Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa"

Transkriptio

1 1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä Luentomoniste kurssin verkkosivuilla Laskuharjoitukset torstaisin luokassa Y307 Laskuharjoitusassistentti tekn. yo. Ilkka Leppänen Ensimmäinen laskuharjoitus torstaina Harjoitustehtävät kurssin verkkosivuilla 1.1 Kurssimateriaali Kirk, D.E., Optimal Control Theory, An Introduction, Dover Publications, Inc., Amazon.com: $17,79. Kamien, M.L & Schwartz, N.L, Dynamic Optimization The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management, 2nd Edition, North Holland, Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa Betts, J. T., Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Amazon.com: $ Osia, jaetaan opetusmonisteissa Bertsekas, D. P., Dynamic Programming and Optimal Control, Vol. II, Athena Scientific, Massachusettes, Osia, jaetaan opetusmonisteissa 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma Kurssi suoritetaan tentillä. Kotitehtäviä jaetaan viikottain, joista saadut pisteet huomioidaan tenteissä seuraavaan luennointikertaan saakka. 1. Historiaa, dynaamisen optimointitehtävän määrittely, tilaesitys 2. Optimiohjaustehtäviä, dynaaminen ohjelmointi 3. Diskreetin ja jatkuvan ajan tilasäätäjät, H-J-B-yhtälö 4. Variaatiolaskennan perusteet 5. Variaatiotehtävän transversaalisuusehdot 1

2 6. Rajoitetut variaatiotehtävät 7. Äärettömän aikavälin variaatiotehtävät 8. Ohjaustehtävä variaatioperiaatteella 9. Minimiperiaate, minimiaikatehtävät 10. Minimiponnistustehtävät, singulaariset ratkaisut 11. Vaihetasoanalyysi, diskontattu kohdefunktionaali 12. Optimisäätötehtävien numeeriset ratkaisumenetelmät 1.3 Kurssin tavoite Oppia ohjaamaan dynaamisia systeemeitä optimaalisesti jonkin annetun kriteerin suhteen. Tyypillisesti dynaamisen systeemin mallina käytetään 1. kertaluokan differentiaaliyhtälösysteemiä. Esimerkkejä: 1. Etsi lentokoneen ohjaus siten, että se lentää minimiajassa annetusta alkutilasta annettuun lopputilaan. 2. Pääomaa voidaan joko kuluttaa, mikä tuottaa hyötyä, tai laittaa kasvamaan korkoa. Etsi optimaalinen kulutus-säästöstrategia. 3. Biologinen malli: etsi optimaalinen kalastusstrategia, kun kokonaispopulaation koolle oletetaan jonkinlainen dynamiikka. 2 Dynaamiset optimointimallit: historiaa Tyrian prinsessa Didon maanmittausongelma, Karthago b max a S x(t)dt ds = b a 1 + ẋ2 (t)dt = L, x(a) = x(b) = 0. Brachistochrone-ongelma: millaista rataa x(t) pitkin kappale putoaa pisteestä A pisteeseen B lyhimmässä ajassa? Siis, etsi x(t), joka minimoi integraalin 0 dt = S ds v = b a [2gx(τ)] 1 2 [1 + ẋ(τ)] 1 2 dτ. }{{}}{{} 1 ds v Johann Bernoulli formuloi ongelman vuonna 1696; ratkaisun esittivät puoli vuotta myöhemmin Jacob Bernoulli, Leibnitz, Isaac Newton ja l Hospital. Leonhard Euler (1744): variaatiolaskenta, Eulerin yhtälö; välttämätön ehto variaatiotehtävän ratkaisulle luku: klassinen Lagrangen mekaniikka ja Hamiltonin periaate. 2

3 Hamiltonin periaate: kappale kulkee pisteestä A pisteeseen B siten, että integraali tb t A L(x, ẋ)dt minimoituu, missä Lagrangen funktio L(x, ẋ) on kappaleen kineettisen ja potentiaalienergian välinen erotus. Esim. jouselle L(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 1 2 kx2. Lagrangen liikeyhtälö on edellä olevan tehtävän Eulerin yhtälö, mikä puolestaan on edellä olevan tehtävän Newtonin liikeyhtälö luku: dynaaminen optimointi, optimiohjaustehtävä variaatiotehtävän yleistys. Etsi ohjaus u(t), joka toteuttaa annetut rajoitukset ja minimoi annetun integraalin (kohdefunktio) L. S. Pontryagin: välttämättömät ehdot optimiohjaustehtävälle reuna-arvotehtävän muodossa. R. E. Bellman: dynaaminen ohjelmointi. Toinen tapa ratkoa erityisesti diskretoituja dynaamisia optimointitehtäviä; ns. optimaalisuusperiaatteen laskennallista soveltamista : yleistys laajojen järjestelmien optimointiin ja erilaisiin pelitehtäviin: sotilas- ja siviili-ilmailun sovellukset, taloussovellukset, tietoverkkojen reititysongelmat yms. 2.1 Dynaamisten ongelmien luokittelu Sen mukaan, montako kriteeriä ja päätöksentekijää (pelaajia, ohjaajia, optimoijia, säätäjiä) Päättäjät Kriteerit Optimiohjaus, dynaaminen optimointi 1 (ohjaus u) 1 Nollasummainen differentiaalipeli 2 (ohjaus u 1, u 2 ) 2; J 1 = J 2 Monitavoitteinen optimointi 1 (ohjaus u) useita Dynaamisia joukkuetehtäviä useita (u 1,...,u n ) 1 Ei-nollasummainen differentiaalipeli useita useita Huomaa, että päättäjänä, päätösmuuttujana tai ohjausmuuttujana voi olla useita ohjauskomponentteja; u(t) R m. Muita jakoja: stokastiset deterministiset, jatkuvan ajan diskreetin ajan tehtävät 3

4 2.2 DOT:n muodostaminen, systeemin tilaesitys Sivut ss. 4 8 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 1] pohjalta Tilaesitys on ryhmä (yleensä 1. kertaluokan) differentiaali- tai differenssiyhtälöitä tilamuuttujille x i (t) ja ulkoisille ohjausmuuttujille u j (t). Vapaa muuttuja on usein aika, voi olla myös esim. paikka. Diskreettiaikaisille systeemeille tullaan aikaa merkitään alaindeksillä, siis tila on x k, missä k indeksoi ajanhetkeä. Määritelmä. Vektori x = [x 1 x n ] T on systeemin tila, jos jokaisella tarkasteluvälin hetkellä t 1 pätee, että kun tunnetaan x(t 1 ), niin ohjaus u(t), t t 1 määrää tilan kaikkina tulevina ajanhetkinä t t 1. Toisin sanoen tila pitää sisällään kaiken tulevaisuuden kannalta tarpeellisen informaation systeemin historiasta, riippumatta ohjauksesta, jolla siihen on tultu. Huom! Tilaesitys ei ole yksikäsitteinen. Toisin sanoen on olemassa monta tapaa kuvata systeemiä tilaesityksellä. Yleensä tilalle saadaan esitys ẋ 1 (t) = f 1 (x 1 (t),...,x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t). ẋ n (t) = f n (x 1 (t),...,x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t) Systeemin tila x(t) = [x 1 x n ] T, ohjaus u(t) = [u 1 u m ] T. Vektorimuodossa ẋ(t) = f(x(t),u(t), t). Usein tilaesitykseen liitetään ulkopuolista tarkkailijaa tai mittaussuureita kuvaavat ulostuloyhtälöt y j (t) = c j (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),...,u m (t), t), j = 1,...,p, jotka määräävät sen, miten havaittu ulostulo riippuu systeemin tilasta x ja ohjauksesta u. Vektorimuodossa y(t) = c(x(t), u(t), t). Yleisesti dynaaminen systeemi S: { ẋ(t) = f(x(t),u(t), t), x(t0 ) = x S : 0 y(t) = c(x(t),u(t), t), x(t) on n-ulotteinen tilavektori, systeemin alkutila x 0 annettu y(t) on p-ulotteinen ulostulovektori u(t) on m-ulotteinen ohjausvektori Tällä kurssilla optimointitehtävissä oletetaan tila yleensä täydellisesti tunnetuksi: y(t) = x(t), t. 2.3 Esimerkki 1 Kitkattomasti liikkuvaa autoa, m = 1, ohjataan kaasupolkimella, kiihdyttävä voima α(t) 0, ja jarrupolkimella, hidastava voima β(t) 0, t. 4

5 Etäisyys alkupisteestä d. Valitaan tilamuuttujiksi paikka d ja nopeus v. Ohjaukset α(t) ja β(t). d(t) = v(t) v(t) = α(t) + β(t) [ ] [ ] [ ] [ ] d(t) α(t) x(t) =, u(t) = ẋ(t) = x(t) + u(t) v(t) β(t) }{{}}{{} A B 2.4 Esimerkki 2 Auto lähtee pysähtyneenä pisteestä O ja pysähtyy pisteeseen e: [ ] [ ] 0 e x( ) =, x(t 0 f ) = 0 Auto ei peruuta, kiihtyvyydet rajoitetut 0 x 1 (t) e 0 x 2 (t) 0 u 1 (t) M 1 M 2 u 2 (t) 0 Polttoainetta rajoitettu määrä G 2.5 Tilaesityksen edut [k 1 u 1 (t) + k 2 x 2 (t)] dt G Tilaesitys on vakiintunut tapa kuvata dynaamisia systeemeitä Esitystapa on matemaattisesti käyttökelpoinen Usein tilavektorin komponenteilla on fysikaalinen (todellinen) tulkinta Tilaesityksen avulla voidaan tutkia systeemin ominaisuuksia Ohjattavuus Tarkkailtavuus Stabiilisuus 2.6 Systeemien luokittelu Epälineaarinen a) aikavariantti ja b) -invariantti systeemi a) ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) b) ẋ(t) = f(x(t),u(t)) 5

6 Lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) tilayhtälön ratkaisu (ohjauksen u(t) vaste) on x(t) = ϕ(t, )x( ) + t ϕ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ, missä ϕ(t, ) on systeemin tilansiirtomatriisi (kuvaa nollaohjauksella tilan muutosta hetkestä hetkeen t). Aikainvariantissa tapauksessa A ja B vakioita. ϕ(t, ) = ϕ(t ) = e A(t ), missä e At I + At + 1 2! A2 t 2 + Tilansiirtomatriisin ominaisuuksia: ϕ(t, t) = I ϕ(t 2, t 1 )ϕ(t 1, ) = ϕ(t 2, ) ϕ 1 (t 2, t 1 ) = ϕ(t 1, t 2 ) d d) = A(t)ϕ(t, ) Tilansiirtomatriisin määrittämiseksi on monia keinoja. Eräs tapa aikainvariantissa tapauksessa on määrittää eksponenttisarja numeerisesti. 2.7 Ohjaukset Ohjausfunktio u(t) on yleensä määritelty ja rajoitettu: u(t) U, missä U on esim. paloittain jatkuvien funktioiden joukko ja u(t) Ω, missä Ω kuvaa rajoitusjoukkoa U sisältää siis ne ohjaukset, joilla systeemiyhtälö on mielekäs ja Ω antaa toteutettavissa olevat ohjaukset Sallitut ohjaukset: u(t) Ω U Maalijoukko G, mihin tila halutaan ohjata, siis (x(t f ), t f ) G R n+1, kun t f on loppuaika Käypien ohjausten joukko (G;x 0 ) on niiden ohjausfunktioiden u(t) : [, t f ] R n, u(t) Ω U joukko, joilla maalijoukko G on saavutettavissa tilasta x Ohjattavuus Käypien ohjausten määrittämiseen liittyvä käsite. Tarkastellaan systeemiä alkutilassa x 0 = x( ), ja t. ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) Määritelmä. Jos on olemassa äärellinen t 1 ja ohjaus u(t), t [, t 1 ], joka siirtää tilan x 0 origoon hetkeen t 1 mennessä, niin tila x 0 on ohjattava hetkellä. Jos kaikki x 0 :t ovat ohjattavia, niin systeemi on täydellisesti ohjattava. 6

7 Huom! Jos systeemi ei ole ohjattava, on optimiratkaisun etsiminen turhaa! Lause. Lineaarinen aikainvariantti n-ulotteinen systeemi ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) on täydellisesti ohjattava jos ja vain jos n mn- ohjattavuusmatriisin E [ B AB A 2 B... A n 1 B ] rangi on n eli matriisissa E on n lineaarisesti riippumatonta riviä. 2.9 Tarkkailtavuus Tarkastellaan systeemiä alkutilassa x 0 = x( ), ja t. ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) y(t) = c (x(t),u(t), t) Määritelmä. Jos systeemin alkutila x 0 voidaan määrittää tarkkailemalla systeemin ulostuloa y(t) aikavälillä [, t 1 ], tilan x 0 sanotaan olevan tarkkailtava hetkellä. Jos kaikki alkutilat x 0 ovat tarkkailtavia kaikille, systeemi on täydellisesti tarkkailtava. Lause. Lineaarinen aikainvariantti systeemi ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) on täydellisesti tarkkailtava jos ja vain jos n qn -tarkkailtavuusmatriisin G [ C T A T C T (A T ) 2 C T... (A T ) n 1 C T] rangi on n eli matriisissa G on n lineaarisesti riippumatonta riviä Esimerkki 2 Tutkiaan edellisen autoesimerkin ohjattavuutta [ ] [ ] [ ] A =, B =, AB =, E = [ ] E:n rangi on 2, joten systeemi on täydellisesti ohjattava. Jos vain kaasu käytössä, niin [ ] [ ] [ ] [ ] A =, B =, AB =, E = E:n rangi on 2, joten systeemi on täydellisesti ohjattava myös pelkällä kaasulla. 7

8 3 Dynaamisen optimointitehtävän määrittely Optimointikriteeri Dynaamisessa optimoinnissa kriteeri on funktionaali eli funktio funktiosta, joka kuvaa funktion reaaliluvuille: J : C 1 (a, b) R Tarkastellaan vain kriteereitä, joilla on additiivisuusominaisuus Esim. kriteerillä J(u(t)) = 1 R t1 u(t)dt Olkoon annettu systeemi S: Tavoitejoukko G : (x(t f ), t f ) G Ohjausrajoitukset u(t) Ω U J(u (t0,t 1 )) = J(u (t0,t)) + J(u (t,t1 )) t (, t 1 ) ei ole tätä ominaisuutta ẋ(t) = f(x(t),u(t), t), x( ) = x 0 Tavoitejoukko + ohjausrajoitukset käypien ohjausten joukko Kohdefunktionaali J(u(t)) Etsi sellainen ohjaus u (t), jolla J(u (t)) J(u(t)), u(t), u (t) on tällöin optimiohjaus Yleinen tehtävä min J ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) x( ) = x 0, u(t) Ω U, missä J = h(x(t f ), t f ) + t f g(x(t),u(t), t)dt. Siis annetulla u(t) Ω U x(t) = x(u(t); t) tilayhtälöstä, sijoita x(u(t); t) J:hin, jolloin saat J = J(u(t)); eli J voidaan käsittää funktionaalina J : Ω U R 3.1 Optimiohjaustehtäviä [Kirk, Ch. 2] 1. Minimiaikatehtävä: ohjaa systeemi minimiajassa lopputilaan J = t f = 2. Lopputilakustannus: minimoi esim. lopputilan poikkeama annetusta tilasta J = [x(t) r(t)] T [x(t) r(t)] = x(t f ) r(t f ) 2 3. Minimiponnistustehtävä: minimoidaan esim. polttoaineenkulutusta J = dt u T (t)ru(t)dt = u(t) 2 R 8

9 4. Seurantatehtävä: halutaan systeemin tilan seuraavan annettua referenssirataa r(t) mahdollisimman tarkasti J = x(t) r(t) 2 Q(t) dt, missä Q(t) on symmetrinen, positiivisesti semidefiniitti n n- matriisi, eli x T (t)q(t)x(t) 0, x(t). Q(t):n valinta perustuu kunkin tilakomponentin oletettuun tärkeyteen. Jos ohjausta ei ole rajoitettu (esim. u i (t) 1), niin ohjauksen arvot voidaan pitää rajoitettuna ottamalla ohjaus mukaan kustannukseen. Myös maali r(t f ) voidaan ottaa mukaan samaan kustannukseen J = x(t f ) r(t f ) 2 H + [ ] x(t) r(t) 2 Q(t) + u(t) 2 R(t) dt H on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti n n-matriisi R(t) on symmetrinen positiivisesti definiitti m m-matriisi t [, t f ]. Q(t) on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti n n-matriisi t [, t f ] 5. Tilasäätäjä: kun r(t) = 0 t saadaan ns. tilasäätäjä- eli regulaattoritehtävä, jolla halutaan stabiloida systeemi origoon. Tilasäätäjissä ei painomatriiseilla H, Q(t) ja R(t) yleensä ole fysikaalista (tai taloudellista) merkitystä. Ne ovat viritysparametreja 6. Optimaalinen suunnittelu. Esim. rakennettava L:n korkuinen pylväs, joka kantaa jonkin kuorman ja minimoi käytetyn rakennusmateriaalin (tilavuuden) 7. Optimaalinen taloudenpito 3.2 Esimerkki Olkoon alkupääoma K( ) = K 0 [ ] ja pääoman tuottavuus F(K(t)) [ /aikayksikkö]. Pääoman tuotto voidaan ohjata joko kulutukseen C(t) tai pääoman kasvattamiseen (investointi) K(t). Paljonko kannattaa kuluttaa ja paljonko käyttää investointeihin? Olkoon kulutuksesta saatu hyöty U(C(t)): Koko elämänilo: J = t f U(C(t))dt Systeemi: K(t) = F(K(t)) C(t), nyt siis C(t) on ohjaus ja K(t) on tila Lopputilarajoitus: K(t f ) 0 Mikä on siis optimaalinen kulutusfunkio C (t)? 9

10 4 Dynaaminen ohjelmointi Lähteet [Kirk, Ch. 3] ja [Bertsekas, Ch. 1] Ohjausfunktio voidaan esittää aikafunktiona u(x( ), t) avoin ohjaus, avoimen silmukan ohjaus Parametrimuodossa, kun parametrina systeemin tila u(x, t) Säätölaki (control law) Takaisinkytketty ohjaus (feedback control) Suljetun silmukan ohjaus (closed loop control) Politiikka (policy) Ohjausstrategia Optimiohjaustehtävässä avoin ohjausratkaisu pätee vain yhdelle alkutilalle, kun taas säätölaki antaa ratkaisun kaikille alkutiloille 4.1 Optimaalisuusperiaate Tarkastellaan monivaiheista päätösprosessia b c J bce J ab J be a e Kustannukset J ae = J ab + J be. Optimaalisuusperiaate. Jos a b e on optimaalinen polku a:sta e:hen, niin b e on optimaalinen polku b:stä e:hen. Todistus. Tehdään vastaoletus: olkoon b c e optimaalinen polku b:stä e:hen. Tällöin J bce < J be, ja J ab + J bce < J ab + J be = J ae. Tällöin J abce olisi parempi kuin J ae, mikä johtaa ristiriitaan Bellmanin periaate. Optimiohjauksella on sellainen ominaisuus, että riippumatta alkutilasta ja ohjauksesta, jolla tilaan on tultu, tulevien ohjausten arvojen on oltava optimaalisia tähän tilaan nähden (ja riippumattomia aiemmista ohjauksista) Dynaaminen ohjelmointi on optimaalisuusperiaatteen laskennallista soveltamista 10

11 J bc c c J * cf b J bd d d J * df f J be e e J * Optimaalisuusperiaatteella Jbf = min{j bcf, J bdf, J bef } = min{j bc + Jcf, J bd + Jdf, J be + Jef} 4.2 Esimerkki Liikenneverkko: etsi kustannukset minimoiva reitti a:sta h:hon ef a 8 d 3 e 8 h b 9 c 3 f 3 g J fh = J fg + J gh = = 5 Jeh = min{j eh, J ef + Jfh } = min{8, 2 + 5} = 7 Jdh = min{j de + Jeh } = = 10 J ch = min{j cd + J dh, J cf + J fh} = min{5 + 10, 3 + 5} = Dynaamisen ohjelmoinnin (DP) algoritmi Tehtävä Rekursio: N 1 min h(x N) + g k (x k, u k ) s.e. x k+1 = f k (x k, u k ) u k U k (x k ), k=0,...,n 1 k=0 J k (x) = min [g k (x, u) + J k+1 (f k (x, u))], k = 0,..., N 1 ja J N (x) = h(x). u U k (x) optimaaliset cost-to-go funktiot J k ratkaistaan lopusta alkuun DP tuottaa optimaalisen takaisin kytketyn ohjauksen Dimensionaalisuuden kirous (the curse of dimensionality): tilojen määrä kasvaa eksponentiaalisesti kun tilamuuttujia lisätään 11

12 4.4 Diskontatut stationaariset tehtävät Optimointitehtävä: N 1 min h(x N) + α k g(x k, u k ) s.e. x k+1 = f(x k, u k ) u k U(x k ), k=0,...,n 1 Diskonttauskerroin α (0, 1) k=0 Tämä tehtäväluokka on yleinen taloussovelluksissa Muunnoksella V k = J N k /α N k saadaan DP rekursio muotoon V k+1 = min u U(x) [g(x, u) + αv k(f(x, u))]. V k (x) on optimaalinen kustannus, kun aloitetaan tilasta x ja jäljellä on k vaihetta. Tätä funktiota kutsutaan joskus arvofunktioksi (value function) rekursion perusteella huomataan että kun ratkaisu on laskettu k-vaiheiselle tehtävälle, niin (k + 1)-vaiheisen tehtävän ratkaisu saadaan yhdellä iteraatiolla ilman että koko DP algoritmia tarvitsee suorittaa alusta rekursio tuottaa ohjauslain {µ 0,..., µ N 1 }, missä µ k (x) on ohjauslaki vaiheessa k 4.5 Äärettömän aikahorisontin diskontatut tehtävät Tarkastellaan stationaarista diskontattua tehtävää min α k g(x k, u k ) s.e. x k+1 = f(x k, u k ) u k U(x k ) k=0 Oletus: g(x, u) < M kaikilla x X=tila-avaruus ja u U(x) kun x X Merkintä: (TJ)(x) = min [g(x, u) + αj(f(x, u))], u U(x) missä J : X R. Kuvaus T muuttaa funktion J uudeksi funktioksi kuten yksi askel DP algoritmiä; J k+1 = TJ k Kuvauksen T ominaisuuksia: 1) monotonisuus J(x) J (x) x X (TJ)(x) (TJ )(x) x X 2) vakion kutistaminen, r(x) = ρ x X, T(J + r)(x) = (TJ)(x) + αρ T on kontraktio, eli max x X (TJ)(x) (TJ )(x) α max x X J(x) J(x ) iteraatio J k+1 = TJ k (kiintopiste-iteraatio/arvoiteraatio engl. value iteration) suppenee nopeudella α (rajoitettujen funktioiden luokassa) kiintopistetehtävän J = T J yksikäsitteiseen ratkaisuun Bellmanin yhtälö optimaaliselle arvofunktiolle J = TJ, eli J (x) = min [g(x, u) + αj (f(x, u))] u U(x) lisäksi tehtävällä on stationaarinen optimiohjaus eli µ k = µ 12

13 5 Lineaarisneliölliset tehtävät ja Hamilton-Jacobi-Bellmanin yhtälö 5.1 Dynaamisen optimointitehtävän diskretointi Dynaamisen systeemin tilaesitys voi olla diskreettiaikainen. Tällöin se on ryhmä 1. kertaluokan differenssiyhtälöitä tilamuuttujille x i (t) ja ohjausmuuttujille u i (t) Lineaarinen aikavariantti systeemi x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), k = 0, 1,..., N 1, missä x(k) R n ja u(k) R m, k Laskuharjoituksissa esitetään yo. systeemin yleinen ratkaisu Olkoon annettu dynaaminen optimointitehtävä min J(u(t)), u(t) U J(u(t)) = h(x(t f )) + 0 g(x(t), u(t))dt (1) ẋ(t) = f(x(t),u(t)) (2) x(0) = x 0 Eulerin diskretointi x(t + t) x(t) (2) f(x(t),u(t)) t x(t + t) = x(t) + f(x(t),u(t)) t Tarkastellaan systeemiä diskreetteinä ajanhetkinä t = 0, t,...,(n 1) t, eli t k = k t, k = 0, 1,..., N 1 Nyt t f = N t. Edelleen x(k + 1) = x(k) + f(x(k),u(k)) t f D (x(k),u(k)), k = 0,...,N 1 (3) Saatiin dynaamisen systeemin differenssiyhtälöesitys (1) J = h(x(n t)) + t 0 g dt + k=0 N t (N 1) t g dt N 1 J h(x(n t)) + t g(x(k),u(k)) (4) J = h(x(n)) + N 1 k=0 g D (x(k),u(k)) (5) Saatiin diskreettiaikainen DOT: minimoi (5) siten, että (3) toteutuu. Voi olla myös tila- ja ohjausrajoituksia sekä lopputilarajoitus 13

14 Muuttujana esim. u k U k, k. Tällöin kaikilla alkutiloilla x 0 optimaalinen kustannus J (x 0 ) = J 0 (x 0 ), missä J 0 määritellään seuraavan rekursioalgoritmin viimeisestä vaiheesta JN (x(n)) = h(x(n)) { Jk(x(k)) = min gd (x(k),u(k)) + Jk+1(f D (x(k),u(k))) }, u k U k k = N 1,..., 0. Optimaalinen feedback-ohjaus u (x(k), k) saadaan minimoimalla oikea puoli kaikille x(k) 5.2 Väliluku: derivointi matriisiesitysmuodossa Sivut ss pääosin lähteen [Kirk, Appendix 1] pohjalta 1. Olkoon f(x) skalaariarvoinen funktio ja x = [x 1... x n ] T. f:n gradientti on pystyvektori f(x) x 2. Kun f on monidimensioinen, f(x) = [f 1 (x) f m (x)] T, derivoidaan rivi kerrallaan f(x) x f 1 (x) f(x) x 1. f(x) x n f 1 (x) x n x f m(x) x 1 a) f(x) = Ax, f(x) = AI = A, f(x) = x xt c f(x) x f m(x) x n b) f(x) = x T Ax neliömuoto, f(x) skalaari. Tulon derivoimissäännön mukaan f(x) x = vakio {}}{ x xt Ax + = Ax + x xt = Ax + A T x. = c x vakio {}}{ A T x vakio {}}{ x T Ax Jos A on symmetrinen, niin A = A T, jolloin f(x) x = 2Ax. 14

15 5.3 Diskreetin ajan tilasäätäjä Tarkastellaan lineaarista systeemiä x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k = 0, 1,..., N 1 Etsi u (k), k = 0, 1,..., N 1, joka minimioi neliöllisen kustannuksen J = 1 2 xt (N)Hx(N) N 1 k=0 [ x T (k)q(k)x(k) + u T (k)r(k)u(k) ], missä H(k) ja Q(k) symmetrisiä, positiivisesti semidefiniittejä R(k) symmetrinen, positiivisesti definiitti Oletetaan, että A, B, Q ja R vakiomatriiseja. Dynaamisen ohjelmoinnin periaatteella: 1. k = N: 2. k = N 1: J (x(n), N) = 1 2 xt (N)Hx(N) = 1 2 xt (N)P(N)x(N), missä siis P(N) H J(x(N 1), N 1) = 1 2 xt (N 1)Qx(N 1) ut (N 1)Ru(N 1) + J (x(n), N) }{{} 1 2 xt (N)P(N)x(N) Sijoitetaan tilayhtälöön x(n) = Ax(N 1) + Bu(N 1) J (x(n 1),N 1) { 1 2 xt (N 1)Qx(N 1) ut (N 1)Ru(N 1) min u(n 1) + 1 } 2 [Ax(N 1) + Bu(N 1)]T P(N)[Ax(N 1) + Bu(N 1)] }{{} 1 2 [xt A T PAx+x T A T PBu+u T B T PAx+u T B T PBu] Haetaan minimi u(n 1):n suhteen J(x(N 1),N 1) = 1 [2Ru(N 1)] + u(n 1) [BT P(N)Ax(N 1) + B T P(N)Ax(N 1) + 2B T P(N)Bu(N 1)] = 0. Tästä saadaan [ R + B T P(N)B ] u(n 1) = B T P(N)Ax(N 1). 15

16 Ratkaistaan u(n 1):n suhteen: u (N 1) = [ R + B T P(N)B ] 1 B T P(N)Ax(N 1) K(N 1)x(N 1) edellyttäen, että R + B T P(N)B on ei-singulaarinen Oletusten mukaan R on positiivisesti definiitti ja P(N) = H positiivisesti semidefiniitti, joten B T P(N)B on positiivisesti semidefiniitti Näin ollen R + B T P(N)B on ei-singulaarinen Ääriarvo on minimi, koska toinen derivaatta 2 J(x(N 1), N 1) u 2 (N 1) = R + B T P(N)B on positiivisesti definiitti Sijoitetaan u (N 1) J(x(N 1), N 1):een J (x(n 1), N 1) = 1 2 xt (N 1){[A BK(N 1)] T P(N)[A BK(N 1)] + K T (N 1)RK(N 1) + Q}x(N 1) 1 2 xt (N 1)P(N 1)x(N 1) 3. Induktiolla voidaan todistaa, että jaksolle N K pätee u N K K(N K)x(N K) J (N K) 1 2 xt (N K)P(N K)x(N K), missä K(N K) = [R + B T P(N K + 1)B] 1 B T P(N K + 1)A P(N K) = Q + K T (N K)RK(N K) + [A BK(N K)] T P(N K + 1)[A BK(N K)] Optimaalinen tilasäätäjä on siis lineaarinen takaisinkytkentälaki Ratkaisu tuottaa samalla sekä optimiohjauksen u (k), k = 0,...,N 1 että optimikustannuksen J (x 0 ) = 1 2 xt 0 P(0)x 0 Jos systeemi on aikainvariantti, täydellisesti ohjattava, H = 0 ja R sekä Q ovat vakiomatriiseja, niin takaisinkytkentämatriisi (vahvistus) lähestyy vakioarvoa, kun optimointivälin pituus N kasvaa: K(N K) K, kun N Toivottava ominaisuus, koska vakiovahvistus on helppo toteuttaa 16

17 5.4 Hamilton-Jacobi-Bellmanin yhtälö Vastaa diskreetin ajan rekursioyhtälöä. Tehtävä muotoa: ẋ(t) = f(x(t),u(t), t) J = h(x(t f ), t f ) + g(x(τ),u(τ), τ)dτ Tarkastellaan tehtävää alkutilasta x(t) ja -hetkestä t loppuhetkeen t f : J(x(t), t, u(τ) }{{} t τ t f ) = h(x(t f ), t f ) + t g(x(τ),u(τ), τ)dτ. Merkitään optimikustannusta seuraavasti: { } J (x(t), t) = min g(x(τ),u(τ), τ)dτ + h(x(t f ), t f ). u(τ) t t τ t f Jaetaan aikaväli kahteen osaan: J (x(t), t) = min u(τ) t τ t f { t+ t Optimaalisuusperiaatteen mukaan: { t+ t J (x(t), t) = g dτ + min u(τ) t τ t+ t t t g dτ + t+ t } g dτ + h(x(t f ), t f ). J (x(t + t), t + t) }{{} Optimikustannus tilasta x(t + t) ajanjakson t + t t t f yli Kehitetään J (x(t + t), t + t) Taylorin sarjana pisteen (x(t), t) ympäristössä { t+ t [ ] J J (x(t), t) = min g dτ + J (x(t), t) + (x(t), t) t + u(τ) t t t τ t+ t [ ] } J T (x(t), t) [x(t + t) x(t)] + o( t), x }{{} Korkeamman kertaluvun termeille pätee lim t 0 o( t) t = 0 Korkeamman termit Vähennetään J (x(t), t) puolittain, jaetaan t:llä ja annetaan t 0 Nähdään, että t+ t t x(t + t) x(t) t g dτ g(x(t),u(t), t) t ẋ(t) = f(x(t),u(t), t), 17 } kertaluvun.

18 mistä saadaan edelleen 0 = min u(t) { g(x(t),u(t), t) + J t (x(t), t) +Jx T (x(t), t)[f(x(t),u(t), t)] }. }{{} Ei riipu u(t):sta, voidaan ottaa ulos Saadaan siis epälineaarinen Hamilton-Jacobi-Bellmanin osittaisdifferentiaaliyhtälö { Jt (x(t), t) = min g(x(t),u(t), t) + J T x (x(t), t)[f(x(t),u(t), t)] } u(t) Reunaehto J (x(t f ), t f ) = h(x(t f ), t f ) Soveltamisperiaate: 1. Ratkaise u [x(t), J x(x(t), t)] 2. Sijoita u ( ) H-J-B:hen ja ratkaise ody J = J (x(t), t). 3. Tuloksena takaisinkytketty ratkaisu u = u (x(t), t). 5.5 Yhteys Hamiltonin funktioon Määritellään Hamiltonin funktio H H (x(t),u(t), Jx T, t) g(x(t),u(t), t) + Jx (x(t), t)[f(x(t),u(t), t)], H (x(t),u (x(t), Jx, t), Jx, t) = min H (x(t),u(t), J x, t). u(t) Näillä määritelmillä H-J-B voidaan kirjoittaa muodossa 0 = J t (x(t), t) + H (x(t),u (x(t), J x, t), J x, t). Variaatiolaskennassa minimiperiaatteen yhteydessä (vrt. myöhemmin) määritellään liittotila p(t) 5.6 Esimerkki p(t) = J x(x (t), t), ṗ(t) = H x (x (t),u (t), t) Olkoon systeemin tilayhtälö ja kohdefunktio muotoa ẋ(t) = x(t) + u(t) J = 1 4 x2 (T) + Ratkaistaan H-J-B:llä. Hamiltonin funktio T u2 (t)dt, H (x(t), u(t), Jx, t) = 1 4 u2 (t) + Jx [x(t) + u(t)] 0 = J t + min u(t) H (x(t), u(t), J x, t) 18

19 Minimoiva u(t): H u = u(t) + J x (x(t), t) = 0 u (t) = 2Jx (x(t), t) Ratkaisu on minimi, sillä 2 H u 2 = 1 2 > 0. Sijoitetaan u (t) H-J-B:hen 0 = J t [ 2J x ]2 + [J x ] x(t) 2 [J x ]2 = J t [J x] 2 + [J x] x(t). Yrite J (x(t), t) = 1 2 K(t)x2 (t) Loppuehto J (x(t), T) = 1 4 x2 (T), mistä saadaan K(T) = 1 2 Nyt J x = K(t)x(t), J t = 1 2 K(t)x 2 (t). Sijoitetaan H-J-B:hen, jolloin Voidaan ratkaista separoimalla: Optimiohjaus on siis muotoa 0 = 1 2 K(t)x 2 (t) K 2 (t)x 2 (t) + K(t)x 2 (t) K(t) = 2K(t) + 2K 2 (t), K(T) = 1 2. K(t) = (T t) e e (T t) + e (T t). u (x(t), t) = 2J x(x(t), t) = 2K(t)x(t). Kun T, niin K(t) 1 ja kontrolloitu systeemi on stabiili. 5.7 Jatkuvan ajan tilasäätäjä ẋ(t) = x(t) 2x(t) = x(t) Olkoot systeemiyhtälö ja minimoitava kriteeri muotoa ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) J = 1 2 xt (t f )Hx(t f ) [ x T (t)q(t)x(t) + u T (t)r(t)u(t) ] dt, missä ja t f ovat kiinteitä sekä H ja Q(t) ovat symmetrisiä, positiivisesti semidefiniittejä matriiseja sekä R(t) on symmetrinen, positiivisesti definiitti matriisi 19

20 Hamilton-Jacobi-Bellmanin yhtälö: H (x(t),u(t), Jx, t) =1 2 xt (t)q(t)x(t) ut (t)r(t)u(t) + Jx T (x(t), t) [A(t)x(t) + B(t)u(t)] H :n minimoiva u(t) saadaan ehdosta H u = 0: R(t)u(t) + B T (t)jx (x(t), t) = 0 H uu = R(t) on positiivisesti definiitti, joten kyseessä on H :n globaalisti minimoiva u(t) u (t) = R 1 (t)b T (t)jx (x(t), t). Sijoitetaan H-J-B:hen, jolloin 0 = Jt xt Qx 1 2 J x T BR 1 B T Jx + J x T Ax. (6) Reunaehto J (x(t f ), t f ) = 1 2 xt (t f )Hx(t f ). Kokeillaan ratkaisuyritettä J (x(t), t) = 1 2 xt (t)k(t)x(t), missä K(t) symmetrinen, positiivisesti definiitti matriisi ja K(t f ) = H Nyt J t = 1 2 xt (t) K(t)x(t) ja J x = K(t)x(t) Sijoitetaan kaavaan (6), jolloin 0 = 1 2 xt Kx xt Qx 1 2 xt KBR 1 B T Kx + x T KAx }{{} 1 2 xt [KA+A T K]x Eli 0 = 1 [ ] K 2 xt + Q KBR 1 B T K + KA + A T K x. Jos siis { 0 = K(t) + Q(t) K(t)B(t)R 1 (t)b T (t)k(t) + K(t)A(t) + A T (t)k(t) K(t f ) = H, (7) niin yo. yhtälö toteutuu x(t) Yhtälöä (7) kutsutaan ns. Riccatin matriisi-differentiaaliyhtälöksi ja sillä on em. ehdoilla yksikäsitteinen symmetrinen ratkaisu kyseisellä välillä Kun K(t) on saatu määritettyä, saadaan optimaaliseksi säätölaiksi u (t) = R 1 (t)b T (t)k(t)x(t). 20

21 5.8 Huomioita H-J-B-yhtälöstä Oletettiin, että loppuaika t f on kiinnitetty. Tulokset pätevät kuitenkin myös vapaalle loppuajalle. H-J-B on optimaalisen ratkaisun välttämätön ja riittävä ehto (edellä olevassa tarkastelussa ei paneuduttu riittävyyteen). H-J-B:n ratkaiseminen on yleisesti ottaen hankalaa. Yleensä H-J-B joudutaan ratkaisemaan numeerisesti. Dynaaminen ohjelmointi antaa optimaalisuusehdon diskretoidulle approksimaatiolle tarkan ratkaisun. H-J-B:n numeerinen ratkaiseminen antaa tarkalle optimaalisuusehdolle approksimatiivisen ratkaisun. 21

22 6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss ] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla. Määritelmä. Jos ε > 0 s.e. f( ) f(t) t [ ε, + ε], niin f:llä on lokaali minimi :ssa Välttämätön ehto. Jos f:llä on lokaali minimi :ssa, f C 2 (, ), niin f ( ) = 0. Riittävät ehdot. Jos f C 2 (, ), f ( ) = 0 ja f ( ) > 0, niin f:llä on lokaali minimi :ssa. 6.1 Funktionaalin variaatio Olkoon X mielivaltainen normeerattu funktioavaruus, ts. X on vektoriavaruus, jonka elementit ovat funktioita x X. x:n normi, x, toteuttaa ehdot 1. x 0 ja x = 0 jos ja vain jos x(t) = 0, t [, t f ]. 2. αx = α x kaikille reaaliluvuille α. 3. x + y x + y. Esimerkki. Jos x C[, t f ] eli välillä t t f jatkuvien funktioiden joukko, niin normi voisi olla x = max t t f x(t). Kahden funktion läheisyyttä voidaan mitata normilla x y. Kun x = y, niin x y = 0 Määritelmä. Funktionaali J on kuvaus X R, joka kuvaa (mahdollisesti vektoriarvoisen) funktion x X reaalilukujen joukkoon. Määritelmä. Funktionaalin J inkrementti (lisäys) on missä x, δx C 1 [, t f ]. J(x, δx) J(x + δx) J(x) J, Määritelmä. Funktionaali J on lineaarinen, jos ja vain jos se on Homogeeninen: J(αx) = αj(x), α R, x X Additiivinen: J(x + y) = J(x) + J(y), x,y X Määritelmä. Jos funktionaalin inkrementti J voidaan lausua δx:n suhteen lineaarisen funktionaalin δj(x, δx) avulla seuraavasti J(x, δx) = δj(x, δx) + g(x, δx) δx, missä lim δx 0 {g(x, δx)} = 0, niin J:n sanotaan olevan differentioituva ja δj:tä kutsutaan J:n variaatioksi funktiolla x. 22

23 Huomaa analogia funktioiden kanssa: f(t) df f differentiaali = variaatio differenssi = inkrementti df f t t Toisin sanoen variaatio δj on lineaarinen approksimaatio kahden toisistaan poikkeavan funktion x ja x + δx tuottavien funktionaalin arvojen erolle. Jos δx pieni, variaation pitäisi olla hyvä approksimaatio inkrementille. Määritelmä. Funktionaalilla J : X R on lokaali ääriarvo funktiolla x, jos ε > 0 s.e. x X, joille x x < ε, J:n inkrementillä on sama etumerkki. 1. Jos J = J(x) J(x ) 0, niin J(x ) on lokaali minimi 2. Jos J = J(x) J(x ) 0, niin J(x ) on lokaali maksimi Funktiota x kutsutaan ekstremaaliksi ja J(x ) on ekstreemi. Lause. Olkoon J(x) differentioituva funktionaali J : X R (x X on yleisesti vektoriarvoinen funktio). Oletetaan, että x:llä ei ole rajoituksia X:ssä. Jos x on ekstremaali, niin J:n variaatio x :llä on nolla, δj(x, δx) = 0 kaikille sallituille x+δx, x X. Todistus. (Kirk s. 121) Vastaoletuksella, olkoon x ekstremaali ja δj 0. Inkrementti J = δj(x, δx) + g(x, δx) δx, missä g(x, δx) 0, kun δx 0 ja δj on lineaarinen. Toisin sanoen on olemassa pieni alue, δx < ε, missä δj:n etumerkki määrää J:n etumerkin. Oletetaan, että δj(x, αδx) < 0, α > 0. Tarkastelemalla +αδx ja αδx vertailufunktioita nähdään, että (homogeenisuudesta johtuen) { δj(x, αδx) = αδj(x, δx) < 0 δj(x, αδx) = αδj(x, δx) > 0 eli δj:n etumerkki saadaan vaihtumaan ristiriita (δj:n etumerkin piti säilyä, jos kyseessä on ekstremaali). Näin ollen, jos x on ekstremaali, pitää olla voimassa δj(x, δx) = 0, kaikille δx. 6.2 Variaatiolaskennan perustehtävä Olkoon g(x(t), ẋ(t), t) skalaarifunktio, jolla on jatkuvat 1. ja 2. derivaatat kunkin argumentin suhteen. 23

24 Tehtävä: määrää välillä t t f jatkuvasti differentioituvien funktioiden joukosta se, jolle pätee x( ) = x 0 ja x(t f ) = x f, ja jolla funktionaali J(x) = t f g(x, ẋ, t)dt on lokaali ekstreemi. Ratkaisu. Tarkastellaan J:n inkrementtiä ratkaisukäyrällä x. Mikä on ehto variaation häviämiselle? J(x, δx) = J(x + δx) J(x) = g(x(t) + δx(t), ẋ(t) + δẋ(t), t)dt Kehitetään g Taylorin sarjaksi x(t):n ja ẋ(t):n ympäristössä. g(x(t) + δx(t), ẋ(t) + δẋ(t), t) = g(x(t), ẋ(t), t) + [ ] (x(t), ẋ(t), t) ẋ δẋ(t) + o(δx(t), δẋ(t)) }{{} 0, kun δx, δẋ 0 g(x(t), ẋ(t), t)dt [ (x(t), ẋ(t), t) x ] δx(t) + Kootaan J:n lausekkeesta ne termit, jotka ovat lineaarisia δx(t):n ja δẋ(t):n suhteen {[ ] [ ] } δj(x, δx) = (x(t), ẋ(t), t) δx(t) + (x(t), ẋ(t), t) δẋ(t) dt. x ẋ Osittaisintegroidaan jälkimmäinen termi [ ] (x(t), ẋ(t), t) ẋ }{{} u δẋ(t)dt = }{{} v = 0, koska δx( ) = δx(t f ) = 0 (sallittujen ohjausten pitää kulkea annettujen päätepisteiden ja t f kautta) {}}{ t f [ ] (x(t), ẋ(t), t) δx(t) ẋ }{{}}{{} v u [ ] d (x(t), ẋ(t), t) δx(t)dt. dt ẋ }{{}}{{} v u Kootaan yhteen ja sovelletaan välttämätöntä ehtoa ekstremaalille { δj(x, δx) = 0 = x (x (t), ẋ (t), t) [ ]} d dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) δx(t)dt. Välitulos. Olkoon h(t) jatkuva funktio välillä [, t f ]. Jos t f h(t)δx(t)dt = 0, δx(t) C[, t f ] ja joilla δx( ) = δx(t f ) = 0, niin h(t) = 0, t [, t f ] (Kirk s. 126). Sovelletaan perustehtävään, jolloin nähdään, että välttämätön ehto ekstreemille on { } = 0, eli x (x (t), ẋ (t), t) d [ ] dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) = 0, t [, t f ] reunaehdoilla x( ) = x t0 ja x(t f ) = x tf 24

25 Euler-Lagrangen yhtälö on tyypillisesti epälineaarinen, aikavariantti, hankalasti ratkaistavissa oleva toisen asteen differentiaaliyhtälö. Euler-Lagrangen yhtälö muodostaa kahden pisteen reuna-arvotehtävän x(t):lle (vrt. H-J-B:n yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö). Euler-Lagrangen yhtälö on välttämätön ehto ekstremaalille, ei riittävä. Ekstermaalin laatu tarkistettava eri keinoin. 6.3 Esimerkki Varasto-tuotanto (Kamien-Schwartz s ): Tilauskoko B toimitettava viimeistään hetkellä T. Varastointikustannukset aikayksikössä tuotetta kohden C 2. Tuotantokustannus on tuotantonopeuden neliö kerrottuna C 1 :llä. x(t) = varaston koko hetkellä t x(0) = 0, alussa ei varastoa ẋ(t) 0, vain tuotantoa ẋ(t) = tuotantonopeus x(t) = B, lopussa tilauskoko varastossa Kustannus: J = T 0 g [{}}{] C1 ẋ 2 (t) + C }{{} 2 x(t) dt }{{} tuotantokustannus varastointikustannus Euler-Lagrange: g(x(t), ẋ(t), t) = g(x(t), ẋ(t)) = C 1 ẋ 2 (t) + C 2 x(t) g x d dt g ẋ = 0, g x = C 2, gẋ = 2C 1 ẋ, d dt g ẋ = 2C 1 ẍ C 2 2C 1 ẍ = 0 ẍ = C 2 2C 1. Integroidaan kahdesti, saadaan kandidaatti ekstremaalille. x (t) = C 2 4C 1 t 2 + K 1 t + K 2, missä K 1 ja K 2 ovat integrointivakioita, joiden valinnan määrää reunaehdot x(0) = 0 K 2 = 0 ja Optimivaraston koko 0 t T: x(t) = B C 2 4C 1 T 2 + K 1 T = B K 1 = B T C 2 4C 1 T. x (t) = C 2 t(t T) + Bt 4C 1 T Tarkistetaan rajoitus ẋ (t) 0, edellä ẍ(t) > 0 ẋ(t) kasvava 25

26 Halutaan yleisiä lainalaisuuksia, ei numeroita: Eulerin yhtälö 2C 1 ẍ(t) = C 2. Koska C 1 ẋ 2 (t) on kokonaistuotantokustannus hetkellä t, niin 2C 1 ẋ on hetkittäinen marginaalinen tuotantokustannus. Näin ollen 2C 1 ẍ on hetkittäisen marginaalisen tuotantokustannuksen kasvunopeus. Toisin sanoen optimia voidaan kuvata näin: optimipolitiikassa on tasapainotettava joka hetki yksikkövarastokustannus C 2 ja hetkittäisen marginaalisen tuotantokustannuksen kasvunopeus 2C 1 ẍ. Sama tulos toisin: integroidaan Euler-Lagrange pienen ajan t yli 2C 1 ẋ(t + t) }{{} Yhden yksikön marginaalinen tuotantokustannus hetkellä t + t t+ t 2C t 1 ẍ(t)dt = t+ t C t 2 dt 2C 1 [ẋ(t + t) ẋ(t)] = C 2 t = 2C 1 ẋ(t) }{{} Yhden yksikön marginaalinen tuotantokustannus hetkellä t + C 2 t }{{} Varastokustannus ajan t yli On sama, tuotetaanko yksikkö nyt ja varastoidaan se vai tuotetaanko myöhemmin. Toisin sanoen optimiradalla tuotannon viivyttäminen ei vähennä kustannuksia! 26

27 6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset Sivut ss lähteiden [Kirk, ss ] ja [KS, Ch. 5] pohjalta Lähtökohta oli: jos J:llä on ekstremaali x (t), niin J:n variaatio δj(x (t), δx(t)) x (t):tä pitkin on nolla. 1. Välttämätön ehto. Lause: Jos δj = 0 x (t) on minimi, ei päde. 2. Ehto antaa vain kandidaatteja optimille, joista joku voi olla optimi. 3. Eulerin yhtälössä edellytetään ẍ(t):n olemassaolo. Tämä ei välttämättä toteudu optimiohjaustehtävissä. syy : g x d dt g d ẋ = 0, dt g ẋ = gẋx ẋ + gẋẋ ẍ + gẋt 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia Yleisesti ottaen Eulerin yhtälön ratkaiseminen on hankalaa. Jos g(x(t), ẋ(t), t):ssä jokin argumentti ei ole eksplisiittisesti mukana, yksinkertaistuu ratkaiseminen huomattavasti (ks. KS, Ch. 5). Esimerkki. Eulerin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa d dt [g ẋg ẋ] = g x ẋ + gẋẍ + g t ẍgẋ ẋ d [ dt g ẋ = g t + ẋ g x d ] dt g ẋ = g t. }{{} =0 ekstremaalilla Jos nyt g t = 0, niin yo. yhteydestä nähdään, että d dt [g ẋ gẋ] = 0. Esimerkki. g(x(t), ẋ(t), t) lineaarinen ẋ:een suhteen g(x, ẋ, t) = A(x, t) + B(x, t)ẋ A x (x, t) + B x (x, t)ẋ d B(x, t) = 0 dt A x (x, t) + B x (x, t)ẋ B x (x, t)ẋ B t (x, t) = 0 A x (x, t) = B t (x, t) Kyseessä ei siis olekaan enää differentiaaliyhtälö vaan implisiittinen algebrallinen yhtälö x:lle. Jos sen ratkaisu toteuttaa reunaehdot, se voi olla optimiratkaisu. Kysessä oleva yhtälö voi olla identiteetti A x B t. Tällöin integraalin arvo riippuu vain päätepiste-ehdoista niiden välisestä radasta riippumatta. Tällöin integrandi on jonkin funktion kokonaisaikaderivaatta: P t A, P x B, P tx A x B t. Olkoon g(x, ẋ, t) = A + Bẋ = P t + P x ẋ = d P(x, t). Tällöin dt t d f P(x, t)dt = dt P(x, t) = P(x(t f ), t f ) P(x( ), ). Jos g(x, ẋ, t) = g(x, ẋ, t) + d P(x, t), niin g:n Eulerin yhtälö on sama kuin g:n. dt Näin ollen kaksi integrandia voi johtaa samaan Eulerin yhtälöön ja samoihin ekstremaaleihin, kun integrandin arvo on em. kokonaisderivaatta. 27

28 6.6 Esimerkki Etsitään ekstremaalia kohdefunktionaalille ẋ(t)dt, x( ) = x 0, x(t f ) = x f. Nyt g(x, ẋ, t) = ẋ(t), joten Eulerin yhtälö g x d dt g ẋ = 0 0 = 0 pätee aina. Integraali ẋ(t)dt = x f x 0, eli jokaiselle differentioituvalle funktiolle päätepisteet määräävät kustannuksen, eikä integraalin arvo riipu x(t):stä. 6.7 Esimerkki Tuotannonoptimointitehtävä lineaariselle tuotantokustannukselle min T reunaehdoilla x(0) = 0 ja x(t) = B. 0 [C 1 ẋ(t) + C 2 x(t)] dt, Tehtävä on lineaarinen ẋ(t):n suhteen. g x = C 2, gẋ = C 1, d dt g ẋ = 0. Eulerin yhtälö: C 2 = 0, ei ole olemassa optimaalista tuotantotapaa, jos C 2 0. Jos C 2 = 0, niin kaikki tuotantotavat johtavat samaan optimikustannukseen T 0 C 1 ẋ(t)dt = C 1 B. Jos C 2 0, niin kannattaa viivyttää tuotantoa viime hetkeen asti ja tehdä silloin kaikki, jolloin ei kerry varastokuluja. Ratkaisu on siis muotoa x(t) = 0, 0 < t T, x(t) = B. Tämä ei käy Eulerin yhtälön ratkaisuksi, koska kyseinen ohjelma ei ole jatkuva funktio. 6.8 Yleisempiä variaatiotehtäviä: vapaa loppuarvo Edellä päätepisteet olivat kiinteät x(t) x(t) x f x 0 x 0 Aikaisemmin t f t Nyt t f t 28

29 Nyt J(x) = t f g(x(t), ẋ(t), t)dt;, t f kiinteät, x( ) kiinteä, x(t f ) vapaa Kohdefunktionaalin variaatio t f [ ] δj(x, δx) = (x(t), ẋ(t), t) δx(t) ẋ {[ ] + (x(t), ẋ(t), t) d [ x dt ẋ ]} (x(t), ẋ(t), t) } {{ } ekstremaalilla=0 1. Ekstremaalilla pitää olla δj(x, δx) = 0. δx(t)dt. (8) 2. Tarkastellaan tehtävää ekstremaalikäyrän x (t) määrittelemällä kiinteällä loppuarvolla x(t f ) = x (t f ). Tällä kiinteän päätepisteen tehtävällä ratkaisu on x (t) ja sillä tulee olla voimassa Eulerin yhtälö. Siis vapaan loppuarvon ekstremaalilla on myös voimassa Eulerin yhtälö. Näin ollen kaavan (8) ensimmäisen termin tulee olla nolla: [ ] ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) δx(t f ) }{{} mielivalt. [ ẋ (x ( ), ẋ ( ), ) Välttämättömät ehdot vapaan loppuarvon tehtävälle ovat { Eulerin yhtälö ] δx( ) = 0. }{{} =0 ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) = Vapaa loppuarvo ja -aika Sallittuja trajektoreita: päätepiste-ehto x(t) x 0 t Nyt J(x) = t f g(x(t), ẋ(t), t)dt; kiinteä, t f vapaa, x( ) kiinteä, x(t f ) vapaa. Kohdefunktionaalin variaatio {[ ] δj(x, δx) = x (x (t), ẋ (t), t) δx(t) + [ ] } ẋ (x (t), ẋ (t), t) δẋ(t) dt + [g(x (t), ẋ (t), t)] δt f [ ] = [g(x (t f ), ẋ (t f ), t f )]δt f + ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) δx(t f ) {[ ] + x (x (t), ẋ (t), t) d [ ]} dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) δx(t)dt = 0. }{{} ekstremaalilla=0 29

30 Ongelmana on δx(t f ), koska se riippuu sekä δx:stä, että δt f :stä. x(t) x f δx(t f ) x x * δx f x 0 tf t+ f δt f t Määritellään δx f. = x(tf + δt f ) x (t f ) δx(t f ). = x(t f ) x (t f ) Käytetään lineaarista ekstrapolaatiota x (t f ):stä eteenpäin. Kun käyrät lähellä toisiaan, niiden kulmakertoimet eivät poikkea paljon t f :ssä ẋ(t f ) ẋ (t f ). Siis δx f δx(t f ) + ẋ(t f )δt f δx(t f ) + ẋ (t f )δt f δx(t f ) = δx f ẋ (t f )δt f. Sijoitetaan tämä kohdefunktionaalin variaation kaavaan [ ] { δj(x,δx) = ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) δx f + g(x (t f ), ẋ (t f ), t f ) [ ] } ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) ẋ (t f ) δt f {[ ] + x (x (t), ẋ (t), t) d [ ]} dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) δx(t)dt = 0. }{{} ekstremaalilla=0 Tästä voidaan päätellä päätepiste-ehdot (transversaalisuusehdot). 1. x(t f ) vapaa ja t f kiinteä: δt f = 0 ja δx f mielivaltainen ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) = x(t f ) kiinteä ja t f vapaa: δt f mielivaltainen ja δx f = 0 [ ] g(x (t f ), ẋ (t f ), t f ) ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) ẋ (t f ) = t f ja x(t f ) vapaat: δt f ja δx f mielivaltaisia ja riippumattomia ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) = 0, g(x (t f ), ẋ (t f ), t f ) = 0. 30

31 6.10 Päätepiste käyrällä Nyt δx f ja δt f eivät ole riippumattomia. Sallitut loppuarvot sijaitsevat käyrällä x(t f ) = θ(t f ). δt f :n ja δx f :n välinen riippuvuus: δx f. = dθ dt (t f)δt f. Sijoitetaan tämä sivun 30 kaavaan ja kerätään termit, jolloin {[ ][ ] } dθ ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) dt (t f) ẋ (t f ) + g(x (t f ), ẋ (t f ), t f ) δt f = 0, }{{} =0 koska δt f on mielivaltainen Esimerkki Etsi lyhin rata origosta annetulle θ(t) = 5t Radan pituus [ J(x) = dl = dt 2 + dx 2] 1 tf 2 [ = 1 + ẋ 2 (t) ]1 2 dt; L reunaehdot = 0, x(0) = 0 annettu, t f ja x(t f ) vapaat, mutta x(t f ):n sijaittava eo. suoralla. Eulerin yhtälö: [ ] d ẋ (t) = dt [1 + ẋ 2 (t)] 1 2 ẍ (t) [ 1 + ẋ 2 (t) ]1 2 }{{} 0 ẋ (t) 1 2 2ẋ (t)ẍ (t) [ 1 + ẋ 2 ]3 2 }{{} 0 = 0 ẍ (t) = 0. Ratkaisu on siis muotoa x (t) = c 1 t + c 2. Alkutilaehdosta x (0) = 0 seuraa, että c 2 = 0. c 1 määräytyy transversaalisuusehdosta ẋ (t f ) [1+ẋ 2 (t f )] 1 2 [ 5 ẋ (t f )] + [1 + ẋ 2 (t f )] 1 2 = 0 ẋ (t f ) [ 5 ẋ (t f ) ] ẋ 2 (t f ) = 0 5ẋ (t f ) + 1 = 0. Edelleen ẋ (t f ) = c 1, joten c 1 = 1 5. Leikkauskohdan t f määrää θ(t):n yhtälö x (t f ) = θ(t f ), 1 5 t f = 5t f + 15 t f = Ekstremaali on kohtisuorassa maalisuoraa vastaan. 31

32 6.12 Weierstrass-Erdmannin taite-ehdot [Kirk, ss ] Nyt ei vaadita ratkaisujen olevan sileitä (jatkuvia ja jatkuvasti derivoituvia), vaan vain paloittain sileitä. Toisin sanoen x(t):llä on äärellinen määrä kulmia (derivaatan epäjatkuvuuskohtia). Oletetaan, että kulma on pisteessä t 1 : x(t) x δx 1 x f x 0 x * t t+δt f t t Etsitään funktionaalin J(x) = t f g(x(t), ẋ(t), t)dt ekstremaaleja. Oletetaan, että g:n ensimmäiset ja toiset osittaisderivaatat kunkin argumentin suhteen ovat jatkuvia, ja että, t f, x( ) ja x(t f ) ovat annetut. Lausutaan funktionaali summana J(x) = t1 g(x(t), ẋ(t), t)dt + Tarvitaan lauseke yleiselle variaatiolle t 1 g(x(t), ẋ(t), t)dt J 1 (x) + J 2 (x). δj(x, δx) = δj 1 (x, δx) + δj 2 (x, δx). Kulmapisteiden koordinaatit ovat vapaita; sivun 30 kaavasta [ ] { δj(x,δx) = ẋ (x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ) δx 1 + g(x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ) [ } ẋ (x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ]ẋ ) (t 1 ) δt 1 t1 {[ ] + x (x (t), ẋ (t), t) d [ ]} dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) δx(t)dt }{{} ekstremaalilla=0 [ ] { ẋ (x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t + 1 ) δx 1 g(x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t + 1 ) [ } ẋ (x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t+ 1 ]ẋ ) (t +1 ) δt 1 {[ ] + t 1 x (x (t), ẋ (t), t) d [ ]} dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) δx(t)dt = 0. }{{} ekstremaalilla=0 32

33 Koska kertoimet δx 1 ja δt 1 ovat mielivaltaisia, välttämättömät ehdot ekstremaalille saadaan asettamalla niiden kertoimet nolliksi ja ẋ (x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ) = ẋ (x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t+ 1 ), [ ] g(x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ) ẋ (x (t 1 ), ẋ (t 1 ), t 1 ) ẋ (t 1 ) [ ] = g(x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t+ 1 ) ẋ (x (t + 1 ), ẋ (t + 1 ), t+ 1 ) ẋ (t + 1 ). Toisin sanoen gẋ:n ja g gẋẋ:n on oltava jatkuvia taitekohdassa Esimerkki Etsi seuraavalle funktionaalille minimoiva ekstermaali 1. Eulerin yhtälöllä: min 2 0 [ẋ2 (t) 1 ] 2 dt, x(0) = 0, x(2) = 0. }{{} g(x(t),ẋ(t),t) Muodostetaan Eulerin yhtälö ja ratkaistaan se: (x(t), ẋ(t), t) = 0 x ẋ (x(t), ẋ(t), t) = 2 2ẋ(t) [ ẋ 2 (t) 1 ] [ ] d (x(t), ẋ(t), t) = 0 4ẋ 3 (t) 4ẋ(t) = c 1 ẋ(t) = c 2. dt ẋ Ratkaisu on siis muotoa x (t) = c 2 t + c 3. Reunaehdot x(0) = 0, x(2) = 0 x (t) 0, ẋ (t) = 0 J (x) = 2 0 [ 1]2 dt = 2. Tämä ratkaisu on lokaali maksimi! Tarkistus: otetaan mielivaltainen funktio h(t), jolle ḣ(t) < 1, ḣ2 (t) < 1, h(0) = h(2) = 0. Nyt 2 0 [ḣ(t) 1]2 dt < 2. Kyseessä on lokaali maksimi. Siis ei löydetä minimiä, kun x(t) C Sallitaan kulmat. Ratkaisu koostuu edelleen suorista (Eulerin yhtälö). Taite-ehdot: 4ẋ (t 1 )(ẋ 2 (t 1 ) 1) = 4ẋ (t + 1 )(ẋ 2 (t + 1 ) 1) [ẋ (t 1 ) 1] 2 = [ẋ (t + 1 ) 1] 2 Ylempi yhtälö toteutuu, kun ẋ (t 1 ) = 1, 0, 1 ja ẋ (t + 1 ) = 1, 0, 1 33

34 Alempi yhtälö toteutuu, kun ẋ (t 1 ) = 1, 1 ja ẋ (t + 1 ) = 1, 1 Mahdollisissa ratkaisuissa joko tai Kokeillaan ratkaisua ẋ (t 1 ) = 1 ja ẋ (t + 1 ) = 1 ẋ (t 1 ) = 1 ja ẋ (t + 1 ) = 1 { x (t) = t, t t 1 = 1 x (t) = t + 2, t t 1 = 1 J (x) = 1 0 [12 1] 2 dt [( 1)2 1] 2 dt = 0 globaali minimi Yhteenveto Kaikissa tapauksissa variaatiotehtävän ekstremaalin välttämättömiksi ehdoiksi saatiin 1. Eulerin yhtälö 2. Tarpeelliset transversaalisuusehdot 3. Kun sallitaan kulman, Weierstrass-Erdmannin taite-ehdot 6.15 Eulerin yhtälö tilavektorilla [Kirk, ss ] Olkoon kohdefunktionaali muotoa J(x) = J(x 1, x 2,...,x n ), x i (t) riippumattomia funktioita g(x(t),ẋ(t), t) = g(x 1 (t),...,x n (t), ẋ 1 (t),...,ẋ n (t), t). Edellä esitetyt tulokset voidaan johtaa analogisesti: Kullakin x i (t) oma variaatio δx i Kokonaisinkrementti kuten edellä ja lineaariset termit määräävät kohdefunktionaalin variaation Valitaan δx i 0 ja muut δx j = 0. Sovelletaan skalaaritapauksen tuloksia. Eulerin yhtälö on voimassa joka funktiota kohden (x (t),ẋ (t), t) d [ ] (x (t),ẋ(t), t) = 0, i x i dt ẋ i Vektorimuodossa gradienttina x (x (t),ẋ (t), t) d dt [ ] ẋ (x (t),ẋ (t), t) = 0. Variaatio vastaavasti vapaan loppuarvon ja -ajan tehtävälle: [ ] T { δj(x,δx) = ẋ (x (t f ),ẋ (t f ), t f ) δx f + g(x (t f ),ẋ (t f ), t f ) [ ] T ẋ (x (t f ),ẋ (t f ), t f ) ẋ (t f )} δt f = 0. 34

35 6.16 Ekstremaalit rajoitusten vallitessa Yhtälörajoitus. Tarkastellaan tapausta, missä x on n + m-ulotteinen vektorifunktio, mitä sitoo t n yhtälörajoitusta f i (x(t), t) = 0, i = 1, 2,..., n. Vain m komponenttia x:stä on vapaasti valittavissa. Eräs ratkaisutapa on muuttujien eliminointi: ratkaistaan f i (x(t), t) n:lle muuttujalle jäljellä olevien m:n muuttujan funktiona ja eliminoidaan J:stä x(t):n ja ẋ(t):n n riippuvaa komponenttia. Tämä ei ole usein käyttökelpoinen lähestymistapa (mahdotonta). Toinen tapa on Lagrangen kerroinmenettely. Funktionaali J(x) = g(x(t),ẋ(t), t)dt; x( ),x(t f ),, t f kiinnitetty, sekä n kappaletta rajoitusyhtälöitä f i (x(t), t) = 0. Oletetaan n kappaletta kerroinfunktioita [p 1 (t),...,p n (t)] T p(t) (aikariippuvuus!). Muodostetaan laajennettu funktionaali J a (x,p) = { g(x(t),ẋ(t), t) + p T (t)[f(x(t), t)] } dt. Kun rajoitusyhtälöt toteutuvat eli f(x(t), t) = 0, niin J a = J p(t). J a :n variaatio {[ [ ]] T f δj a (x, δx,p, δp) = x (x(t),ẋ(t), t) + pt (t) (x(t), t) δx(t) x [ ] T + (x(t),ẋ(t), t) δẋ(t) + [ f T (x(t), t) ] } δp(t) dt ẋ {[ [ ] T f = x (x(t),ẋ(t), t) + pt (t) (x(t), t) x d [ ]] T (x(t),ẋ(t), t) δx(t) + [ f T (x(t), t) ] } δp(t) dt. dt ẋ }{{} =0 ekstremaalilla Ekstremaalilla δj a (x,p) = 0 ja f(x (t), t) = 0 δp(t):n kerroin on nolla, p(t) voidaan valita vapaasti. Valitaan p:t siten, että n kpl δx(t):n kertoimista on nollia välillä [, t f ]. Loput δx(t):n m komponenttia ovat riippumattomia, joten niiden kertoimien on oltava nollia δx(t) kerroinvektorin on oltava nolla. 35

36 Merkitään g a (x(t),ẋ(t),p(t), t) g(x(t),ẋ(t), t) + p T (t)[f(x(t), t)]. Välttämättömät ehdot ekstremaalille x (t) ovat a x (x (t),ẋ (t), t) d [ ] a dt ẋ (x (t),ẋ (t),p (t), t) = 0, f(x (t), t) = 0. Saadaan siis n + m differentiaaliyhtälöä ja n algebrallista yhtälöä. Isoperimetrinen rajoitus on integraalirajoitus. Tehtävä on muotoa min g(x(t), ẋ(t), t)dt z(t f ) e(x(t), ẋ(t), t) = c, reunaehdoilla x( ) = x 0, x(t f ) = x f ja c on vakio. Otetaan käyttöön Lagrangen kerroin p(t). Ekvivalentti tehtävä: min mielivaltaisella skalaarilla p(t). Merkitään Eulerin yhtälö {g(x(t), ẋ(t), t) + p(t) [e(x(t), ẋ(t), t) ż(t)]}dt g a (x(t), ẋ(t), t) = g(x(t), ẋ(t), t) + p(t) [e(x(t), ẋ(t), t) ż(t)]. a x (x (t), ẋ (t), t) d [ ] a dt ẋ (x (t), ẋ (t), t) = 0, a z (x (t), ẋ (t), t) d [ ] a dt ż (x (t), ẋ (t), t) = 0. p(t):n arvosta riippuvia ekstremaaleja x (t, p(t)). Jos nyt löytyy sellainen p(t), että z (t f ) = c, niin se on ratkaisu Esimerkki: kaivosprobleema Luonnonvaraa on kokonaismäärä B Hyödyntämisnopeus x(t) Tuottovirta myynnistä p(x(t)) Tehtävä: T max e rt p(x(t))dt, 0 T 0 x(t)dt = B. Määritellään uusi muuttuja z(t) t x(t)dt, kumulatiivinen saalis. Ekvivalentti 0 tehtävä on muotoa T { z(0) = 0 ż(t) = x(t), max e rt p(ż(t))dt, 0 z(t) = B 36

37 6.18 Differentiaaliyhtälörajoitus Muotoillaan välttämättömät optimaalisuusehdot funktionaalin ekstremaalille x. J(x) = g(x(t),ẋ(t), t)dt x on nyt (n + m) 1 vektorifunktio, jonka on toteutettava n differentiaaliyhtälörajoitetta f i (x(t),ẋ(t), t) = 0, i = 1, 2,..., n. Rajoitukset kuvaavat optimiohjaustehtävissä systeemiyhtälöitä, jolloin vapaaksi jäävät m komponenttia edustavat ohjausfunktioita; siis [ z x =, u] missä z on n 1 tilavektori ja u on m 1 ohjausvektori. Voidaan käyttää eliminointia, jos se on mahdollista. Muutoin edetään Lagrangen kerrointekniikalla. Olkoon laajennettu funktionaali muotoa J a (x,p) = { g(x(t),ẋ(t), t) + p T (t)[f(x(t),ẋ(t), t)] } dt. Kun rajoitusehdot toteutuvat, niin J a = J kaikille p(t). J a :n variaatio {[ T δj a (x, δx,p, δp) = x (x(t),ẋ(t), t) + pt (t) [ [ T f + (x(t),ẋ(t), t) + pt ẋ + [ f T (x(t),ẋ(t), t) ] } δp(t) dt {[ [ T f = x (x(t),ẋ(t), t) + pt (t) d [ T dt ẋ (x(t),ẋ(t), t) + pt (t) + [ f T (x(t),ẋ(t), t) ] } δp(t) dt. }{{} =0 ekstremaalilla [ ]] f (x(t),ẋ(t), t) δx(t) x ]] (x(t),ẋ(t), t) ẋ δẋ(t) (x(t),ẋ(t), t) x [ f (x(t),ẋ(t), t) ẋ ] ]]] δx(t) Ekstremaalilla δj a (x,p) = 0 ja f(x (t),ẋ (t), t) = 0 δp(t):n kerroin on nolla. Rajoitusehtojen toteutuessa p:t voidaan valita vapaasti. 37

38 Valitaan ne siten, että n kpl δx(t):n kertoimista on nollia välillä [, t f ]. Loput δx(t):n m komponenttia ovat riippumattomia, joten niiden kertoimien on oltava nollia δx(t) kerroinvektorin on oltava nolla. Merkitään g a (x(t),ẋ(t),p(t), t) g(x(t),ẋ(t), t) + p T (t)[f(x(t),ẋ(t), t)]. Välttämättömät ehdot ekstremaalille x (t) ovat a x (x (t),ẋ (t), t) d [ ] a dt ẋ (x (t),ẋ (t),p (t), t) = 0, f(x (t),ẋ (t), t) = 0. Saadaan siis 2n + m differentiaaliyhtälöä Jäykät probleemat Jos rajoitetussa variaatiotehtävässä rajoitukset itsessään määräävät ratkaisun, puhutaan jäykästä (rigid) tehtävästä. Esimerkki. J(x) = g(x 1 (t), x 2 (t), ẋ 1 (t), ẋ 2 (t), t)dt; x 1 (t) + x 2 (t) = 0. Rajoitus vaatii, että x 1 (t) x 2 (t) 0 t. Tällöin ei Eulerin yhtälö toteudu, koska sallittuja variaatioita ei ole. Otetaan käyttöön uusi Lagrangen kerroin p 0 : J(x) = p 0 Eulerin yhtälö on nyt muotoa g(x(t),ẋ(t), t)dt; f(x(t),ẋ(t), t) = 0. a x (x(t),ẋ(t), t) a (x(t),ẋ(t), t) = 0, ẋ missä g a (x(t),ẋ(t), t) = p 0 g(x(t),ẋ(t), t) + p T (t)[f(x(t),ẋ(t), t)]. Jos 1. p 0 = 0, on systeemi jäykkä. 2. p 0 > 0, systeemi ei ole jäykkä. 38

6 Variaatiolaskennan perusteet

6 Variaatiolaskennan perusteet 6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.

Lisätiedot

Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa

Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa 1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija TkT Mitri Kitti Vastaanotto luentojen yhteydessä email: mitri.kitti@hse.fi Luentomoniste kurssin verkkosivuilla

Lisätiedot

1.1 Kurssimateriaali. 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma. Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313

1.1 Kurssimateriaali. 1.2 Kurssin suorittaminen ja ohjelma. Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 1 Kurssin käytännön järjestelyt Luennot (12 kpl) tiistaisin klo 9 12 luokassa Y313 Luennoitsija DI Janne Karelahti, U243 Vastaanotto tiistaisin klo 13 14 email: janne.karelahti@hut.fi Luentomoniste kurssin

Lisätiedot

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }. Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3 Mat-2.48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: Kustannusfunktio: J = 2 xt NHx

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),... Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään

Lisätiedot

1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä 1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause

Lisätiedot

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = = Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

x = ( θ θ ia y = ( ) x. Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Mat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä

Mat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä Mat-2.132 Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä Miten ohjaan liidintä, jotta lentäisin mahdollisimman pitkälle?? 1 työssä Konstruoidaan riippuliitimen malli dynaamisen systeemin tilaesitys Simuloidaan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon: TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot