Huygensin periaate Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V

Transkriptio

1 Aukko-antennit Neljästä an ten n ien p ääry h m ästä o n en ää k äsittelem ättä y k si, au k k o an ten n it. A u k k o an ten n ien rak en teessa o n jo k in au k k o, jo n k a k au tta säh k ö m ag n eettiset aallo t k u lk ev at. V astaan o tto tilan teessa au k k o to im ii aalto jen k erääjän ä. E sim erk k ein ä o v at to rv i- ja h eijastin an ten n it. Ne o v at y leisiä U H F - ja sitä k o rk eam m illa taaju u k silla (3 0 0 M H z-) ja n iille o n o m in aista h y v in su u ri v ah v istu s ja iso illa au k k o an ten n eilla v ah v istu k sen k asv u taaju u d en fu n k tio n a. A u k k o an ten n ien sy ö ttö im p ed an ssi o n läh es reaalin en.

2 Aukkoantennien säteilykenttien laskenta perustuu Huygensin periaatteelle. Huygensin periaate perinteisessä muodossaan sanoo, että aaltorintaman jokainen piste toimii alkeispalloaaltojen lähteenä. T aso- ja palloaallot voidaan selittää näillä alkeisaalloilla (kuva 7-1 ). Huygensin periaatetta matemaattisessa muodossa kutsutaan ekvivalenttisuuden periaatteeksi. Ekvivalenttisuuden periaate korvaa aukkoantennin ekvivalenttisillä virroilla, jotka muodostaa samat säteilykentät kuin itse antenni.

3 Jos kuvan 7-3a mukaisessa tilanteessa tehtävää muutetaan siten, että alueen V pinnalla S reunaehdot pysyvät samoina, ja lähteet V :n ulkopuolella säilyvät, Max w ellin yhtälöiden ratkaisutkin alueen V ulkopuolella pysyvät samoina. O letetaan nyt, että alueessa V kentät ovat nollia. Jotta reunaehdot pinnalla S, ja sitä kautta myös kentät V :n ulkopuolella, pysyisivät samoina kuin alkuperäisessä tapauksessa, pitää pinnalla S esiintyä kenttien hyppäystä vastaavat virrat J S = ˆn H(S) (2 14 ) M S = E(S) ˆn. (2 15 )

4 Edellisiä yhtälöitä kutsutaan Loven ekvivalenttisuuden periaatteeksi. J S on todellinen virta, jos S antennin johdepinnan kohdalla. Aukkoantennin tapauksessa pinta S valitaan aukon kohdalle ja antennin tuottama kaukokenttä lasketaan ekvivalenttisista sähköisistä ja magneettisista virroista. Y leisen muotoisen pinnan S tapauksessa antennin säteilykenttien ratkaiseminen näistä virroista on hankalaa. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että V on alue z < 0, jolloin S on pinta z = 0, kuten kuvassa 7-4a.

5 Pintavirroista J S saadaan integroitua sähkökenttä tutusti yhtälöillä A = µ e jβ r J S (r )e j β ˆr r ds, (216 ) 4π r S E A = jω(a θ ˆθ + Aφ ˆφ). (217) Maxwellin yhtälöiden duaalisuudesta seuraa, että magneettivirrat aihettavat kaukokentässä sähköisen vektoripotentiaalin F, josta saadaan laskettua magneettikentät, F = ε e jβ r M S (r )e j β ˆr r ds, (218 ) 4π r S H F = jω(f θ ˆθ + Fφ ˆφ). (219 )

6 Koska kaukokentässä E F = ηh F ˆr, virtojen aiheuttama kokonaiskaukokenttä on E = E A + E F = jω[(a θ + ηf φ )ˆθ + (A φ ηf θ ) ˆφ] (220) Jos H(S) ja E(S) tunnetaan aukkoantennin aukon muodostamalla pinnalla S, saadaan sähkökenttä kaukokentässä ratkaistua yhtälöistä (214) (220). Tehtävää saadaan vielä yksinkertaistettua lisäämällä pinnalle S ideaalista johdetta. Koska kentät ovat nollia S:n sisäpuolella, voimme vapaasti lisätä jotain materiaalia alueeseen V.

7 Jos alue V täytetään ideaalisella sähköisellä johteella, J S menee nollaksi pinnalla S. Tämän näkee helpoiten käyttämällä kuvalähdemenetelmää (kuva 7-4c) tapaukseen, jossa johdemateriaali poistetaan ja korvataan kuvalähteillä. Tangentiaalisen virran kuvalähde on virralle vastakkaissuuntainen, jolloin itse virta ja sen kuva kumoavat toisensa, koska ne molemmat ovat samalla pinnalla S. Magneettisen virran kuvalähde on taas samansuuntainen kuin M S, joten kokonaisuudessaan pinnalla on magneettinen virta 2M S.

8 Vastaavasti, jos alue V täytetään ideaalisella magneettisella johteella, saadaan virtojen ja niiden kuvavirtojen yhteisvaikutuksesta kuvan 7-4b mukainen tilanne, jossa sähköinen virta on 2J S ja magneettinen virta on nolla. Kaukokenttien ratkaisemiseen on siten kolme eri mahdollista tapausta 1. S ekä J S että M S pinnalla S käyttäen yhtälöitä (216) (220). E = E A + E F (221)

9 2. Ekvivalenttisen sähkövirran formulaatio: 2J S pinnalla S E = 2E A (222) 3. Ekvivalenttisen magneettivirran formulaatio: 2M S pinnalla S E = 2E F (223) Kaikki kolme formulaatiota antavat samat kentät alueen V ulkopuolelle, jos virrat on laskettu tarkoista kentistä. Tähän mennessä ainoa tekemämme approksimaatio on kaukokenttäapproksimaatio. Joten, jos E(S) ja/ tai H(S) tunnettaisiin äärettömän kokoisella pinnalla S, saisimme tarkat kaukokentät.

10 Tavallisesti kuitenkin oletetaan, että osa pinnasta (S a ) osuu yksiin aukkoantennin aukon kanssa. S a :ssa kentistä tunnetaan jokin approksimaatio, ja muulla osalla pintaa kentät oletetaan nollaksi. Usein oletetaan, että S a :lla kentät ovat samat kuin aukkoon tulevan aallolla (fysikaalisen optiikan approksimaatio). Tämän approksimaation jälkeen edellä käsitellyillä kolmella eri formulaatiolla saadut ratkaisut saattavat erota toisistaan. Niistä valitaan kussakin tilanteessa käsiteltävää tilannetta parhaiten approksimoiva versio.

11 Jos aukko on tehty johtavaan tasoon, tilannetta voidaan mallintaa äärettömällä tasomaisella ideaalisella sähköisellä johteella. Tällöin kannattaa käyttää magneettivirtaformulaatiota, sillä aukon ulkopuolella sähkökentän tangentiaalikomponentti ja sitä kautta M S on nolla johdepinnan vuoksi. Jos aukko on vapaassa tilassa, käytetään kumpaakin virtaa sisältävää formulaatiota.

12 Käyttäen yhtälöitä (214) ja (215), vektoripotentiaalit saadaan kirjoitettua suoraan kenttien avulla, A = µ e jβr 4πr ˆn H a e jβˆr r ds, (224) S } a {{ } F = ε e jβr 4πr ˆn =Q E a e jβˆr r ds S } a {{ } =P Kaukokentän laskemiseksi käytännössä pitää laskea P ja/tai Q ylläolevista kaksidimensioisen Fouriermuunnoksen muotoisista integraaleista. (225)

13 Useiden aukkoantennien kohdalla S a on xy-tasolla ja E a :lla on ainoastaan y-komponentti, jolloin P:lläkin on vain y-komponentti. Tällöin yhtälöistä (225) ja (220) saadaan ekvivalenttisen magneettivirran formulaatiolla jossa P y = E θ = jβ e jβr 2πr P y sin φ (226) E φ = jβ e jβr 2πr P y cos θ cos φ, (227) E ay (x, y )e jβ(x sin θ co s φ+y sin θ sin φ) dx dy (228) S a

14 Yhtälöissä (226) ja (227) esiintyviä trigonometrisiä funktioita sin φ ja cos θ cos φ kutsutaan vinoustekijöiksi (obliquity factor). Ne vastaavat z-suuntaisen viivalähteen elementtitekijää sin θ, eli ne ovat lähdevirtojen suuntien projektioita kaukokentän pallopinnalle. Vastaavasti kuin viivalähteille, isoilla aukoilla vinoustekijät eivät vaikuta paljoa pääkeilaan ja ne voidaan unohtaa ja pääkeila laskea pelkistä kaksiulotteisista Fourier-muunnoksista.

15 Jos aukko on vapaassa tilassa ja aukon kentät toteuttavat TEM-yhtälön H a = 1 η ẑ E a, pätee myös Q = 1 η ẑ P. Tällöin kumpaakin virtaa käyttävä formulaatio yksinkertaistuu siten, että kaukokentässä E θ = jβ e jβr 2πr P y E φ = jβ e jβr 2πr P y 1 + cos θ cos θ 2 sin φ (229) cos φ. (230) Vinouskerroin 1+cos θ 2 eroaa vain hiukan 1:sta cos θ:sta pienillä φ:n arvoilla, joten kummankin formulaation tapauksessa säteilykeila on saman tyyppinen pääkeilan suuntaan aukkoanteinneilla, joilla on iso vahvistus.

16 Suorakulmaiset aukot Useissa antenneissa esiintyy suorakulmaisia aukkoja, esimerkiksi torvi- ja rakoantenneissa. Tarkastellaan aluksi kuvan 7-6 mukaista aukkoa, jossa kentän amplitudi ja vaihe ovat vakioita. Aukon sähkökenttä on E a = E 0 ŷ, x < L x 2, y < L y (231) 2 Tällöin yhtälöstä (228) saadaan Lx /2 Ly /2 P y = E 0 e jβx sin θ cos φ dx e jβy sin θ sin φ dy L x /2 = E 0 L x L y sin[(βl x /2)u] (βl x /2)u jossa u = sin θ cos φ ja v = sin θ sin φ. L y /2 sin[(βl y /2)v] (βl y /2)v, (232)

17 Suorakulmaiset aukot Sähkökenttä saadaan sijoittamalla edellinen P y yhtälöihin (226) ja (227), jolloin saadaan E θ = jβ e jβr 2πr E 0L x L y sin φ sin[(βl x/2)u] (βl x /2)u E φ = jβ e jβr 2πr E 0L x L y cos θ cos φ sin[(βl x/2)u] (βl x /2)u sin[(βl y /2)v] (βl y /2)v sin[(βl y /2)v] (βl y /2)v (233).(234) Normalisoimalla yhtälö (232), saadaan muotokertoimeksi f(u, v) = sin[(βl x/2)u] (βl x /2)u sin[(βl y /2)v] (βl y /2)v, (235) joka on x- ja y-suuntaisten vakioamplitudisten viivalähteiden muotokerrointen tulo.

18 Suorakulmaiset aukot Muotokertoimessa on siis unohdettu säteilykuviosta vinoustekijät sin φ ja cos θ cos φ, joilla ei ole suurta vaikutusta, jos pääkeila on kapea. Kuvassa 7-7 on muotokerroin tapauksessa L x = 20λ ja L y = 10λ, kuvassa 7-8 on sama muotokerroin päätasoissa. Samaan tapaan kuin viivalähteillä ja lineaarisilla ryhmillä, aukkoantenneilla saadaan vähennettyä sivukeiloja ja levettyä pääkeilaa, jos kenttien suuruudet pienenevät aukon reunaa kohti. Useimmiten kenttäjakauma on separoituva, eli E a (sähkökentän x- tai y-komponentti) voidaan kirjoittaa muodossa E a (x, y ) = E a1 (x )E a1 (y ), jolloin

19 P = = Suorakulmaiset aukot E a (x, y )e jβu x e jβv y dx dy S a Lx /2 L x /2 E a1 (x )e jβu x dx Ly /2 L y /2 E a2 (y )e jβv y dy.(236) Integraalit vastaavat x- ja y-suuntaisten viivalähteiden muotokertoimia, jolloin myös aukkoantennin muotokerroin (unohtaen taas siis vinouskertoimet) jakautuu kahden kohtisuoran viivalähteen muotokertoimien tuloksi, f(u, v ) = f 1 (u )f 2 (v ), (237) jossa u = (βl x /2)u = (βl x /2) sin θ cos φ ja v = (βl y /2)v = (βl y /2) sin θ sin φ.

20 Suorakulmaiset aukot Esimerkki: TE 10 -moodissa toimivan aaltoputken päässä kenttä muotoa (kuva 7-9) E a (x, y ) = ŷe 0 cos( π a x ), (238) jolloin sen muotokerroin saadaan y-suuntaisen vakioamplitudisen ja x-suuntaisen cosini-amplitudisen viivalähteen muotokertoimien tulona, f(u, v cos u sin v ) = 1 [(2/π)u ] 2 v cos[(βl x /2)u] sin[(βl y /2)v] = 1 [(2/π)(βL x /2)u] 2. (239) (βl y /2)v Kaukokentät saadaan sijoittamalla (239) yhtälöihin (226) ja (227) tai (229) ja (230) riippuen siitä, onko putken pää johdetasossa vai vapaassa tilassa (kuva 7-10).