Helsinki University of Technology

Transkriptio

1 Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Syksy Luento: Optimaalinen ML-vastaanotto ja Viterbi-algoritmi prof. Timo Laakso Vastaanotto torstaisin klo Huone G210, puh Sähköposti: timo.laakso@hut.fi Kertausta: AWGN-kanava n(t) x(t)=σa k δ(t-kt s ) h T (t) Σ h R (t) t=kt s Σ a k δ k Edellisellä luennolla tarkasteltiin siirtojärjestelmää AWGNkanavassa Yksittäiselle pulssille johdettiin SNR:n maksimoiva vastaanottosuodin. Tämä on optimaalinen vastaanotin siinä mielessä että se minimoi bittivirhetodennäköisyyden (kun ainoa häiriö kanavassa on AWGN-kohina!) Jos lähetys- ja vastaanottosuodatin yhdessä täyttävät Nyquistin kriteerin, järjestelmä toimii myös jatkuvassa siirrossa (ISI = 0) 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 2

2 Kertausta: Lineaarinen kanava n(t) h T (t) c(t) Σ h R (t) x(t)=σa k δ(t-kt s ) y(t) z(t) t=kt s Σ a k δ k MUTTA: jos kanavassa on lineaarista vääristymää (esim. taajuusriippuvaa vaimennusta), lineaarisella suodatuksella ei pystytä poistamaan ISIä ja vaimentamaan kohinaa samanaikaisesti niin että BER minimoituu (ISI on epälineaarinen datariippuva häiriö!) Tarvitaan epälineaarisia vastaanottomenetelmiä! 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 3 Optimaalinen ML-vastaanotto Kun ISIä ei ole, riittää kun tarkastellaan yhtä symbolia kerrallaan ISI:n tapauksessa yksi lähetetty pulssi häiritsee viereisten pulssien vastaanottoa => kannattaa tarkastella usempaa kuin yhtä symbolia kerrallaan (sekvenssin vastaanotto) Voidaan johtaa maximum likelihood (ML) -tyyppinen optimaalinen sekvenssin vastaanottoalgoritmi joka minimoi sekvenssin a priori (etukäteis-) virhetodennäköisyyden Viterbi-algoritmi on ML-sekvenssi-ilmaisimen tehokas approksimatiivinen toteutus 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 4

3 Optimaalinen PAM-signaalin ML-vastaanotto n(t) h T (t) x(t)=σa k δ(t-kt s ) c(t) Σ y(t) h R (t) z(t) z k t=kt s MLSD Σ a k δ k Tarkastellaan kuvan (kantataajuista) PAM-järjestelmää Lähetys- ja vastaanottosuodin voivat ovat sovitettu suodinpari jotka yhdessä täyttävät Nyquistin kriteerin (EI välttämätöntä!) Kanavassa on lineaarista vääristymää ja siten aina ISIä! Tarkastellaan K:n symbolin mittaisen sekvenssin ML-ilmaisua (Maximum Likelihood Sequence Detection, MLSD) 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 5 PAM-signaalin ML-vastaanotto Vastaanotettu signaali on muotoa: K yt () = ah ( t kt) + nt () k= 1 k TC jossa symboli a k valitaan M-jäsenisestä aakkostosta, h TC (t) on lähetyspulssimuoto kanavan jälkeen ( = h T (t)*c(t) ) ja n(t) on xx valkoista Gaussin kohinaa. Vastaanottimen esiaste koostuu sovitetusta suotimesta ja näytteenotosta: z = y() t h ( t kt) = y() t h ( t kt) dt k R t= kt TC Sovitettu suodatin voidaan tulkita korrelaattoriksi! 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 6

4 PAM-signaalin ML-vastaanotto Voidaan osoittaa, että sekvenssi z k, k=1,2,,k sisältää riittävän statistiikan (sufficient statistics) optimaaliseen ilmaisuun, eli saman informaation kuin vastaanotettu jatkuvaaikainen signaali Vastaanotettua sekvenssiä voidaan siis tarkastella K-ulotteisena vektorina johon on summautunut K-ulotteinen kohinavektori 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 7 PAM-signaalin ML-vastaanotto Diskreettiaikainen malli siirtojärjestelmälle symbolitaajuudella: n k a k g k Σ zk MLSD z = a g + n = a g + n k k k k k m k m= Tässä g k on diskreettiaikainen vastine koko suodatusketjulle elilähetyssuotimelle, kanavalle ja vastaanottimelle! Voidaan myös osoittaa, että sekvenssiin summautunut diskreettiaikainen kohina on normaalijakautunutta k 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 8

5 PAM-signaalin ML-vastaanotto Optimaalisen ML-sekvenssi-ilmaisun toteutus: 1) Generoi kaikki mahdolliset lähetyssekvenssit a k 2) Generoi vastaavat ulostulosekvenssit s k =a k *g k diskreetin mallin avulla 3) Vertaa s k :ta vastaanoton päätösmuuttujasekvensseihin z k ja valitse se lähetyssekvenssi a k joka on lähin Vertailukriteeri: euklidinen (neliöllinen) etäisyys: min min { } zk s 2 k = a, k =,,..., K k= { a, k =,,..., K} k= 1 k K k K z a g k k k 2 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 9 PAM-signaalin ML-vastaanotto Toteutuksessa useita käytännön ongelmia: 1) Kanava tunnettava Ratkaisu: yleensä kanava estimoidaan erikseen 2) Kohina voi olla alunperin värillistä Ratkaisu: lisätään valkaisusuodatus (=> valkaistu sovitettu suodatin, Whitened Matched Filter, WMF) 3) Kun käytössä M-tasoinen aakkosto, mahdollisia sekvenssejä on M K kappaletta - yleensä tolkuton määrä (esim. M=2, K=10 => M K = 1024) Ratkaisu: Viterbi-algoritmi! 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 10

6 Markov-ketjuista Markov-ketjuja käytetään mallintamaan tilakoneita (finite state machines) joiden tulosignaali on satunnainen. Seuraavassa niitä käytetään mallintamaan symbolien keskinäisvaikutusta. Markov-ketju {ψ k } on diskreettiaikainen ja -arvoinen satunnaisprosessi jonka tila {ψ k } toteuttaa ehdon p ( Ψk+ 1Ψk, Ψk 1,... ) = p( Ψk+ 1Ψk) Tilan todennäköisyys riippuu siis vain edellisestä tilasta (ja mahd. satunnaistekijästä, mutta ei aiemmista tiloista). 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 11 Markov-ketjuista Markov-ketju on homogeeninen jos siirtymätodennäköisyys p(ψ k ψ k+1 ) ei riipu k:sta (vastaa stationäärisyyttä tai aikainvarianssia). Homogeenisen Markov-ketjun ominaisuudet määräytyvät tilanmuutostodennäköisyyksistä: ( ) = ( ) p ji p ji Ψ k+ 1 Ψ k (Vasen puoli lyhennetty merkintä.) 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 12

7 Esimerkki Markov-ketjusta Siirtorekisteriprosessi (LM Kuva 3-7): Ψ k X k-1 X k-2 X k-m X z -1 k z -1 z -1 z -1 Tässä X k on diskreettiarvoinen satunnaismuuttuja joka on riippumaton edellisistä arvoista X k-1,,x k-m-1. Tilaksi määritellään X,..., 1 X { } Ψ k = k k M Järjestelmä toteuttaa Markov-ehdon. Kyseessä on vektoriarvoinen Markov-ketju. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 13 Symbolien keskinäisvaikutus Tarkastellaan symbolien ilmaisua kanavassa jossa on keskinäisvaikutusta. Tämä määräytyy kanavan impulssivasteesta (olettaen Nyquist-kriteerin toteutuvan ilman kanavaa). Oletetaan että näytetaajuus on sama kuin symbolitaajuus. Signaalia, jossa on symbolien keskinäisvaikutusta, voidaan mallintaa homogeenisellä Markov-ketjulla. Käytetään siirtorekisteriprosessia mallina (LM Kuva 9-14): X z -1 k z -1 z -1 z -1 h(x k,,x k-j ) = g(ψ k,ψ k+1 ) S k Noise Gen. Model Y k 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 14

8 ...Symbolien keskinäisvaikutus Tila on ψ k ={X k-1,,x k-m } ja signaalinäyte saadaan tilanmuutosten funktiona: S = g( Ψ, Ψ + 1 ) k k k missä g(.,.) on muistiton funktio. Satunnaismuuttujat X k ovat riippumattomia ja niiden jakaumat ovat identtisiä. Impulssivaste h k on yleensä äärellinen kestoltaan ja niin on keskinäisvaikutuskin eli, S k = M i= 0 h X i k i 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 15 LM Esimerkki 9-25: Tarkastellaan kanavaa jonka impulssivaste on = h k δ k δ k Tätä voidaan mallintaa Markov-ketjulla (LM Kuva 9-15): X k =A k z -1 X k-1 =A k-1 h(x k,x k-1 ) = X k X k-1 S k N k + Y k (0,0) (X k,s k )=(1,1) 0 1 (0,0.5) (1,1.5) Tilakaavion haaroihin on merkitty tulon A k =X k ja lähdön S k arvot (ennen kohinaa N k ). Huomaa että Markov-ketjun tila(vektori) on aina diskreettiarvoinen, vaikka järjestelmän lähtö olisikin jatkuva-arvoinen. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 16

9 Trellis-kaavio Toinen esitysmuoto Markov-ketjulle on trellis-kaavio (trellis = ristikko, säleikkö). Edellisellä esimerkille saadaan tällainen trellis-esitys (LM Kuva 9-17): k = 0 k = 1 k = 2 k = K-1 k = K Ψ = 0 Ψ = 1 (X k,s k )=(0,0.0) (1,1.0) (0,0.5) (1,1.5) 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 17...Trellis-kaavio Kukin kaavion jakso edustaa yhtä symbolijaksoa. Kaaviossa nähdään kaikki mahdolliset tilat ja tilatransitiot eri hetkinä kaikille tulosekvensseille. Kaaviolla on alkutila ψ 0 = 0 ja lopputila ψ K = 0. Alkutilan ja lopputilan välillä on joukko polkuja. Kukin polku edustaa yhtä K:n pituista symbolisekvenssiä. Polun haaroista voidaan lukea vastaava signaali S k. Tämä olisi vastaanotettu, keskinäisvaikutusta sisältävä signaali kohinattomassa tapauksessa. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 18

10 Sekvenssi-ilmaisin Esim. jatkuva-arvoisen kanavan tapauksessa ilmaisimelle tulee signaali Y k = S k + N k. Sekvenssi-ilmaisin pyrkii tähän havaintoon perustuen päättämään mikä oli lähetetty symbolisekvenssi. HUOM! Kanavan malli tunnettava (miten kohinaton signaali riippuu tilamuuttujista) Trelliskaaviossa sekvenssin ilmaisu vastaa oikean polun etsimistä alku- ja lopputilan välillä. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 19 Metriikka ML-periaatteen mukaan valitaan se polku, joka on lähinnä havaittua sekvenssiä tietyn metriikan mukaisesti. Kun on kyse summautuvasta jatkuva-arvoisesta kohinasta, on etsittävä polku jolla on pienin euklidinen etäisyys havaittuun sekvenssiin. Kullekin polulle määritellään polun mitta (path metric), joka on ko. polkua vastaavien signaaliarvojen ja havaitun sekvenssin välinen euklidinen etäisyys. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 20

11 Metriikka Kukin trellis-kaavion jakso vastaa yhtä symbolijaksoa. Tämän jakson havaintonäyte on Y k. Kaavion eri haaroista nähdään kaikki mahdolliset signaali näytearvot symbolijaksolla k. Kullekin trellis-kaavion haaralle määritellään haaran mitta (branch metric): Jatkuva-arvoinen Gaussin kanava: euklidinen eli neliöllinen etäisyys Y k -S k 2 Binäärinen symmetrinen kanava: Hammingin etäisyys (bittivirheiden lukumäärä) d H (Y k,s k ) Polun mitta saadaan summaamalla haarojen mitat 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 21 Sekvenssi-ilmaisimen toteuttaminen ML-sekvenssi-ilmaisin voitaisiin toteuttaa seuraavasti: 1) Lasketaan kaikkien haarojen mitat 2) Lasketaan kaikkien mahd. polkujen ( = haarakombinaatioiden) mitat ja etsitään pienin 3) Pienintä mittaa vastaavan polun tulosymbolit muodostavat ilmaistun sekvenssin Ongelma: Laskenta kasvaa eksponentiaalisesti sekvenssin pituuden mukana! 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 22

12 Viterbi-algoritmi Viterbi-algoritmi on dynaamisen ohjelmoinnin periaatteen soveltamista polun mitan minimointiongelman tehokkaaseen ratkaisemiseen. Periaate: 1) Trelliskaavio käydään läpi jakso kerrallaan alkusolmusta loppusolmuun 2) Kussakin vaiheessa tiedetään lyhimmät (= pienimmän mitan) polut alkusolmusta ko. jakson kaikkiin tulosolmuihin. 3) Seuraavaksi etsitään lyhimmät polut ko. jakson lähtösolmuihin. Nämä löydetään käymällä läpi kaikki haarautumisvaihtoehdot. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 23...Viterbi-algoritmi Viterbi-algoritmin olennainen idea on polkujen karsiminen seuraavaan sääntöön perustuen: jos lyhin polku alkusolmusta loppusolmuun kulkee solmun x kautta, niin tämän polun mitta on kahden lyhimmmän osapolun (alkusolmu-x ja x- loppusolmu) mittojen summa. => N tilan (solmun) järjestelmässä riittää N polun ja niiden mittojen tallennus globaalin minimin löytämiseen! 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 24

13 Viterbi-esimerkki Tarkastellaan Esimerkin 9-25 tilannetta jossa kanava on h k =δ k + 0.5δ k-1 ja mukana on summautuvaa Gaussin kohinaa. Vastaanotettu sekvenssi olkoon {0.2, 0.6, 0.9, 0.1}. Kaaviosta nähdään haarojen mitat ja alkupolkujen mitat kussakin vaiheessa. k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = Ψ = Ψ = Havaintoarvot: /24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 25 Viterbi-esimerkki Ja näin se sujuu: y k -s k = polun mitta haaran mitta Päätökset /24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 26

14 Viterbi-algoritmin ominaisuuksia Viterbi-algoritmin kullakin jaksolla (alkua ja loppua lukuunottamatta) tehdään tietty laskentatyö. Siten laskennan määrä on verrannollinen sekvenssin pituuteen K. Esitetyssä muodossa Viterbi-algoritmi antaa tuloksena ilmaistun sekvenssin vastakun koko sekvenssi on käyty läpi. Tästä aiheutuu haitallista viivettä. Osittaisratkaisu voi löytyä jo aiemmin. Esim. ensimmäinen symboli selvisi jo toisen jakson aikana, koska tällöin kaikki alkupolut kulkivat saman haaran kautta. Viterbi-algoritmissa käy yleensä näin. Pitkää sekvenssiä ilmaistaessa alkupolut yleensä yhtyvät. Tuntuisi järkevältä päättää alkupään symboleista tietyn varoajan jälkeen. 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 27 Katkaisusyvyys Käytännössä tehdään niin, että jaksoa k käsiteltäessä jakson k-d kohdalla karsitaan pidemmät polut ja ilmaistaan vastaava symboli. Kun katkaisusyvyys d valitaan riittävän suureksi, tämä ei juuri huononna lopputulosta. Tyypillinen valinta katkaisusyvyydelle on n. 5 kertaa kanavan impulssivasteen pituus 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 28

15 Viterbi-algoritmin käyttö Viterbi-algoritmi sopii kaikkiin ML-ilmaisuongelmiin joissa signaalinmuokkausta voidaan mallintaa homogeenisena Markov-ketjuna kohinakomponentit ovat riippumattomia (=valkoista) Tärkeitä erikoistapauksia ovat ilmaisu Gaussin kanavassa jossa on lisäksi keskinäisvaikutusta eräiden koodausmenetelmien dekoodaus (mm. konvoluutioja trelliskoodaus) binäärisessä kanavassa purskeinen siirto häipyvässä radiokanavassa (esim. GSM) 10/24/97 Teletekniikan laboratorio Sivu 29