Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = = 155.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155."

Transkriptio

1 Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, α = 47. Kulma β on 47 kulman vieruskulma, joten β = = 1. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuria eli : 8, 5 1

2 Monikulmiot 4. Merkitään α = ja β = 8. Tällöin kulmien suhde on : 8. Koska kulmat ovat vieruskulmia, niin niiden summa on 180 eli Näin ollen saadaan α + β = 180 eli : 11 16,66... α = = 16,66 = 49, β = 8 = 8 16,66 = 10, Merkitään 8 kulman vieruskulmaa kirjaimella α. Tällöin α = = 98 8 α t 10 s Kulmat α ja 10 ovat samankohtaisia kulmia. Jos suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, α = 10. Koska α = 98 10, niin suorat s ja t eivät ole yhdensuuntaisia.

3 Monikulmiot 6. Merkitään 0 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. 0 s 88 β α t Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β = Merkitään 105 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. 00 α s β t 105 Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, β = 105.

4 Monikulmiot Kuvasta saadaan Merkitään kuvaan kulma δ. 68 α m δ β γ 97 n Kulmat δ ja 68 ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n ovat yhdensuuntaisia, δ = 68. Lisäksi kuvasta saadaan β= 68 (kulman δ ristikulmana) (vieruskulmat)

5 Monikulmiot Kolmion kulmien summa on 180, joten Vastaus: α = 9, β= 68 ja 8 9. Merkitään kuvioon apukulma α. β α 165 Kuviosta saadaan

6 Monikulmiot Koska kolmio on suorakulmainen, niin Vastaus: Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Merkitään kantakulmaa kirjaimella α. Huippukulma on pienempi eli α. Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan yhtälö : Huippukulman suuruus on siis Vastaus: Kantakulmat 71, huippukulma 8 6

7 Monikulmiot 11. Merkitään pienintä kulmaa kirjaimella. Tällöin muut kulmat ovat ja 5. Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan yhtälö : 9 Muut kulmat ovat Vastaus: Kulmien suuruudet ovat 0, 60 ja Värilliset (siniset) kolmiot ovat tasakylkisiä. Kummassakin tasakylkisessä kolmiossa huippukulma on 90. Merkitään kantakulmia kirjaimella. 10 α 7

8 Monikulmiot Koska kolmion kulmien summa on 180, niin kuviosta saadaan : 45 Kuviossa on kaksi samanlaista kolmiota, joiden huippukulma on Viereinen suorakulmainen kolmio on osa tehtävän kuviota β α Vastaus: α = 15, β = 75 8

9 Monikulmiot 1. Puolisuunnikkaan kaksi kulmaa ovat 90. Merkitään kolmatta kulmaa kirjaimella, jolloin neljäs kulma on + 5. Puolisuunnikas on nelikulmio, joten sen kulmien summa on ,5 : Tällöin kulma 5 7, , 5 Vastaus: 7,5 ja 107,5 14. a) Merkitään kolmion toista kantakulmaa kirjaimella γ. Koska kolmio on tasakylkinen, kantakulmat ovat yhtä suuret eli γ = 68. γ 68 Koska nelikulmio on neliö, sen kaikki kulmat ovat suoria kulmia. Tällöin α + γ = 90 α + 68 = 90 α = 9

10 Monikulmiot Viereinen suorakulmainen kolmio on osa kuviota. Koska kolmion kulmien summa on 180, niin β α α + β + 90 = β + 90 = 180 β + 11 = 180 β = 68 b) Merkitään puolisuunnikkaan toista huippukulmaa kirjaimella. Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, huippukulmat ovat yhtä suuret eli = 7. Suorakulmion kulmat ovat 90, joten β 7 α + β = β = 90 β = 18 Kuvio sisältää viereisen suorakulmaisen kolmion. Kolmion kulmien summa on 180. β α Vastaus: a) α =, β = 68 b) α = 7, β = 18 10

11 Monikulmiot 15. Merkitään kuvaan kulmat γ, δ ja δ. Vieruskulmina δ δ β γ + 56 = 180 γ = γ = γ α Kolmion kulmien summa on Kulmat δ ja δ muodostavat suoran kulman. ' 90 4 ' 90 ' 56 Nelikulmion kulmien summa on 60. ' : Vastaus: Puolisuunnikkaan kulmat ovat 14, 56, 45 ja

12 Monikulmiot 16. Merkitään suunnikaan terävää kulmaa kirjaimella α. Tällöin suunnikaan tylppä kulma on α. Suunnikkaassa vastakkaiset kulmat ovat aina yhtä suuret, joten kumpiakin kulmia on kaksi kappaletta. Nelikulmion kulmien summa on 60, joten saadaan yhtälö : Vastaus: Kulmat ovat 60, 60, 10 ja a) Kolmion kulmien summa on b) Kolmio on tasakylkinen, joten kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on : 1

13 Monikulmiot c) Puolisuunnikas on tasakylkinen, joten molemmat kantakulmat ovat 118 ja molemmat huippukulmat ovat α. Nelikulmion kulmien summa : Merkitään toista kulmaa kirjaimella. Toinen kulma on 8 suurempi eli + 8. Kulmat ovat vieruskulmia, joten niiden summa on : Toinen kulma on + 8 = = 104. Vastaus: Kulmat ovat 76 ja 104 1

14 Monikulmiot (vieruskulmat) : 6 0 Kulmat α ja β ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β = α eli β = 0 0. Merkitään kolmion kantakulmaa kirjaimella (>0). Toinen kantakulma on 18 suurempi eli +18. Huippukulma on ( + 18 ). Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan ( 18) ( 18) ,5 : 4 Kolmion kulmat ovat siis = 1, =1,5 +18 =49,5 ( + 18 )= 49,5 =99 Vastaus: 1,5 ; 49,5 ; 99 14

15 Monikulmiot 1. Yhdenmuotoisuus 1. a) Merkitään linnun takaraivon pituutta pienenöksessä kirjaimella. Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset saadaan verranto 8,5 10,9 5,5 8,5 59,95 : 8,5 7, ,1 cm b) Merkitään kaulan leveyttä suurennoksessa kirjaimella. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan 8,5 5,5,0 5,5 17 : 5,5,090...,1 cm 15

16 Monikulmiot Merkitään linnun kaulan pituutta suurennoksessa kirjaimella y. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan 8,5 5,5 5,5 y y,7,95 y 4,17... y 4, cm : 5,5 Vastaus: a) 7,1 cm b) leveys,1 cm ja pituus 4, cm. Kulmat D ja ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat B ja DE ovat yhdensuuntaisia, D. Lisäksi kolmioissa BC ja DEC on molemmissa kulma C. kklauseen mukaan kolmiot BC ja DEC ovat yhdenmuotoiset. D C E B. Lasketaan vastinosien suhteet. 1 4, 16 1,8 4, , , cm Teemu 1 cm Tiina 4, cm 1,8 cm Vastaus: Suorakulmiot eivät ole yhdenmuotoisia. 16

17 Monikulmiot 4. Kolmiot BC ja DEC ovat yhdenmuotoiset kklauseen mukaan (perustelut tehtävän ratkaisussa). Janan DC pituus on 5a ja janan C pituus on 7a, missä a on kerroin (>0). Yhdenmuotoisilla kuvioilla vastinjanojen suhde on vakio, joten saadaan (5) D () C 7,8 cm E B 7, : 7 5, ,6(cm) Vastaus: 5,6 cm 5. a) Kolmiot BE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska molemmissa kulma E kulmat C ja samankohtaisina kulmina yhtä suuuret 4,0 m E,0 4 4,0,0 4, : 4 4,5 m C,0 m,0 m D B 17

18 Monikulmiot b) Kolmiot BE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska molemmissa kulma E kulmat C ja samankohtaisina kulmina yhtä suuuret : 5 18, 18 m E 1,0 m C D 5,0 m 7,0 m B Vastaus: a) 4,5 m b) 18 m 6. Kolmiot CD ja BE ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoisia: Molemmilla kolmioilla on yhteinen kantakulma Molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana. Tästä seuraa, että vastinsivujen suhteiden täytyy olla samat. E EB D DC 60 5, Vastaus: Keskipilarin korkeus on 11 m. 18

19 Monikulmiot 7. Piirretään mallikuvat. 15 cm =1,5 m 1,7 m Tiina 1,9 m Teemu Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska Kummassakin kolmiossa 90 :een kulma. urinko paistaa samassa kulmassa. Saadaan verranto 1,5 1,7 1,7 1,9,888 : 1,7 1, ,70 cm Vastaus: Teemun pituus on noin 170 cm. 19

20 Monikulmiot 8. uton lamppu (E) on 60 cm korkeudella maan pinnasta. Lampusta lähtevä valonsäde osuu maahan pisteessä B. E 5 cm C 60 cm 500 cm D B Valokiila laskee 5 m = 500 cm matkalla 5 cm. Kolmiot BE ja CDE ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska kummassakin kolmiossa on suorakulma, kummassakin kolmiossa on kulma E. Saadaan verranto = 6000 cm = 60 m cm Vastaus: Valot valaisevat 60 m päähän. 0

21 Monikulmiot 9. Merkitään neliön sivua kirjaimella. 00 C 00 - D E B 700 Kolmiot BC ja DEC ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska molemmissa on suorakulma, molemmissa on kulma C. Saadaan verranto : m Tontin pinta-ala 10 m m 441a Vastaus: Tontin ala on 441 a 1

22 Monikulmiot 0. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan verranto 1, 5,5 1,,0,6 1, 1,,0,0,0 5,5 11 8,4 : 1, 6, ,5 dm Vastaus: 6,5 dm 1. Kolmiot DE ja BC ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska molemmissa kulma, kulmat C ja E ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret. F D B b a 0 cm G 15 cm E 15 cm C Saadaan verranto a a 0 a cm : 0 0 cm

23 Monikulmiot Kolmiot FG ja BC ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska molemmissa kulma, kulmat C ja G ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret. Saadaan verranto b b 0 b 0 b : 0 cm Vastaus: a = 0 cm ja b = 40 cm. Kolmiot BE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska kulmat EB ja CED ovat ristikulmina yhtä suuret, kulmat D ja B ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret. Merkitään kysytyn sivun EC pituutta kirjaimella. Saadaan verranto D 1,0 cm C 4,5 8,0 8,0 1,0 58,5 : 8,0 7,1... 7, cm 4,5 cm E 8,0 cm B Vastaus: 7, cm

24 Monikulmiot. Lasketaan, mikä on lähin kohta lipputangon takana, johon Veera näkee. Merkitään tämän kohdan etäisyyttä lipputangosta kirjaimella. E D 6,5 m 4,5 m 5 m B C Kolmiot CE ja BCD ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska kulmat ja B ovat suoriakulmia, kulma C on yhteinen. Saadaan verranto 6,5 4,5 6,5 6,5 5 4,55 11,5 4,5 11,5 : 56,5 0 Vastaus: Veera ei näe lammikkoa. 4

25 Monikulmiot 1.4 Yhdenmuotoisuussuhde 4. Koska mittakaava on 1: 50, niin huoneen mitat ovat 7,6 50 cm 80 cm,8 m 5,8 50cm 90cm,9m Vastaus: Mitat ovat,8 m ja,9 m 5. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella. Saadaan yhtälö Mallipiirustuksessa Luonnossa (m) 4 6, : 4 10,5 11 (m) Vastaus: Pituus on 11 m 5

26 Monikulmiot 6. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella. Kartalla (m) Luonnossa (m) : , Polun pituus kartalla on 0,0 m = cm Vastaus: cm 7. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella. Saadaan yhtälö Kartalla (cm) Luonnossa (cm) 4, ,8 4, : 4,0 89 Patsaan pituus on 89 cm 90 cm Vastaus: 90 cm 6

27 Monikulmiot 8. Lasketaan ensin suurennoksen mittakaava. 5,0 km= cm (vastaa suurennoksessa 5 cm pituutta) Mittakaavaksi saadaan 5cm ( cm Tämä oli siis suurennettu alkuperäisestä 1,6 kertaiseksi. Merkitään alkuperäisen kartan mittakaavaa kirjaimella k. k 1,6 k 1 : 1, , Vastaus: Mittakaava on 000 7

28 Monikulmiot 9. Lasketaan matkan pituus luonnossa. Saadaan yhtälö Pituus kartalla (cm) Luonnossa (cm) ,0 5, :5, Matka on siis luonnossa cm (= 0 km) a) Pituus kartalla (cm) Luonnossa (cm) Saadaan yhtälö : , Pituus kartalla on siis 1, cm 1 cm 8

29 Monikulmiot b) Matka on 0 km ja auton nopeus 100 km/h. Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella t t t 100t 0 :100 (0 0 1 t ika on siis 1 1 h 60 min 1 min. 5 5 Vastaus: a) 1 cm b) 1 min 40. Merkitään suuremman kolmion alaa kirjaimella. Pintasuhteella saadaan,5 cm,0 10,0,5 cm 4,0 100,0 4,0 50,0 cm :4,0 50,0 cm 4,0 6,5 cm 6 cm Vastaus: 6 cm 9

30 Monikulmiot 41. Merkitään litran mehupullon alaa kirjaimella 1 ja kolmen litran kirjaimella Vastaus: Merkitään suurennoksen leveyttä kirjaimella. 4 mm 6 mm 15 cm Vastinsivujen suhteella saadaan yhtälö,6 cm, 4 cm 15 cm,6 6 cm :,6 10 cm Suurennoksen ala on siis 10cm 15cm 150cm. Vastaus: 150 cm 0

31 Monikulmiot 4. Merkitään kysyttyä korkeutta kirjaimella. Pintasuhteella saadaan yhtälö 8,0 m,5 15 m 8,0 m 6, 5 15 m 8,0 9,75 : 8,0 9,75 8,0 9,75 8,0,4... Koska >0, niin =,4 m,4 m Vastaus,4 m 1

32 Monikulmiot 44. Huoneiston ala on Esitteessä vastaava ala oli 96m cm 4 cm Mittakaava k saadaan pintasuhteella 6cm 4 cm. 4 k k k k 00 4 Koska k >0, niin k 1 00 Merkitään keittiön alaa luonnossa kirjaimella. la esitteessä (cm ) la luonnossa (m ), Saadaan yhtälö 4 88 : Vastaus: mittakaava, pinta-ala 1 m 00

33 Monikulmiot 45. Talon alkuperäiset mitat ovat 1,5 m ja 8,5 m. Pohjapiirros on piirretty mittakaavassa 1 : 50, joten talon mitat ja y pohjapiirroksessa ovat: Pituus pohjapiirroksessa (m) Pituus luonnossa (m) 1, Saadaan verranto 1 1,5 50 0,7 (m) Pituus pohjapiirroksessa (m) Pituus luonnossa (m) y 8, Saadaan verranto y 1 y 8,5 50 0,17 (m)

34 Monikulmiot a) Pohjapiirroksen mittoja 0,7 m ja 0,17 m pienennetään vielä kopiokoneella suhteessa : 5. Pidemmän sivun (0,7 m) pituus pienennetyssä kuvassa olkoon a. Saadaan verranto a 0,7 5a 5 0,54 a 0,108 : 5 ( m) Pidemmän sivun pituus on siis 0,108 m = 10,8 cm b) Pienennetyn pohjapiirroksen mittakaava on k 1,5 0,108 Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö eli alkuperäinen pienennös 1,5 0, Saadaan siis alkuperäinen 1565 pienennös. Kopiokoneella pienennetyn ja 1 alkuperäisen talon pinta-alojen suhde on siis

35 Monikulmiot 46. 4,0 km = cm. Mittakaava k 15cm cm a) Lasketaan lammen pituus luonnossa. Pituus kartalla (cm) Luonnossa (cm) ,6 6000cm 60 m Lammen leveys l luonnossa: Pituus kartalla (cm) Luonnossa (cm) ,8 l l 18000cm 180 m 5

36 Monikulmiot b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö eli todellinen kartalla todellinen ,68 ha kartalla,6 1,8 cm cm Vastaus: a) Lammen mitat 60m ja 180 m b) 4,68 ha 48. Kolmioiden kantakulmat ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret, joten kolmiot ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset. Kolmioiden vastinsivujen suhde on 5cm 5cm 4 cm 5 9 Tällöin alojen suhde on mittakaavan neliö eli 15,0 5 cm suurempi pienempi suurempi suurempi suurempi ,6 cm cm : 5 Vastaus: 48,6 cm 6

37 Monikulmiot 49. Pinta-ala esitteessä on esite 40 mm 5mm 1000 mm 10 cm Muutetaan luonnossa oleva pinta-ala samaan yksikköön esitteen pintaalan kanssa. 60 m cm luonto Pintasuhteella saadaan yhtälö mittakaavalle k. 10 k k Koska mittakaava k >0, niin 1 k. 600 Mitat luonnossa ovat siis 600 -kertaiset. 40 mm mm mm 4 m mm 15m Vastaus: Mittakaava on 1 k ja mitat ovat 4 m ja 15 m

38 Monikulmiot 1.5 Pythagoraan lause 50. a) Kolmio on suorakulmainen, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 6, 15,0 5,0 8,44 186,56 1, Koska >0, niin = 1,658 m 14 m. b) Kolmio on tasakylkinen, joten korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikkaan pituus on 1. Muodostuu kaksi samanlaista, suorakulmaista kolmiota, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 1 4, 1 4 5,7 5,7 4, ,48... Koska >0, niin 7,48... cm 7,5 cm 8

39 Monikulmiot 51. a) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. Kylkien pituus on. Erotetaan puolisuunnikkaasta suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan pituus on. Kannan pituus on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan korkeus eli 9,0 m. Merkitään toista kannan pituutta kirjaimella y. y 9,0 m Koska alkuperäinen kuvio on tasakylkine puolisuunnikas, niin 18,0 1,0 6,0 y,0. Pythagoraan lauseella saadaan 9,0,0 90 9, Koska >0, niin = 9,4868 m 9,5 m. b) Kuvio on neliö. Neliön lävistäjän pituus on 8, cm. Kun neliö jaetaan kahteen osaan lävistäjän mukaisesti, saadaan kaksi suorakulmaista kolmiota. Voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 8, 8,,6,6 5, Koska > 0, niin = 5,798 cm 5,8 cm. Vastaus: a) 9,5 m b) 5,8 cm 9

40 Monikulmiot 5. Merkitään tasakylkisen kolmion kannan puolikasta kirjaimella. Koko kannan pituus on siis. muutetaan pituudet samoiksi yksiköiksi (cm), joten 1,5 dm = 15 cm. Muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota. Voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 40 cm 1,5 dm 40 cm , Koska >0, niin =7,0809 cm. Kannan pituus on siis 7, cm 74, cm 74 cm Vastaus: Kanta on 74 cm. 40

41 Monikulmiot 5. Merkitään korkeutta kirjaimella h. Koska kolmio on tasasivuinen, niin kanta on myös, dm. Kannan puolikas = 1,15 dm. h, dm Korkeusjana jakaa tasasivuisen kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Voidaan soveltaa Pythagoraan lausetta. h h h, 1,15 =,, -1,15 h,9675 1, Koska h > 0, niin h = 1,99185 dm,0 dm Vastaus: Korkeus on,0 dm. 54. Merkitään tikkaiden pituutta kirjaimella. Muodostuu suorakulmainen kolmio, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 1,5 +,4 1,81 1,81=±, ,4 m 1,5 m Koska >0, niin =,71618 m,7 m Vastaus: Tikkaiden pituus on,7 m. 41

42 Monikulmiot 55. Piirretään tilannekuva. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella. Muodostuu suorakulmainen kolmio, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 6,1 m 15, m 6,1 m =9,1 m 6,1 9,1 9,1 6,1 45,6 45,6 6,75... Koska > 0, niin = 6,75 m 6,8 m Vastaus: 6,8 m 56. Piirretään tilannekuva. 6. porras ramppi 17 cm lattiataso 50 cm 1. porras Merkitään osaa rampista kirjaimella. Koko rampin pituus on 6. 4

43 Monikulmiot Pituus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta ,81... Koska >0, niin = 5,81 cm. Koko rampin pituus on siis 6 65,81...cm 16,86...cm 0cm Vastaus: Rampin pituus on 0 cm. 57. Merkitään polun pituutta kirjaimella. Sivujen pituudet on ensin muutettava samoiksi yksiköiksi. Kentän pituus on 0,7 km = 70 m 0,7 km 150m Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseen perusteella saadaan , Polun pituus on aina positiivinen, joten = 10 m. Vastaus: Polun pituus on 10 m. 4

44 Monikulmiot 58. Merkitään pidempää kateettia kirjaimella. Piirretään tilannekuva. Koska kolmio on suorakulmainen, Pythagoraan lauseella saadaan,0,0,0,0 6,0,0 9,0 9, 6,0 9, 9, 9,0 9, 0 77,49 0 -,0 cm 9, cm 6,0 6,0 6,0 tai 6,0 6,0 4 77,49 655,9 4 6,0 655, ,9 4 5, , , Koska > 0, niin = 7,907 cm 7,9 cm Lyhyempi kateetti on,0 cm = (7,907,0) cm = 4,907 cm 4,9 cm Vastaus: Lyhyempi kateetti 4,9 cm, pidempi kateetti 7,9 cm 44

45 Monikulmiot 59. Koska kateettien pituuksien suhde on :, niin merkitään kateetteja ja. Piirretään tilannekuva. 160 cm Pythagoraan lauseella saadaan ,76... Koska > 0, niin = 44,76 cm. Tällöin kolmion kateettien pituudet ovat: 44,76...cm 88,75...cm 44,76...cm 1,18...cm Vastaus: Kateetit ovat 89 cm ja 1 cm. 45

46 Monikulmiot 60. Hahmotellaan tilannekuva. Merkitään mökin kohtisuoraa etäisyyttä rannasta kirjaimella. Tilanteesta muodostuu tasasivuinen kolmio, koska kaikki kulmat ovat 60º.( Kolmion kulmien summa 180º.) mökki ,7 km Ratkaistaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. 0,7 km 0,5 0,7 0,7 0,675 0,5 0,7km 0,5km 0,675 0, Koska >0, niin = 0,606 km 0,6 km. Vastaus: Mökin etäisyys rannasta on 0,6 km. 46

47 Monikulmiot 61. Piirretään tilannekuva. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella. katto,5 m 4,0 m 6,5 m y lattia keskikohta Lasketaan ensin pituus y lattiatasoon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. 6,5 m, 5 m y,5,0 y 14,565, y 4,0 m =,0 m Koska y > 0, niin y =,816 m. Kysytty etäisyys saadaan toisesta suorakulmaisesta kolmiosta. y,5,816...,5 6,815 5, Koska > 0, niin = 5,178 m 5, m Vastaus: Matka on 5, m. 47

48 Monikulmiot 6. Piirretään tilannekuva. 18 cm= 1,8 m,75 m 76 cm = 0,76 m 5,5 m Merkitään lammikon syvyyttä kirjaimella. Tangon koko pituus on siis 1,8 m +. Tangon taittuessa pohjasta siten, että se ylettyy lammikon reunalle, muodostuu suorakulmainen kolmio. 1,8+ -0,76 Pythagoraan lauseella saadaan,75,75 7,565 7,565 18, 0, 76 1,07 1,07 1,07 7,5065 1,1449 1,07 7,5065 1,1449,14,14 6,4176 6,4176,14 1,07,998...,0 Vastaus: Lammikon syvyys on,0 m 48

49 Monikulmiot 6. Piirretään tilannekuva. 80 km tie, 150 km C B v juna 10 km h Lasketaan ensin puuttuva etäisyys eli etäisyys kaupungista C kaupunkiin B. Merkitään tätä kirjaimella. Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, koska pääilmansuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pythagoraan lauseella saadaan , Koska >0, niin = 16,885 km. ika, joka junalta kuluu kaupungista kaupunkiin B on 80 km km 10 h 16,885...km km 10 h 1, h aika matka nopeus 49

50 Monikulmiot ika, joka autolta kuluu kaupungista kaupunkiin B on 150km km 100 h 1,5h Koska 1,5 h < 1,5914 h, niin auto on ensin perillä. Vastaus: uto on ensin perillä. 64. Merkitään koilliseen purjehdittua matkaa kirjaimella. Tilanteesta saadaan kuvio:,5 L P Ko I Lähtö 18 km E Ka Maali 50

51 Monikulmiot Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseella saadaan,5 1,5 1, ,5 4 1,5 4, Koska > 0, niin = 4,94498 km. Etappi kokonaisuudessaan on,5 4, km,5 4, km,54...km km Vastaus: Etappi oli km. 51

52 Monikulmiot 65. a) Sisällä olevan neliön kärki puolittaa ulomman neliön sivun. Muodostuu suorakulmaisia kolmioita ,5 1,5 1,5 1,5 4,5,5 cm 4,5 4, Koska > 0, niin = 4,9497 cm 4,9 cm b)tasakylkisen kolmion korkeusjana (8 m) puolittaa kannan, jolloin saadaan suorakulmainen kolmio: 8, , Koska > 0, niin = 10 m. 8,0 m 1,0 m 6,0 m Vastaus: a) 4,9 cm b) 10 m 5

53 Monikulmiot 66. Piirretään tilannekuva. Merkitään lävistäjää kirjaimella. Suorakulmion sisälle muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseella saadaan , ,57 m = 57 cm 7 cm Koska > 0, niin = 6,071 cm 6 cm Vastaus: 6 cm 5

54 Monikulmiot 67. Piirretään tilannekuva. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella. 160 cm =1,6 m 18 m 1,6 m =16,4 m Muodostuu suorakulmainen kolmio, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta. 1,6 16,4 16,4 1,6 66,4 66,4 16,17... Koska > 0, niin = 16,17 m 16, m Vastaus: 16, m 68. Piirretään tilannekuva. Merkitään lyhintä matkaa rannalta huipulle kirjaimella. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikas on siis 1, km 0,6km 0,6 km 450 m = 0,45 km 54

55 Monikulmiot Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseella saadaan 0,6 0,45 0,565 0,565 0,75 Koska >0, niin = 0,75 km. Tutkijan (kiipeilijän) keskinopeus on km 0,8, joten matka huipulle kestää h 0,75 km km 0,8 h 0,975 h aika matka nopeus 0, min=56,5 min 56 min Vastaus: 56 min 55

56 Monikulmiot 69. Piirretään tilannekuva rakennuslevyn palasta. Pala on tasakylkinen puolisuunnikas. Puolisuunnikkaan korkeus on 0,75 m, kyljet ovat 5 ja muut sivut 6 ja. Suorakulmio muodostuu levyn keskelle Suorakulmion kaksi yhdensuuntaista sivua ovat yhtä suuret kuin puolisuunnikkaan sivu ,75 m 5 Toiset keskenään yhtä suuret sivut ovat yhtä suuret kuin puolisuunnikkaan korkeus 0,75 m. Lävistäjä jakaa suorakulmion kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Pythagoraan lauseella saadaan 6 4 0,75 5 0,75 4 0, ,75 4 0,75 1 0, , , ,75 m Koska > 0, niin = 0,1666 m. Tällöin suorakulmion kahden sivun pituudet ovat 0, m 0,7...m 0, m Vastaus: Sivut ovat 0, m ja 0,75 m. 56

57 Monikulmiot 1.6 Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa 7, 70. a) tan,60...,05 67, b) sin 0, , Vastaus: a) 67 b) a) tan 9 1, 1, 1, tan 9 9, cm 57

58 Monikulmiot 8,5 b) cos 75 cos 75 8,5 : cos75 8,5 cos75,841 mm Vastaus: a) 10 cm b) mm 7. a) cos,1 0,75,8 41, b),5 tan 46 tan 46,5 : tan 46,5,414...,4 tan 46 Vastaus: a) 41 b),4 cm 58

59 Monikulmiot 7. Merkitään kolmion kulmia α ja β. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 5 tan 0, , ,5 48 cm 5 cm 48 tan 1,9 5 6, ,5 Vastaus: Kulmat ovat 7,5 ; 6,5 ja a) Suunnikkaan sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h sin sin 6 h h 9,71... h 9,7 cm 59

60 Monikulmiot b) Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, san erisuuntaiset sivut ovat yhtä pitkät. Puolisuunnikkaan sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h cos 5 1,1 1,1 1,1 cos 5 h h 0, h 0,9 m h 1,1 m = 5 Vastaus: a) 9,7 cm b) 0,9 m 75. Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60. Merkitään kolmion sivua kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 sin 60 sin sin 60 : sin 60 15, cm 1 cm 60 Vastaus: 15 cm 60

61 Monikulmiot 76. Tarkastellaan ensin suurempaa suorakulmaista kolmiota. tan tan 55 Ratkaistaan kulma α pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta mm sin 7 18 tan , , α 7 mm Vastaus: 7 61

62 Monikulmiot 77. Tarkastellaan kolmion sisälle muodostuvia suorakulmaisia kolmioita erikseen. Ratkaistaan molemmista kolmioista korkeus h. h sin b b h b sin α b h h sin a a h a sin b β a Korkeus h on sama molemmissa kolmioissa, joten saadaan yhtälö a sin b sin : b a sin b sin b b a sin sin : sin b a sin sin b sin sin a sin b sin 6

63 Monikulmiot 78. a sin b sin 14 sin 8,4 sin 66 : 14 8,4 sin 66 sin 14 sin 0,548...,... Vastaus: 79. a sin b sin sin 54,5 sin 48 : sin 54,5 sin 48 sin 54, ,16 m Vastaus:,16 m 6

64 Monikulmiot 80. a) Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta ja hypotenuusan pituutta 5. sin 5 1 sin 5 11, ,5 5 Tällöin ( 90 11,56...) 78,5 b) Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta ja pidemmän kateetin pituutta 4. tan tan 4 4 6, ,9 4 Tällöin ( 90 6,869...) 5,1 64

65 Monikulmiot 81. Piirretään tilannekuva. Merkitään toisen kateetin pituutta kirjaimella y ja hypotenuusan pituutta kirjaimella. sin5 1, 1, sin5,89...,8 1, dm y 5 tan5 y 1, y 1, tan5,57...,6 Vastaus: Kateetin pituus on,6 dm, hypotenuusan pituus,8 dm. 8. Merkitään tasakylkisen kolmion kyljen pituutta ja kantakulmaa α. Korkeusjana puolittaa huippukulman, joten 4 huippukulman puolikas on 17. Kantakulma on mm 17 65

66 Monikulmiot Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos7 9, josta 9 0, mm cos7 Vastaus: kantakulmat 7, kylkien pituudet 1 mm 8. Koska tasasivuisen kolmion piiri on 4,0 cm, sivun pituus on 8,00 cm ja kaikki kulmat ovat 60. Korkeusjana jakaa tasasivuisen kolmion kahteen suorakulmaiseen kolmioon. 8,00 cm 60 h h sin 60 8,00 8,00 h 8,00 sin 60 h 6,98... h 6,9 Vastaus: 6,9 cm 66

67 Monikulmiot 84. Piirretään tilannekuva. Merkitään puun korkeutta kirjaimella. tan 18 m 18 m tan 7,640...m 7,6m 18 m Vastaus: 7,6 m 85. Piirretään tilannekuva. Merkitään, että vesi nousee metrin päähän rantaviivasta tulvan vaikutuksesta. mökki 1,60 m 1,60 m 1 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin1 1,60 1,60 sin1 91, m 67

68 Monikulmiot Koska mökki on vain 50 m päässä rannasta ja 9 m >50 m, tulva nousee mökille asti. Vastaus: Vesi nousee mökille asti. 86. Piirretään tilannekuva. Merkitään katon kaltevuuskulmaa α. Korkeusjana puolittaa kannan, jolloin kannan puolikas on siis 8,6m 4,m Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan 8,6 m 1,8 m α 4, m 1,8 tan 4,,71... Vastaus: 68

69 Monikulmiot 87. Piirretään tilannekuva sillan puolikkaasta. Merkitään kallistuskulmaa α. m Sillan puolikkaan pituus on 16 m. Nostettavan osan pituus on 0, 16 m = 4,8 m. Vaakatasoon jää sillan puolikkaasta siis 16 m 4,8 m= 11, m. 11, m 4,8 m (16-1) m = 4 m Sillan korkeus on 1 m ja avattuna sillan korkein kohta on 16 m korkeudessa. Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan laskettua kallistuskulma sin 4 4,8 56, Vastaus: 56 69

70 Monikulmiot 88. Piirretään tilannekuva. Merkitään huipulle kuljettavan matkan pituutta. Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan 160 m sin6,1 160 m 160 m sin6,1 1505,68...m aika matka nopeus 1, km km h 0, h 4 min Vastaus: 4 min 70

71 Monikulmiot 89. a) Piirretään tilannekuva. Muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on 110. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman, joten huippukulman 110 puolikas on 55. Selkeyden kannalta merkitään laivojen välistä etäisyyttä, jolloin kolmion kannan puolikas on siis. 8,5 km 55 8,5 km Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin55 8,5 8,5 sin55 6, eli etäisyys on = 6,967 km 14 km b) 5 minuutin aikana laiva kulkee km 5 km 5min 65 h 65 5, km h 60 h Uusi etäisyys majakkaan on (8,5 5,4166 )km =,08 km. 71

72 Monikulmiot Merkitään laivojen välistä etäisyyttä nyt y. y y,08 km 55,08 km Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan nyt sin55 y,08...,08sin55, Etäisyys siis on =,557 km 5,1 km Vastaus: a) 14 km b) 5,1 km 7

73 Monikulmiot 90. Piirretään tilannekuva. Merkitään kallion ja tornin yhteen laskettua korkeutta ja kallion korkeutta y. y Muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota. 14 0,0 km= 00 m Suuremmasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan tan16 86,0... Pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan14 y tan14 74, Tornin korkeus on tällöin y = (86,0 74,798 )m 11 m. Vastaus: 11m 7

74 Monikulmiot 91. Pisteet ja B voivat sijaita joko samalla puolella tornia tai tornin eri puolilla. Tapaus 1 (samalla puolella): Menkitään pisteiden välimatkaa y ja pisteen B etäisyyttä tornista kirjaimella. 100 m 4 B y Pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan4 tan : tan tan4 140,066...(m) Suuremmasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan( tan 100 y ( y) y) 100 : tan 100 y tan y 1908,11... (m) 74

75 Monikulmiot Siis pisteiden ja B välimatka eli y on y 1908,11...m 1908,11...m 140,066...m 478,04...m 478 m Tapaus (eri puolilla): Merkitään pisteen etäisyyttä tornista y ja pisteen B etäisyyttä tornista. 100 m y 4 B Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan etäisyyksille ja y tan tan y y y 100 y y 100 : tan 100 tan 1908,11... (m) tan4 tan : tan tan4 140,066...(m) 75

76 Monikulmiot Pisteiden välinen etäisyys on y 1908,11...m 140,066...m 8,18...m 40 m Vastaus: 478 m tai 40 m 9. Kolmion sisään muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan 1,5 m 5,5 m 7,5 m sin 5,5 1,5 4, sin 5,5 7,5 47, Vastaus: α = 4, β = 47 76

77 Monikulmiot 9. Piirretään tilannekuva. Merkitään maston korkeutta m Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan tan1, m Vastaus: 0 m 94. Piirretään tilannekuva. Tornin korkeus on 55 m. Olkoon torni kallistunut astetta. Kallistuma on 4, m. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 4, m 55 m sin 4, 55 4, ,5 Vastaus: 4,5 77

78 Monikulmiot 95. Piirretään tilannekuva. Kadun leveys on 15 m. Katu kulkee itälänsisuunnassa. Olkoon korkeus, johon auringonsäteet osuvat. urinko paistaa etelästä 40 kulmassa. Länsi 18 m m Etelä Itä Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan tan tan tan40 5, ,4 m Koska ikkuna on vain 4,0 m korkeudella, eivät auringonsäteet osu siihen. (4,0 m < 5,4 m) Vastaus: Eivät osu. 78

79 Monikulmiot 96. Piirretään tilannekuva. h Merkitään majakan korkeutta kirjaimella h. 50 m Olkoon veneen etäisyys majakasta lopussa ja alussa Muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joista voidaan ratkaista korkeus h. Suuremmasta kolmiosta saadaan tan h h ( 50) tan Pienemmästä kolmiosta saadaan h tan h tan 79

80 Monikulmiot Majakan korkeus on yhtä suuri molemmissa tapauksissa, joten saadaan yhtälö tan tan tan 50 tan 50tan - tan tan tan tan 50tan 50tan 50tan tan tan 499, m Majakan korkeus on siis h tan 499,8... tan 6, m Vastaus: etäisyys 500m, majakan korkeus 6 m 80

81 Monikulmiot 1.7 Pinta-aloja 97. a) Lasketaan ensi suunnikkaan korkeus h. h sin4 10,5 10,5 h 10,5 sin4 h 7,05... (cm) 10,5 cm 4º h la on... 8,0cm 7,05...cm 196, 74 cm 197cm b) Lasketaan ensi suunnikkaan korkeus h. h sin 55 15,0 15,0 h 15,0 sin 55 h 1,87... (cm) h 180º-15º=55º 15,0 cm la on 8,0 cm 1,87...cm 98,98...cm 98cm Vastaus: a) 197 cm b) 98 cm 81

82 Monikulmiot 98. a) Selvitetään ensi suorakulmaisen kolmion kanta. Merkitään kantaa kirjaimella. 4,1 8, 8, 4,1 4,1 cm 8, cm 5,08 5,08 7, Koska >0, niin =7,166 cm Pinta-alaksi siis saadaan 7,166...cm 4,1cm 14, cm 15cm b) Lasketaan ensin kolmion korkeus h. Kulma Korkeus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. h sin 16 h sin70 16 h 16sin70 h 15,05... (cm) h 16 cm α cm 8

83 Monikulmiot Kolmion ala on 1cm 15,05...cm 97,780...cm 98cm Vastaus: a) 15 cm b) 98 cm 99. a) Lasketaan ensin kolmion korkeus. Merkitään korkeutta kirjaimella. 1 mm 1 mm Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikas on 14 mm 7mm. 14 mm Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseella Koska > 0, niin 95 9,

84 Monikulmiot Pinta-alaksi saadaan 14 mm 9, mm 68,756...mm 68 mm b) Lasketaan ensin kolmion kannan pituus + y. Pituus saadaan suorakulmaisesta kolmiosta. 15 tan6 tan tan6 :tan6 7, º 15 m 75º y Pituus y saadaan toisesta suorakulmaisesta kolmiosta. tan75 y tan75 y 15 y 15 : 15 tan75 y tan75 4, Koko kanta siis on y 7, m 4,019...m 11, m 84

85 Monikulmiot Pinta-alaksi saadaan 11, m 15 m 89,817...m 90 m Vastaus: a) 68 mm b) 90 m 100. Piirretään tilannekuva ojan poikkileikkauksesta. Puolisuunnikkaan ala on,5 m 50 cm= 0,5 m 0,5m (,5 m 0,8 m) 0,5m,m 0,85 m 0,8m 80 cm= 0,8 m Vastaus: 0,8 m 85

86 Monikulmiot 101. Lasketaan kolmion korkeus h. Pythagoraan lauseella saadaan h 5 m h 19 5 h m h 64 h 64 Koska h > 0, niin h 64 m=16,48 m Kolmion ala on 16,48...m 19 m 154,567...m 150 m Vastaus: 150 m 86

87 Monikulmiot 10. a) Lasketaan ensin puolisuunnikkaan korkeus h. h sin h 8 sin55 h,96...(cm) 8 cm 55º h la on,96...cm 4cm 17cm 676,619...cm 680 cm b) Lasketaan ensin puolisuunnikkaan korkeus h. h tan55 4,0 4,0 h 4,0 tan55 h 5, (cm) h 55º 1,0 cm 8,0 cm =4,0 cm la on 5,715...cm (8,0 cm 1,0 cm) 57,159...cm 57cm Vastaus: a) 680 cm b) 57 cm 87

88 Monikulmiot 10. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. 8 cm Kanna puolikas on 14 cm. 8 cm h 8 cm Lasketaan kolmion korkeus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella 8 cm h 14 h h h , Koska h >0, niin h 4, cm. Pinta-ala on 8 cm 4,487...cm 9, cm 40 cm Vastaus: 40 cm 88

89 Monikulmiot 104. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman. Merkitään kannan puolikkaan pituutta kirjaimella. Huippukulman puolikas 115 on 57,5. 18 cm 115º Lasketaan aluksi kannan puolikas muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta. 18 cm 57,5º tan57, tan57,5 8,54...(cm) Koko kannan pituus on siis 8,54...cm 56, cm. Kolmion ala on 56,508...cm 18cm 508,578...cm 510 cm Vastaus: 510 cm 89

90 Monikulmiot 105. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. 5,0cm Kannan puolikas on,5cm. 45º 5,0 cm 45º Merkitään korkeusjanan pituutta h. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h tan45,5 h,5 tan45 h,5 h 45º,5 cm la on siis 5,0cm,5cm 6,5 cm 6,cm Vastaus: 6, cm 90

91 Monikulmiot 106. Merkitään tasakylkisen kolmion kantaa kirjaimella. Kannan pituus on yhtä suuri kuin neliön sivun pituus. Tasakylkisen kolmion korkeusjanan pituus on yhtä suuri kuin neliön sivun pituus. 1 m Korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikkaan pituus on. 1 m Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseella :5 115, 115, 10,71... Koska > 0, niin 10,7.... m 91

92 Monikulmiot Neliön ala on 10,7...m 10,7... m 115, m 10 m Vastaus: 10 m 107. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa ja ne puolittavat kulmat. Muodostuu suorakulmainen kolmio, joka tunnettu 65 kulma on,5. 65º dm Merkitään neljäkkään toisen lävistäjän puolikasta kirjaimella ja toisen puolikasta kirjaimella h. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan pituus. sin,5 sin,5 1,57...(dm),5º dm h 9

93 Monikulmiot Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan pituus h. h cos,5 h cos,5 h 19,98...(dm) Lävistäjä jakaa neljäkkään (leijan) kahteen tasakylkiseen kolmioon. Tasakylkisen kolmion korkeus h 19,98 dm ja kannan pituus on 1,57...dm 4, dm. Kolmion ala on 4,715...dm 19,98...dm 9, dm Koska neljäkäs (leija) sisältää kaksi samanlaista kolmiota, on neljäkkään ala 9, dm 479,468...dm 480 dm Vastaus: Leijan ala on 480 dm. 9

94 Monikulmiot 108. Kolmion ala kanta korkeus Merkitään kysyttyä kannan pituutta kirjaimella (m ) : 18 6,... 6, Vastaus: Kanta on 6, m Kolmion ala kanta korkeus Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella. Tällöin kannan pituus on (dm : , ) 94

95 Monikulmiot Koska >0, niin 6 dm 5,099...dm 5,1dm. Tällöin dm 5,495...dm 5dm Vastaus: Kanta on 5 dm ja korkeus 5,1 dm Merkitään korkeutta kirjaimella. Kannan pituus on tällöin 5,0 cm. korkeus eli kateetti 5,0 cm kanta eli kateetti Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja korkeus. (cm 5,0 5,0 66 5, ,0 ) 5,0 89 5,0 17 5,

96 Monikulmiot 5, tai 5, Koska > 0, niin 11 (cm). Tällöin lyhyempi kateetti on 5,0 11 5,0 6, 0 (cm). Vastaus: Kateetit ovat 6,0 cm ja 11 cm Olkoot sivujen pituudet ja y. Piirin pituus on y 6 (cm). la on y 40 (cm ) y Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä toinen kirjan ja sijoitetaan se jälkimmäiseen yhtälöön. 6 y 1 y : Sijoitetaan tämä jälkimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan 96

97 Monikulmiot 1 y y 40 1 y y 40 y 1 y 40 0 y y 1 5 tai y 1 8 Jos y = 5 (cm), niin = 1 y = 1 5 = 8 (cm) Jos y = 8 (cm), niin = 1 8 = 5 (cm). Vastaus: Sivut ovat 5,0 cm ja 8,0 cm. 97

98 Monikulmiot 11. B = 10,0 cm DC = 7,0 cm D = BC = 4,1 cm 10,0 cm 7,0 cm E 1,5cm B Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella h. h D 7,0 cm C Tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeusjana rajaa puolisuunnikkaan sisään suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituudet ovat h ja 1,5 cm. Hypotenuusan pituus on puolisuunnikkaan kyljen pituus eli 4,1 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan ratkaistua h Pythagoraan lauseella h 1,5 h h h 4,1 4,1 1,5 14,56 14,56, Koska h >0, niin h =,8157 (cm). Puolisuunnikkaan ala on, cm (10,0 cm 7,0 cm),49...cm,4 cm Vastaus:,4 cm 98

99 Monikulmiot 11. Merkitään puolisuunnikkaan toisen yhdensuuntaisen sivun pituutta kirjaimella. Toisen sivun pituus on tällöin + m Puolisuunnikkaan korkeus on 6m. la on 4 m, joten saadaan yhtälö + m 6 m : 1 Sivujen pituudet ovat siis = m ja + m= m + m=5 m Vastaus: Sivut ovat m ja 5 m. 99

100 Monikulmiot 114. Lasketaan suunnikkaan korkeus h, kun tiedetään, että ala on 96. 1h 96 : 1 96 h 1 h 8 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 8 cos 10 6, β 8 α h 1 8 sin 10 5,10... Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat aina yhtä suuret. Kaksi suunnikkaan vastakkaista kulmaa ovat suuruudeltaan α = 5,10 5 Toiset kaksi vastakkaista kulmaa ovat , , Vastaus: Kaksi vastakkaista kulmaa 5 ja toiset kaksi vastakkaista kulmaa

101 Monikulmiot 115. Piirretään tilannekuva. Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella. Koska kulma on 90, niin kulma D on 90. Koska kulma B on 45, suorakulmainen kolmio EBC on tasakylkinen, joten jana EB =. Pythagoraan lauseella saadaan a a a a a a a a a a a a a = 4 14 a a a C D E B 45 a 4a 101

102 Monikulmiot a a a a a a Koska >0, niin a a Puolisuunnikkaan ala on nelikulmion ECD ala + kolmion EBC ala. ( ) a a a a a a a a a a a a Vastaus: la on 4, a a. 10

103 Monikulmiot 116. Suuremman kolmion kateettien pituudet ovat 1,9 km ja 900 m = 0,9 km. Koko maapalan (suuremman kolmion) ala on 1,9km 0,9km koko 0,855km. Väinön saama osuus on pienempi kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 00 m = 0, km ja 500 m = 0,5 km. Väinön saaman alueen ala on 0,5km 0,km Väinö 0,075km. Pekan ala on siis koko Väinö 0,855 km 0,78 km 0,075km Väinön alan suhde Pekan alaan on Väinö Pekka 0,075 km 0,78 km 0, Väinön osuus on siis pienempi Vastaus: 90 % (100 9,615 ) % = 90,846 % 90 %. 10

104 Monikulmiot 117. a) Suunnikkaan pinta-ala on 7,0cm 6,0cm 4 cm b) Puolisuunnikkaan pinta-ala on 4,0 cm(8,0 cm 10,0 cm) 4,0cm 18,0 cm 6cm Vastaus: a) 4 cm b) 6 cm 118. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella h. Lasketaan korkeus muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta. Pinta-ala on siis h sin5,6,6 h,6 sin5 h 1,491...(cm),6 cm 5º h 5,8cm 5,8cm 1,419...cm 4,47...cm 4,cm Vastaus: 4, cm 104

105 Monikulmiot 119. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella. Tällöin kannan pituus on. Kolmion ala on 7,0 cm, joten saadaan 7,0 54,0 108,0 108,0 10,9... Koska >0, niin = 10,9 (cm) Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikas on. 4 Korkeusjanan jakaa tasakylkisen kolmion kahteen suorakulmaiseen kolmioon. 4 c 108,0 Jos 108,0 10,9... (cm), niin, (cm) Lasketaan kolmion hypotenuusa c, joka on sama kuin alkuperäisen kolmion kyljen pituus. 105

106 Monikulmiot Pythagoraan lauseella saadaan suorakulmaisesta kolmiosta c c c c 4 10,9..., ,75 114,75 10, Koska c > 0, niin c = 10,711 (cm) Kylkien pituudet siis ovat c = 10,711 cm 10,7 cm. Kannan pituus on 108,0 cm 5, cm 5,0cm. Vastaus: Kanta on 5,0 cm ja kyljet 10,7 cm. 106

107 Monikulmiot 10. Merkitään korkeutta kirjaimella (m). Tällöin kantaa kuvaa lauseke 6,0 (m). Suorakulmion pinta-ala on 16 m, joten saadaan yhtälö 6,0 ( 6,0) 16 6, ,0 ( 6,0) 4 1( 16) 6, ,0 0 18,0 tai 1,0 Koska > 0, niin = 18 m Jos = 18,0 m, niin 6,0 m = 18,0 m 6,0 m =1 m. Vastaus: Sivut ovat 18 m ja 1 m. 107

108 Monikulmiot 11. Olkoon neliön muotoisen tontin sivun pituus a. Talon pidempi sivu on tällöin a ja lyhyempi a Talon pohja pinta-ala (suorakulmion ala) on a a a. 6 Pihan ala on tällöin piha a koko tontti a a talo Pihan ala on 400 m, joten 5 a 6 5a a : 5 Koska neliön muotoisen tontin sivun pituus oli a, niin tontin ala on siis a =480 (m ) Vastaus: Tontin ala on 480 m. 108

109 Ympyrä.1 Kehän pituus ja ala 1. a) p r,4 mm 15, mm 15 mm b) p d 15cm 47,1...cm 47cm c) p r a) r p : p r Kun p= 86 m, niin r 86m 1,687...m 14 m b) r p Kun p = 1,5 cm, niin r 1,5cm 0,87...cm 0,4 cm 109

110 Ympyrä 14. a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella. Tämä on sama kuin ympyrän halkaisija. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseella 6,4 m 6,4 40,96 : 0,48 0,48 4, Koska > 0, niin =4,5548 (m) Ympyrän kehän pituus on siis p 4, m 14,... m 14 m b) Koska kolmio on tasasivuinen, on sen kulmat 60. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman. 1 cm r 4 cm 110

111 Ympyrä Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan r tan r 1 tan 0 r 6,98... (cm) r 1 0 Ympyrän kehän pituus on siis p 6,98...cm 4,51...cm 44 cm Vastaus: a) 14 m b) 44 cm 111

112 Ympyrä 15. Merkitään napakympin sädettä kirjaimella. Napakympin halkaisija on siis. Tikkataulun säde on r 9 1,. Ulkoreunan pituus on 74,1 cm, joten saadaan yhtälö r 74,1 (9 1, ) 74,1 (10,8 ) 74,1 1,6 74,1 74,1 1,6 : 74,1 1,6 1,986...,0 Vastaus: Napakympin halkaisija on,0 cm. 11

113 Ympyrä 16. Päädyissä olevat puoliympyrät muodostava yhdessä kokonaisen ympyrän, jonka piirin pituus on p Keskellä oleva neliö vie hihnaa d. d. d d d d Koska hihnan pituus on,8 m, niin saadaan siis yhtälö d d,8 ( ) d,8 : ( ) d,8 0, ,54 (m) Vastaus: Telan pohjaympyrän halkaisija on 0,54 m. 17. Merkitään Satelliitti :n radan säteen pituutta kirjaimella ja satelliittien korkeuseroa kirjaimella h. Maa Satelliitti B:n radan säteen pituus on siis + h. Satelliitti B:n radan pituus on ( h). p B Satelliitti B Satelliitti Satelliitti :n radan pituus on p 11

114 Ympyrä Ratojen ero on 150 km, joten saadaan yhtälö p B p h h h ( : h) , (km) Vastaus: Korkeusero on 4 km. 18. Merkitään ikkunan leveyttä eli ikkunan yllä olevan puoliympyrän halkaisijan pituutta kirjaimella. Puoliympyrän säde on siis. Ikkunan korkeus on kaksi kertaa niin suuri kuin leveys eli. Ikkunan piirin pituus on 6, m, joten , 6, 1,4 (10 ) 1,4 : (10 ) 1,4 0, (m) 114

115 Ympyrä Ikkunan leveys on siis = 0,945 m 0,94 m. Ikkunan korkeus on 0,945...m 0, m,589...m,4 m Vastaus: Ikkunan leveys on 94 cm ja korkeus,4 m. 19. Piirretään tilannekuva. ylhäältä sivulta 60 cm r 60 cm r 60 cm Ympyrän kehän pituus on sama kuin vyötärön mitta 60 cm. r 60 : 60 r 9, (cm) 115

116 Ympyrä Ulomman ympyrärenkaan säde on r 60cm 69, cm. Ympyrärenkaan saa leikatuksi kankaasta, jonka leveys on vähintään sama kuin ulomman ympyrän halkaisija 69,549...cm 19, cm 140 cm r 60 cm Kankaan leveyden pitää olla siis vähintään 140 cm. Vastaus: 140 cm 10. Ympyrän pinta-ala r. a) 4 mm 5541,7...mm 5500 mm 55cm,1m b) r 1,55m 1,55m 7,547...m 7,5m c) 5a 5a 78,5... a Vastaus: a) 55 cm b) 7,5 m c) 5 a 116

117 Ympyrä 11. Ympyrän ala on r. 1 m a) Halkaisija d= 1 m eli säde r = 6 m. ( 6 m) 11, m 110 m b) Kehän pituus p= r 150 cm, joten r 150 : 150 r,87... Pinta-ala (,87...cm) 1790,49...cm 0, m Vastaus: a) 110 m b) 0, m 1. Lasketaan pinta-alan avulla säteen pituus. r a) Pinta-ala on 144 mm eli r r r r 144 : , ,77 mm 117

118 b) 16 ha = 1600 a = m Ympyrä r r r r : , m Vastaus: a) 6,77 mm b) 0 m 1. Merkitään pöydän kannen sädettä kirjaimella r. Levyn leveys on siis r ja pituus 4r. Yhden kannen eli ympyrän ala on,0 m eli r r r r r,0 :,0,0 0, (m) 4r Koska r >0, niin r = 0,79788 m 118

119 Ympyrä Pöydän kansien eli kahden ympyrän ala on pöydät r m 4m. Levyn ala on levy 0, m 5, m 4r r 8r 8 Hukkaan mennyt ala on levy pöydät 5,099...m 4m 1,099...m 1,1 m Hukkaan mennyt ala prosentteina levy 1, m 5,099...m 0, ,46...% 1% Vastaus: 1,1 m eli 1 % 119

120 Ympyrä 14. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Suorakulmion sivut ovat tällöin r ja 4r. r r suorakulmio r 4r 8 r 4r ympyrät r Ympyröiden ala on suorakulmion alasta prosentteina ympyrät suorakulmio r 8r 1 0, % Vastaus: Ympyröiden ala on 79 % suorakulmion alasta. 10

121 Ympyrä 160 m 15. Hallin halkaisija d = 160 m, joten hallin säde r 80 m. Koko hallin pinta-ala 80 m 0106,19...m 10 % kuluu ajoreittiehin, joten pysäköintitilaa on 90 % hallin pinta-alasta eli pysäköinti 0,9 0,9 0106,19... m 18095,57... m Yksi auto vie tilaa 6,0 m, joten halliin mahtuu autoja p ysäköinti 6,0 m 18095,57...m 6,0 m 015,9... kpl Vastaus: utoja mahtuu 016 kpl. 11

122 Ympyrä 1cm 16. Ympyrän halkaisija on 1 cm, joten ympyrän säde r 6cm. puoliympyrät 1 r 6cm 11, cm neliö 1 cm 1 cm 144 cm Tapa 1: Lasketaan kuinka monta prosenttia puoliympyröiden ala on neliön alasta. puoliympyrät neliö 11,097...cm 144 cm 0, ,5...% Väritetty ala on neliön alasta prosentteina 100 % 78,5 % = 1,46 % 1 % Tapa : Lasketaan ensin väritetyn alueen pinta-ala. väritetty neliö 144 cm 0,90...cm puoliympyrät 1,097...cm 1

123 Ympyrä Väritetty ala on neliön alasta prosentteina väritetty neliö 0,90...cm 144 cm 0, % Vastaus: 1% 17. Piirretään tilannekuva. Nosturin saavuttama alue koostuu suorakulmiosta ja sen päissä olevista puoliympyröistä. 40 m kiskot 0 m 0 m 0 m Suorakulmion ala 1 0 m 40 m 100 m Puoliympyröiden ala 1 0 m 0 m 156,6... m Nosturin saavuttama alue m 156,6...m 456,6...m 460 m Vastaus: 460 m 1

124 Ympyrä 18. Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Säännöllinen viisikulmio voidaan jakaa viiteen tasakylkiseen kolmioon, 60 joiden huippukulman suuruus on 7. Kolmion korkeus on 5 ympyrän säde r. Korkeusjana puolittaa kolmion huippukulman ja kannan. 7 10cm Huippukulman puolikas on 6 ja kannan puolikas 5cm. 7 7 r 5 cm r 10 cm 10 cm Korkeusjana r jakaa tasakylkisen kolmion kahteen suorakulmaiseen kolmioon. r 5 tan 6 r r tan 6 5 : tan 6 5 r 6, (cm) tan 6 r 6 5 cm 14

125 Ympyrä a) Ympyrän kehän pituus on siis p r 6, cm 4,40...cm 4 cm b) Ympyrän pinta-ala on siis r ( 6, cm) 148,78...cm 1dm Vastaus: a) 4 cm b) 1 dm 19. a) Ympyrän säde r = 5,7 cm Kehän pituus p r 5,7cm 5, cm 5,8 cm Pinta-ala on r ( 5,7 cm) 10,070...cm 10cm 18, b) Ympyrän halkaisija d = 18, cm, joten säde r cm 9,15cm Kehän pituus p r 9,15 cm 57, cm 57,5cm Pinta-ala on r ( 9,15 cm) 6,01...cm 6cm Vastaus: a) 5,8 cm, 10 cm b) 57,5 cm, 6 cm 15

126 Ympyrä 140. Merkitään lammen säteen pituutta kirjaimella r. Maikki ui matkan, joka on lammen halkaisija d= r. Lammen ympärysmitta on 6,4 km, joten saadaan r 6,4 : r r 6,4 d, (m) Uintinopeus on,5 km/h, joten aikaa Maikilta kuluu, ,5 t,5t, t, ,5 t :,5 0, (h) nopeus matka aika ika minuutteina on 0, min 4,9... min 5 min Vastaus: 5 min 16

127 Ympyrä 141. Neliön ala neliö 68cm Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella ja ympyrän sädettä kirjaimella r. r Ratkaistaan neliön sivun pituus neliön alan avulla ,46...(cm) Kuvion mukaan ympyrän säde r on puolet neliön sivun pituudesta eli r 68 4,1...(cm) Ympyrän ala on siis ympyrä r 4,1...cm 5, cm Valkoiseksi jäävä pinta-ala saadaan, kun neliön pinta-alasta vähennetään ympyrän pinta-ala. Vastaus: 15 cm valkoinen neliö 68cm 15cm 14,59...cm ympyrä 5,407...cm 17

128 Ympyrä 14. Piirretään mallikuva. Konserttitalon pohja on ympyrän muotoinen. 15 m 15 m Ympyrän säde 40 m r 15m 6,5m Suorakulmion eli tontin ala suorakulmio 15m 40 m 4500 m Ympyrän eli konserttitalon pohjan ala ympyrä 6,5m 171,84... m Tapa 1: Lasketaan, paljonko ympyrän ala on suorakulmion alasta prosentteina. ympyrä suorakulmio 6,5m 4500 m 0, ,87...% Käyttämättä jää 100 % 8,87 % = 71,1 % 71 % 18

129 Ympyrä Tapa : Lasketaan, kuinka paljon tontista jää käyttämättä. käyttämättä suorakulmio 4500 m 08,15...m ympyrä 6,5 m Käyttämättä jäänyt ala koko tontin alasta prosentteina on käyttämättä suorakulmio 08,15...m 4500 m 0, ,1...% 71% Vastaus: 71% 14. Puoliympyrän säde on. Kentän pituus leveimmällä kohdalla on siis 6. Kentän suoran osuuden pituus on siis 6 = 4. Radan pituus on 57 m, joten saadaan yhtälö 4 4 ( 8) ( 8) 4, (m) 19

130 Suoran osuuden pituus on siis Ympyrä 4 4 4, m 99,977...m 100 m Vastaus: 100 m 10

131 Ympyrä. Sektori ja segmentti a) b,5 m 60, m, m 48 b) b 1,cm 1, cm 1,1cm a) 9,1m 41,91...m 4 m b) 78 mm 759,19...mm 7500 mm 75cm 146. Sektorin keskuskulma 10. Ympyrän säde r 6cm. 10 a) b 6 cm 58, cm 59cm b) 6cm 766,897...cm 770 cm 11

132 Ympyrä 147. Kaaren pituus b = 114 mm. Sektorin kaaren pituus ja keskuskulma ovat suoraan verrannolliset. Keskuskulma ( ) Kaaren pituus (mm) Saadaan yhtälö : , Vastaus: Suotuisia sektoreita on neljä, joista kunkin keskuskulma on 15. Lasketaan 4 15 = 60 keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus, kun säde 1,5m on r 0,75m. Väritettyjen sektoreiden kaarien pituudet yhteensä ovat siis b 60 0,75 m 60 0,785...m 0,79 m Vastaus: 79 cm 1

133 Ympyrä 149. Tapa 1: Lasketaan ensin ympyrän säde r. Sektorin keskuskulma on 60 ja kaaren pituus b 15 mm. 60 r r r : , Ympyrän kehän pituus on p 119,66...mm 750 mm Tapa : Koko kehää vastaava keskuskulma on 60. Tiedetään, että 60 keskuskulmaa vastaava kaari on 15 mm. Tämä on kuudesosa koko ympyrästä, joten koko ympyrän kehän pituus siis on p 6 15 mm 750 mm. Vastaus: 750 mm 1

134 Ympyrä 150. Ympyrän sektorin kaaren pituus b r keskuskulman suuruutta.. Merkitään kysyttyä r r r r : r r ( 57, ) r 60 Vastaus: Sektorin alan kaava on s r ympyrä Tapa 1: Sektorin keskuskulma 14 ja ala s 10,6 m.sijoitetaan annetut arvot sektorin alan laskukaavaan ja ratkaistaan ympyrän ala ympyrä ympyrä ympyrä ympyrä 10,6 816 s : 14 7, m 14

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot