Aaltoputket. 11. helmikuuta 2008

Transkriptio

1 Aaltoputket TEM-aaltojen lisäk si aaltojoh d oissa v oi ed etä m y ös m u ita aaltom u otoja, tark em m in sanottu na TE- ja TM-aaltom u otoja. A ik aisem m in on tod ettu, että TEM-aalto etenee v ain aaltojoh d ossa, jossa on u seam p ia joh tim ia. TE- ja TM-m ood it taas etenev ät m y ös y k sijoh tim isissa aaltojoh d oissa, eli aaltoputkissa (cylindrical waveguide).

2 Aaltoputket µ, ɛ Aaltoputken perusrakenne oheisen kuvan mukainen. S en pintakerros on jotain hyvin johtavaa metallia (esim alumiiniä ja messinkiä, pinnoitteena joskus hopeaa ja kultaa) ja sen sisäosa on eristeainetta (esim tyhjö, ilmaa tai suojakaasua). Aalto etenee putken sisällä. Aaltoputket ovat poikkileikkaukseltaan muutaman aallonpituuden luokkaa ja pituudeltaan ne voivat olla aallonpituuteen nähden hyvin pitkiä.

3 Aaltoputket Metalliputkien lisäksi aaltoputkirakenteena toimii myös K ahden äärettömän ison metallilevyn väli K enttätehtävä kaksidimensioinen: kentät muuttuvat ainoastaan aallon etenemissuuntaan ja levyjen normaalin suuntaan K aksi johdinta siinä voi edetä sekä TEM-, TE-, että TM-moodeja. D ielektriset aaltoputket esimerkkinä valokuitu tehty eristeaineesta, ei metallia toimii optisella taajuudella

4 Aaltoputket Eroja siirtolinjoihin (TEM-aaltojohtoihin) verrattuna: Metalliputkissa vain yksi johdin, ei sig naalin paluureittiä Aaltoputkissa voidaan siirtää kertaluokkaa isompia tehoja N iitä käytetään mm. mikroaaltokuumennuslaitteissa ja tutkissa

5 Aaltoputket Siirtolinjoilla häviöt kasvavat f-verrannollisesti, joten niiden häviöt olisivat suuria mikroaaltotaajuuksilla Aaltoputkia käytetään korkeammilla taajuuksilla kuin siirtolinjoja TEM-moodi voi edetä millä tahansa taajuudella, TEja TM-moodit etenevät vain jotain katkotaajuutta korkeammilla taajuuksilla.

6 Aaltoputket Kenttäsuureiden määrittäminen aaltoputken sisällä edellyttää Max w ellin yhtälöiden ratkaisemista. Edes yksinkertaisen muotoisessa putkessa ratkaisua ei saada mitenkään yksinkertaisemmin. Tarkastellaan ensin aaltoputkitehtävän numeerista ratkaisua ja palataan myöhemmin analyyttiseen ratkaisuun. Kaksiulotteisella tehtävällä tarkoitetaan seuraavassa kahden äärettömän metallilevyn ja niiden välisen eristeen muodostamaa aaltoputkitehtävää.

7 Maxwellin yhtälöid en ratkaisem inen äärellisd im ensioisissa av aruuksissa Lähdetään liikkeelle integraalimuotoisista Ampèren ja F aradayn laeista lähteettömässä alueessa (J = 0 ) sekä väliaineyhtälöistä: S E dl = t S H dl = t S B ˆn da S S D ˆn da S B = µh D = ɛe Lähdetään liikkeelle äärellistämisessä siitä, että ei tarkastellakaan magneettivuota enää kaikkien pintojen läpi, eikä sähkökentän integraalia jokaisen pinnan reunan yli. V astaavasti H:lle ja D:lle.

8 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Äärellisessä avaruudessa E liittyy joihinkin janoihin, B pintoihin, H janoihin ja D pintoihin. E c i e i = R c i E d l B φ i = R S i B ˆn da S i H c j h j = R c j H d l D d j = R S j D ˆn da S j

9 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Muodostetaan kenttien määrittelyalueeseen, aaltoputkien tapauksessa siis putken sisäosaan, kuutioverkko (kahdessa dimensiossa neliöverkko), joka kattaa koko määrittelyalueen. S j Faradayn lakia sovelletaan äärellisessä tehtävässä vain verkon tahkoille, eikä kaikille mahdollisille pinnoille. Sähkökentän voimakkuus E liittyy nyt verkon särmiin ja magneettivuon tiheys verkon tahkoihin (2 D:ssä verkon neliöihin).

10 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Faradayn laki sovellettuna yhteen verkon tahkoon on E dl = e i = e i+1 e i+2 S j t φ j φ j c i S j e i e i+3 Merkitään C:llä kytkentämatriisia, joka on kooltaan tahkot särmät ja C:n alkiot on määritelty seuraavasti. 0, jos särmä i ei ole tahkon j reunalla 1, jos särmä i on tahkon j reunalla C ji = (3 4 ) 1, jos särmä i on tahkon j reunalla päinvastaiseen suuntaan

11 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Esimerkki: C = H elposti nähdään, että Faradayn laki voidaan kirjoittaa muodossa Ce = b, (35 ) t jossa e on vektori, jonka alkiot ovat E:n integraaleja särmien yli, eli sähkömotoriset voimat (smv:t) särmillä. b:n alkiot ovat magneettivuot tahkoilla

12 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Tämä tarkoittaa, että matriisi C voidaan tulkita roottorin vastineeksi äärellisdimensioisessa avaruudessa. J os E ja B tunnetaan tarkasti, ja niistä lasketaan (eli integroidaan E särmien ja B tahkojen yli) vektorit e ja b, yhtälö Ce = tb pätee tarkasti, eli virhe on nolla. O lemme täh än m en n essä k iin n ittän eet e:n ja b:n. Väliain ey h tälö id en k au tta n äid en p itäisi m äärittää v astaav at v ap au sastev ek to rit m y ö s H:lle ja D:lle, jo ita m erk itään h:lla ja d:llä. M u tta m ille särm ille h liitty y, ja m ille tah k o ille d liitty y?

13 Maxwellin yhtälö iden ratk aisem inen äärellisdim ensio isissa av aru u k sissa Väliaineyhtälön kautta ajatellen olisi loog ista, että jokaista särmää, johon e liittyy, vastaisi yksikäsitteinen d:n tahko. Vastaavasti jokaista b:n tahkoa vastaisi yksikäsitteinen särmä, johon h liittyisi. Tähän päädytään, kun h ja d liitetään du aaliseen v erk k o o n. K aksiulotteinen esimerkki: Y htenäinen viiva primääriverkko, katkoviiva duaaliverkko.

14 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Jos n on verkon dimensio (n= 2 tai 3 ), jokaista p-ulotteista primäärisolua vastaa (n p)-ulotteinen duaalisolu. 2 D : primääri duaali piste särmä tahko särmä vastine :n vastine tahko piste

15 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa 3D: primääri piste särmä tahko tilavuus duaali tilavuus tahko särmä piste Väliaineyhtälö kytkee nyt primääri-duaalipariin liittyvät kentät toisiinsa. E simerkiksi d e -väliaineyhtälö 3D:ssä primäärinen d i e i D = ɛe l i A i d i A i = ɛ e i l i

16 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Kokonaisuudessaan väliaineyhtälö on kirjoitettavissa muodossa d = H ɛ e, (36 ) jossa H ɛ on diagonaalimatriisi, jonka alkiot ovat [H ɛ ] ii = ɛ A i l i (37 ) Vastaavasti b h -väliaineyhtälölle 3D:ssä b j h j B = µh l j A j b j A j = µ h j l j b = H µ h, [H µ ] jj = µ A j l j (38 )

17 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Kaksiulotteisessa tehtävässä väliaineyhtälöt ovat erilaisia kuin 3D:ssä. Koska 2D:ssä e-särmän duaali on myös l e d l A b h särmä, d liittyy myös särmiin. Vastaavasti h liittyy pisteisiin, tahkojen duaaleihin. d l = ɛ e l, b A = µh H arjoitustehtävänä on näyttää, että A mpèren laki saadaan muotoon (J = 0 ) eli C T vastaa roottoria duaaliverkossa. C T h = d, (39 ) t

18 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Maxwellin yhtälöitä numeerisesti ratkaiseva algoritmi saadaan, kun yhdistetään yhtälöt (35 )-(39) ja approksimoidaan aikaderivaattoja keskidiff erensseillä: Ce k = bk+ 1 2 b k 1 2 t C T h k+ 1 2 = dk+1 d k t d k = H ɛ e k b k+ 1 2 = H µ h k Algoritmi on nimeltään F IT (finite integration technique).

19 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Tämän lisäksi algoritmissa pitää ottaa huomioon R eunaehdot ideaalijohteen pinnoilla E t = 0, jolloin e i = 0 johteen pinnalla olevilla verkon särmillä c i ab sorb oiva reunaehto aaltoputken loppupäässä syöttö (esimerkiksi) aaltoputken alkupäässä aaltoputken päämoodin kenttäjakauman muotoinen reunaehto mallintaa putkenpätkään ulkopuolelta tulevaa (ennen pätkän alkukohtaa tuotettua) aaltoa

20 Maxwellin yhtälöiden ratkaiseminen äärellisdimensioisissa avaruuksissa Alkuehdot, yleisimmin b 1 2 = 0 ja e 0 = 0. Aika-askeleen stabiilisuusraja 2D: jos z on verkon neliöiden sivujen pituus, algoritmi on stabiili, jos t z c 2 (4 0) 3D: jos z on verkon kuutioiden sivujen pituus, algoritmi on stabiili, jos t z c 3 (4 1 )

21 Algoritmin toiminta Tutkitaan esimerkillä, miten algoritmi mallintaa aaltoilmiötä. Tarkastellaan 3D-verkkoa, jonka poikkileikkaus on oheisen kuvan mukainen. j O letus: hetkellä t 0 = 0 kaikilla särmillä e i = 0. Hetkellä t 1 = t särmän j smv asetetaan ykköseksi.

22 Algoritmin toiminta i j k e j (t 1 ) = 1 b i (t 3 2 ) 0 b k (t 3 2 ) 0 Faradayn lain mukaan tämä tarkoittaa, että seuraavalla ajanhetkellä niihin tahkoihin, joiden reunalla särmä j on, syntyy magneettivuo. Edelleen väliaineyhtälön mukaan kyseisten tahkojen duaalisille vastinsärmille voidaan määrittää magnetomotorinen voima. h i (t 3 2 ) 0, h k(t 3 2 ) 0 i j k

23 Algoritmin toiminta j k e l (t 2 ) 0 Ampèren lain mukaan tämä h aiheuttaa e j (t 2 ) 0 d:n muutoksen duaalisilla tahkoilla, joka l väliaineyhtälön kautta tarkoittaa, että e:lle saadaan uudet arvot hetkellä t 2. Tämä taas tarkoittaa, että olemme palanneet samanlaiseen tilanteeseen, josta lähdimme: a) e tunnetaan jollakin hetkellä b) b tunnetaan edellisellä hetkellä e voidaan määrittää iteratiivisesti seuraavalla hetkellä

24 Interpolointi FIT-algoritmista saadaan ratkaisuna sähkökenttien integraalit verkon särmien yli. S aadaanko tästä ratkaisusta sähkökenttä särmien ulkopuolella? Ratkaisusta voidaan interpoloida arvoja muihinkin pisteisiin, esimerkiksi tuloksen graafi seen esittämiseen. Koska me emme tarvitse interpolointia muuhun kuin kuvien piirtämiseen, turvaudutaan interpoloinnissa MATL AB in omiin interpolointirutiineihin. P arempiakin interpolointitapoja olisi olemassa.

25 e Interpolointi Verkon särmät ovat normaalisti koordinaattiakselien suuntaisia. Tällöin esimerkiksi x:n suuntaisilla särmillä l E x = e l tiedetään sähkökentän x-komponentti E x, kun särmän smv e jaetaan särmän pituudella. Oletetaan, että tämä on E x :n arvo särmän keskipisteessä. Tätä kautta saadaan E x :lle arvot jokaisen x-suuntaisen särmän keskipisteessä, ja E y :n arvot jokaisen y-suuntaisen särmän keskipisteessä jne. Kun tiedetään särmien keskipisteiden koordinaatit, saadaan E:n kukin komponentti piirrettyä erikseen MATLABin contourf-komennolla.

26 Interpolointi contourf-komentoa varten sähkökenttäarvot ja koordinaatit saa helposti pistettyä oikeaan muotoon reshape:lla: ee=reshape(e(xdir_edges,i),n-1,m);