SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos"

Transkriptio

1 SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka

2 Sähkömagneettiset aallot Aikaharmoniset kentät Käytännössä sähköteknisen järjestelmän sisäänmeno on usein ns. aika-harmoninen funktio, esim. sin,cos (tai voidaan Fourierin menetelmien avulla esittää harmonisten funktioiden kombinaationa). Tällöin käyttämällä osoitin laskentaa saadaan Maxwellin yhtälöissä esiintyvät aikaderivaatat korvattua kompleksiluvulla kertomisella. Edellytyksenä kuitenkin on, että materiaaliparametrit ovat lineaarisia. Esimerkiksi sähkökentälle: E(r, t) = Re {Ê(r)e jωt } = E r (r) cos(ωt) E i (r) sin(ωt), 2

3 ja E (r, t) = Re {Ê(r) t } t ejωt = Re { jωê(r)ejωt}. Sähkömagneettinen aalto Katsotaan seuraavaksi, miten sähkömagneettista aaltoa kuvaava yhtälö eli Helmholtzin yhtälö voidaan muodostaa. Lähtökohta on Ampèren ja Faradayn lait (differentiaalimuodossa) E = jωµh, (1) H = J + jωɛe = σe + jωɛe. (2) Kerrotaan ylempi puolittain tekijällä (eli otetaan siitä roottori) 3

4 ja sijoitetaan siihen sen jälkeen alempi E = jωµ H (3) = (µɛω 2 jωµσ)e (4) Oletetaan aluksi, että σ = 0 ja että D = ɛ E = 0, (5) toisin sanoen kyseessä on ns. häviötön aine eli esim. ilma. Käytetään apuna vektori identiteettiä E = ( E) 2 E, jolloin edellinen yhtälö voidaan esittää muodossa 2 E = µɛω 2 E (6) 2 E + k 2 E = 0, (7) 4

5 missä k = µɛω ja 2 = 2 x y z 2. Huomaa kuitenkin, että kaikki edellisen yhtälön ratkaisut eivät toteuta Maxwellin yhtälöitä. 5

6 Aallot johteissa ja eristeissä Tarkastellaan seuraavaksi aaltojen käyttäytymistä johteessa ja eristeessä. Käsitellään mielikuvan luomiseksi aaltojen käyttäytymisestä mahdollisimman yksinkertaista tapausta. Aaltoyhtälö yksinkertaistuu, jos tarkastellaan tasoaaltoa eli aaltoa, joka on vakio pinnoilla, jotka ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden. 6

7 Kuvatkoon tasoaaltoa E:n x-komponentti eli E on lineaarisesti polarisoitunut x-suuntaan ja olkoon etenemissuunta z-akselin suunta. Valitulle tasoaallolle pätee tällöin, että 2 E x x 2 = 0 ja 2 E x y 2 = 0. Jolloin ratkaistavaksi jää ainoastaan 2 E x z 2 + k2 E x = 0. Yhtälölle saadaan kaksi ratkaisua: -z suuntaan ja +z suuntaan kulkevat aallot E x (z) = E + x (z) + E x (z). Ratkaisuna saatu tasoaalto, joka etenee +z suuntaan on 7

8 esitettävissä muodossa E + x (z, t) = Re { E + 0 ej(ωt kz)}. x E z y H Joten vakiovaihe on ωt k 0 z = A ja vaihenopeus u p = dz dt = ω k 0 = c. Faradayn lain avulla saadaan H ratkaistua ja kyseisessä 8

9 tapauksessa H + y (z) = 1 η E+ x (z), missä η = µ ɛ on ns. aaltoimpedanssi, joka siis riippuu materiaaliparametreista. Jos väliaine ei ole häviötön, täytyy Ampèren laissa ottaa huomioon myös termi σe, mikä voidaan esittää muodossa missä ɛ c = ɛ j σ ω. H = σe + jωɛe (8) = jω(ɛ j σ )E ω (9) = jωɛ c E, (10) 9

10 Hyvä johde Tarkastellaan tasoaaltoa, kun se kohtaa hyvän johteen. Äskeisen perusteella aaltoluku muuttuu kompleksiluvuksi Hyvälle johteelle pätee, σ ωɛ missä α = β = µσπf. k = ω µɛ c (11) = ω µɛ(1 j σ ωɛ )1/2. (12) 1 ja silloin k j µσω = 1 j 2 µσ2πf (13) = (1 j) µσπf = β jα, (14) 10

11 Edellä on käytetty lauseketta ( j = (e jπ/2 ) 1/2 = e jπ/4 = 1 j 2 ). Tarkasteltavana oleva tasoaalto on nyt esitettävissä muodossa E x = E 0 e αz e jβz. Ensimmäinen tekijä kuvaa, miten aallon amplitudi muuttuu johteessa. e αz pienenee, kun z kasvaa ja aalto vaimenee; α:a kutsutaan vaimennustekijäksi. Toinen tekijä β puolestaan on vaihetekijä. Etäisyyttä, jolla amplitudi pienenee 1/e:teen osaan kutsutaan tunkeutumissyvyydeksi ρ = 1/α. Huomaa, että hyvillä johteilla ρ ( f) 1 11

12 Esimerkki: Tarkastellaan, miten aalto etenee kuparissa, jolla µ = µ 0 ja σ = , f = 3 MHz, α = π π = [Np/m], (15) joten matkalla ρ = 1/α=0.038 [mm], aalto vaimenee tekijällä e f = 10 GHz, vastaava matka on 0.66 µm Hyvissä johteissa aallot vaimenevat nopeasti ja korkeilla taajuuksilla voi ajatella kenttien vaikuttavat vain ohuessa kerroksessa. 12

13 Huono eriste Tarkastellaan seuraavaksi aaltojen käyttäytymistä huonossa eristeessä. σ Huonolle eristeelle pätee, ωɛ edellä saadaan vaimennustekijäksi 1 ja vastaavalla tarkastelulla kuin α σ 2 µ ɛ ja etenemisvakioksi β ω µɛ[ ( σ ωɛ ) 2] 13

14 Esimerkki: Hervannassa on graniittikallion sisään kaivettu väestönsuoja. Laske, voidaanko siellä kuunnella Radio957:aa, kun graniitin sähköiset ominaisuudet ovat ɛ r = 6, µ = µ 0 ja σ = 1µS/m. Lasketaan, kuinka syvälle kenttä etenee 95,7MHz:n taajuudella. Sähkökentän voimakkuus riippukoon syvyyskoordinaatista seuraavasti E(z) e jkz. Graniitin materiaaliparametreille saadaan, että ω ɛ = 2π [S/m] σ, joten voidaan käyttää huonon johteen approksimaatiota. Lasketaan aallon tunkeutumissyvyys ρ = 1/α = 2 ɛ σ µ 0 = km, 6 joten pitäisi kuulua, mutta kuuluuko todellisuudessa? 14

15 Rajapintaehdot Materiaalien sisällä voimme käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa; johtaa esimerkiksi aaltoyhtälön ja tarkastella aaltojen etenemistä. Mitä tapahtuu materiaalien rajapinnoilla? Äkilliset muutokset materiaaliparametreissa (ɛ, µ, g). Kentät eivät ole jatkuvia. Kentät eivät ole differentioituvia. Emme voi siis käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa rajapinnoilla. Mutta mitä sitten oikein voidaan sanoa esim. aalloista rajapinnoilla? Eipä auta muu kuin lähteä liikkeelle Maxwellin yhtälöistä integraalimuodossa. 15

16 Kahden eristeen rajapinta Eristeessä ei voi olla virtoja ja oletetaan eristeet vielä sähköisesti neutraaleiksi. Miten sähkökenttä käyttäytyy ko. rajapinnalla? Käytetään yhtälöä S E dl = B S t n S da ja tarkastellaan pientä silmukkaa materiaalien rajapinnalla: n E 1 S h n S a E 2 b ɛ 1 ɛ 2 Pienennetään silmukkaa siten, että h 0 (jolloin silmukan rajaama pinta ala on nolla) mutta sen ylä ja alareunat 16

17 pysyvät eri materiaaleissa: b a (E 2 E 1 ) dl = lim h 0 S B t n S da = 0. Tämä pätee kaikille pinnoille S, joten Vastaavasti kentälle H: n (E 2 E 1 ) = 0 n (H 2 H 1 ) = 0 Kentän D jatkuvuutta ei voi päätellä silmukan avulla, käytetetään sylinterinmuotoista tilavuutta: n n 1 ɛ 1 D 1 S V D 2 n 2 ɛ 2 17

18 Hyödynnetään yhtälöä D n da = 0 (ei varausta), ja V kutistetaan ko. tilavuus rajapinnalle: D n da = (D 2 n 2 +D 1 n 1 ) da = (D 1 D 2 ) n da = 0. lim h 0 V S S 18

19 Pätee kaikille tilavuuksille V, joten (D 2 D 1 ) n = 0 Vastaavasti kentälle B (B 2 B 1 ) n = 0 19

20 Eristeen ja ideaalijohteen rajapinta Kun johtavuus ja kentän taajuus kasvavat, tunkeutumissyvyys pienenee ja hyvillä johteilla se on hyvin pieni. Tehdään siis olettamus, että johtavuus on äärettömän hyvää, jolloin tunkeutumissyvyys on nolla. Tätä oletusta vastaa ideaalijohde, jonka ominaisuudet ovat 1. E = 0 sen sisällä, 2. B = 0 sen sisällä, 3. Kaikki virta kulkee nolla paksuisessa kerroksessa pinnalla. Voimme edellä tehdyn tarkastelun perusteella päätellä, että ja B 1 n = 0 n E 1 = 0 20

21 H vaatii tarkempaa käsittelyä: n ɛ 1 a b j S Kun silmukka kutistetaan, virta sen läpi ei häviä vaan pintavirta täytyy ottaa huomioon: b a (H 1 H 2 ) dl = b Koska ideaalijohteelle H 2 = 0, saamme että b a H 1 dl = b a a (j S n) dl (j S n) dl n H 1 = n (j S n), or n H 1 = j S ( back cab sääntö vektorikolmitulolle) 21

22 Pintavirta liikuttaa ja muokkaa pintavarausta σ. H j S σ Tällöin D:lle saamme ehdon (D 2 n 2 + D 1 n 1 ) da = S S D 1 n da = S σ da. Tästä seuraa, että D 1 n = σ Näitä ehtoja käytetään muun muassa aaltojohtojen ja antennien analysoinnissa! 22

23 Tasoaalto materiaalirajapinnalla Miten tasoaalto käyttäytyy materiaalien rajapinnalla? Emme voi käyttää Maxwellin yhtälöitä differentiaalimuodossa joten emme voi käyttää aaltoyhtälöä myöskään: se johdettiin Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodosta. Mutta koetetaan hyödyntää rajapintaehtoja. Tarkastellaan kahta tärkeää tapausta, 1. Eriste eriste rajapinta 2. Eriste ideaalijohde rajapinta 23

24 Eriste eriste rajapinta Tarkastellaan kahden eristeen rajapintaa ja olkoon niiden ominaisimpedanssit η 1, η 2. E i η 1 η 2 y z n x Tulkoon tasoaalto pinnan normaalin suunnassa ja olkoon sen sähkökenttä Ê i (z, t) = ie i e j(ωt k 1z). Aalto heijastuu ja taittuu, mutta kuinka voimakasta on heijastuminen ja taittuminen? Tulevan, heijastuneen ja läpimenneen aallon kentät ovat 24

25 pelkästään rajapinnan suuntaisia. Niiden täytyy toteuttaa edellä johdetut ehdot: n (E 2 E 1 ) = 0 ja n (H 2 H 1 ) = 0. Heijastuneen ja läpimenneen aallon sähkökentät ovat Ê r (z, t) = ie r e j(ωt+k 1z) ja Ê t (z, t) = ie t e j(ωt k 2z). (huomaa suunta ja materiaali etenemiseen liittyen.) Meidän on syytä tarkastella myös kenttiin liittyviä magneettikenttiä. Magneettikentät ovat Ĥ i (z, t) = j E i η 1 e j(ωt k 1z), Ĥ t (z, t) = j E t η 2 e j(ωt k 2z). Ĥ r (z, t) = j E r η 1 e j(ωt+k 1z), ja 25

26 Aallot ja ehdot ovat: E i E r η 1 η 2 y E t H r z H i n x H t ) n (Êi + Êr Êt = 0 ) n (Ĥi + Ĥr Ĥt = 0 Jos rajapinta on tasolla z = 0: n ( ie i e jωt + ie r e jωt ie t e jωt) = 0 ( ) n j E i η 1 e jωt j E r η 1 e jωt j E t η 2 e jωt = 0. 26

27 Tällöin täytyy toteutua, että E i + E r E t = 0 E t η 2 = 0. E i η 1 E r η 1 Tulevan aallon amplitudin E i avulla voidaan ilmoittaa muiden aaltojen amplitudit E r ja E t : E r = η 2 η 1 η 2 + η 1 E i ja E t = 2η 2 η 2 + η 1 E i. Heijastuskerroin ja läpäisykerroin ovat siten Γ = E r E i = η 2 η 1 η 2 +η 1 ja τ = E t E i = 2η 2 η 2 +η 1. Tulevan, heijastuneen ja läpimenneen aallon yhdistää 1 + Γ = τ. 27

28 Aineessa 1, kokonaiskenttä on kahden eri suuntaan etenevän kentän summa: Ê(z, t) = Êi(z, t) + Êr(z, t) = ie i e j(ωt k 1z) + iγe i e j(ωt+k 1z) = i(1 + Γe j2k 1z )E i e j(ωt k 1z). Se on z suuntaan etenevä aalto, jonka amplitudi riippuu paikasta eli tekijästä 1 + Γe j2k 1z. Jos amplitudi ei ole millään kohtaa nolla, on kyseessä osittain seisova aalto. Ja mikäli se on, niin kyseessä on seisova aalto. Käyttäymiseen vaikuttaa Γ, jolle pätee Γ 1. 28

29 1 Gamma = Gamma = Gamma = Gamma =

30 Esimerkki: Aallon heijastuminen ja läpimeno ilma lasi rajapinnalla: Pinnan molemmin puolin, µ = µ 0. Ilmassa ɛ = ɛ 0, lasissa ɛ = 4ɛ 0. Γ = η 2 η 1 η 2 +η 1 = q q µ0 µ0 4ɛ 0 ɛ q q 0 µ0 µ0 = ɛ + 0 ɛ = = 1 3. τ = 2η 2 η 2 +η 1 = 2 q µ0 4ɛ q q 0 µ0 µ0 4ɛ + 0 = = 1 1 ɛ = Air-glass interface

31 Eristeen ja ideaalijohteen rajapinta Tarkastellaan ilman ja ideaalijohteen rajapintaa. Rajapintaehtojen yhteydessä päättelimme, että ideaalijohteessa ei ole sähkö tai magneettikenttää. Täten on pelkästään tuleva ja heijastunut kenttä. Ehdoista n E 1 = 0 ja n H 1 = j S saadaan ) n (Êi + Êr = 0 ), n (Ĥi + Ĥr = j S tai n ( ie i e jωt + ie r e jωt) = 0 ( ). n j E i η 1 e jωt j E r η 1 e jωt = j S Alla oleva ensimmäinen yhtälö vaatii, että E i = E r, jolloin 31

32 Γ = 1 ja τ = 0. n i (E i + E r ) = 0 n j ( E i η 1 E r η 1 ) = j S Toisen yhtälön perusteella pätee 2 E i η 1 i = j S, josta saadaan pintavirran suuruus ja suunta. Heijastuminen on siis täydellistä ja seisova aalto syntyy eristeeseen. Tärkeää huomata, että aalto heijastuu kokonaan takaisin, ideaalijohteessa ei kulu aallon energiaa! 32

33 Esimerkki: kerrostetut pinnat Kuten edellä havaittiin, rajapinnoilla tapahtuu heijastumista ja aallon läpimenemistä. Kerrostetussa rakenteessa, jossa on eri materiaaleja lähestyvän aallon heijastuminen ja läpimeneminen riippuvat materiaaliparametreista ja kerrosten paksuuksista. Tarkastellaan alla olevaa tapausta, jossa on kolme kerrosta materiaalia: materiaali 1 vasemmalla (kun z < 0), materiaali 2 on välillä 0 z d, ja materiaali 3 on oikealla (kun d < z). Kerroksiin liittyy siis mahdollisesti kolme eri ominaisimpedanssia η i. 33

34 Materiaali 1 z = 0 Materiaali 2 z = d Materiaali 3 E i1 E t2 E t3 η 1 E r1 E r2 η 2 η 3 Periaatekuva kerrostetusta rakenteesta. Kysymys: Mitkä tekijät voisivat ohjata tällaisen rakenteen suunnittelua? 34

35 Ensimmäisessä väliaineessa toisessa väliaineessa kolmannessa väliaineessa E 1 = E i1 e jβ 1z + E r1 e jβ 1z E 2 = E t2 e jβ 2z + E r2 e jβ 2z E 3 = E t3 e jβ 3z. Tehtävän ratkaisuun tarvitaan neljä yhtälöä, jotta E r1, E t2, E r2, E t3 voidaan ratkaista E i1 :n funktiona. 35

36 Kerrostetut pinnat ja heijastuksen estäminen Tarkoituksena on selvittää, onko mahdollista muodostaa kerrostettu rakenne siten, että heijastusta ei ensimmäisellä rajapinnalla tapahdu. Tekijät, joihin voimme vaikuttaa, ovat: levyn paksuus d materiaaliparametrit eri kerroksissa. 36

37 Rajapintaehtojen mukaisia yhtälöitä muokkaamalla saadaan yhtälöpari (eliminoimalla yhtälöistä tekijät E i1, E t2, E r2, E t3 ja tarkastelemalla lopputuloksen reaali-ja imaginaariosia) (η 1 + η 2 )(η 3 η 2 )cos(β 2 d) = (η 2 + η 3 )(η 1 η 2 )cos(β 2 d) (16) (η 1 + η 2 )(η 3 η 2 )sin(β 2 d) = (η 2 + η 3 )(η 1 η 2 )sin(β 2 d).(17) Näillä yhtälöillä on kaksi ratkaisua: puoliaaltolevy neljännesaallon täsmäys. 37

38 Puoliaaltolevy: Jos yhtälössä (17) sin(β 2 d) = 0, niin yhtälössä (16) yhtäsuuruus toteutuu, jos η 1 = η 3 ja tällöin ei siis heijastusta ensimmäisellä rajapinnalla tapahdu. Tässä tapauksessa toisaalta joten β 2 d = Nπ, N = 0, 1, 2,..., β 2 λ 2 = 2π, d = N λ 2 2 missä λ 2 on aallonpituus väliaineessa 2. (Aallonpituuden ja etenemisvakion välisen yhteyden näkee esim. siitä, että sin(α) = sin(α + 2π) ts. mikä on se matka, että aalto on jälleen samassa vaiheessa.) 38

39 Neljännesaallon täsmäys: Toisaalta, jos η 1 η 3 ja yhtälössä (16) cos(β 2 d) = 0, niin yhtälössä (17) yhtäsuuruus toteutuu, jos η 2 = η 1 η 3. Tässä tapauksessa βd = (2N + 1)π, N = 0, 1, 2,..., tai d = (2N + 1)λ 2 /4. Eli jos η 2 2 = η 1 η 3 (geometrinen keskiarvo), niin edellisen paksuiset levyt eivät heijasta mitään takaisin. Lopuksi numeerinen esimerkki: Olkoon f = 30GHz. Lasikuidussa ja lasisssa (laadusta riippuen) ɛ r = 4, µ = µ 0, joten kun käytetään huonon johteen approksimaatiota β ω µɛ = 2πf µɛ 39

40 ja λ 2 = 2π β 2 = 1 f µ 2 ɛ 2 = 5[mm]. Jos levyn paksuus on siis 2.5 mm:n monikerta, heijastumista ei tapahdu (tutkan suojakuori). 40

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Esimerkki: Kun halutaan suojautua sähkömagneettisia

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)

Lisätiedot

Aaltoputket analyyttinen ratkaisu. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun.

Aaltoputket analyyttinen ratkaisu. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Lähd etään hakem aan ratkaisua y htälöistä (2 ) ja (3 ), kuten T E M -siirtolinjojen y htey d essä. N y t aaltoputkien tapauksessa z-kom

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet

Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Aaltoputket ja mikroliuska rakenteet Luku 3 Suorat aaltojohdot Aaltojohdot voidaan jakaa kahteen pääryhmääm, TEM ja TE/TM sen mukaan millaiset kentät niissä etenevät. TEM-aallot voivat edetä vain sellaisissa

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Suuriniemi SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 26.1.2009. Suuriniemi 1. Ilman perusteluja ei annettu pisteitä. Jos vastaus on oikein ja perustelu liittyy aiheeseen mutta ei mennyt ihan puikkoihin,

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 13 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla. Äärettömän hyvän johteen sisällä ei ole sähkökenttää,

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

= ωε ε ε o =8,853 pf/m

= ωε ε ε o =8,853 pf/m KUDOKSEN POLARISOITUMINEN SÄHKÖKENTÄSSÄ E ε,, jε r, jε, r i =,, ε r, i r, i E Efektiivinen johtavuus σ eff ( ω = = ωε ε ε o =8,853 pf/m,, r 2πf ) o Tyypillisiä arvoja radiotaajuukislla Kompleksinen permittiivisyys

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6 / Siirtojohdot ja transientit häviöttömissä siirtojohdoissa

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6 / Siirtojohdot ja transientit häviöttömissä siirtojohdoissa ATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2011 1 /6 Tehtävä 1. 0,67 m pitkä häviötön siirtojohdon (50 Ω) päässä on kuorma Z L = (100 - j50) Ω. iirtojohtoa syötetään eneraattorilla (e (t) = 10sin(ωt + 30º)

Lisätiedot

Pieni silmukka-antenni duaalisuus. Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta.

Pieni silmukka-antenni duaalisuus. Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta. Pieni silmukka-antenni duaalisuus Ratkaistaan pienen silmukka-antennin kentät v ielä käy ttämällä d uaalisuud en periaatetta. S amalla saamme my ö s silmukan läh ikentät. Käy tämme h y v äksi sitä, että

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Ei-ideaaliset piirikomponentit Tarkastellaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Arvostelukriteerit tenttiin 28.11.2007 Tentistä oli tällä kertaa hyvin vaikea saada täysiä pisteitä (osasyynä T3), mutta jonkin verran pisteitä oli puolestaan melko helppo

Lisätiedot

PIENTAAJUISET SÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTÄT HARJOITUSTEHTÄVÄ 1. Pallomaisen solun relaksaatiotaajuus 1 + 1

PIENTAAJUISET SÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTÄT HARJOITUSTEHTÄVÄ 1. Pallomaisen solun relaksaatiotaajuus 1 + 1 Aalto-yliopisto HARJOITUSTEHTÄVIEN Sähkötekniikan korkeakoulu RATKAISUT Sähkömagneettisten kenttien ja optisen säteilyn biologiset 8.1.016 vaikutukset ja mittaukset ELEC-E770 Lauri Puranen Säteilyturvakeskus

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 26. lokakuuta 2016 Aallot ja osoittimet (Ulaby, 1.4 1.7) Etenevät (sinimuotoiset) aallot Osoittimet ja notaatiovertailu Piirianalyysiin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 28. lokakuuta 2015 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Moottori ja

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Lehti, Niemimäki, Suuriniemi

SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin Lehti, Niemimäki, Suuriniemi SMG-1400 SMG KENTÄT JA AALLOT 2 Kriteerit tenttiin 27.11.2008. Lehti, Niemimäki, Suuriniemi Ensimmäinen tehtävä tuli arvostelluksi melko tiukasti, mikä näkyi pistekeskiarvossa 3.16: Kyllä/Ei-vastauksiin

Lisätiedot

Onteloresonaattorit. Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen

Onteloresonaattorit. Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen Onteloresonaattori saadaan aikaan, kun metallisen aaltop utken molemmat suljetaan metalliseinällä ja sen sisään sy ötetään teh oa. a b d syöttö Oikealle etenev ä aalto h eijastuu p utken lop p up äästä,

Lisätiedot

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,

Lisätiedot

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit

Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Luku 12 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit Tässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa ja sen pinnalla.

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 11 Sähkömagneettiset aallot Tämä luku käsittelee monokromaattisten sähkömagneettisten aaltojen etenemistä erilaisissa homogeenisissa väliaineissa (RMC luku 17; CL käsittelee aaltoliikettä luvussa

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti , Arvosteluperusteet

SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti , Arvosteluperusteet SMG-1400 Sähkömagneettiset kentät ja aallot II Tentti 28.11.2006, Arvosteluperusteet 1. Pisteiden määräytyminen ao. taulukossa. Arvostelutapa oli siis tällä kertaa aika tiukka, mutta teh- tävä näytti menneen

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 12 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tarkastelemme tässä luvussa sähkömagneettisten aaltojen heijastumis- ja taittumisominaisuuksia erilaisten väliaineiden rajapinnalla, ja lopuksi tutustutaan

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Receiver. Nonelectrical noise sources (Temperature, chemical, etc.) ElectroMagnetic environment (Noise sources) Parametric coupling

Receiver. Nonelectrical noise sources (Temperature, chemical, etc.) ElectroMagnetic environment (Noise sources) Parametric coupling EMC Sähkömagneettinen kytkeytyminen EMC - Kytkeytymistavat ElectroMagnetic environment (Noise sources) Nonelectrical noise sources (Temperature, chemical, etc.) Conductors Capacitive Inductive Wave propagation

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni.

Luku 14. z L/2 y L/2. J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni. Luku 14 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2008

Elektrodynamiikka, kevät 2008 Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä

Lisätiedot

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot

Sähkömagneettiset aallot

Sähkömagneettiset aallot Luku 10 Sähkömagneettiset aallot Sähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 10

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium).

2 Mekaaninen aalto. Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 2 Mekaaninen aalto Mekaaniset aallot kulkevat jossain materiaalissa, jota kutsutaan tässä yhteydessä väliaineeksi (medium). 1 Mekaanisten aaltojen vastakohtana ovat sähkömagneettiset allot, jotka kulkevat

Lisätiedot

3.32. On tärkeätä muistaa, että tehosta desibeleissä puhuttaessa käytetään kerrointa 10 ja kentänvoimakkuuden yhteydessä kerrointa 20.

3.32. On tärkeätä muistaa, että tehosta desibeleissä puhuttaessa käytetään kerrointa 10 ja kentänvoimakkuuden yhteydessä kerrointa 20. 3.3 3. Desibeli Tasoaallon vaimenemisen häviöllisessä väliaineessa voi laskea aaltoluvusta β. Aaltoluvun imaginaariosa on mitta vaimenemiselle, ja usein puhutaankin β i :stä yksiköissä neperiä/metri eikä

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2002

Elektrodynamiikka, kevät 2002 Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla

Lisätiedot

Polarisaatio. Timo Lehtola. 26. tammikuuta 2009

Polarisaatio. Timo Lehtola. 26. tammikuuta 2009 Polarisaatio Timo Lehtola 26. tammikuuta 2009 1 Johdanto Lineaarinen, ympyrä, elliptinen Kahtaistaittuvuus Nicol, metalliverkko Aaltolevyt 2 45 Polarisaatio 3 Lineaarinen polarisaatio y Sähkökentän vaihtelu

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne

4 Optiikka. 4.1 Valon luonne 4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden 5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014

Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus. Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Valon sironta - ilmiöt ja mallinnus Jouni Mäkitalo Fysiikan seminaari 2014 Sisältö Johdanto Sironnan sähkömagneettinen mallinnus Analyyttinen sirontateoria Sironta ei-pallomaisista hiukkasista Johdanto

Lisätiedot

EMC Säteilevä häiriö

EMC Säteilevä häiriö EMC Säteilevä häiriö Kaksi päätyyppiä: Eromuotoinen johdinsilmukka (yleensä piirilevyllä) silmulla toimii antennina => säteilevä magneettikenttä Yhteismuotoinen ei-toivottuja jännitehäviöitä kytkennässä

Lisätiedot

Ideaalinen dipoliantenni

Ideaalinen dipoliantenni Ideaalinen dipoliantenni Ideaalinen dipoli on säh k öisesti p ieni lank a-antenni ( z λ), jossa v irralla v ak io am p litu d i ja v aih e. Id eaalinen d ip oliantenni on k äy tännön antennina h arv inainen.

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen

SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Ajankohtaista Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ Erkki Numerola Oy PL 126, 40101 Jyväskylä erkki.heikkola@numerola.fi 1 JOHDANTO Työssä tarkastellaan putkijärjestelmässä etenevän

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO

9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO 09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kaaleissa olemme tutkineet valon heijastumista eileissä ja taittumista linsseissä geometrisen otiikan aroksimaation avulla Aroksimaatiossa valon aaltoluonnetta

Lisätiedot

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m 1. Johtuvia häiiöitä mitataan LISN:n avulla EN55022-standadin mukaisessa johtuvan häiiön mittauksessa. a. 20 MHz taajuudella laite tuottaa 1.5 mv suuuista häiiösignaalia. Läpäiseekö laite standadin B-luokan

Lisätiedot