä täyttää nämä solut. Näytön oieaan reunaan sijoitettiin uvia, joiden taroitus on selventää

9 9(3) äyttäjälle solujen täyttöä ja oo liitosta yleensä. Kuviossa on esimeri ydestä Excelin lasentaosasta. Kuvio Esimeri lasentalomaeesta Kuvat ovat usein paraita selvittämään asioita, mutta ne vievät paljon tilaa. Ytenä täreänä asiana pidettiin myös tauluon ooa. Lasentalomaeen seleyden annalta olisi yvä, että se matuisi näytölle, niin ettei äyttäjän tarvitse liiua ylös ja alas jatuvasti. Tältä on usein uitenin vaieaa välttyä. Täreämpää on, ettei äyttäjä joudu liiumaan tauluon sivusuunnassa. Hiiren rullalla ylös ja alas pääsee uitenin melo ätevästi. Lasennassa on myös paljon sellaisia ertoimia ja välitulosia, joiden ei välttämättä tarvitse olla näyvillä. Piilottamalla nämä rivit lasentalomaeesta saatiin utistettua sen pituutta uomattavasti. Jos näitä tietoja jou uitenin aipaa, ne saa näppärästi esiin adella iiren painallusella. Vasemmassa reunassa sijaitsevat solun selitteet vaativat monesti myös oman selitteensä. Tuntuu eä omituiselta tedä selitteen selitteitä, mutta josus niin on pao toimia. Ainain symbolit on jossain selitettävä. Niiden selittämiseen äyttettiin Excelissä ommentti-toimintoa. Kommentti-testi menee piiloon, mutta sen saa esiin viemällä

10 10(3) iiren solun päälle. Tämä on oivallinen tapa piilottaa ojeita, jota saattavat josus olla pitiäin. Varsinaisen lasentaosan alle sijoitettiin erillinen tulostussivu. Tulostussivu ei lase enää mitään uutta, vaan sinne opioituvat yläällä lasetut tuloset. Käyttäjän täytyy ainoastaan täyttää nimiön tiedot. Tulostussivulle tulee punainen uomautustesti, jos yllä olevissa lasennoissa on apasiteettien ylitysiä. Samat uomautuset tulevat esiin myös lasentaosassa, ja ne on linitetty tulosteeseen, ettei vireitä tulisi. Liitteessä 1 on malli ydestä tulosteesta. 3.3 Ongelmat Työn eitysen aiana vastaan tuli luuisia ongelmaotia, jota liittyivät eurooodeiin ja Excelin äyttöön. Eurooodeiin liittyvissä ongelmissa työtoverit auttoivat yvin paljon. Muutamassa tapausessa oltiin yteydessä myös VTT:n erioistutija Ari Kevarinmäeen, jolta saatiin vastauset myös vaieisiin ysymysiin. Työpaian oma at-osasto auttoi ansioaasti Exceliin liittyvissä ongelmissa. Suurin ongelma oli uitenin tavoiteltu yleispätevyys. Vaia liitostyypit oliin valittu taroin ja niitä arsittiin työn elpottamisesi, olisi niitä pitänyt silti lisätä. Ongelma liittyy läinnä siien, että eurooodilla lasettaessa liitoset lasetaan yvin tarasti. Tästä jotuen joainen erilainen liitos lasetaan eri tavalla. Sisi ainoa varma tapa siien, että äyttäjä ja lasentalomae toimivat oiein, olisi se, että joainen erilainen liitos olisi oma lomaeensa. Jos niin olisi, myös äyttö olisi uomattavasti elpompaa. Ysi ongelma tuli vastaan näyttöjen resoluutiossa. Kuten aiaisemmin uloasua äsittelevissä appaleessa irjoitettiin, olisi yvä että oo lasenta matuisi äyttäjän näytölle erralla. Lasentalomae on tety tavanomaiselle työoneelle, jona näytölle se sopii oiein yvin, mutta se ei madu esimerisi annettavan tietooneen näytölle samanlaisena. Ysi vaitoeto olisi ollut se, että tauluo olisi puristettu niin pienesi, että se sopisi pieneenin näyttöön yvin. Työpaian esustelujen pojalta päädyttiin isompaan ooon, sillä suurin osa yritusen näytöistä on samaa ooa.

11 11(3) 3.4 Keitysmadollisuudet Aiataulu ja työn muana selvinneet ongelmaodat aieuttivat sen, että joitain otia jouduttiin jättämään sivuun lasentalomaeesta. Sivuun ne jätettiin ainain opinnäytetyön osalta, mutta ajatusena oli, että työtä eitetään jatossa pidemmälle. Esimerisi ertopuun piti olla alun perin vaitoetona saatavaran ja liimapuun anssa joaisessa liitostyypissä. Kertopuuta äytettäessä laselma tulee uitenin osittain eri aavoilla, ja tämä olisi vaieuttanut lomaeen luontia. Jatossa on taroitus eittää lasentalomaetta siten, että ertopuullain voidaan pulttiliitoset lasea ytä ätevästi. Toinen jatossa toteutettava eitys olisi lasentalomaeen muunto tappivaarnaliitosia varten. RIL Puuraenteiden suunnitteluojeen muaan tappivaarnaliitosia lasettaessa sovelletaan pultteja osevia sääntöjä pieniä poieusia luuun ottamatta. Näissä liitosissa saadaan yden leieen leiausestävyys ertomalla vastaavan pulttiliitosen leiausestävyys ertoimella 0,8. Muutin muutoset lasentaan ovat yvin pieniä, ja näin ollen lasentalomaeen muutos olisi yvin elppo ja se tullaan varmasti myös teemään. Kuten aiaisemmin ongelmaodissa todettiin, tämä työ ärsi ongelmista, jota jotuivat ysittäisen tauluon liiallisesta tarjonnasta. Varsin oleellinen jatoeitys olisiin eritellä seleästi vedetyt ja puristetut liitoset seä liitoset, joissa liitosappaleet eivät ole samansuuntaisia. Tällä parannusella lasentalomaeesta tulisi äyttäjille elpommin ymmärrettävä ja vireiltä olisi elpompi välttyä. Läitulevaisuudessa yritysessä tullaan varmasti tuottamaan muitain samantapaisia Excel-tauluoita. Nämä ovat asiasisällöltään yvin erilaisia, eiä tämän työn pojaa voida aiissa suoraan äyttää. Työ on uitenin poiinut yviä suuntaviivoja siien, uina asioita tullaan jatossa tauluoissa esittämään. Esimerisi ino- ja tulostussivu ovat varmasti muana jatossa eitettävissä lasentalomaeissa. Puuraenneosastolla on jo jonin aiaa eitetty eurooodilasentaa elpottavia lasentaojelmia. Jo valmiita työaluja on esimerisi pientalon jäyistyslasentaan ja tuipaineen lasentaan. Samaan aiaan tämän työn anssa valmistui myös palien reiien ja iunapalien lasenta-excelit. Kestävyysiin on siis jo paljon peredytty eiä ainaaan vielä ole ilmennyt tarvetta uusille. Toinen oleellinen asia raenteiden

12 1(3) mitoitusessa on tietysti uormat. Kosa nämäään asiat eivät ole eurooodeissa ovin elppoja, onin yritysessä suunniteltu uormien lasentalomaeita. Suunnitelmat ovat läinnä ideatasolla, eiä niiden toteutusta ole vielä aloitettu. Kaii yritysen suunnittelijat ovat uitenin ytä mieltä siitä asiasta, että uormien lasentaojelmia tarvitaan. Niiden oteina tulisi olla läinnä tuuli- ja lumiuormat.

13 13(3) 4 Mitoitus 4.1 Yleistä Pulttiliitos voidaan mitoittaa puioliitosteorian muaisesti. Sitä varten tarvitaan tiedot materiaalien reunapuristuslujuusista, liittimen myötömomentista seä liitosen geometriasta. Puioliitosteorian eitti tansalainen K. W. Joanssen vuoden 1940 tienoilla. Tarastelumalli on varsin teoreettinen, mutta perustuu uitenin tetyiin oeisiin. Myöemmin eri teijät ovat soveltaneet sitä eri materiaaleille ja sitä on sovellettu myös naula- ja ruuviliitosiin. (Kangas 198.) Seuraavissa appaleissa esitetään Pulttiliitosen mitoitus, uten se on tety lasentaexcelissä. Kaavat perustuvat RIL julaisuun luuun ottamatta teollisten pulttien määrää (EN ) seä teräslevyn mitoitusta (EN & EN ). RIL :n aavat taas perustuvat EN :n aavoiin, mutta niitä on osittain ysinertaistettu ja ne jotavat varmalla puolella oleviin tulosiin. 4. Vaatimuset RIL : ota 8.5 Pulttiliitoset -oje osee liitosia, joissa pultin alaisija on alle 4 mm. Pultin vetomurtolujuus ei saa olla yli 800 N/mm (lujuusluoa 8.8). Puutavaran pasuus liitosen reunaosissa on oltava väintään 4 ja sisäosissa 5 ertaa pultinalaisija. Pultattujen puulevyjen ja puunliitosissa reunaliitososana äytettävän puulevyn pasuus on oltava t levy 80 * d mm (1), levy, aavassa d on pultin alaisija,levy, on puulevyn reunapuristuslujuus

14 14(3) Teräslevyn ja puun välisissä pulttiliitosissa pultin alaisijan masimi on 30 mm, eiä puun pasuudelle ole rajoitteita. Jos liitos on epäsymmetrinen tai siien odistuva voima on epäeseinen, täytyy siien syntyvä momentti uomioida lisärasitusena. RIL antaa ojeesi äyttää lasennassa 1,5-ertaista rasitusta, jollei syntyvää taivutusjännitystä muuten uomioida. 4.3 Lätöarvoja Varsinaisessa lasennassa aloitetaan lasemalla eri liitososille estävyysiä. Pulteille lasetaan myötömomentti seuraavalla aavalla: M,6 y 0,3* u, * d () Kaavassa u, on pultin vetomurtolujuuden ominaisarvo Seuraavana asiana on liitosen eri puuosien reunapuristusestävyysien lasenta. Kestävyyteen vaiuttaa oleellisesti voimansuunnan ja syysuunnan välinen ulma. Paras reunapuristusestävyys puulla on syysuunnassa ja uonoin syysuuntaan näden otisuorassa.,0,, (3) * sin α + cos α 90, 0, 0,08* (1 0,01* d) * ρ (4) 1,35 + 0,015* d avupuulle 90 1,30 + 0,015* d yteen suuntaan viilutetulle LVL : lle (5) 0,90 + 0,015* d letipuulle Kaavoissa α on ulma syysuuntaan näden ρ on puun ominaistieys

15 15(3) Jos liitosessa äytetään vaneria puutavaran lisäsi, vanerilevylle lasetaan oma reunapuristusestävyys. Seuraavassa aavassa ei uomioida syysuuntaa:, 0,11*(1 0,01* d) * ρ (6) aavassa ρ on vanerin ominaistieys 4.4 Leiausestävyys Riippuen siitä, mitä eri liitososia liitosessa on puun lisäsi, äytetään erilaisia aavoja leiausestävyyden lasennassa. Seuraavasi on esitetty RIL :n muaisia aavoja, joita on myös äytetty mitoitus-excelissä. Kirjaimet aavojen perässä taroittavat eri murtotapoja. Kaavoja vastaavat murtotavat on esitetty uviossa 3. Kuvio 3 Liitosten murtotavat (RIL )

16 16(3) Kun liitosessa on peliä puuosia tai puuosia ja puulevyjä, leiausestävyyden ominaisarvo voidaan lasea ytä leiettä oti seuraavasti: 3* M y 0,4* * tu * d * 1+ (A) R min * d * t u (7) * M y * * d (B) t u t1 *,1, min (8) t *,, min(, 1, ;,, ;, s, ) (9) missä t 1 ja t ovat liitosen reunaosien puiden pasuudet,1, ja,, ovat liitosen reunaosien reunapuristuslujuusien ominaisarvoja,s, on asileieisen liitosen esiosan reunapuristuslujuuden ominaisarvo Lasettaessa leiausestävyyttä teräslevyn ja puun välisessä liitosessa otetaan uomioon teräslevyn pasuuden ja pultin alaisijan sude. Kun ysileieisen liitosen toinen liitettävä osa on teräslevy, jona pasuus on t t d, leiausestävyyden ominaisarvo ytä leiettä oti voidaan lasea aavalla: 0,4* * t * d (C) R min (10) * M y * * d (D) aavassa t on puun pasuus Kun vastaavassa liitosessa teräslevyn pasuus on suurempi tai ytä suuri uin pultin alaisija, tulee lasea seuraavasti:

17 17(3) * t * d (E) 4 * M y R 1,3* * t * d * + 1 () (11) * d * t 3* M y * * d (G) Teräslevyn pasuuden ollessa välillä 0,5*d<t t <d tulee aavojen välissä äyttää lineaarista interpolointia. Liitosissa, joissa liitosen esiosa on teräslevyllinen ja reunaosat ovat puuta, lasetaan leiausestävyyden ominaisarvo aavan 11 muaan äyttäen puun pasuutena t ouemman puun pasuutta. Kun asileieisessä liitosessa uloimmat osat ovat teräslevyä, tulee leiausestävyyden ominaisarvo lasea aavalla: 0,5* * t * d (H) R min * M * * d un t 0,5* d (I) (1) y t 3* M y * * d un tt d (J) jos teräslevyn pasuus menee rajojen väliin, suoritetaan lineaarinen interpolointi esimmäisen ja alimman aavan välillä (murtotavat I ja J). Kun edellisten aavojen avulla on rataistu leiausestävyyden ominaisarvo leiettä oden, voidaan lasea yden leieen mitoitusestävyys aavalla: R d * R mod (13) γ m missä mod on uorman eston ja osteusvaiutusen muunnoserroin γ m on materiaalin osavarmuusluu Miäli liitosessa on äytetty ata tai useampaa puumateriaalia, äytetään sen materiaalin ertoimia jolla mod /γ m sude on pienempi. Koo liitosen mitoitusestävyyteen vaiuttaa vielä leieiden määrä ja teollisten pulttien määrä. Teollisten pulttien määrä lasetaan puun syiden suuntaiselle liitinriville. RIL sisältää aavan, jolla teollisesti toimivien pulttien

18 18(3) luumäärä voidaan lasea vedetyissä sauvanpääliitosissa. Kosa lasenta-excelin on taroitus lasea myös muunlaisia liitosia, päädyttiin äyttämään EN muaista aavaa. n n e min 0,9 a (14) 4 1 n 13* d aavassa a 1 on syysuuntainen pulttiväli n on samassa rivissä olevien pulttien määrä Voiman ollessa syysuuntaa vastaan otisuorassa pulttien teollisena määränä äyttää arvoa n e n (15) Eurooodin muainen aava madollistaa myös ulman vaitelun. Kun liitoseen odistuvan voiman ja puun syysuunnan välinen ulma α on välillä 0 < α < 90, teollisten pulttien määrä voidaan interpoloida lineaarisesti aavojen 14 ja 15 välillä. Koo liitosen leiausestävyys saadaan siis ertomalla yden leieen mitoitusestävyys leieiden määrällä, jossa on uomioitu teollisten pulttien määrä. 4.5 Läpiloeamismurto Läpiloeamismurrolla taroitetaan sitä, että puusta murtuu ns. esiosa liitinrymän piiriä pitin. Loeamismurto voi tapatua myös palaloeamisena, mutta sitä ei oteta uomioon pulttiliitosia lasettaessa, vaan se osee pelästään pintaliittimiä ja vaarnoja. Läpiloeamista ei tarvitse uitenaan pulttiliitosissa taristaa, jos aii liittimet ovat ydessä syysuuntaisessa rivissä eiä jos syysuuntaisten liittimien määrä on enintään neljä ja pulttien välinen etäisyys syitä vastaan otisuorassa a 5d. Läpiloeamistarastelu tulee suorittaa myös liitosen puulevyosille.

19 19(3) Liitospuun läpiloeamisestävyyden ominaisarvon aava: bt, Lnet, t * t1 * bt * t,0, (16) missä t,0, on puun vetolujuuden ominaisarvo t 1 Pultin sileän araosuuden tunema puussa bt 1,5 1,5 Saatavara ja liimapuu LVL L net, t ( D n 1) * ( a ) (17) n on liitinrivien luumäärä puunsyitä vastaan otisuorassa suunnassa a on pulttien välinen etäisyys syitä vastaan otisuorassa suunnassa (Vrt. lasentaesimerin uva 6) D on pultille poratun reiän alaisija Omanaisarvosta saadaan mitoitusarvo ertomalla mod :lla ja jaamalla γ m :llä. 4.6 Haleamisestävyys Jos voima vaiuttaa liitoseen vinossa ulmassa puunsyiin näden, syysuuntaan näden poiittaiset vetojännityset tulee ottaa uomioon tarastamalla puuosan aleamisestävyys. Haleamisestävyyttä varten täytyy tarasteltavasta puusta olla leiausvoimauvio, josta tarastetaan leiausvoiman arvo molemmin puolin liitosvoimaa. Näistä arvoista itseisarvoltaan suurempi on mitoittava eli seuraavan aavan v,ed. v ed 90, d, (18) missä 90,d on avupuun aleamisestävyyden mitoitusarvo

20 0(3) Haleamisestävyyden ominaisarvo lasetaan seuraavalla aavalla: 90, e 14* b * (19) e (1 ) Omanaisarvosta saadaan mitoitusarvo ertomalla mod :lla ja jaamalla γ m :llä. 4.7 Teräslevyjen mitoitus Kun liitosessa äytettään teräslevyjä, tulee niiden estävyys taristaa aina EN 1993:n muaan. Teräslevystä mitoitus-excelissä taristetaan sen vetoestävyys, reunapuristusestävyys ja palamurtuminen. Näiden lisäsi suunnittelijan tulee taristaa puristetussa liitosessa levyn nurjadus. Nurjaduspituudesi voidaan yleensä olettaa 0,8 ertaa liitossauman eri puolilla olevien pulttien etäisyys Teräslevyn vetoestävyys Vetoestävyyden lasenta on pulttiliitos-excelissä lasettu EN :n muaan seuraavilla aavoilla: N N Ed t, Rd 1,0 (0) aavassa N Ed on vetovoiman mitoitusarvo N pl, Rd N t, Rd min (1) N u, Rd N pl, Rd A* y () γ M 0 N u, Rd 0,9 * Anet * u (3) γ M

21 1(3) aavoissa A on bruttopoiileiausen pinta-ala A net on nettopoiileiausen pinta-ala y on teräsen myötöraja u on teräsen vetomurtolujuus γ M0 on osavarmuusluu γ M on osavarmuusluu Kaava lasee bruttopoiileiausen plastisuusteorian muaisen mitoitusarvon ja aava 3 nettopoiileiausen estävyyden mitoitusarvon liittimen reiien odalta Teräslevyn reunapuristusestävyys Reunapuristusestävyys lasetaan joaiselle pultille eriseen seuraavalla EN :n muaisella aavalla: b, Rd * a * 1 b u (4) γ M * d * t Kaavaan on eritelty a b ja 1 arvot sen muaan missä ne sijaitsevat liitosessa. Näiin arvoiin vaiuttavat reunaetäisyydet. Exceliin on uitenin tämä asia ysinertaistettu siten, että on lasettu vain pain tapaus ja se errottu leieiden määrällä, osa tämä ei tule oiein mitenään määrääväsi teijäsi Teräslevyn palamurtuminen Kuten edellinen ota myös palamurtuminen on arvoin määräävä murto ns. normaalissa tapausessa, mutta Excel lasee tämän siitä uolimatta. Palamurtumisessa taristetaan erilaiset palaloeamiset siten, että voiman suuntaa vasten otisuora poiileiauspinta-ala mitoitetaan vedolle ja voiman suuntainen poiileiauspintaala leiauselle. Palamurtumisen aava löytyy EN irjasta.

22 (3) V e,1, Rd * A u γ M nt ( + 1 ) * 3 γ M 0 y * A nv (5) missä A nt on vedon rasittama nettopinta-ala A nv on leiausen rasittama nettopinta-ala

23 3(3) 5 Lasentaesimeri Seuraavassa ysinertaisessa lasuesimerissä näytetään uina olmen puun välinen pulttiliitos voidaan mitoittaa eurooodin muaisesti. Käsin lasenta toimii myös ytenä taristuseinona Excelin toimivuuden ja luotettavuuden varmistamisessa. Kuviossa 4 on esitetty 3d-uva liitosesta, jona apasiteetti selvitetään. Seuraavana alapuolella on uvio 5, josta voidaan todeta pulttien reunaetäisyydet ja muutenin liitosen mittasuteet. Kuvio 4 Liitosen 3-d malli

24 4(3) Kuvio 5 Liitosen oleelliset mitat 5.1 Lätötietoja Liitosessa on olme liitettävää puuta, jota ovat toistensa anssa samanooisia ja laatuisia. Puutavaran lujuusluoa on C4 ja puun dimensiot ovat 50 mm*00 mm. Puutavaran ominaistieys on 350 g/m 3 ja vetolujuuden ominaisarvo on 14 N/mm. Lasennassa valitaan äyttöluoa ja uormien aialuoa esipitä, jota vastaavat tilannetta tyypillisellä ristiolla. Pulttien alaisija on 10 mm ja lujuusluoa 8.8. Pulteille on porattu alaisijaltaan 11 mm leveät reiät. 5. Vaatimuset RIL :n muaisessa mitoitusessa on liitospuiden pasuusille esitetty minimit. Liitosen reunaosassa puun pasuus on oltava väintään 4*d ja esiosassa 5*d. Kosa puiden pasuus 50 mm ja pultin alaisija 10 mm, todetaan että puiden pasuus on riittävä.

25 5(3) Heti mitoitusen alussa on syytä myös taristaa pulttien minimivälit ja reunaetäisyysien miniarvot, jotta ne eivät ylity. Seuraavassa uviossa on määritelty taristettavat etäisyydet. Kuvio 6 Pulttivälien ja reunaetäisyysien määritelmät (RIL ) a1 (4 + cosα ) * d a 1 (4 + cos 5 ) * o a a 4* d 4* o 7 * d a3 t max 80 7 *10 a3 t max o

26 6(3) a 4t ( + * sinα ) * d max 3* d ( + * sin 5) * d a4t max 3* d o Kaii minimivälit seä -reunaetäisyydet täyttyvät, joten voidaan siirtyä eteenpäin lasussa. 5.3 Leiausestävyys Pultin myötömomentti: M M M y y y 0,3* u, * d 0,3*800*10,6, ,7Nmm Puun reunapuristusestävyys: ,35 + 0,015* d 1,30 + 0,015* d 0,90 + 0,015* d 1,35 + 0,015*10 1,5 avupuulle yteen suuntaan letipuulle viilutetulle LVL : lle,0,,0,,0, 0,08 *(1 0,01* d) * ρ 0,08 *(1 0,01*10) *350 5,83 N mm,,, 90,0, 5,83 1,5*sin 5 + cos 3,71N mm *sin α + cos α 5

27 7(3) Kosa aii olme puuosaa ovat saman pasuisia, :n arvo on sama uin yllä lasettu, ja t u :n arvosi tulee 50mm. R R R R R R R d d d 0,4* min * M * t y u * * d * * d 1+ * d * t 3* 95545,7 0,4* 3,71*50*10* 1+ min 3,71*10 * 50 * 95545,7 * 3,71* ,7N min 9519,N 5,78N mod γ * R m 0,8*5,78 1,4 3,30N 3* M y u ' Lasetaan syysuunnan teollisten pulttien määrä: n n n n e e e e n min 0,9 a 4 1 n 13* d 3 min 0, *10 3 min,, Liitosen leiausestävyys saadaan nyt ertomalla yden leieen lasentaestävyysteollisten pulttien määrällä (syysuunta), syysuuntaan näden otisuorasti olevien pulttien määrällä () ja leieiden määrällä (). R d, liitos 3,30 *, * * 9, 3 N

28 8(3) 5.4 Läpiloeaminen mm L L D a n L t net t net t net 33 11) 1) * (44 ( ) 1) * ( (,,, 1,5 LVL 1,5 liimapuu ja Saatavara 1,5 bt bt N N t L d bt d bt m bt d bt bt bt t bt t net bt 19,8 1,4 0,8*34,65 * 34,65 33*50 *1,5*14 /1000 * * *,,, mod,,,,0, 1,, γ 5.5 Haleamisestävyys N b d d m d e e 17,49 1,4 0,8*30,61 * 30,61 ) ( *100* ) (1 * 14* 90, 90, 90, mod 90, 90, 90, 90, γ

29 9(3) Yllä lasettua aleamisestävyyttä ei voi verrata muiin estävyysiin, osa sitä ei verrata suoraan vetävään voimaan. Haleamisestävyyttä varten täytyy vaaasuorista puista olla leiausvoimauviot, joista tarastetaan leiausvoiman arvo molemmin puolin liitosvoimaa. Näistä arvoista itseisarvoltaan suurin on mitoittava. 5.6 Lopputulos Laselmien perusteella esimeri liitosen apasiteetti vetävälle voimalle on noin 19N. Määrääväsi teijäsi tuli läpiloeamismurto. Tämän lisäsi tulisi vielä aleamisestävyyden tarastelu tedä loppuun. Se vaatisi uitenin oo raenneosan tuntemusta, että voitaisiin määrittää tarvittava leiausvoimauvio. Työn lopussa liitteessä 1 on tuloste samasta liitosesta joa on lasettu äyttämällä lasenta-exceliä.

30 30(3) 6 Yteenveto Tätä työtä oli yvin mieleniintoista tedä. Motivaatiota työn teoon lisäsi edottomasti ajatus, että siitä on yötyä yrityselle. Työ oli myös yvin opettavainen seä normien että ojelman äytön annalta. Vaia eurooodia ei jouduttu työn oessa selaamaanaan uin yvin pieneltä alueelta, ului asian ymmärtämiseen paljon aiaa. Raportin laatija on yvin tyytyväinen työ lopputuloseen, vaia siien jäiin paljon parannettavaa. Kun parannusmadollisuudet on uomattu, voidaan muutosia teemällä päästä taas ieman parempaan lopputuloseen. Yrityseltä tuli lasentalomaeen taristusen yteydessä paljon palautetta ja sitä pidettiin yvin täreänä osana oo työtä. Kritiiin autta pystyy näemään paraiten omat vireensä ja niistä tulee oppia. Palaute oli uitenin pääasiassa positiivista ja tämän opinnäytetyön laatija usoo, että myös yritys on yvin tyytyväinen työn lopputuloseen.

31 31(3) Läteet 1. Eurooodi elp des. [www-sivu]. Saatavissa: ttp:// Kangas, Jorma 198. Puuraenteet 3 Liitoset. Raentajain ustannus Oy. 3. RIL Puuraenteiden suunnitteluoje. 4. EN Suomen standardisoimisliitto SS. 5. EN Suomen standardisoimisliitto SS. 6. EN Suomen standardisoimisliitto SS.

32 3(3) Liitteet Liite 1: Esimerilasun tuloste

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT S 09771 08 1 (1) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 FI 15100 Lahti 3.9.2008 Simo Jouainen Ari Kevarinmäi VTT Asiantuntijapalvelut PL 1000 02044 VTT Puh. 020 722 5566,

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT S 07136 07 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 FI 15100 Lahti 7.5.2007 Simo Jouainen Ari Kevarinmäi VTT, Raennejärjestelmät PL 1000 02044 VTT Puh. 020 722 5566,

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo RuuviliitoSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... 1.1 Kansiruuvit... 1. Itseporautuvat ruuvit... Esiporaus... 3 Materiaalit... 3 4 Kuormitustapa... 4 5 Leiausrasitettu ruuvi... 4 5.1 Itseporautuvat

Lisätiedot

NAULALIITOSTEN MITOITUS

NAULALIITOSTEN MITOITUS NAULALIITOSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... Esiporaus... 3 Materiaalit... 4 Kuormitustapa...3 5 Leiausrasitettu naula...4 5.1 Puutavara-puutavara -liitos...4 5. Kerto-Kerto -liitos...5 5.3 Kerto-Puutavara

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-02366-17 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Riste Oy Asonatu 11 15110 Lahti 15.3.2017 Kimmo Köntti VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 02044 VTT Puh. 020 722 5566 ari.evarinmai@vtt.fi

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Riste Oy Kimmo Köntti Teollisuustie 7 1554 Villähde Kimmo Köntti, 5.11.218. Tilausvahvistus nro O-2679-18. Eurofins Expert Services Oy Ari Kevarinmäi Kemistintie 3, Espoo

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT S 00003 08 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 4.10.007 Simo Jouainen Ari Kevarinmäi VTT Asiantuntijapalvelut PL 1000 0044 VTT Puh. 00 7 5566, Fax. 00

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Liimapuuristikon liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täysin suojattu liitos)

Esimerkkilaskelma. Liimapuuristikon liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täysin suojattu liitos) Esimerilaselma Liimapuuristion liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täysin suojattu liitos) 8.5.014 3.9.014 MRT mitoitus Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI...

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle

Naulalevylausunto LL10 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-08165-13 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Tehtävä Yleistä Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 21.11.2013 Simo Jouainen VTT Expert Services Ltd Ari Kevarinmäi PL 1001, 02044 VTT Puh.

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET 28.4.2015 1.0 JOHDANTO Tässä osassa esitetään primäärirungon voimaliitosia ja niien mitoitusohjeita. Voimaliitoset mitoitetaan tapausohtaisesti määräävän uormitusyhistelmän

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Liimapuuristikon liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täysin suojattu liitos)

Esimerkkilaskelma. Liimapuuristikon liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täysin suojattu liitos) Esimerilaselma Liimapuuristion liitos murtorajatilassa ja palotilanteessa R60 (täsin suojattu liitos) 13.6.014 Sisällsluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT...- 3 - KUORMAT...- 3-3 MATERIAALI...- 3-4 MITOITUS MURTORAJATILASSA...-

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. 3-nivelkehän nurkkaliitos pulteilla

Esimerkkilaskelma. 3-nivelkehän nurkkaliitos pulteilla Esimerilaselma 3-nivelehän nuraliitos pulteilla 7.08.014 3.9.014 Sisällsluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3 - KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI... - 4-4 MITOITUS MURTORAJATILASSA... - 5-4.1 PULTIN LEIKKAUSJÄNNITYS...

Lisätiedot

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS REIKIEN J LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen vetolujuuen ansiosta Kerto -tuotteisiin on maollista teä reiiä. Reiät voivat olla joo pyöreitä tai suoraulmaisia. Erityisesti ristiviiluraenteinen

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

KPM-Engineering, valvojana DI Heikki Löytty

KPM-Engineering, valvojana DI Heikki Löytty Tampereen ammattioreaoulu Raennusteniian oulutusohjelma Talonraennusteniia Alesei Jeremin Opinnäytetyö Puuraenteien vertailulasennat Euroooi 5 ja venäläisen raennusnormiston muaisesti Työnohjaaja Työn

Lisätiedot

Välipohjan kestävyys. CrossLam Kuhmo CLT. Esimerkki Kuormitus. 2.0 Poikkileikkaus

Välipohjan kestävyys. CrossLam Kuhmo CLT. Esimerkki Kuormitus. 2.0 Poikkileikkaus simeri Välipohjan estävyys.0 Kuormitus Asuinraennusen välipohjan ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Seuraamusluoa on CC K FI,0 (ei esitetä laselmassa. Tässä laselmassa tarastetaan vain ysi

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)

Lisätiedot

T Puurakenteet 2. Kantavat puurakenteet Liimapuuhallin kehän mitoitus EC5 mukaan Harjapalkin mitoitus

T Puurakenteet 2. Kantavat puurakenteet Liimapuuhallin kehän mitoitus EC5 mukaan Harjapalkin mitoitus T500 Puuraenteet Kantavat puuraenteet n eän mitoitus EC5 muaan Harjapain mitoitus T500 Puuraenteet Lasuesimeri: n jäyäantaisen eän arjapain ja piarin mitoitus, pain ja piarin iitos ei ota momenttia Tämän

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Eksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

Eksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL

TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY. Myönnetty 28.8.2012. Kerto-S ja Kerto-Q Rakenteellinen LVL SERTIFIKAATTI VTT-C-184-03 Myönnetty 28.8.2012 TUOTTEEN NIMI VALMISTAJA Kerto-S ja Kerto-Q Raenteellinen LVL Metsäliitto Osuusunta Metsä Wood PL 24 08101 LOHJA TUOTEKUVAUS SERTIFIOINTIMENETTELY Kerto-S

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

Siltaeurokoodien koulutus - Teräs-, liitto- ja puusillat 29-30.3.2009

Siltaeurokoodien koulutus - Teräs-, liitto- ja puusillat 29-30.3.2009 Uuen Euroooi 5:n yleisesittely itt l Siltaeuroooien oulutus - Teräs-, liitto- ja puusillat 9-30.3.009 Maru Kortesmaa Euroooi 5, Puuraenteet EN 1995-1-1: Euroooi 5: Puuraenteien suunnittelu. Osa 1-1: Yleiset

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

Kerto-tuotteet ovat CE-merkittyjä standardin EN mukaisesti.

Kerto-tuotteet ovat CE-merkittyjä standardin EN mukaisesti. SERTIIKAATTI NRO 184/03 Myönnetty 24.3.2004 Päivitetty 17.5.2016 TUOTTEEN NIMI. VALMISTAJA Kerto-S ja Kerto-Q Raenteellinen LVL Metsäliitto Osuusunta Metsä Wood PL 24 08101 LOHJA TUOTEKUVAUS Kerto-S ja

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Kantavat puurakenteet Liimapuuhallin kehän mitoitus EC5 mukaan Laskuesimerkki Harjapalkin palomitoitus

Kantavat puurakenteet Liimapuuhallin kehän mitoitus EC5 mukaan Laskuesimerkki Harjapalkin palomitoitus T53003 Puuraenteet Kantavat puuraenteet Liimapuuhallin ehän mitoitus EC5 muaan Lasuesimeri Harjapalin palomitoitus T53003 Puuraenteet Liimapuuhalli palomitoitus Harjapalin mitoitus: Erityisohjeita palomitoitusessa:

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,

Lisätiedot

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1. 1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu

Lisätiedot

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS

REIKIEN JA LOVIEN MITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS REIKIEN JA LOVIEN ITOITUS Leiauslujuuen ja poiittaisen etolujuuen ansiosta Kertotuotteisiin on mahollista tehä reiiä. Erityisesti ristiiiluraenteinen soeltuu ohteisiin, joissa

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Aukkopalkin kestävyys

Aukkopalkin kestävyys simeri 3 Auopain estävyys 1.0 Kuormitus Auopain ominaisuormat on esitetty aa oevassa uvassa. Tarasteaan paia ysiauoisena nivepäisenä paina. Seuraamusuoa on CC K FI 1,0 (ei esitetä asemassa). Tässä asemassa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenillinen tiedeunta Ympäristöteniian oulutusohelma BH10A0300 Ympäristöteniian andidaatintyö a seminaari SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO

VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten HÄMEENLNNAN KESKUSTAN LÄNSREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLSTEN AKTUKSTEN ARONT Yleisaavoitusta varten Hämeenlinnan esustan liietilan ehitys 2005-2020 lineaarinen asvu n. 2 % /v. 160 000 140 000 120 000

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

Suomen YK-liiton lausunto vuoden 2019 talousarviosta ulkoasiainhallinnon alalta

Suomen YK-liiton lausunto vuoden 2019 talousarviosta ulkoasiainhallinnon alalta Suomen YK-liiton lausunto vuoden 2019 talousarviosta uloasiainhallinnon alalta Rahapula uhaa YK:n uudistamista - Suomen vahva tui ansainväliselle sääntöpohjaiselle järjestelmälle entistäin täreämpää 2.10.2018

Lisätiedot

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus

Lisätiedot

Varmennustestiraportti

Varmennustestiraportti Luottamuksellinen Varmennustestiraportti Naula- ja ruuviliitoksen kestävyys Testausraportti: Puikkoliitinpohja Pohjan tekijä: Ramboll Testaaja: Pohjois-Karjalan AMK Testattu versio: 1.0 (tiedostonimi 0211)

Lisätiedot

Runkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere

Runkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere Tampereen aupuni Juha Jaaola PL 487 33101 Tampere LAUSUNTO RAIDELIIKENTEEN NOPEUDEN KASVATTAMISESTA RANTA- TAMPELLAN ALUEEN RUNKOMELU- JA TÄRINÄRISKIIN Ranta-Tampellan alueen tärinää on arvioitu selvitysessä

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 1 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.

Lisätiedot

OHJEITA MTHL:n TEOLLISUUSERISTYS- JA RAKENNUSPELTIALAN TYÖNTEKIJÖIDEN PALKKATILASTOILMOITUKSEN TÄYTTÄMISTÄ VARTEN

OHJEITA MTHL:n TEOLLISUUSERISTYS- JA RAKENNUSPELTIALAN TYÖNTEKIJÖIDEN PALKKATILASTOILMOITUKSEN TÄYTTÄMISTÄ VARTEN MTHL:N TEOLLISUUSERISTYS- JA 1(7) RAKENNUSPELTIALAT 2.1.2007 RSg OHJEITA MTHL:n TEOLLISUUSERISTYS- JA RAKENNUSPELTIALAN TYÖNTEKIJÖIDEN PALKKATILASTOILMOITUKSEN TÄYTTÄMISTÄ VARTEN 1. NELJÄNNESVUOSITIEDOT

Lisätiedot

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Kuva 1. LL13 Haponkestävä naulalevyn rakenne.

Kuva 1. LL13 Haponkestävä naulalevyn rakenne. LAUSUNTO NRO VTT-S-04187-14 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenkilö Lahti Levy Oy Askonkatu 11 FI-15100 Lahti 15.9.2014 Kimmo Köntti VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäki PL 1001, 02044 VTT Puh. 020 722 5566,

Lisätiedot

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/6

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/6 1/6 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitetaan kuvan mukaisen kaksileikkeisen ruuviliitoksen kestävyys Rd. Ruuvit ovat lujuusluokan A-50 ruostumattomia M16 osakierteisiä ruuveja. Liitettävät

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

2 1016/2013. Liitteet 1 2 MUUTOS ELÄKEKASSOJEN LASKUPERUSTEISIIN TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA KUSTANNUSTEN JAKOA VARTEN

2 1016/2013. Liitteet 1 2 MUUTOS ELÄKEKASSOJEN LASKUPERUSTEISIIN TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA KUSTANNUSTEN JAKOA VARTEN 06/03 Liitteet MUUOS ELÄKEKASSOJEN LASKUPEUSEISIIN YÖNEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISA KUSANNUSEN JAKOA VAEN 06/03 3 Liite VAKUUUSEKNISE SUUEE Näissä perusteissa esiintyät auutusteniset suureet lasetaan yel:n

Lisätiedot

Julkaistu Helsingissä 21 päivänä marraskuuta /2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus

Julkaistu Helsingissä 21 päivänä marraskuuta /2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus SOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA Julaistu Helsingissä 21 päivänä marrasuuta 2011 1144/2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus vahinovauutusyhtiön oiaistun vaavaraisuuspääoman rajojen, tasoitusmäärän ja sen rajojen

Lisätiedot

ESIM. ESIM.

ESIM. ESIM. 1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

SISÄLLYS. N:o 622. Sosiaali- ja terveysministeriön asetus

SISÄLLYS. N:o 622. Sosiaali- ja terveysministeriön asetus SUOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA 2008 Julaistu Helsingissä 1 päivänä loauuta 2008 N:o 622 SISÄLLYS N:o Sivu 622 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus vahinovauutusyhtiön oiaistun vaavaraisuuspääoman rajojen, tasoitusmäärän

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

EUROKOODI 7 Esimerkkilaskenta maanvaraiselle anturaperustukselle. Kantokestävyys, liukumiskestävyys ja painuma

EUROKOODI 7 Esimerkkilaskenta maanvaraiselle anturaperustukselle. Kantokestävyys, liukumiskestävyys ja painuma EUROKOODI 7 Esimerilasenta maanvaraiselle anturaperustuselle Kantoestävyys, liuumisestävyys ja painuma Jori Lehtiangas A-Insinöörit Suunnittelu Oy Geosuunnittelu 18.8.009 I Sisällys 1 ARMUUSMENETTELY EUROKOODI

Lisätiedot

Työ ja energia. Haarto & Karhunen.

Työ ja energia. Haarto & Karhunen. Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =

Lisätiedot

Muuntaja ja generaattori, laskuharjoitukset

Muuntaja ja generaattori, laskuharjoitukset EEC-E849 Muuntaja ja generaattori, lasuharjoituset. Kasi muuntajaa T ja T on ytetty rinnan V:n ja 0 V:n isojen välille. Muuntajan T arvot ovat /0 V, 00 MVA, 0 % (00 MVA:n perusteholla) ja muuntajan T arvot

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Sisällysluettelo. Laskuesimerkki: Leikkausrasitetun pulttiliitoksen mitoitus...13

Sisällysluettelo. Laskuesimerkki: Leikkausrasitetun pulttiliitoksen mitoitus...13 pulttiliitosten MITOITUS Sisällsluettelo Yleistä... Materiaalit... 3 Kuormitustapa... 3 4 Leiausrasitettu pultti... 3 4. Puuosien välinen liitos... 3 4. Puu/puulevliitos... 4 4.3 Puu/teräslevliitos...

Lisätiedot