3 Avaruusgeometria. Lieriö a) V = = (cm 3 ) cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = = 450 (cm 3 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )"

Transkriptio

1 Avaruusgeometria Lieriö 4. a) (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) r d 8 (cm) A p h πr h π , (cm ) cm 5,8 dm 7. Suoran ympyrälieriön muotoisen sadevesitynnyrin korkeus on 85 cm ja pohjan halkaisija 5 cm. r d 5 6 (cm) Sadevettä mahtuu tynnyriin A p h πr h π , (cm ) cm 180 dm 180 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

2 8. Kuution särmän pituus on x. a) x 140 x 140 x 5,19 5, (cm) b) 4,00 l 4,00 dm x 4,00 x 4, 00 x 1,5874 1,59 (dm) 1,59 dm 15,9 cm 9. Puutukin halkaisija on 8 cm ja pituus 5, m 50 cm. 1 dm puuta painaa 0,6 kg. r d 8 14 (cm) Puutukin tilavuus on A p h πr h π , (cm ) cm 0,191 dm Tukin massa on 0,191 0,6 19, (kg). 0. Suorakulmaisen särmiön muotoisen pahvilaatikon pituus on 4 cm ja leveys 7 cm. Laatikon tilavuus on 50 litraa. 50 l 50 dm cm a b c 4 7 c c : c,17 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

3 1. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin pohjan halkaisija on 7,0 cm. Lasin korkeus on 1,0 cm. Lasiin kaadetaan,0 dl mehua. r d 7,0,5 (cm) Mehun tilavuus on,0 dl 0, l 0, dm 00 cm. Lasketaan mehun korkeus lasissa. A p h πr h π,5 h 00 1,5πh 00 : 1,5π h 5,1968 5,0 (cm) Pinta jää lasin yläreunasta 1,0 5,0 6,8 (cm).. a) vaipan ala A v πd h π , (cm ) 750 cm 7,5 dm b) r d 1 6 (cm) pohjan ala A p πr π 6 11,097 11,10 (cm ) kokonaispinta-ala A A v + A p 75, ,10 980, (cm ) 980 cm 9,8 dm. Etiketin korkeus on h 1, 0,5 1,7 (cm). Etiketin pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

4 A v πd h π 7,4 1,7 95,4 00 (cm ). 00 cm,0 dm 4. A4-arkin mitat ovat 1,0 x 9,7 cm. Lasketaan ensin lieriön pohjan säde. p πd πr πr 9,7 : π r 4, ,769 (cm) Lieriön tilavuus on A p h πr h π 4,769 1, , (cm ) cm 1,47 dm 5. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö. Pohjasärmän pituus on 5,9 cm ja korkeus 0, cm. Särmiön vaipan ala on A v p h 5,9 0, 56,1 540 (cm ). Lasketaan päätykolmion korkeus x. Se saadaan Pyhtagoraan lauseen avulla. 5,9,95 (cm) x +,95 5,9 x 6,1075 x ± 6,1075 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5, ,110 (cm) Päätykolmion pinta-ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

5 A p 5,9 5,110 15, ,1(cm ) Pakkaukseen tarvitaan pahvia: A A v + A p 56,1 + 15,1 566, 570 (cm ) 570 cm 5,7 dm 6. Kuutio, jonka särmän pituus on 4,0 cm. 7. Suorakulmaisen särmiön pituus on 4,0 cm, leveys,0 cm ja korkeus,0 cm. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus. Pohjatahkon lävistäjä: x 4,0 +,0 x 5 x ± 5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,0 (cm) Avaruuslävistäjä: y,0 + 5,0 y 9 x ± 9 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,85 5,4 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18

6 8. Suorakulmaisen särmiön särmien pituuksien suhde on a : b : c 1 : : 5. Särmiön tilavuus on,50 l,50 dm. Merkitään lyhyimmän sivun pituutta a:lla. Muiden sivujen pituudet ovat a ja 5a. Tilavuudelle saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a. a a 5a,50 10a,50 : 10 a 0,5 a 0, 5 a 0,6996 0,6 (dm) 0,6 dm 6, cm a 6, cm b a 6,996 1,599 1,6 cm c 5a 5 6,996 1,498 1,5 cm 9. Pellistä halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen mitta-astia, jonka korkeus on h 1 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm Ympyrälieriön tilavuus on πr A h πr h. p : 1π 500 r 1π Halkaisijan pituus on 500 r ± ain positiivinen juuri kelpaa. 1π r,6418,64 (cm) d r,64 7,8 7, (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19

7 40. Suoran ympyrälieriön korkeus on 8 ja pohjan halkaisija 6. r d 6 aipan ala: A v πd h π π Pohjan ala: A p πr π 9π Kokonaispinta-ala: A A v + A p 48π + 9π 66π 41. Tulitikkulaatikon mitat ovat 5, x,5 x 0,8 cm. a) Laatikon tilavuus on 5,,5 0,8 14,56 15 (cm ). b) Laatikon kokonaispinta-ala on A kok 0,8,5 + 0,8 5, + 5,,5 50, 50 (cm ) Suoran ympyrälieriön muotoisen saavin korkeus on 7 cm ja pohjan halkaisija 64 cm. Pyry täyttää saavin 8 litran vesiämpäreillä. 64 r d (cm) A p h πr h π , (cm ) cm 5 dm 5 l Saaviin mahtuu Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 140

8 5 8 9,75 9 ämpärillistä. 44. Kuution tilavuus on 45 cm. a) Kuution särmän pituus: x 45 x 45 x,55689,6 (cm) b) Kuution kokonaispinta-ala: A kok 6x 6,557 75,91 76 (cm ) 45. Tiilen tiheys on 1,6 g/cm. Tiilen tilavuus on 7,5 1,0 7,0 6,5 (cm ). Tiilen massa on tilavuus kertaa tiheys. 6,5 1, (g) g 4, kg 46. Saunan pata on muodoltaan suora ympyrälieriö, jonka pohjan halkaisija on 70 cm. Padan tilavuus on 00 litraa 00 dm cm. r d 70 5 (cm) A p h πr h π 5 h πh : 15π h 51, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 141

9 47. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö, jonka korkeus on 0,8 cm ja pohjasärmän pituus on,6 cm. Lasketaan päätykolmion korkeus x Pythagoraan lauseen avulla.,6 1,8 (cm) x + 1,8,6 x 9,7 x ± 9,7 ain positiivinen juuri kelpaa. x,1176,118 (cm) Päätykolmion pinta-ala: A p,6,118 5,614 (cm ) Pakkauksen tilavuus on A p h 5,614 0,8 116, (cm ) 10 cm 1, dl. 48. Metrin mittaisen teräsputken ulkohalkaisija on 6,0 cm ja sisähalkaisija 5,0 cm. Teräksen tiheys on 7,8 g/cm. u πr h π π s πr h π, π u s 900π 65π 75π Putken massa on tiheys kertaa tilavuus. m 7,8 75π 6 78, (g) g 6,7 kg. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

10 49. Kasvihuone on muodoltaan suora lieriö, jonka pohjat (päädyt) ovat puoliympyröitä. Kasvihuoneen korkeus on,0 m ja pituus 8,5 m. a) Kasvihuoneen tilavuus. A p πr π,0 6, ,8 (m ) A p h 6,8 8,5 5,8 5 (m ) b) Kasvihuoneen seinät ja katto ovat läpinäkyvää ohutta muovia. Muovin hinta on rakentamisen aikana ollut 1,80 /m. Katon ala on πrh π,0 8,5 A 5, ,41(m v ). Seinän ala on A p πr π,0 1, ,57 (m ) Kokonaisala on A kok A v + A p 5,41 + 1,57 65,98 (m ). Muovi maksaa 65,98 1,80 118,64 10 ( ). 50. Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon mitat ovat 5 x 5 x 45 cm. Pisin putki mahtuu avaruuslävistäjälle. Pohjatahkon lävistäjä: x x 1850 x ± 1850 ain positiivinen juuri kelpaa. x 4,01 4 (cm) Avaruuslävistäjä: y 4, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

11 y 874 y ± 874 ain positiivinen juuri kelpaa. y 6,4 6 (cm) Laatikkoon mahtuu 6 cm pitkä putki. 51. Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön pohjaneliön sivun pituus on kolmasosa särmiön korkeudesta. Särmiön tilavuus on tasan 1 m. Särmiön pohjaneliön sivun pituus saadaan tilavuuden avulla. x x x 1 x 1 : x 1 1 x x 0,696 0,69 (m) 0,69 m 69 cm Korkeus on x 0,69,079,08 (m).,08 m 08 cm. Pohjaneliön sivun pituus on 69 cm ja särmiön korkeus 08 cm. 5. Suoran ympyrälieriön korkeus ja pohjan halkaisija ovat molemmat r. Lieriö on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. a) Kuution sivun pituus on r. Kuution tilavuus on k (r) 8r. Lieriön pohjan säteen pituus on r ja lieriön korkeus r. Lieriön tilavuus on l πr h πr r πr. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 144

12 b) Lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta πr π 0, ,54 %. 8r 4 Tyhjää tilaa jää 100 % 78,54 % 1,46 % 1 %. Kartio 5. a) Ap h 50 9,0 150 (cm ) b) Ap h , (cm ) 54. a) Pohjaneliön ala on A p 8,0 8,0 64 (cm ). Ap h 64 1,0 77, (cm ) b) Tilavuus on A p h πr h π 5, 7,8 0, (cm ). 55. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 9, cm ja pohjasärmän pituus 10,0 cm. Pohjaneliön ala on A p 10,0 10,0 100 (cm ). 9, Ap h 100 9, 06, (cm ) 10,0 56. Pyramidin korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 145

13 h +,0 7,5 h ,5 9 h 47,5 x ± 47,5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 6,87 6,9 (cm) h,0 7,5 57. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin korkeus on 14,7 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Tilavuus on A p h π,0 14,7 18, (cm ). 140 cm 0,140 dm 0,140 l 1,4 dl 58. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän halkaisija on 5, cm ja sivujanan pituus 7,5 cm. Ympyräkartion korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. h +,6 7,5 h + 6,76 56,5 6,76 h 49,49 h ± 49,49 ain positiivinen juuri kelpaa. h 7,0491 7,049 (cm) Tilavuus on A p h πr h π,6 7,049 49, (cm ). h 7,5,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 146

14 59. a) Pyramidin vaipan ala on A v 4 1 (cm ). b) Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π 0,9,8 7,916 7,9 (m ). 60. Suoran ympyräkartion muotoisen hatun sivujanan pituus on 5 cm ja pohjaympyrän halkaisija 16 cm. Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π ,1 60 (cm ). appuhattuun tarvitaan pahvia 60 cm 6, dm. 61. Lasten lelulinnan tornin katto on säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus on 8,0 cm ja pohjasärmän pituus 15,6 cm. x 7,8 + 8,0 x 14,84 x ± 14,84 ain positiivinen juuri kelpaa. x 11, ,17(cm) Katon pinta-ala on pyramidin vaipan ala: 8,0 x A v 11,17 15,6 4 48, (cm ) 7,8 50 cm,5 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 147

15 6. Ympyrän sektorin säde on 10,0 cm ja keskuskulman suuruus 150 o. Sektori kääritään suoran ympyräkartion vaipaksi. Sektorin kaaren pituus on b α 150o o πr o π 10 6, ,1799 (cm) Pohjaympyrän kehän pituus on sektorin kaaren pituinen. πr 6,1799 : π r 4,1666 (cm) Halkaisija on d r 4,1667 8,4 8, (cm). 6. Kheopsin pyramidi rakennettiin säännölliseksi neliöpohjaiseksi pyramidiksi. Pyramidin pohjasärmän pituus oli 0 m ja pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma 5 o. a) Pyramidin korkeus on nykyään 19 m. Lasketaan alkuperäinen korkeus. o tan tan5 o h h h 115 tan5 o h 147,19 147,19 (m) Pyramidi on madaltunut h 147, ,19 8, (m). 5 o 115 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 148

16 b) Pyramidin rakennusaineena käytetyn kiven tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on Ap h , , (cm ). Alkuperäinen massa on m (kg). 64. Suoran ympyräkartion korkeus on 18,0 cm ja pohjaympyrän halkaisija 10,8 cm. Kartion vaippana oleva ympyrän sektori levitetään tasoon. Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πr πd 10,8π Sektorin säde on kartion sivujanan s pituus. s 18,0 + 5,4 s 5,16 18 s 5,4 s ± 5,16 ain positiivinen juuri kelpaa. s 18,79 18,8 (cm) α Sektorin keskuskulman suuruus saadaan kaaren pituuden b π r avulla. 60 o α π 18,79 10,8π o 7,58απ 888π : π 7,58α 888 : 7,58 α 10, Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan muodostettua verranto. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 149

17 h 10 h Kerrotaan ristiin. 8h 10(h + 4) 8h 10h h 18h 40 : 18 h 1, 1, (m) Kokonaisen pyramidin tilavuus: kok A p h 8 8 (4 +1,) 9 755, ,57 (m ). Pyramidin yläosan tilavuus: y Ap h , 444, , (m ). Katkaistun pyramidin tilavuus on 9 755,57 444, 9 11, (m ). 66. Suoran ympyräkartion muotoisen kuohuviinilasin korkeus on 1,4 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Lasiin kaadetaan 8 cl kuohuviiniä. 6,0 1 8 cl 0,08 l 0,08 dm 80 cm Lasin tilavuus on πr h π,0 1,4 116, ,86 (cm ). h 1,4 Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on kappaleiden mittakaavan kuutio (kolmas potenssi). 1 h 1,4 80 h 116,86 1,4 Kerrotaan ristiin. 116,86h 80 1,4 :116,86 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 150

18 h 80 1,4 116,86 h 105,6 h 105, 6 h 10,985 10,9 iinin pinta jää lasin reunan alapuolelle 1,4 10,9 1,47 1,5 (cm). 67. Muurahaiskeko on kartio, jonka korkeus on h 45 cm 4,5 dm ja pohjan pinta ala A p 5 dm. Keon tilavuus on y Ap h 5 4,5 7,5 8 (dm ). 68. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 17,0 cm ja pohjasärmän pituus 11,5 cm. Pyramidin tilavuus on y Ap h 11,5 11,5 17,0 749, (cm ). 69. Pastillien perheen isän 50-vuotisjuhlien 0 vierasta juovat tervetuliaisjuoman. Lasin tilavuus on πr h π 4,1 10,0 176, (cm ) 176 cm 0,176 dm. 0 henkilölle juomaa tarvitaan 0 0,176 dm 5,8 dm 5, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 151

19 70. Suoran ympyräkartion sivujanan pituus on 16,0 cm ja pohjan halkaisija 9,0 cm. a) aipan ala on A v πrs π 4,5 16,0 6,19 0 (cm ). 0 cm, dm b) Lasketaan kartion korkeus. h 16,0 h + 4,5 16,0 h + 0,5 56 0,5 4,5 h 5,75 h ± 5,75 ain positiivinen juuri kelpaa. h 15,541 15,5 (cm) Tilavuus on πr h π 4,5 15,5 5, (cm ). 71. Mykerinoksen pyramidi Egyptin Gizassa oli alun perin säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus oli 65,5 m ja pohjasärmän pituus 10 m. Rakennusaineena käytetyn kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on y Ap h ,5 169, (m ). Massa saadaan, kun tilavuus kerrotaan tiheydellä. m (kg) 7. Suoran pyramidin muotoisen teltan pohja on säännöllinen kuusikulmio, jonka sivun pituus on 1,70 m. Teltan korkeus on 1,80 m. h 1,70 0,85 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

20 Pohjan kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Lasketaan kolmion korkeus. h + 0,85 1,7 h + 0,75,89 0,75 h,1675 h ±,1675 ain positiivinen juuri kelpaa. h 1,47 (m) Pohjan pinta-ala on A p 1,70 1,47 6 7,518 (m ). Teltan tilavuus on y A p h 7,518 1,80 4, ,51 (m ). 7. Kuvan lampunvarjostin on katkaistun suoran ympyräkartion vaippa. s Yhdenmuotoisten kolmioiden perusteella: s 6 + s 5 6 Kerrotaan ristiin. 6s 5 (6 + s) 6s s 5s 11s 650 : 11 s 59, ,09 (cm) aipan ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

21 A v πrs Puuttuvan yläosan vaipan ala: A vy π 1,5 59,09 0,46 Koko kartion vaipan ala: s 59, ,09 (cm) A vkok π 18 85, ,7 arjostimen pinta-ala on 4811,7 0,46 491,7 500 (cm ). 500 cm 5 dm 74. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin muotoisen pakkauksen tilavuus on puoli litraa. Pakkauksen pohjasärmän pituus on 1,0 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm A p h 1,0 1,0 h h : 144 h 10, ,4 (cm) 75. Ympyrän sektorin säde on s 1,0 cm ja keskuskulma 14 o. Sektorista kääritään vaippa suoralle ympyräkartiolle. Sektorin kaari on o α 14 b π r π 1,0 5, ,05 (cm). o o a) Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 154

22 Pohjan halkaisija on 5,05 d 16, ,6 (cm). π b) Lasketaan kartion korkeus. h + 8, 1,0 h + 68, ,89 h 7,11 h ± 7,11 ain positiivinen juuri kelpaa. h 19,901 19,9 (cm) Ympyräkartion tilavuus on h 8, 1,0 πr h π 8, 19,9 1 91, (cm ) 1 90 cm 1,9 dm 76. Kuution sisään asetetaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräkartio, jonka pohja on särmiön pohjalla. Kuution tilavuus: kuutio (r) 8r Kartion tilavuus: kartio πr r πr Kartion tilavuus on kuution tilavuudesta πr : 8r πr 1 8r (r, π 0, %. 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 155

23 Pallo 77. Pallon säde on r 6,1 cm. a) Pallon tilavuus on 4 πr 4π 6,1 950, (cm ). b) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 6,1 467, (cm ). 78. Jalkapallon sisähalkaisija on cm. r d 11(cm) Jalkapallon tilavuus on 4πr 4π , (cm ). Jalkapalloon mahtuu ilmaa cm 5,6 dm 5,6 l. 79. Puolipallon muotoisen lasimaljan suuaukon halkaisija on 5,0 cm. r d 5 1,5 (cm) Puolipallon pinta-ala on puolet pallon pinta-alasta. 1 A 4πr 4π 1, cm 9,8 dm 981, (cm ) 80. Makeistehtaassa valmistetaan pallon muotoisia marmeladimakeisia, joiden halkaisija on,0 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 156

24 r d,0 1,5 (cm) Yhden makeisen tilavuus on πr 4π 1,5 4 14, ,14 (cm ). iiden litran marmeladiannoksesta saadaan makeisia: 5 dm cm ,14 5,6 50 (kpl). 81. Pallon tilavuus on tasan 1 litra 1 dm cm. πr 4 4π r πr 000 : 4π r 000 4π r 000 4π r 6,050 6,04 (cm) Halkaisija on d r 6,04 1,408 1,4 (cm). 8. Pallon pinta-ala on,4 dm. A 4πr 4πr,4 : 4π,4 r 4π r ±,4 4π ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 157

25 r 0, ,50 (dm) Pallon tilavuus on πr 4π 0,50 4 0, ,59 (dm ) 0,59 dm 590 cm 8. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin suuaukon halkaisija on 5,0 cm ja korkeus 14,0 cm. Tuutin sisus on täynnä jäätelöä ja lisäksi suuaukon yläpuolella on puolipallon muotoinen jäätelökerros, jonka halkaisija on sama kuin suuaukon halkaisija. Ympyräkartion tilavuus on πr h π,5 14,0 91, ,697(cm ). Puolipallon tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. 4πr : 4π,5 Jäätelöä on tuutissa :,749...,749 (cm ) 91,697 +,749 14, (cm ) 10 cm 0,10 dm 0,10 l 1, dl. 84. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 6 66, ,198 (km) Lasketaan maapallon 64 asteen leveyspiirin säde r. cos64 o r 6 66, ,198 r 6 66,198 cos64 o Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 158

26 r 790,758 (km) Maapallon 64 asteen leveyspiirin pituus on p πr π 790, (km). 85. Pallon muotoisen kivisen patsaan massa on 1850 kg. Kiven tiheys on 700 kg/m. Lasketaan patsaan tilavuus. Se saadaan, kun massa jaetaan tiheydellä , ,6851(m ) Lasketaan pallon muotoisen patsaan säde. πr 4 4π r 0,6851 4πr,055 : 4π,055 r 4π r,055 4π r 0, ,5468 (m) Patsaan levein kohta on πr π 0,5468,46,44 (m),44 m 44 cm. Pyryn ja Piin välimatka, kun he pitävät toisiaan molemmista käsistä kiinni, on (cm), joten patsas ei mahdu heidän väliinsä. 86. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. Merkitään pallon sädettä r:llä. Kuution särmän pituus on r. Kuution tilavuus: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 159

27 kuutio (r) 8r Pallon tilavuus: kartio πr 4 Pallon tilavuus on kuution tilavuudesta 4πr : 8r 4πr 1 8r π 6 Tyhjää tilaa on 100 % 5,6 % 47,64 48 %. 0, ,6 %. 87. Englannin kanaalin ali Englannista Ranskaan kulkeva Kanaalitunneli kulkee Englannin Folkestonesta Ranskan Coquellesiin. Tunnelin pituus on 50,45 km, josta veden alla on 7,9 km. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 6 66, ,198 (km) Lasketaan x. 50,45 5,5 (km) x + 5,5 666,198 5,5 x ,67 x ± ,67 ain positiivinen juuri kelpaa. x 666, ,1480 (km) Kysytty syvyys on 666, ,1480 0,0480 (km). 0,00480 km 48 m 50 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 160

28 88. Tukholman Globen-hallin korkeus on 85 m ja pohjan halkaisija 110 m. Halli on muodoltaan ns. pallosegmentti, jonka tilavuus on h π h r π (m ). 89. Jumppapallon halkaisija on 65 cm. r d 65,5 (cm) Pallon tilavuus on 4πr 4π, , (cm ) cm 140 dm Pallon pinta-ala on A 4πr 4π,5 1 7, (cm ) cm 10 dm 1, m 90. Appelsiinin halkaisija 9, cm 9 mm. Kuoren paksuus on 5 mm. d (mm) r 41 (mm) πr 4π , (mm ) mm 0,90 dm,9 dl 91. Koripallon ympärysmitta on 76 cm. πr 76 : π r 76 π r 1, ,0958 (cm) 4πr 4π 1, , (cm ) cm 7,4 dm 7,4 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 161

29 9. Maapallon pinta-alasta 71 % on vettä. Maapallon säde on 6 70 km. Maapallon pinta-ala on A 4πr 4π ,8 (km ). esialueiden pinta-ala on 0, , , (km ). 9. Pallon tilavuus on 50 cm. πr 4 4π r 50 4πr : 4π r π r π r 5,009 5,00 (cm) Pallon ympärysmitta on πr π 5,00 1,5415 (cm). 94. Kuulantyönnössä käytettävän messinkisen kuulan halkaisija on 11,8 cm. Messingin tiheys on 8,4 g/cm. r d 11,8 5,9 (cm) 4πr 4π 5,9 860, ,9(cm ) Massa on tilavuus kertaa tiheys. m 860,9 8,4 76, (g) 7 00 g 7, kg Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

30 95. Pallon muotoisen jätevesiastian tilavuus on 5 00 litraa. Astia halutaan upottaa maahan suoran ympyrälieriön muotoiseen kuoppaan niin, että sen ylin kohta on 50 cm maan pinnan alapuolella. Pallon tilavuus on 5 00 l 5 00 dm cm. πr 4 4π r πr : 4π r r π π r 108, ,16 (cm) Kuopan leveys on r 108,16 16, 0 (cm) 0 cm, m. Kuopan syvyys on, + 0,5,7 m 96. Kravun kääntöpiirin sijainti on,5 pohjoista leveyttä ja Kravun kääntöpiirin sijainti,5 eteläistä leveyttä. Mitataan matka Kravun kääntöpiiriltä Kauriin kääntöpiirille pintaa pitkin. 45 o o (km) Neljä tennispalloa on pakattu päällekkäin mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen peltipurkkiin, jossa on muovikansi. Tennispallon halkaisija on 6,5 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

31 Tennispallon säde on 6,5 r d,5 (cm). Lieriön korkeus on h 4 6,5 6 (cm). Pohjan pinta-ala on A p πr π,5,18074,181 (cm). Lieriön vaippa on A v πr h π,5 6 50, ,99(cm). Peltiä tarvitaan, ,99 564, (cm ). 560 cm 5,6 dm 98. Kuutio, jonka särmän pituus on 10,0 cm, on pallon sisällä niin, että sen kärjet ovat pallon pinnalla. Kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisija. Avaruuslävistäjän laskemista varten on selvitettävä kuution tahkon lävistäjän pituus. x x 00 x ± 00 ain positiivinen juuri kelpaa. x 14, ,141 (cm) Avaruuslävistäjä on y 14, y 99,99899 y ± 99,99899 ain positiivinen juuri kelpaa. y 17,04 17, (cm) y r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 164

32 Pallon säde on puolet halkaisijasta. 17, r y 8,66 (cm) Kuution tilavuus on kuutio (cm ). Pallon tilavuus on pallo 4πr 4π 8,66 70, (cm ). Kuution tilavuus on pallon tilavuudesta kuutio ,676 7 %. pallo 70 Kertaustehtäviä 99. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin sisäosan korkeus ja suuaukon halkaisija ovat molemmat 6,7 cm. r d 6,7,5 (cm) A p h πr π,5 6,7 6,1 6 (cm ),0 litrasta (,0 dm 000 cm ) virvoitusjuomaa saa täysiä lasillisia ,7eli 1 täyttä lasillista Rantapallon ympärysmitta on 8 cm. πr 8 : π 8 r 1, (cm) π Tilavuus on 4πr 4π 1, , (cm ) Pallossa on ilmaa 9 00 cm 9, dm 9, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 165

33 401. Suoran ympyrälieriön pohjaympyrän halkaisija on 6,0 cm. Lieriön vaipan ala on 4 cm. A v πdh π 6,0 h 4 : 6,0π h 4 6,0π h 1,41 1 (cm) 40. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on 50 cm. Särmiön pohja on neliö, ja särmiön pohjaneliön sivun pituus on puolet särmiön korkeudesta. Merkitään pohjaneliön sivun pituutta x:llä. x x x 50 x 50 : x 175 x 175 x 5,5944 5,59 (cm) Korkeus on h x 5,59 11,186 11, (cm). 40. Minttu osti elokuvanäytökseen evääksi popcorneja, joita myytiin suoran ympyräkartion muotoisessa kannettomassa pahvipakkauksessa. Pakkauksen korkeus oli 1,5 cm ja suuaukon halkaisija 9,0 cm. r d 9,0 4,5 (cm) Lasketaan sivujanan pituus s. s 4,5 + 1,5 s 176,5 s ± 176,5 ain positiivinen juuri kelpaa. s 1,85 1,9 (cm) aipan ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 166

34 A v πrs π 4,5 1,9 187, (cm ). 190 cm 1,9 dm 404. Sisu tekee 5 cm paksuun jäähän pyöreän avannon. Avannon halkaisija on 55 cm. Avannosta kairataan pois ympyrälieriön muotoinen jääkimpale. r d 55 7,5 (cm) A p h πr h π 7, , (cm ) Avannosta poistettavan jään massa, kun jään tiheys on 0,9 g/cm, on m , , (g) g 55 kg Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin pohjasärmän pituus on 14,0 cm. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 68 o. Lasketaan korkeus h. o tan 68 h 7 7 h h 7 tan68 o 115 h 17,56 17, (cm) Tilavuus on A p h 14,0 14,0 17, 1 1, (cm ) cm 1,1 dm 406. Talon 6,0 m 600 cm pitkän seinän viereen tehdään hiekan avulla tasainen kallistus, niin että sadevedet valuvat talosta poispäin. Kallistettavan alueen leveys on,5 m 50 cm. Hiekkakerroksen syvyydeksi halutaan seinän vierestä 40 cm ja,5 metrin päässä seinästä 0 cm. 600 Hiekka on lieriönä, jonka pohjat ovat puolisuunnikkaita Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 167 0

35 Puolisuunnikkaan pinta-ala on A p (cm ). Hiekan tilavuus on A p h (cm ) cm 5 50 dm 550 l Hiekkaa hankitaan 640 litran säkeissä, joten säkkejä tarvitaan ,0... eli 9 kpl Pallolla ja kuutiolla on sama tilavuus, 1,0 l 1,0 dm. Lasketaan pallon säde sen tilavuudesta. 4 πr 4π r 1 4πr : 4π r 4π r 4 π r 0,605 0,60 (dm) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 0,60 4,805 4,8 (dm ). Lasketaan kuution sivun pituus sen tilavuudesta. a 1,0 a 1,0 a 1,0 (dm) Kuution pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 168

36 A 6a 6 1,0 6,0 (dm ). Kuution pinta-ala on pallon pinta-alasta 6,0 1, ,4 14, %. 4,8 Kuution pinta-ala on 14, % 100 % 4, % 4 % suurempi kuin pallon Helsingistä Utsjoelle on matkaa linnuntietä pitkin km. Maapallon ympärysmitta on km. Lasketaan maapallon säde R. πr : π R π R 666, , (km) Matka linnuntietä pitkin on kaaren pituus. α b π r 60 o α o α : β α 10,5o Lasketaan x. α 10,5 5,175 o sin5,175 o x 6 66, 6 66, x 6 66, sin5,175 x 574, , (km) Matka lyhenee 1150 x , 1,56 1,6 (km). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 169

37 409. Suoralle ympyräkartiolle kääritään vaippa ympyrän sektorista, jonka säde on s 15,0 cm ja keskuskulma 5 o. Sektorin kaari on o α 5 b π r π 15,0 61,59 (cm). o o Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π 61,59 d 19,588(cm) π 19,588 r 9,79165 (cm) Lasketaan kartion korkeus. h + 9, ,0 9,79165 h 15,0 r h 19,16 h ± 19,16 ain positiivinen juuri kelpaa. h 11,656 11,6 (cm) Ympyräkartion tilavuus on πr h π 9, , , (cm ) cm 1,14 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 170

38 Harjoituskokeet Koe 1 1. a) Pythagoraan lause: x + 4,5 6,9 x + 0,5 47,61 0,5 x 7,6 x ± 7,6 Negatiivinen juuri ei käy. x 5,06 5, (cm) b) Tasaisella maalla sijaitsevan lipputangon varjon pituus oli 16,9 m, kun auringonsäteet kohtasivat maanpinnan 8 asteen kulmassa. Lasketaan lipputangon korkeus x. x 16,9 tan 8 x 16,9 tan8 16,9 x 16,9 8 o x 8, ,0 (m). a) Hevosta esittävän piirroskuvan leveys on 4,8 cm ja korkeus,4 cm. Kuvasta otetaan kopiokoneella suurennos. Suurennetun kuvan korkeus on 5,9 cm. Lasketaan suurennetun kuvan leveys x verrannon avulla. 5,9 x Kerrotaan ristiin.,4 4,8,4x 5,9 4,8,4x 8, :,4 x 8,94 8, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 171

39 b) Ympyrän pinta-ala on 4 cm. Lasketaan ympyrän säde. A πr πr 4 r ± 4 π : π Negatiivinen juuri ei käy. r,656,7 (cm). Kartan mittakaava on 1 : Järven pinta-ala kartalla on 1 cm. Lasketaan järven todellinen pinta-ala x. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A 1 m n 1 x x Kerrotaan ristiin. x x (cm ) cm dm m 000 a 0 ha, km 4. Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 5,4 cm ja kylkien pituus 9,8 cm. Lasketaan kolmion korkeus Pythagoraan lauseella. h +,7 9,8 h + 7,9 96,61 7,9 h 88,75 9,8 h 9,8 h ± 88,75 Negatiivinen juuri ei käy. 5,4 h 9,407 9,41 (cm) Kolmion pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

40 A 9,41 5,4 5,467 5 (cm ). 5. Ympyrän halkaisija on 15,0 cm. Sektorin kaaren pituus on 5,0 cm. Lasketaan ympyrän sektorin keskuskulman suuruus. α b π r 60 o α o 15,0π 5, ,0πα : 15,0π α 190, Suoran ympyrälieriön muotoisen vesisaavin korkeus on 8 cm ja pohjan halkaisija 58 cm 5,8 dm. Saaviin kaadetaan 150 litraa 150 dm vettä. Lasketaan veden korkeus. r d 5,8,9 (dm) A p h πr h π,9 h 150 8,41πh 150 : 8,41π h 5,677 5,7 (dm) 5,7 dm 57 cm Pinta jää suuaukon yläreunasta (cm). 7. Khefrenin pyramidin pohjasärmän pituus on 14,5 m. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 5. Laske pyramidin massa, kun kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Lasketaan korkeus. o tan5 h 107,5 107,5 h 107,5 tan5 h 14,55 14, (m) h 5 o 107,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

41 y A p h 14,5 14,5 14, ,55 (m ) Pyramidin massa on tilavuus kertaa tiheys. m , (kg) 8. Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5, cm ja 7, cm ja sivujen välisen kulman suuruus on 1. Lasketaan sivun x pituus. o sin 1 x 5, 5, x 5, sin1 x,67819,678 (cm) Lasketaan sivun y pituus. o cos1 y 5, 5, y 5, cos1 y 4,4576 4,457 (cm) Lasketaan sivun z pituus. z 7, y 7, 4,457,84 (cm) Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s,84 +,678 s 15,54 7, y x 1 o 5, z s s ± 15,54 Negatiivinen juuri ei käy. s,905,9 (cm) 9. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen laatikkoon. Merkitään pallon sädettä r:llä. Lieriön korkeus on r. h r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 174

42 Lieriön tilavuus on L πr h πr. Pallon tilavuus on P 4πr. Pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen on 4πr : πr 4πr 1 πr (πr 0, ,67 %. Lieriössä on tyhjää tilaa 100 % 66,67 %, % %. Koe 1. a) Ympyrän halkaisija on 7,8 cm. r d 7,8,9 (cm) Ympyrän pinta-ala on A πr π,9 47,78 48 (cm ). b) cos67 4,7 x cos67 x 4,7 x : cos67 4,7 x cos67 x 1, ,0 (cm). a) Suorakulmion muotoisen hiekkakentän leveys on 6 m ja lävistäjän pituus 41 m. x Pythagoraan lause x x x 6 x ± 1005 Negatiivinen juuri ei käy. x 1,70 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 175

43 b) Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 11, cm ja 15,9 cm. Puolisuunnikkaan korkeus on 5,0 cm. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a + b 11, + 15,9 A h 5,0 67,75 68 (cm ).. Lähes suora 1 km cm pitkä maantie oli kartalla 4 cm pitkä. Kartan mittakaava on ( eli 1 : Tasaisella maalla kasvanut puu kaatui myrskyssä niin, että pystyyn jääneen tyviosan korkeus oli,1 m ja kaatunut latvaosa osui maanpintaan 16 asteen kulmassa. Lasketaan kaatuneen latvaosan korkeus x. sin16,1 x x,1 x 16 o sin16 x,1 : sin16 x,1 sin16 x 7, ,619 (m) Puun korkeus on 7,619 +,1 9,719 9,7 (m). 5. Kuution kokonaispinta-ala on 180 cm. Lasketaan sivun pituus pinta-alan avulla. A 6x 6x 180 : 6 x 0 x ± 0 ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 176

44 x 5,477 5,477 Kuution tilavuus on x 5, ,9 160 (cm ). 6. Suoran ympyräkartion muotoisen kannellisen jäätelötuutin pakkauksen korkeus on 14,7 cm ja kannen halkaisija on 6,0 cm. Laske pakkauksen kokonaispinta-ala. r d 6,0,0 (cm) Lasketaan sivujanan s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s 14,7 +,0 s 5,09 s ± 5,09 ain positiivinen juuri kelpaa. s 15,009 15,00 (cm) aipan ala on A v πrs π,0 15,00 141,71 141,4 (cm ). Kannen ala on A p πr π,0 8,74 8, (cm ). Kokonaispinta-ala on A v + A p 141,4 + 8, 169,7 170 (cm ). 170 cm 1,7 dm 7. Ympyrän halkaisija on 7,0 cm. Ympyrän sisään on piirretty suorakulmio, jonka pitemmät sivut ovat kaksi kertaa niin pitkät kuin lyhyemmät sivut. Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä, jolloin pidemmän sivun pituus on x. Pythagoraan lause: x + (x) 7 x + x x 49 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 177

45 x + 4x 49 5x 49 : 5 x 9,8 x ± 9,8 Negatiivinen juuri ei käy. x,1049,10 (cm) Pidemmän sivun pituus on x,10 6,60. Suorakulmion pinta-ala on A,10 6,60 19,598 0 (cm ). 8. enäjä on pinta-alaltaan maailman suurin valtio. Sen pinta-ala on A v km. Maapallon ympärysmitta on km, ja maapallon pinta-alasta on maa-alueita 9 %. Maapallon säde: πr : π R π R 666, , (km) Maapallon pinta-ala: A M 4πr 4π 666, ,6 (km ) Maa-alueita: 0, , (km ) enäjän pinta-alan osuus maapinta-alasta: , % 9. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 1. Kolmion kateettien pituusero on pituusyksikköä. Merkitään pidempää kateettia x:llä, jolloin lyhyempi kateetti on x. x + (x ) 1 x + (x )(x ) 144 x 1 x + x x x x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 178

46 x 4x Tapa 1 a, b 4 ja c 140 x ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 140) b ± x b 4ac a x 4 ± x , ,4 tai x , ,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: , ,4 Tapa x 4x : x x 70 0 a 1, b ja c 70 ( ) ± x ( ) ( 70) b ± x b 4ac a ± x x 9, ,4 tai x 84 7, ,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: , ,4 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 179

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio 3: Geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 Osio : Geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 8. Kappaleiden pinta-aloja Kappaleiden kokonaispinta-alassa

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2016 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan klo

Lisätiedot

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan.

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella. MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet

454918 PIENET GEOMETRISET KAPPALEET Geometristen kappaleiden tilavuudet Ohje Tevellan tuotteelle Viinikankatu 49 A, 33800 Tampere Puh (03) 380 5300, Fax (03) 380 5353 E-mail: myynti@tevella.fi, www.tevella.fi Pieni kuutio V=AxH V=(sxs)xH V=(2,5x2,5)x2,5 V=15,6 cm 3 Suuri kuutio

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot