MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
|
|
- Inkeri Pesonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
2 Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf Gripenbergin ja Harri Varpasen laatimiin saman kurssin aikaisempiin kalvosarjoihin. Kiitokset heille käyttöön antamastaan materiaalista! Otaniemessä Riikka Kangaslampi 1 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
3 Joukko-oppi
4 Joukko Matematiikan kaikki rakenteet ja niitä koskevat väitteet voidaan ilmaista joukkojen avulla. Esimerkki 1 N = {0, 1, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} on kokonaislukujen joukko, Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset ja Z = {..., 3, 2, 1} negatiiviset kokonaisluvut. { } Q = p q : p, q Z, q 0 on rationaalilukujen joukko. R on reaalilukujen joukko. Joukkoja voi määritellä millaisia haluaa, vaikkapa A = { lammas, klemmari, 16, π, ikuisuus } 2 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
5 Joukko Joukko-opissa peruskäsite on eli x A kun alkio x kuuluu joukkoon A ja x / A kun alkio x ei kuulu joukkoon A. Merkintätapoja: {2, 4, 5, 8} on joukko jonka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8. {lauseke : ehto} on joukko johon kuuluu lausekkeen antamat alkiot kun ehto on voimassa, esim. { x 2 : 2 < x < 10, x on kokonaisluku } = {9, 16, 25,..., 81}. Tyhjä joukko: = {} on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota, eli x on aina epätosi. A = B jos on totta, että x A jos ja vain jos x B, esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. 3 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
6 Joukko-opin perusmerkintöjä Yhdiste tai unioni: x A B jos ja vain jos x A tai x B. A B Leikkaus: x A B jos ja vain jos x A ja x B. A B Joukkoerotus: x A \ B jos ja vain jos x A mutta x / B. A B Komplementti: A c = Ω \ A jos A Ω ja on selvää mikä Ω on. A 4 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
7 Joukko-opin perusmerkintöjä Osajoukko: A B jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. B A Aito osajoukko: A B, jos A B, mutta A B. Huom: Usein osajoukkoa merkitään A B, jolloin aito osajoukko on A B. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Potenssijoukko: P(A) on joukon kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Tulojoukko: A B = {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) on järjestetty pari eli kahden alkion lista, jossa a on ensimmäisenä ja b toisena. 5 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
8 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 2 Jos A = {0, 2, 4}, B = {1, 3, 5} ja C = {0, 1, 2, 3, 4}, niin A C ja B C. Esimerkki 3 Jos A = {1, 2, 3}, niin P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Esimerkki 4 {0, 1} {2, 1} = {(0, 2), (0, 1), (1, 2), (1, 1)}. 6 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
9 Joukko-opin perusmerkintöjä Merkintä A tarkoittaa joukon A alkioiden lukumäärää. Esimerkki 5 Jos A = 5 ja B = 9, niin mitkä seuraavista eivät kelpaa luvuksi A B missään tilanteessa? a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 14 f) 20 Vastaus: a,b ja f. 7 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
10 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 6 Päteekö A (B C) = (A B) (A C)? Tutki piirtämällä Venn-diagrammit joukoista A, B C, A (B C), A B, A C ja (A B) (A C), kun A, B ja C ovat kuten alla. A B C Vastaus: kyllä 8 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
11 Perusjoukko Kylässä on miespuolinen parturi, joka ajaa niiden ja vain niiden miesten parran, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? (ns. Russelin paradoksi) Joukko-oppi ei aina ole niin yksinkertaista! Käytännössä joukot ovat aina tietyn perusjoukon (eng. domain of discourse, universal set of discourse) osajoukkoja. Russellin paradoksi voidaan välttää vaatimalla taustalle perusjoukko X, jonka osajoukkoja kaikki tarkasteltavat joukot ovat. 9 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
12 Indeksöity joukkoperhe Olkoon X perusjoukko ja A 1, A 2, A 3,... X joukkoja. Tällöin on indeksöity joukkoperhe. {A k } k=1 Merkitään A k = {x X : x A k jollakin k Z + } k=1 A k = {x X : x A k kaikilla k Z + } k=1 10 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
13 Indeksöity joukkoperhe Esimerkki 7 Olkoon X = R ja A k = [0, 1 k ] (suljettu väli). Osoita, että a) b) k=1 A k = [0, 1] k=1 A k = {0} Todistus taululla 11 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
14 Logiikka
15 Väitelause Määritelmä 8 Väitelause (eng. statement) on lause, joka on joko tosi tai epätosi. Esimerkki 9 Väitelauseita: 2 Z, 5 = 2, luvun π miljoonas desimaali on 7. Nämä eivät ole väitelauseita: Onko = 4? Tämä lause on epätosi. Usein väitelauseet ovat muotoa kaikille x A pätee P(x) tai jollekin x A pätee P(x). Nämä lyhennetään usein x A : P(x) ja x A : P(x). 12 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
16 Esimerkkejä väitelauseista x R : x 2 > 0 a R : x R : ax = x n Z : m Z : m = n + 5 n Z : m Z : m = n + 5 Mistä tahansa bileistä löytyy kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä. Keskustelutehtävä: Mitkä näistä väitteistä ovat totta? Tosia toinen ja kolmas, epätosia ensimmäinen ja neljäs. Viides jätetään myöhemmäksi. 13 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
17 Negaatio Miten muodostaa negaatio väitteelle kaikille x A pätee P(x)? (1) Esimerkki 10 Esitetään väite jokainen luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa kaikille x N pätee P(x), missä P(x) = x voidaan esittää alkulukujen tulona. Negaatio tälle on on olemassa luonnollinen luku, jota ei voida esittää alkulukujen tulona eli jollekin x N ei päde P(x). 14 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
18 Negaatio Yleisesti: Olkoon B niiden alkioiden joukko, joille P(x) pätee. Tällöin väite (1) saa muodon A B. Tämän negaatio on A B, ts. jollekin x A pätee x / B. Siten väitteen (1) negaatio on jollekin x A ei päde P(x). Samoin väitteen jollekin x A pätee P(x) negaatio on kaikille x A pätee ei-p(x) eli millekään x A ei päde P(x). Edellä palautettiin negaation muodostaminen (voi olla vaikeaa) osajoukkouden määritelmään ja sen negaatioon (helppoa). 15 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
19 Loogiset konnektiivit Väitelauseita voi yhdistää loogisilla konnektiiveilla: Lisäksi jo tutut kvanttorit: implikaatio = ekvivalenssi negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai kaikille jollekin 16 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
20 Loogiset konnektiivit Sopimus Implikaatio P Q on matematiikassa tosi aina, kun P on epätosi. Esimerkki 11 Väite x R : (x 2 < 0 x = 23) on tosi, koska x 2 < 0 on epätosi kaikilla x R. Implikaation totuustaulu: P Q P = Q E E T E T T T E E T T T 17 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
21 Loogiset konnektiivit Identtisesti tosia lauseita sanotaan tautologioiksi. Esimerkki 12 Seuraavat lauseet ovat tautologioita, mikä voidaan nähdä esimerkiksi totuustaulun avulla: P P (kaksoiskiellon poisto) P P (vaihtoehtopakko) (P = Q) ( Q = P) (kontraponointilaki) (P Q) ((P = Q) (Q = P)) (ekvivalenssilaki) Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi. 18 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
22 Loogiset konnektiivit Esimerkki 13 Tutkimusmatkailija saapuu rehtien ja retkujen saarella T-risteykseen, jossa maleksii yksi saaren asukas. Miten matkailija saa yhdellä kysymyksellä selville, onko kaupunki oikealla vai vasemmalla? Merkitään: P = kaupunki on oikealla ja Q = asukas on retku ja kysytään päteekö P Q. P Q P Q asukkaan vastaus kyllä E E T T E T E T T E E E T T T E 19 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
23 Kontrapositio Määritelmä 14 Väitteen jos P, niin Q eli P = Q kontrapositiivinen väite on jos ei-q, niin ei-p eli Q = P. Esimerkki 15 Väitteen (perusjoukkona R) jos x > 0, niin x 3 0 kontrapositio on jos x 3 = 0, niin x / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
24 Kontrapositio Lause 16 Väite ja sen kontrapositio ovat loogisesti yhtäpitäviä. Todistus. Merkitään väitettä P Q. Väite on epätosi ainoastaan yhdessä tapauksessa eli silloin, kun P on tosi ja Q on epätosi. Tarkastellaan sitten kontrapositiota ( Q) ( P). Kontrapositio on vastaavasti epätosi silloin, kun Q on tosi ja P on epätosi. Toisin sanoen kontrapositio on epätosi täsmälleen silloin, kun Q on epätosi ja P on tosi. Koska väite ja kontrapositio ovat tosia / epätosia samoissa tilanteissa, lause on todistettu. 21 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
25 Käänteinen väite Määritelmä 17 Väitteen P = Q käänteinen väite on Q = P. Huomio. Käänteinen väite on eri asia kuin väitteen kontrapositio. Väite ja sen kontrapositio ovat yhtäpitäviä, mutta väitteen totuusarvosta ei voi päätellä käänteisen väitteen totuusarvosta yhtään mitään. Esimerkki 18 Reaalilukuja koskevan väitteen jos x > 0, niin x 3 0 (tosi) käänteinen väite on jos x 3 0, niin x > 0 (epätosi). 22 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
26 Todistamisesta Matematiikan väitelauseet voidaan aina esittää muodossa A B, toisin sanoen muodossa x X : x A = x B. Tällaisen väitteen suora todistus on yksisuuntainen päättelyketju, joka lähtee oletuksesta x A ja etenee johtopäätökseen x B. Väitteen epäsuora todistus käyttää hyväksi yhtäpitävää kontrapositiota B c A c eli x X : x / B = x / A. Toisin sanoen tehdään vastaoletus x / B ja edetään jälleen yksisuuntaisella päättelyketjulla ristiriitaan x / A. Väite A B on epätosi täsmälleen silloin, kun x A x B on epätosi jollekin x X. Siten väitteen A B todistaminen vääräksi edellyttää, että löydämme vastaesimerkin: alkion x A, jolle x / B. Tarkemmin: harjoitus / 23 R. Kangaslampi MS-A0402
27 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
28 Relaatiot
29 Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A joukkoon B on mikä tahansa joukko R A B. Joukko A on relaation R lähtöjoukko, joukko B sen maalijoukko. Jos A = B, sanotaan, että R on relaatio joukossa A. Huomautus Määritelmää yllä kutsutaan usein myös binääriseksi relaatioksi. (Vastaavasti voidaan määritellä n-paikkainen relaatio joukkojen A 1,..., A n välillä joukon A 1... A n osajoukkona.) Sovelluksia mm. Relaatiotietokannat, ohjelmointikielten kääntäjät. 1 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
30 Relaatio Esimerkki 2 Olkoon A = {1, 2, 3, 4}. Määritellään relaatio R joukossa A säännöllä R = {(a, b) : a on b:n tekijä}. Tällöin R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. Huom: Yllä jaollisuutta (a, b) R on tapana merkitä a b. Yleisestikin relaatioon pyritään liittämään sopiva symboli (esim., =,, ) ja merkitsemään vastaavasti. Merkitsemme tällä kurssilla yleistä relaatiota a b emmekä arb kuten lähteissä. 2 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
31 Relaatio suunnattuna verkkona Esimerkki 3 Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {a, b} ja R = {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)}. Tällöin relaatio R voidaan esittää suunnattuna verkkona kuten alla: a b Kysymys Jos A = m ja B = n, montako relaatiota on olemassa joukosta A joukkoon B? (Vastaus: 2 mn.) 3 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
32 Relaatioiden luokittelua Määritelmä 4 Relaatio joukossa A (merkitään ) on refleksiivinen, jos x A : x x symmetrinen, jos x, y A : x y y x transitiivinen, jos x, y, z A : (x y ja y z) x z antisymmetrinen, jos x, y A : (x y ja y x) x = y. Esimerkki 5 Joukon Z relaatio = on refleksiivinen, symmetrinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Joukon N relaatio (jaollisuus) on antisymmetrinen, refleksiivinen ja transitiivinen. 4 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
33 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 6 Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi tai lyhyesti ekvivalenssiksi. Esimerkki 7 C-ohjelmointikielen kääntäjä tarkistaa muuttujien nimistä vain kahdeksan ensimmäistä merkkiä ja mikäli ne ovat samoja, katsoo muuttujat samoiksi. (Lähde: Rosen.) Määritellään äärellisten merkkijonojen joukossa relaatio R asettamalla (x, y) R, jos x = y tai jos x:n ja y:n kahdeksan ensimmäistä merkkiä ovat samat. Tällöin R on ekvivalenssi. 5 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
34 Ekvivalenssirelaatio Ekvivalenssirelaatio ilmaisee yleistä samuutta. Riippuu tilanteesta, millä kriteereillä samuus määritellään, mutta jokainen ekvivalenssirelaatio jakaa joukkonsa samojen alkioiden muodostamiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 8 Olkoon R ekvivalenssirelaatio joukossa A (merkitään ). Alkion a A ekvivalenssiluokka on joukko [a] = {x A : a x}. 6 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
35 Ekvivalenssirelaatio Pätee Jos joukossa A on annettu ekvivalenssi, niin sen ekvivalenssiluokat jakavat A:n erillisiin osiin. Toisin sanoen kaikille a, b A pätee joko [a] = [b] tai [a] [b] =. Tarkemmin: Book of Proof, 11.2 & 11.3, erityisesti kuva sivulla 184. (Moduloluvut ovat neljännen viikon asiaa.) 7 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
36 Järjestysrelaatio Vastaavasti määritellään yleinen järjestyksen käsite relaationa, joka on antisymmetrinen ja transitiivinen. Tarkemmin harjoitustehtävässä 11, jossa tutustutaan osittaisiin järjestyksiin (eng. partial order; poset = partially ordered set). 8 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
37 Funktiot
38 Funktio Määritelmä 9 Funktio joukosta A joukkoon B on relaatio f joukosta A joukkoon B siten, että kullekin lähtöjoukon alkiolle a löytyy täsmälleen yksi maalijoukon alkio b, jolle (a, b) f. Esimerkki 10 lähtöjoukko maalijoukko lähtöjoukko maalijoukko 9 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
39 Funktio Huomioita Funktio siis rajoittaa relaatiota kahdella tavalla: 1) kaikkien lähtöjoukon alkioiden on oltava relaatiossa jonkun maalijoukon alkion kanssa, 2) maalijoukon alkio on yksikäsitteinen. Tapana on funktion tapauksessa merkitä f (a) = b eikä (a, b) f. Funktiota f joukosta A joukkoon B merkitään lyhyesti f : A B. 10 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
40 Funktio Huomioita (jatkuu) Määritelmä tarkasti: a A, b, c B : ( f (a) = b ja f (a) = c ) b = c. Joskus funktiolle ei tarvita kirjainta; voidaan esimerkiksi ilmaista reaaliluvun korottaminen neliöön funktiona R R, x x 2. (Tässä f (a) = b on korvattu ilmaisulla a b.) Tarkemmin: Book of Proof, / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
41 Funktio Esimerkki 11 Funktion f = {(x, 4x + 5) : x Z} Z Z määrittelyjoukko (domain) on Z maalijoukko (codomain) on Z arvojoukko (range) on {4x + 5 : x Z} = {..., 7, 3, 1, 5, 9,...} Esimerkki 12 Lukujono on funktio N R. Algoritmien nopeuksien vertailukohteena käytetään lukujonoja muotoja f (n) = log k n, f (n) = n k ja f (n) = k n (jollekin k N) sekä näiden yhdistelmiä. 12 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
42 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 13 Funktio f : A B on injektio (tai yksi-yhteen ), jos x, y A : x y f (x) f (y) surjektio (tai peittävä ), jos b B a A : f (a) = b bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Esimerkki 14 injektio surjektio bijektio 13 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
43 Injektio, surjektio, bijektio Esimerkki 15 Onko kuvaus f : Z Z Z, f (n) = (2n, n + 3), bijektio? Kuvaus on injektio, jos f (n) = f (m) = m = n. Nyt: f (n) = f (m) = (2n, n + 3) = (2m, m + 3) = (2n = 2m) (n + 3 = m + 3) = (n = m) (n = m) = n = m eli kuvaus todellakin on injektio. Kuvaus on surjektio, jos kaikilla (x, y) Z Z on olemassa n Z siten, että f (n) = (x, y), eli että (2n, n + 3) = (x, y). Tämä ei ole totta: esimerkiksi jos (x, y) = (2, 5), pitäisi olla samanaikaisesti 2n = 2 ja n + 3 = 5 eli n = 1 ja n = 2. Kuvaus siis ei ole bijektio. 14 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
44 Injektio, surjektio, bijektio Bijektiiviset funktiot voidaan kääntää: Määritelmä 16 Bijektiivisen funktion f : A B käänteisfunktio on funktio g : B A, missä g(b) on se yksikäsitteinen luku a, jolle f (a) = b. Huomioita Voidaan osoittaa, että käänteisfunktio on yksikäsitteinen (ts. jos g ja h ovat f :n käänteisfunktioita, niin g = h). Funktion f käänteisfunktiota merkitään f 1. Merkintää f 1 käytetään eri tarkoituksessa alkukuvan käsitteen yhteydessä, tästä lisää hetken kuluttua. 15 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
45 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 17 Bijektiivistä funktiota A A (oletetaan A < ), kutsutaan joukon A permutaatioksi. Esimerkki 18 Olkoon A = {1, 2, 3}. Määritellään permutaatio f : A A asettamalla ( f (1) ) = 3, f (2) = 2, f (3) = 1. Tiiviimmin matriisina: f =. Nyt f 1 = f / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
46 Yhdistetty funktio Määritelmä 19 Funktioiden f : A B ja g : B C yhdistetty funktio on g f : A C, (g f )(x) = g ( f (x) ). Huomioita Määritelmässä f :n maalijoukko = g:n lähtöjoukko. Määritelmä toimii myös, kun f :n maalijoukko g:n lähtöjoukko. Yhdistäminen ei ole vaihdannainen (eng. commutative): yleensä g f f g. Yhdistäminen on liitännäinen (eng. associative): f (g h) = (f g) h. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
47 Yhdistetty funktio Esimerkki 20 Määritellään ( joukon ) {1, 2, ( 3} permutaatiot ) f = ja g =. Tällöin ( ) ( ) g f = ja f g = / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
48 Kuva ja alkukuva Tilanteessa f (a) = b sanotaan, että b on a:n kuva ja a on b:n alkukuva. (Funktiota kutsutaan joskus nimellä kuvaus.) Sama terminologia on voimassa yleisemmin joukoille: Määritelmä 21 Olkoon f : X Y. Joukon A X kuva on joukko {f (a) : a A} Y. Joukon B Y alkukuva on joukko {x X : f (x) B} X. Joukon A kuvaa merkitään f (A) ja joukon B alkukuvaa merkitään f 1 (B). 19 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
49 Kuva ja alkukuva Huomioita Kuva ja alkukuva ovat aina hyvin määriteltyjä. Erityisesti alkukuva f 1 (B) on aina olemassa, vaikka f ei olisi bijektio. Kuvan ja alkukuvan määritelmät toimivat myös relaatiolle. Itse asiassa mikä tahansa relaatio voidaan kääntää (ks. BoP luku 12.5), mutta funktion käänteisrelaatio ei ole funktio ellei alkuperäinen funktio ole bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin {f 1 (b)} = f 1 ({b}) kaikille b B. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
50 Funktiot ja joukko-operaatiot Lause 22 Kaikille funktioille f ja kaikille lähtö- tai maalijoukon osajoukoille A, B pätee: A B f (A) f (B) A B f 1 (A) f 1 (B) f (A B) = f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). Siis: Alkukuva säilyttää kaikki joukko-operaatiot, mutta kuva vain yhdisteen ja osajoukkouden. 21 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
51 Funktiot ja joukko-operaatiot Erityisesti siis lauseen kaksi viimeistä eivät yleisesti päde kuvajoukoille, kuten vastaesimerkit etsimällä huomaamme: Esimerkki 23 (Tehtävä) Etsi sellainen esimerkkifunktio ja joukot, joille f (A B) f (A) f (B) f (A \ B) f (A) \ f (B). Ensimmäiseen kohtaan sopii vastaesimerkiksi tilanne, jossa A B on tyhjä joukko, mutta f (A) f (B) ei, ja toiseen vastaavasti tilanne, jossa f (A) \ f (B) on tyhjä joukko, mutta f (A \ B) ei ole. 22 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
52 Joukon mahtavuus Määritelmä 24 Kaksi joukkoa A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio A B. Tällöin merkitään A = B. Huomioita A = n tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1, 2,..., n}. Joukko A on äärellinen jos on olemassa n N siten, että A = n. Jos joukko ei ole äärellinen, se on ääretön. Määritelmässä joukkojen A ja B ei tarvitse olla äärellisiä. Joukko A on numeroituva (eli numeroituvasti ääretön) jos A = N ja ylinumeroituva jos A > N. 23 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
53 Joukon mahtavuus Esimerkki 25 Pätee N = Z = Q R. Joukot N, Z ja Q ovat siis numeroituvia ja R on ylinumeroituva. Todistus: N = Z. Koska funktio f : N Z, missä f (0) = 0, f (2k 1) = k ja f (2k) = k kun k 1, on bijektio, niin joukot ovat yhtä mahtavia. 24 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
54 Joukon mahtavuus Todistus: N = Q. N = Q, koska voimme järjestää murtoluvut jonoon, ja siis konstruoida bijektion, seuraavalla tavalla: Hypäten jo listalla olevien lukujen yli saamme seuraavan bijektion: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 1, f (4) = 1 2, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 4, f (8) = 3, f (9) = 1 2, f (10) = 1 3, f (11) = 3, f (12) = 4, f (13) = 5, / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
55 Joukon mahtavuus Todistus: Q R. Todistus on harjoitustehtävänä. 26 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402
56 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 3: Kombinatoriikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
57 Kombinatoriikka
58 Summaperiaate Esimerkki 1 Opetusohjelmakomiteaan valitaan matematiikan edustaja joko professorien, lehtorien tai matematiikan pääaineopiskelijoiden joukosta. Jos professoreita on 12, lehtoreita 8 ja pääaineopiskelijoita 83 (ja kukaan ei kuulu kahteen ryhmään), niin kuinka monella tavalla valinta voidaan tehdä? =103 tavalla 1 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
59 Summaperiaate Lause 2 (Summaperiaate) Olkoot A 1,..., A n erillisiä äärellisiä joukkoja: i {1,..., n}: A i <, i, j {1,..., n}: i j A i A j =. Tällöin A 1... A n = A A n. Todistus. Taululla (induktio). Muistetaan viime viikolta: A = m tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1,..., m}. 2 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
60 Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 3 Montako opiskelijaa on kurssilla oltava, jotta vähintään seitsemän heistä saisi saman arvosanan (0-5)? 37 opiskelijaa. Idea: Jos n palloa asetetaan k:hon laatikkoon, niin ainakin yhteen laatikkoon tulee vähintään n k palloa. Tässä esiintyi kattofunktio: x = min {m Z : m x} 3 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
61 Kyyhkyslakkaperiaate Lause 4 (Kyyhkyslakkaperiaate) Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja. Jos f : A B on mikä tahansa funktio ja jos A > B, niin f ei voi olla injektio. (Yleisemmin: jos n N: A > n B, niin b B : f 1 ({b}) n + 1.) Todistus. Todistus taululla: vastaoletus ja summaperiaate. Vaikka lause on ilmeinen, se esiintyy päättelyissä yllättävän usein; ks. Book of Proof -kirjan luku / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
62 Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 5 Olkoon m N ja olkoon S m kaikkien korkeintaan m-pituisten bittijonojen joukko. Määritellään pakkausmenetelmä joukossa S m funktiona S m S m 1. Pakkausmenetelmä on häviötön, jos funktio on injektio. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla ei ole olemassa yleistä häviötöntä pakkausmenetelmää, koska selvästi S m > S m 1 kaikilla m. (Erikoistapauksissa on olemassa häviöttömiä pakkausmenetelmiä, jotka käyttävät hyväkseen tunnettuja tiedostorakenteita.) 5 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
63 Tuloperiaate Esimerkki 6 Kirjahyllyssä on viisi fysiikan kirjaa, seitsemän tietotekniikan kirjaa ja kymmenen matematiikan kirjaa. Monellako eri tavalla hyllystä voidaan valita kaksi eri alan kirjaa? 155 tavalla. Otetaan vastauksen perusteluun työkaluksi tuloperiaate: 6 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
64 Tuloperiaate Lause 7 (Tuloperiaate) Olkoot A 1,..., A n äärellisiä joukkoja. Tällöin A 1... A n = A 1... A n. Joukon A 1... A n := {(a 1,..., a n ): a i A i kaikilla i} alkioita sanotaan järjestetyiksi listoiksi (tai äärellisiksi jonoiksi). 7 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
65 Tuloperiaate Nyt saadaan esimerkin kysymykseen vastaus perusteltua näppärästi: Ratkaisu Olkoot F, T ja M fysiikan, tietotekniikan ja matematiikan kirjojen joukot. Tällöin sallitut valinnat ovat joukon (F T ) (F M) (T M) alkiot. Summaperiaatteen nojalla valintoja on F T + F M + T M kappaletta, joten tuloperiaatteen nojalla kirjat voidaan valita eri tavalla. F T + F M + T M = = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
66 Tuloperiaate Tuloperiaatteen todistus. Tapaus n = 1 selvä. Tehdään tapaus n = 2; yleinen tapaus samoin induktiolla. Olkoon A = k ja B = m; merkitään A = {a 1,..., a k } ja B = {b 1,..., b m }. Tällöin A B = k i=1 j=1 m {(a i, b j )}, missä joukot {(a i, b j )} ovat erillisiä, joten summaperiaatteen nojalla A B = k m {(a i, b j )} = i=1 j=1 k m 1 = km = A B. i=1 j=1 9 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
67 Tuloperiaate Huomio Edellä esiintyi uusi merkintä; yleisesti määritellään (X = perusjoukko) n A k := { x X : x A k jollekin k {1,..., n} } k=1 ja n A k := { x X : x A k kaikille k {1,..., n} }. k=1 Nämä ovat yhdisteen ja leikkauksen yleistykset useammalle kuin kahdelle joukolle. (Vastaava merkintä äärettömälle yhdisteelle ja leikkaukselle toki nähtiin jo äärettömän joukkoperheen yhteydessä.) 10 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
68 Tuloperiaate Esimerkki 8 Todistetaan, että äärellisen joukon A osajoukkojen lukumäärä on P(A) = 2 A : Olkoon A = n; merkitään A = {a 1,..., a n }. Määritellään {0, 1} n := {0, 1} {0, 1} (n-pituiset bittijonot) ja funktio f : P(A) {0, 1} n asettamalla f (B) = (i 1,..., i n ), missä { 1, jos aj B, i j = 0, muulloin. Tällöin f on bijektio, joten joukon mahtavuuden määritelmän ja tuloperiaatteen nojalla P(A) = {0, 1} n = 2 n = 2 A. Aiheesta tarkemmin / eri tavalla: Book of Proof, luku / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
69 Kertoma Määritelmä 9 Luvun n N kertoma (eng. factorial) n! määritellään rekursiivisesti: 0! = 1 ja k! = (k 1)! k kaikilla k 1. Tällöin induktiolla saadaan tuttu kaava n! = (n 1) n. 12 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
70 Kertoma Esimerkki 10 Kuinka monta nollaa on luvun 10! lopussa? Entä luvun 100! lopussa? Luvun 10! = }{{} }{{} 10 yksi nolla toinen nolla lopussa on kaksi nollaa. Yksi tulee tekijästä 10 ja toinen kertomalla tekijä 5 millä tahansa parillisella luvulla. Jäljelle jääviä lukuja kertomalla nollia ei synny lisää. Luvun 100! lopussa on 24 nollaa (luvun 5 monikertoja on tulontekijöiden joukossa 20, niistä 4 myös luvun 25 monikertoja). 13 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
71 Kertoma Esimerkki 11 Jos n:stä merkistä muodostetaan k:n pituisia merkkijonoja ilman samojen merkkien toistoa, niin mahdollisia tapoja on n (n 1)... (n (k 1) ) = n (n 1)... (n k + 1). Kun lavennetaan luvulla (n k)! = 1... (n k), saadaan n! järjestettyjen merkkijonojen (ilman toistoa) lukumääräksi (n k)!. 14 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
72 Osajoukkojen lukumäärä Jos A on äärellinen joukko ja k A, niin k-alkioista A:n osajoukkoa kutsutaan joskus k-kombinaatioksi joukossa A. Termi viittaa siihen, että kukin k-alkioinen osajoukko saadaan valitsemalla k alkiota joukosta A ilman, että järjestyksellä on merkitystä. Lause 12 Jos A = n ja k {0,..., n}, niin k-alkioisia A:n osajoukkoja A on ( ) n! n k!(n k)! =: k kappaletta. 15 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
73 Osajoukkojen lukumäärä Todistus. Aiemmasta tiedämme, että erilaisia k:n alkion järjestettyjä listoja n! (ilman toistoa) on kappaletta. Toisaalta k alkiota (n k)! voidaan järjestää k! tavalla, joten osajoukkojen (järjestämättömiä n! listoja ilman toistoa) lukumäärä saadaan jakamalla luku (n k)! luvulla k!. 16 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
74 Binomikerroin Termiä ( n k), missä n, k N ja 0 k n, kutsutaan binomikertoimeksi. Se voidaan määritellä joko kaavalla (kuten edellisessä kalvossa) tai osajoukkojen lukumääränä. Pätee ( ( n 0) = n ( n) = 1 ja n ) ( 1 = n n 1) = n. Tapana on määritellä myös ( n k) = 0, kun k n + 1. Esimerkki 13 Kuinka monella tavalla voidaan muodostaa 75 henkilön joukosta 9 hengen komitea ja sille 4 hengen hallitus? ( 75 )( 9 ) ( 9 4 = 75 )( 75 4 ) = tavalla 17 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
75 Binomikerroin Lause 14 (Pascalin kaava) ( ) ( ) n n 1 = k k 1 ( n 1 + k ). Todistus. Olkoon A = n ja a A. Jaetaan k-alkioiset A:n osajoukot kahteen luokkaan sen mukaan, kuuluuko alkio a joukkoon vai ei. Osajoukkoja, joihin alkio a kuuluu, on ( n 1 k 1) kappaletta ja osajoukkoja, joihin alkio a ei kuulu, on ( ) n 1 k kappaletta. 18 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
76 Binomikerroin Esimerkki 15 Äskeisen tuloksen ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( ) n 1 k eli ( ) ( ) n + 1 n = + k k 1 ( ) n k avulla saadaan rakennettua Pascalin kolmio, kun lisäksi muistetaan ( n ) ( 0 = n ) n = 1 kaikille n. (Taululla.) 19 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
77 Binomikaava Lause 16 Kaikilla n N ja kaikilla x, y R pätee (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k Todistus 1 (kombinatorinen) Kun (x + y) kerrotaan itsellään n kertaa ja tulo lasketaan auki, saadaan summa jossa esiintyy termejä x k y n k kullekin k = 0, 1,..., n. Kuinka monta kertaa termi x k y n k esiintyy, kun k on kiinnitetty? 20 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
78 Binomikaava Todistus 1 (jatkuu) Termi x k y n k saadaan, kun tulon (x + y)(x + y)... (x + y) (termejä n kpl) aukilaskussa valitaan täsmälleen k kertaa x eli täsmälleen n k kertaa y. Tämä voidaan tehdä ( ) ( n k = n ) n k tavalla. Todistus 2 (induktio) Kun n = 1, kaava saa muodon x + y = x + y. Oletetaan, että väite pätee jollekin n. Tällöin (x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n 21 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
79 Binomikaava Todistus (jatkuu) (ind.) = (x + y) = x k=0 n k=0 ( ) n x k y n k k n ( ) n x k y n k + y k k=0 n ( ) n x k y n k k k=0 n ( ) n n ( ) n = x k+1 y n k + x k y n k+1 k k k=0 k=0 ( n 1 ( ) ( n n ( ) n = x n+1 + )x k+1 y n k + y n+1 + )x k y n k+1 k k k=1 22 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
80 Binomikaava Todistus (jatkuu) n 1 ( ) n n = x n+1 + x k+1 y n k + k k=0 k=1 n ( ) n = x n+1 + x k y n (k 1) + k 1 k=1 n (( ) n = x n k 1 k=1 (Pascal) n ( n + 1 = x n+1 + k=1 k ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k n k=1 ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k ( )) n x k y n (k 1) + y n+1 k ) x k y n (k 1) + y n+1 23 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
81 Binomikaava Todistus (jatkuu) n+1 ( ) n + 1 = x k y (n+1) k. k k=0 Esimerkki 17 Todistetaan kahdella tavalla, että n ( n k=0 k) = 2 n. Tapa 1. 2 n = (1 + 1) n = n k=0 ( n k ) 1 k 1 n k = n k=0 ( n k). 24 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
82 Binomikaava Tapa 2. Joukossa, jossa on n alkiota, on yhteensä 2 n osajoukkoa. Näistä k-alkioisia on ( n k) kappaletta. Esimerkki 18 Miksi 4 n = n Miksi k ( ) ( n k = n n 1 Vastaus: k=0 3k( n k 1)? k)? Kuten tapa 1 yllä; 4 = Valitaan n:n ihmisen joukosta k:n henkilön komitea ja sille puheenjohtaja. Yhtälön vasemmalla puolella valitaan ensin komitea ja sitten puheenjohtaja, oikealla puolella valitaan ensin puheenjohtaja ja sitten loput komiteasta. 25 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
83 Multinomikertoimet Esimerkki 19 Eräs henkilö aikoo valita 100 päivää vuonna 2017, joina hän juoksee 10 kilometrin lenkin, 200 päivää, joina hän juoksee 5 kilometrin lenkin, ja 65, joina hän ei harrasta liikuntaa. Monellako tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? Jos ensin valitaan 365 päivän joukosta 100 päivää, jolloin hän juoksee 10 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( ). Jos jäljellä olevista = 265 päivistä valitaan 200 päivää, jolloin hän juoksee 5 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( ). Kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) ( ) / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
84 Multinomikertoimet Huomataan, että ( ) ( ) = = = 365! 100! ( )! 265! 200! ( )! 365! 265! 100! 265! 200! 65! 365! 100! 200! 65!. Vaikuttaa järkevältä, koska toisaalta kyse onkin siitä, kuinka monella tavalla 365 päivän joukko voidaan jakaa kolmeen pistevieraaseen osajoukkoon, joissa on 100, 200 ja 65 alkiota. Tämän innoittamana määritellään multinomikerroin: 27 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
85 Multinomikertoimet Määritelmä 20 (Multinomikerroin) ( ) n = n 1, n 2,..., n m n! n 1! n 2!... n m!, kun n = n 1+n n m. ( ) n Merkitys: on vaihtoehtojen lukumäärä kun n 1, n 2,..., n m joukko A jaetaan osajoukoiksi A j, j = 1,..., m siten, että m j=1 A j = A, A i A j = kun i j, ja A j = n j. Esimerkki 21 Äskeisen esimerkin vastaus siis toisin kirjoitettuna on ( ) ! := 100, 200, ! 200! 65!. 28 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
86 Seulayhtälö Kahdelle joukolle: A B = A + B A B. Esimerkki 22 Montako 8:n pituista bittijonoa joko alkaa ykkösellä tai päättyy kahteen nollaan? Vastaus: = = 160. Kolmelle joukolle: A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
87 Seulayhtälö Esimerkki 23 (Erastotheneen seula) Määritetään kuinka moni luvuista 1,..., 100 on jaollinen kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. Merkitään jolloin A 3 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen kolmella }, A 7 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen seitsemällä }, A 11 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen yhdellätoista }, A 3 = 33, A 7 = 14, A 11 = 9, A 3 A 7 = 4, A 3 A 11 = 3, A 7 A 11 = 1, A 3 A 7 A 11 = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
88 Seulayhtälö Siten seulayhtälön nojalla A 3 A 7 A 11 = A 3 + A 7 + A 11 A 3 A 7 A 3 A 11 A 7 A 11 + A 3 A 7 A 11 = = 47 lukua luvuista 1,..., 100 on jaollisia kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. 31 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
89 Seulayhtälö Kun kolmen joukon tapauksessa merkitään S 1 = A 1 + A 2 + A 3, S 2 = A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 ja S 3 = A 1 A 2 A 3, niin yhtälö saa muodon A 1 A 2 A 3 = 3 ( 1) k 1 S k. k=1 32 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
90 Seulayhtälö Lause 24 (Seulayhtälö) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä joukkoja, niin missä A 1... A n = S k = B n ( 1) k 1 S k, (1) k=1 i B A i ja summaus yllä tapahtuu yli kaikkien joukon {1,..., n} osajoukkojen B, joille B = k. 33 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
91 Seulayhtälö Todistus. Jokainen x A 1... A n tulee lasketuksi täsmälleen kerran yhtälön (1) vasemmalla puolella. Todistetaan, että näin tapahtuu myös yhtälön (1) oikealla puolella. Olkoon siis x A 1... A n. Merkitään symbolilla m sitä, moneenko alkuperäisistä joukoista alkiomme x kuuluu: m := { k {1,..., n}: x A k }. Jos i {1,..., m}, niin x kuuluu ( ) m i :een i:n joukon leikkaukseen, ja jos i {m + 1,..., n}, niin x ei kuulu yhteenkään i:n joukon leikkaukseen. 34 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
92 Seulayhtälö Todistus (jatkuu) Siten x tulee lasketuksi yhtälön (1) oikealla puolella m ( ) m ( 1) i 1 = 1 i i=1 kertaa, sillä m i=0 ( 1)i 1( ) m i = (1 1) m = 0. (Huomio. Seulayhtälö on summaperiaatteen yleistys.) 35 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
93 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
94 Modulaariaritmetiikka
95 Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku n Z on jaollinen luvulla m Z, merkitään m n (lue: m jakaa n:n), jos on olemassa k Z, jolle n = km. Lause 2 (Jakoyhtälö) Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset q, r Z, joille 0 r < b ja a = qb + r. Toisin sanoen: jos a jaetaan b:llä, niin osamäärä q ja jakojäännös r määräytyvät yksikäsitteisesti. 1 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
96 Jakoyhtälö Todistetaan lause pienimmän alkion periaatteella, joka on loogisesti yhtäpitävä induktioperiaatteen kanssa. Todistus. Tarkastellaan Z:n osajoukkoa A = {a kb k Z}. Oletetaan ensin b > 0. Joukossa A on selvästi ei-negatiivisia alkioita. Valitaan niistä pienin ja merkitään sitä r:llä. Nyt joukon A määritelmän mukaan r = a kb jollekin k Z; merkitään tätä k:ta symbolilla q. 2 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
97 Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Luvut q ja r toteuttavat halutun yhtälön a = qb + r, joten tehtävänä on osoittaa epäyhtälö 0 r < b. Epäyhtälö r 0 on selvä, koska r oli pienin ei-negatiivisista alkioista. Tehdään vastaoletus r b, jolloin joukosta A löytyykin r:ää pienempi ei-negatiivinen alkio: a (q + 1)b = a qb b = r b 0, mikä on ristiriita sen kanssa, että r oli joukon A pienin ei-negatiivinen alkio. (Huom. oletettiin b > 0, joten a (q + 1)b < a qb = r.) Tapauksessa b < 0 korvataan ylläolevan todistuksen b luvulla b. 3 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
98 Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Jäljellä on vielä yksikäsitteisyys. Jos myös luvut q ja r toteuttavat annetut ehdot, niin r r = (q q )b. Tästä saadaan q q b < b, koska ehdoista 0 r < b ja 0 r < b seuraa r r < b. Siten on oltava q q < 1, ja koska q, q Z, on oltava q q = 0 eli q = q. Yhtälöstä r r = (q q )b seuraa edelleen r = r. Pienimmän alkion periaate sanoo, että epätyhjässä N:n osajoukossa on olemassa pienin alkio. Pienimmän alkion periaatetta käytettiin kohdassa, jossa valittiin A:sta pienin ei-negatiivinen alkio. 4 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
99 Kongruenssiluokat Määritelmä 3 Olkoon n N + eli n N ja n 0. Jos kokonaisluvuille a, b Z pätee n (a b), niin sanotaan, että a on kongruentti b:n kanssa modulo n ja merkitään a b (mod n) tai a n b. Määrittelevä ehto n (a b) sanoo, että a:lla ja b:llä on n:llä jaettaessa sama jakojäännös. Esimerkiksi 4 16 (mod 12); voi ajatella kellotaulua, jossa lasketaan modulo / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
100 Kongruenssiluokat Voidaan vähällä vaivalla todeta (taululla), että annetulle n:lle relaatio n on ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa kokonaisluvut erillisiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 4 Olkoon n N +. Luvun a Z jäännösluokka modulo n on [a] n := {b Z a b (mod n)} Z. Jäännösluokan alkioita kutsutaan luokkansa edustajiksi. Esimerkki 5 Joukkoa [4] 12 = {..., 20, 8, 4, 16, 28,...} voidaan ajatella kellonajan 4 edustajina. 6 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
101 Kongruenssiluokat Esimerkki 6 Mikä on pienin ei-negatiivinen luku joukossa [27] 11? Vastaus: 5. Määritelmä 7 Olkoon n N +. Kaikkien jäännösluokkien modulo n joukkoa merkitään Z n (tai joskus Z/nZ), eli siis Huomio Z n = {[0] n, [1] n,..., [n 1] n }. a) Aina pätee [n] n = [0] n. b) Usein luvulle a Z on tapana kirjoittaa a mod n tarkoittamaan luokan [a] n edustajaa joukosta {0,..., n 1}. 7 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
102 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Määritelmä 8 Määritellään annetulle n N + ja annetuille a, b Z [a] n + [b] n := [a + b] n, [a] n [b] n := [ab] n. Esimerkki 9 Joukossa Z 3 = {[0] 3, [1] 3, [2] 3 } saadaan seuraavat yhteen- ja kertolaskutaulukot: + 3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] ja 3 [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1]. 8 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
103 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Tärkeitä huomioita Tapana on jättää alaindeksi pois, kun se käy ilmi asiayhteydestä. Usein jätetään myös luokkamerkit pois eli voidaan kirjoittaa esim = 0 joukossa Z 3 sen sijaan, että kirjoitettaisiin [7] 3 + [2] 3 = [0] 3 tai (mod 3). Laskutoimitukset ovat hyvinmääriteltyjä eli eivät riipu edustajien valinnasta. Esimerkiksi joukon Z yhteenlasku + voidaan mieltää funktiona Z Z Z, jolloin olennaista on, että kahdella luvulla on yksikäsitteinen summa. Nyt voisi periaatteessa käydä niin, että [2 + 3] 4 [6 + 7] 4, vaikka [2] 4 = [6] 4 ja [3] 4 = [7] 4. Näin ei kuitenkaan käy; todistus sivuutetaan. 9 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
104 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Lause 10 Joukon Z n yhteen- ja kertolasku toteuttaa joukosta Z tutut laskusäännöt: kaikille a, b, c Z n pätee a + b = b + a ja ab = ba (vaihdannaisuus) a + (b + c) = (a + b) + c ja a(bc) = (ab)c (liitännäisyys) a + 0 = a ja a 1 = a (neutraalialkioiden olemassaolo) a + ( a) = 0 (yhteenlaskun vasta-alkion olemassaolo) a(b + c) = ab + ac (osittelulaki). Nämä ovat ns. rengasaksioomat ja joukkoa Z n kutsutaankin usein jäännösluokkarenkaaksi. (Huom. alkiot a, b ja c ovat viime kädessä luokkia, eivät lukuja.) 10 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
105 Z vs. Z n eroavaisuuksia Taulukosta edellä puuttui kertolaskun vasta-alkion eli käänteisalkion olemassaolo. Alkion a käänteisalkiolla tarkoitetaan alkiota b, jolle a b = 1. Joukossa Z käänteisalkio on olemassa vain luvuille ±1. Osoittautuu, että joukossa Z n käänteisalkio on olemassa täsmälleen sellaisille luokille, joiden edustajilla ei ole n:n kanssa yhteisiä tekijöitä. Erityisesti jos n on alkuluku, niin käänteisalkio on olemassa kaikille Z n :n nollasta eroaville luokille. Tällaista rakennetta sanotaan kunnaksi; myös esimerkiksi Q ja R ovat kuntia. Toinen merkittävä eroavaisuus liittyy supistamiseen; joukossa Z n ei päde Z:sta tuttu supistussääntö ab = ac ja a 0 b = c paitsi silloin, kun a on kääntyvä (kuten tulemme näkemään). 11 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
106 Z vs. Z n eroavaisuuksia Esimerkki 11 Joukossa Z 6 on 2 4 = 2 1, mutta 4 1. Joukossa Z 7 on 2 4 = 1, joten 2 ja 4 ovat toistensa käänteisalkiot. Esimerkki 12 Mikä on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 9? Jakoyhtälö: = 9q + r, joten joukossa Z 9 pätee r = (koska 9q = 0). Kysymys siis kuuluu: Mitä on mod 9? Joukossa Z 9 : 4 2 = 7, 4 3 = = 7 4 = 1 ja = (4 3 ) = 1 7 = 7. Siten vastaus on / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
107 Jaollisuustestejä Mitä tarkoittaa luvun esittäminen kymmenjärjestelmässä? Esimerkiksi 2875 = Merkitään yleisesti n = d 0 + d d k 10 k, jolloin luvun n N esitys 10-kantaisessa järjestelmässä on muotoa n = d k d k 1... d 1 d 0. (Yleensä oletetaan lisäksi d k 0, jolloin 10 k n < 10 k+1.) 13 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
108 Jaollisuustestejä Esimerkki 13 Kymmenjärjestelmän luku on kolmella jaollinen täsmälleen silloin, kun sen numeroiden summa on kolmella jaollinen. Miksi? Lähdetään siitä, että 3 n n 0 (mod 3). Edelleen, jos n = d 0 + d d k 10 k, niin joukossa Z 3 pätee n = 0 d 0 + d d k 10 k = 0 d 0 + d d k = 0, sillä joukossa Z 3 on 10 m = 1 kaikilla m N. 14 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
109 Jaollisuustestejä Esimerkki 14 Kymmenjärjestelmän luku on viidellä jaollinen täsmälleen silloin, kun sen viimeinen numero (ykkösen kerroin) on viidellä jaollinen. Miksi? Kuten edellä, mutta nyt lasketaan joukossa Z 5, jossa 10 0 = 1 ja 10 m = 0 kaikilla m / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
110 Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Luvun a Z n käänteisalkio on sellainen luku b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 luvun 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 luvulla 3 ei ole käänteisalkiota. 16 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
111 Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Alkion a Z n käänteisalkio on sellainen alkio b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 alkion 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 alkiolla 3 ei ole käänteisalkiota. 17 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
112 Kongruenssiyhtälöistä Lause 17 Alkiolla a Z n on käänteisalkio täsmälleen silloin, kun syt(a, n) = 1. Muistetaan: Suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) syt(a, b) on suurin luku, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku. Oikeastaan syt-kohdassa puhutaan luokan a Z n mistä tahansa edustajasta. Jatkossakin puhutaan luvuista a Z n tarkoittaen tätä. 18 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
113 Kongruenssiyhtälöistä Todistus. Oletetaan ensin, että syt(a, n) = 1. Tällöin Eukleideen algoritmin nojalla on olemassa luvut x, y Z siten, että 1 = xa + yn. Nyt luku x kelpaa luvun a käänteisalkioksi, koska yn 0 (mod n). Jos käänteisalkio on olemassa, ts. jos ab 1 (mod n), niin (mod)-määritelmän mukaan n (ab 1) eli ab 1 = kn jollekin k Z. Luku syt(a, n) jakaa luvut a ja n ja siten myös summan ab kn eli luvun 1. On siis oltava syt(a, n) = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
114 Kongruenssiyhtälöistä Lause 18 (Seuraus edellisestä lauseesta) Jos a Z n on kääntyvä (eli jos a:lla on käänteisalkio), niin yhtälöllä ax b (mod n) on jokaiselle b Z n yksikäsitteinen ratkaisu x Z n. Todistus. Kertomalla yhtälön ax = b molemmat puolet vasemmalta käänteisalkiolla a 1 saadaan x = a 1 b. 20 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
115 Kongruenssiyhtälöistä Esimerkki 19 Joukon Z 10 kääntyvät alkiot ovat 1, 3, 7 ja 9. Vastaavat käänteisalkiot ovat 1, 7, 3 ja 9. Ratkaistaan yhtälö 7x = 9 joukossa Z 12. Yhtälö ratkeaa, koska luvulla 7 on käänteisalkio joukossa Z 12, nimittäin se itse. Kertomalla yhtälön molemmat puolet 7:lla saadaan x = 63 = 3. Joukossa Z 5 kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä; pätee 1 1 = 1, 2 1 = 3 ja 4 1 = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
116 Kongruenssiyhtälöistä Edellisen lauseen nojalla kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä joukossa Z p, kun p on alkuluku. Edelleen pätee Lause 20 (Fermat n pieni lause) Kun p on alkuluku, niin kaikille a Z pätee a p a (mod p). Todistus Luvuille a 0 (mod p) väite pätee. Koska p on alkuluku, on kaikilla a 0 (mod p) käänteisalkio; tällaisille väite on yhtäpitävä väitteen a p 1 1 (mod p) kanssa. 22 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
117 Kongruenssiyhtälöistä Todistus (jatkuu) Olkoon siis a 0 joukossa Z p. Koska a on kääntyvä, pätee (ma p na) (m p n), erityisesti luvut a, 2a,..., (p 1)a ovat täsmälleen luvut 1,..., (p 1) eri järjestyksessä, ja siten niiden p 1 tulo on toisaalta (p 1)! ja toisaalta (ka) = a p 1 (p 1)!. Siten a p 1 1 (mod p) k=1 23 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
118 Fermat n pieni lause Esimerkki 21 Tarkistetaan, että Fermat n pieni lause pätee joukossa Z 7 : 1 6 = = = = 2 4 = = = = 4 2 = = = = 4 2 = = = = 2 4 = = = = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
119 RSA-salausalgoritmi Käydään ensin läpi algoritmin toiminta esimerkinomaisesti. Oletetaan, että Liisa haluaa lähettää Pekalle salatun viestin tietokoneella. Tietokone generoi kaksi (oikeasti hyvin suurta) alkulukua, olkoot ne tässä p = 61 ja q = 53. Tietokone laskee tulot n = pq = = 3233 ja m = (p 1)(q 1) = = Tietokone generoi koodausavaimen k siten, että 0 < k < m ja syt(k, m) = 1; esimerkiksi k = 17. Tietokone laskee luvun d = k 1 joukossa Z m ; tässä d = Tietokone antaa Liisalle julkiseksi avaimeksi (salausta varten) luvut n = 3233 ja k = 17. Tietokone antaa Pekalle yksityiseksi avaimeksi (purkamista varten) luvut n = 3233 ja d = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
120 RSA-salausalgoritmi Oletetaan, että Liisa haluaa koodata luvun (merkkijonon) s. Ensin hän tarvittaessa lisää s:n perään tyhjiä merkkejä siten, että luvulle pätee syt(s, n) = 1. Olkoon esimerkiksi s = 65. Liisa koodaa viestin laskemalla s k mod n; tässä mod 3233 = Pekka purkaa koodatun viestin c laskemalla c d mod n; tässä mod 3233 = 65. Kaksi kysymystä Miksi koodin murtaminen on vaikeaa? Miksi koodi toimii oikein? 26 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
121 RSA-salausalgoritmi Murtamisesta Jotta ulkopuolinen Eveliina pystyisi purkamaan viestin pelkän julkisen avaimen avulla, hänen pitäisi päätellä lukujen n ja k avulla luku d eli luvun k käänteisalkio joukossa Z m. Se selvittäminen on vaikeaa, koska hän ei tiedä lukua m. Luvun m selvittämiseksi hänen pitäisi selvittää alkuluvut p ja q, joiden tulo luku n on. Isojen lukujen jakaminen alkutekijöihin on vaikeaa! Ks. Wikipedia: RSA algorithm. 27 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
122 RSA-salausalgoritmi Koodi toimii, koska Fermat n pienen lauseen seurauksena saadaan Lause 22 Olkoot p ja q alkulukuja, n = pq ja m = (p 1)(q 1). Olkoon edelleen s sellainen, että syt(s, n) = 1, ja olkoon h (esimerkissämme h = kd) sellainen, että h = 1 joukossa Z m. Tällöin s h = s joukossa Z n. Pekka purki viestin laskemalla c d = (s k ) d = s kd modulo n, joten ylläolevan lauseen perusteella tämä todellakin on alkuperäinen viesti s. 28 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
123 RSA-salausalgoritmi Lauseen todistus Koska h = 1 mod m, niin h 1 = ym jollekin y Z. Siten s h = s 1+ym = s(s m ) y, joten riittää osoittaa, että s m = 1 mod n. Oletettiin syt(s, n) = syt(s, pq) = 1, joten s 0 mod p. Fermat n pienen lauseen mukaan s p 1 = 1 mod p. Edelleen s m = s (p 1)(q 1) = 1 q 1 = 1 mod p, samoin s m = 1 mod q. Siten sekä p että q jakavat luvun s m 1 ja koska p ja q ovat alkulukuja, niin myös niiden tulo n jakaa luvun s m 1, ts. s m = 1 mod n. 29 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
124 RSA-salausalgoritmi Esimerkki 23 (Vakoilutehtävä) Luennoitsija haluaa lähettää ystävälleen tiedoksi kissansa nimen, salattuna totta kai. Ystävä antaa julkisen avaimensa (7, 143) ja luennoitsija lähettää hänelle koodatun viestin 046, 048, 117, 001. Mikä on kissan nimi? Vihje: Aakkoset on alunperin muutettu numeroiksi siten, että a=01, b=02, jne. Vihje 2: Etsi q ja p siten, että qp = 143. Etsi sitten yksityinen avain d siten, että 7d 1 mod (p 1)(q 1). Pura koodi laskemalla kullekin salatulle kirjaimelle c lasku c d mod 143 ja tulkitse luvut kirjaimina. Vastaus: Kissa on Sima. 30 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402
125 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
126 Ryhmät ja permutaatiot
127 Väritysongelma Jos meillä on 6 palloa, monellako tavalla voimme värittää 2 niistä vihreiksi ja muut valkoisiksi? Jos pallot ovat identtiset on vain yksi tapa, 2 väritetään vihreiksi ja 4 valkoisiksi. Jos pallot on numeroitu niin on ( 6 2) = 15 tapaa valita ne, jotka väritetään vihreiksi ja loput valkoisiksi. Jos pallot ovat säännöllisen 6-kulmion kulmissa ja tätä 6-kulmiota voi kiertää ja kääntää niin on 3 vaihtoehtoa: Mutta miten ratkaistaan monimutkaisemmat tämäntyyppiset ongelmat? 1 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
128 Permutaatio (kertaus) Määritelmä 1 Äärellisen joukon A permutaatio on bijektio A A. Kun A = {1,..., n}, niin joukon A kaikkien permutaatioiden joukkoa merkitään S n. Huomaa S n = n!. Kahdelle permutaatiolle f, g S n määritellään kertolasku asettamalla fg = f g. Huom. (fg)(x) = f ( g(x) ) eli kertominen tapahtuu oikealta vasemmalle. 2 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
129 Permutaatio (kertaus) Esimerkki 2 (matriisiesitys) Joukon {1, 2, 3} permutaatioille ( ) f = ( ) ja g = pätee Lisäksi tässä ( ) ( ) gf =, fg = f 1 = f ja g 1 = g, mutta tällainen ei päde yleisesti, esimerkiksi yllä (fg) 1 fg. 3 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
130 Permutaatio Permutaatiot voidaan esittää myös syklinotaatiolla. Esimerkki 3 ( ) α = Nyt ( näemme, ) että ja tästä saamme syklin Koska α(5) = 5, saamme syklin (5), joskin yhden pituista sykliä tosin ei ole tapana ottaa merkintään mukaan. ( ) Lopuksi näemme, että joten saamme syklin 6 7. Syklinotaatiolla voimme nyt kirjoittaa ( ) ( ) α = On myös ( muita ) ( esitystapoja ) syklien tuloina, esim. α = / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
131 Ryhmä Ryhmä on pari [G, ] missä G on joukko ja on funktio G G G, jolla on seuraavat ominaisuudet: Sulkeutuneisuus: a b G jos a ja b G. Liitännäisyys: (a b) c = a (b c) jos a, b ja c G. Neutraalialkio: On olemassa alkio e G siten, että e a = a e = a jos a G. Käänteisalkio: Jos a G, niin on olemassa alkio a 1 G siten, että a a 1 = a 1 a = e. 5 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
132 Ryhmä Esimerkki 4 Joukko S n varustettuna permutaatioiden kertolaskulla toteuttaa ryhmäaksioomat: sulkeutuneisuus: jos f, g S n, niin fg S n liitännäisyys: (fg)h = f (gh) pätee kaikille f, g, h S n neutraalialkion ( ) olemassaolo: identtiselle permutaatiolle e := pätee ef = fe = f kaikille f S n käänteisalkion olemassaolo: kaikilla f S n löytyy käänteisalkio g S n, jolle fg = gf = e. 6 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
133 Ryhmä Huomioita Käänteisalkion yksikäsitteisyys todistetaan kuten joukossa Z m. Siten on oikeutettua merkitä f :n käänteisalkiota f 1 :llä. Kun p on alkuluku, niin joukko (Z p \ {0}, ) eli Z p \ {0} varustettuna kertolaskulla on ryhmä, neutraalialkio on 1. Joukko (Z m, +) eli Z m varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä kaikilla m N +, neutraalialkio on 0. Permutaatioiden ryhmä S n on ryhmistä tärkein, sillä voidaan osoittaa (Cayleyn lause), että jokainen äärellinen ryhmä on miellettävissä permutaatioryhmänä tai sellaisen aliryhmänä. 7 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto8.
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto30.
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 39
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 39 Tuntitehtävät 21-22 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 25-26 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 23-24 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot