KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o."

Transkriptio

1 KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( ) ( 40) ( 5) : 5 8, 6 Kulmat 8, 6; 89, ; 40 0, 4 ; 508, Suurin kulma on 0,8 o. Vastaus: Suurin kulma on 0,8 o. 8. Kolmas kulma Suurin kulma on 67 o Suurimman kulman komplementtikulma on 9067 Suurimman kulman suplementtikulma Vastaus: Komplementtikulma on o ja suplementtikulma o. 9. Kulma : 809 ( 8054 ) 60 6 Kulma y: 54( 806) 70 y 60 y 8 Vastaus: 6 ja y Suurin kulma on, jolloin kulmien, y ja z summa on yz 80. Yksi kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta yhteensä, joten y z. Tällöin Vastaus: Suurin kulma on 90 o y 70 08

2 YHDENMUOTOISUUS. a) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan , b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan , 7 Vastaus: a) 6, b) 67, Mittakaava Etäisyys (cm) : : Etäisyys luonnossa on suoraan verrannollinen mittakaavaan ,7 Vastaus: Matka on 66,7 cm.. Puun pituus m. Yhdenmuotoisista kolmioista cm 0 cm 5 m Vastaus: Puun korkeus oli m. 09

3 4. Poikien välinen etäisyys (cm) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan Vastaus: Poikien välinen etäisyys oli 4 m. 70 cm 5 cm 70 m A5 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidemmän sivun puolikas mm 49 mm. Arkin mitat ovat 49 mm 0 mm. A -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidempi sivu eli 97 mm. A-arkinn pidempi sivu saadaan kertomalla A4-arkin lyhyempi sivu kahdella 0 mm = 40 mm Vastaus: A5: 49 mm 0 mm ja A: 97 mm 40 mm. KOLMIOT 8. Kolmiosta ACD saadaan h sin 5, 68, 64, 64 h, 64 sin 5, 685, Sivun AB osa : cos 5, 68,64, 64 5,68, 64 cos 5, 68, 9... A h Osa y: tan 46, 76 h 5, y 5477,... y ,... tan, ( y) h (, , 50...) 5, Kolmion ala on A 45, Vastaus: Kolmion ala on 45,.,64 D h y 46,76 C B 0

4 9. Kolmion kolmas kulma Kolmio ei ole suorakulmainen. Muistikolmioista ja kolmiosta BCD h 4 h Sivu : A 4 Kolmiosta ADC saadaan y h AB h ( ) Kolmion ala A 55, Vastaus: Ei. Ala on 5,5. C ( ) () () () h 45 () ( ) 0 y D B 0. Pythagoraan lauseella cm 4 cm Kolmion ala A 6cm Vastaus: Kolmion ala 6 cm. 5,0 cm,0 cm. C 8 cm 0 A D B 0 Huippukulman puolikas 65 Kolmiosta ADC saadaan sin sin 656,... Kolmion kanta AB 6, 5... cm cm Vastaus: Kanta on cm.

5 . Kolmion kanta on a, jolloin kylki on 0,75a 05, a Suorakulmaisesta kolmiosta cos 075, a 48 Vastaus: Kantakulma on 48 o. a. Kulmien summa 80 0 Kulmat ovat 0, 60 ja 90, joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää trigonometrisia funktioita. Sivu a (cm) tan0 40, a 40, a 40, 0 40, 69, tan Sivu b (cm) sin0 40, b 40, b 0 40, 80, sin Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm. 60 b 4,0 cm 0 a 4. Pythagoraan lauseella m m Kolmion ala A 6 m Vastaus: Kolmas sivu on m ja ala 6 m m 4 m,68 m 4, m 7,5 m Puun korkeus (m) 68, Yhdenmuotoisista kolmioista 7, 5 4,

6 Vastaus: Puun korkeus oli 7,0 m. 4, 7568,, : 4, = 7,0 6. Kolmion piiri 90, 0, Muistikolmion avulla h 0, h 0, () ( ) h Kolmion pinta-ala 60 0, 0, dm dm A 90, dm 9, dm 4 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,9 dm. () 7. a) Jyrkkyys 6 % Vaakasuora etäisyys a Pystysuora korkeusero on 0,06a 006a, Tällöin tan 006, a 4, b) Jyrkkyys % 0a, tan 0, a 74, Vastaus: a),4 o b) 7,4 o a D 0,06 a 8. Kolmiosta ACD : tan6 a a tan6 Kolmiosta ABC : tan65 0 a 0 a tan65 Merkitsemällä a:t yhtäsuuriksi saadaan 0 tan 6 tan 65 tan65 0 tan6 b g A 6 65 a C 0 m +0 B

7 b g b g tan 65 tan6 0tan 6 : tan 65 tan6 4, Pilven korkeus järven pinnasta 4, m 0 m 50 m Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on 50 m 9. Pythagoraan lauseella ( 7) ( 0) 4 4 (ei käy) Kateettien pituudet ovat 5 cm ja cm Kolmion piiri p 5cm cm cm 0 cm 5cm cm Pinta-ala A 0 cm Vastaus: Kolmion piiri on 0 cm ja pinta-ala 0 cm Suorakulmaisesta kolmiosta tan tan Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m m 4. Pythagoraan lauseella 90, Vastaus: Pitempi kateetti on 40 cm. 9,0 cm 4

8 44. a) b) c) 6 sin 7 5,96547 sin, tan 67 sin 0,9 59,0 45. a) b) c) tan07, 4, 7 cos sin 79 0, 4 sin cos 0, 46. Tasasivuisen kolmion sivun pituus (dm) Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 4 F H G I K J, 5 5, : 4 45,, 0 5,5 dm 5 dm 5, dm Kolmion pinta-ala on A 6, dm Vastaus: Kolmion pinta-ala on,6 dm. 47. Harpin suurin aukeama on suurimman mahdollisien ympyrän säde. 5 Aukeamiskulman puolikas 67, 5 Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 67, 5 5, 5,, 5sin 67, 50, Ympyrän säde 064,... cm, cm Vastaus: Suurimman ympyrän säde on, cm Kaltevuus :,5 Suorakulmaisesta kolmiosta tan 5, 8, Vastaus: Katon kaltevuuskulma on,8 o. (,5) () 5

9 49. Neljännestunnissa kuljettu matka km s vt h km h 4 Kolmiosta ABC : tan 5 ( y) y ( y)tan5 Kolmiosta DBC : tan8 y y ytan8 Merkitsemällä :t yhtäsuuriksi saadaan ytan 8 ( y) tan5 y(tan 8 tan 5 ) tan 5 :(tan 8 tan 5 ) tan5 y ,... tan tan Lyhin etäisyys ytan 8, 5 y 444,... km Loppumatkaan kuluu t 0, h min. v km h Vastaus: Saari näkyy minuutin kuluttua 90 o kulmassa. Etäisyys on silloin,5 km. y D s C A 8 5 B 50. Pythagoraan lauseella ( 0) : Toinen osa , 0 0 Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä. 455, 0 5. sin 60 sin 60 : sin 60 sin 60,5 60 () () ( ),0 m Vastaus: Mittarin metrin tulee olla,5 m pitkä. 6

10 5. Pythagoraan lauseella 4 7, 0 5 Vastaus: Hypotenuusa on 5 cm pitkä. 65, 0 5. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90 o Kysytty kulma Kolmas kulma 0 Kolmion kulmien summa 90 ( 0) 80 Kolmion kulmat ovat 90 o, 60 o ja 0 o. Vastaus: Kulmat ovat 0 o, 60 o ja 90 o cm 7,0 cm 54. Pythagoraan lauseella , , Matkojen suhde 0757, Ero prosentteina 0, , % Vastaus: Matka on 4% lyhyempi. B 450 m D 00 m C MONIKULMIOT 55. E D Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, niin 5 0 ja kuusikulmion sivu on 0,. Kuusikulmion piiri on p 6 60, m, 0 m. Vastaus: Kuusikulmion piiri on,0 m. F P C A B 56. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h 5, 50,, josta 875, ja kuusikulmioon sisään piirretyn yhden kolmion korkeus on h h 7,5 dm

11 5, 0 dm 8, 75 dm h 8, 75 4, 0... Kuusikulmion ala on A 6 65 dm. Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm. 57. Suunnikkaan ala on h 7, josta h 6. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 6, josta suunnikkaan pienempi z 0 h kulma 7 ja suurempi kulma on y Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan A E 0 6 cm, josta 8. Tällöin y 4. Kolmiosta BDE saadaan z 4 6, mistä z 5 7,. Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 7 o ja 4 o. Lyhyempi lävistäjä on 7, cm. 58. Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 h 6, josta h 0 4, Suorakulmion ala on A kh 40, cm447,... cm 8 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta ADE saadaan sin, josta , ja 480, D β D B E C C h Vastaus: Suorakulmion ala on 8 cm ja lävistäjien välinen kulma 84 o. A D 4,0 cm B 59. Suorakulmion ala A s Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 8, josta 0. Neliön ala A n An 00 Alojen suhde on, Neliön ala on As 48 08,..., % suurempi kuin suorakulmion ala. Vastaus: Neliön ala on 08% suurempi kuin suorakulmion ala Levyjen pinta-ala A 50, 5 m 0, m0, m. Levyjen hinta on h 0, euroa 0, 46 euroa. Vastaus: Levyjen hinta on 0,46 euroa. D 6. Pythagoraan lauseella 4, josta, 5. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sin, josta 0, 4 A β 4 y y C B 8

12 jolloin Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45 y, josta y 4cos ,. 4 Nelikulmion ala on A 4 75,. Vastaus: Sivut ovat,,,8 ja 5,. Ala on 4 75,. 6. 5m m Päätyseinän ala on A Ak As 5m mm. Vastaus: Päätyseinän ala on m. 6 m m m 6. Yhden setelin ala on A 0, m 0, 06 m 0, m. 9 0, Peittyvä pinta-ala on A kok 0, m m 4, km. 5 Vastaus: Setelit peittäisivät,4 km. 5 m 800 kg kg 64. Olympialippu painoi 0, m 05 m m 805 0, 0... kg 00kg. Vastaus: Suurin lippu painoi 00 kg.. Suurimman lipun massa oli YMPYRÄ 65. Kaaren pituus on r 0, josta 0 r 5, Kentän pinta-ala on A 90 m 5, m 5, m m, 0 ha. Vastaus: Kentän pinta-ala on,0 ha. 90 m r r 0 m 66. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r, metriä. Koska suorat s ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on s( r, ) ( sr) sr, sr, 77,. Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,7 metriä. 9

13 D F 4 7 C Tutkitaan kolmiota ABD. Sivu AB DF FC 4 7. Hypotenuusa BD BE DE ABDE 4 5. Pythagoraan lauseella 5, josta 784 ja 8. Tällöin BC 8. Vastaus: BC 8 X E A B 68. Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s. Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s. Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on neliön ala eli s. Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän alan s s. 4 Kaarevien yhteisala on F I HG 4 K J F I s s s s s 4 HG 4 K J, s Kirjaimen kokonaisala 8s + s +,s =,s Vastaus: Ala on, 69. Ala on A Aisopy Apienipy Apienipy Aisopy ( 60, cm ) 57cm. Vastaus: Ala on 57 cm. 6,0 cm 70. Oven ala A ovi 0, m 0, m ( 05, m ) 84,... m. Lasin ala A lasi 6( 040, m ) (, 05 m), m. Alojen suhde A lasi 69,... m 0, % Aovi 84,... m Vastaus: Ovesta on % lasia..,05 m,0 m 40 cm 40 cm,0 m 0

14 7. Ikkunoiden pinta-ala on A A A suorakulmio segmentti. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 060, ( r05, ) r, josta 0, 6 r 0, 6r0, 0995 r ja r 078,..., Tällöin sin 06 0, josta 55, ja 0, , Segmentin ala on 0,5 m 0,60 m r= 0,5 m A A A segmentti sektori kolmio 0, , 0 m (0, m 0, 5 m) 60 (0, m) 0, m r,0 m,0 m Koko ala on A, 0 m, 0 m 0, m 8, m. Vastaus: Ikkunoiden ala on,8 m. 7. Lasimaalauksen pinta-ala A 9056, m 0, m ( 084, m ) 7, m. Vastaus: Ala on 7, m. 84 cm 7. Pienen ympyrän ala on r 60,, josta r 60,. Suuren 60, ympyrän säde on R 5 r 5. Ison ympyrän ala on F HG I 60, A R 5 5 KJ 60, cm cm 50 cm Vastaus: Ison ympyrän ala on 50 cm.. 56 cm,0 m 74. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 0 ( r5) r, josta 400 r 0r 5 r ja r 4. Vastaus: Alkuperäisen ruukun säde on 4 cm. r r 5 0 cm 5,0 cm

15 75. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio. r Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan r cos, josta 60 ja sektorin r r keskuskulma 0. Pythagoraan lauseella r r H G I K J, josta r ja r. Tällöin segmentin ala on 4 r r 0 A r F I segmentti r ja kysytyn alueen ala on 60 4 F HG A A segm entti r, r. I KJ Vastaus: Leikkausalueen ala on F HG HG KJ I r KJ, r. 76. Kolmion ala A k. Pythagoraan lauseella, josta kolmion hypotenuusan pituus on. Kuun sirpin ala saadaan vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala A py F HG I KJ. Segmentin ala on 4 90 Asegmentti Asektori Akolmio Kuun sirpin ala F I on Asirppi Apy Asegmentti HG K J 4 4. Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on. PALLO d 77. Puolipallon säde r 70, m. Puolipallon pinta-ala on A r (, m ) 98m 08 m. Koska grammasta kultaa voidaan takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 08 g. Vastaus: Kultaa tarvitaan 08 g.

16 b g, 78. Veden määrä V Ah r h km km km Vastaus: km 79. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 74, 0 ja 5, 7. Vastaus: Saaren etäisyys on 5,7 km ,, josta R R 00 m 80. Suorakulmaisesta kolmiosta 670 cos 09...,, josta 76, Säteen pituus R r 60 76, km km. Vastaus. Alueen säde maan pinnalla on km. 670 km R 0 00 km 670 km 8. a) Lennetään nopeammin kuin maapallo pyörii. b) Koska paikkakuntien aikaero on 5 h ja saapumisaika on tuntia ennen lähtöaikaa, on lentoaika 5 h h = 4 h. s 5900km km c) Keskinopeus on v 500 t 4 h h. Vastaus: Keskinopeus on 500 km/h km 8. Pythagoraan lauseella , josta 8097, Etäisyys maan pinnasta on h R 8097, km 6 70 km 700 km. Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 700 km. R h

17 8. r r 4, 4, cm 7,5 cm Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 75, ( r4, ) r, josta 7, 89 56, 5r 8, 4r7, 64 r ja r 88,. 84, Vastaus: Pallon säde oli 8,8 cm. 84. Hillan massa 096 m 0, 0065 kg 6, 5 g. Koska dm hilloja kg painaa kg = 000 g, niin hillan tilavuus on 0, 0065 dm 6, 5 cm. Hillan säde on 4 65, 65, r 65,, josta r ja r. 4, 4 Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm ja säde, cm. 85. Koska tiheys m m kg, niin tilavuus V 090,... dm. Rakeen säde V kg 097, dm 4, on r 090,... ja r 064, (dm). 4 Vastaus: Rakeen tilavuus oli, dm ja säde 6,4 cm. 4

18 LIERIÖ 86. R0: V = 55, 4700 (mm ) R6: V = 70, (mm ) R4: V =, (mm ) R0: V = 6, (mm ) 6LR6: V = (mm ) 87. Yksikkömuunnos 00 l = 0,00 m r = pohjaympyrän säde r 0, 000, 000, r 0, , Pohjaympyrän halkaisija on r 0,46 (m). Vastaus: 0,46 m 88. Yksikkömuunnos 5 cm =,5 dm A A A 0, 0, 5, 99, (dm ) P V V A P h 0, 5, 785, 7,9 (dm ) Vastaus: 7,9 dm, 00 cm 89. Yksikkömuunnokset 0,00 mm = 0,00000 m ja km = m V Ah m 0,00000 m,0 m = 000 l Vastaus: 000 l 90. a) kehän pituus p 6, 0 7, 699 7, 7 b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus mm = 0, cm A ( 60, 075, ) 60, 0, 075, 0, 0 c) tilavuus V 6,0 0,0 0,75 0,0,... 5, 0 g tiheys, g/cm,...cm Vastaus: a) 7,7 cm b) 0 cm c), g/cm 5

19 6 m V 5,6400 ( dm ) 0,700 V r h :( r ) V 0,0 m h V r r 6 5, m h 8000 m = 8 km (0, 0 m) Vastaus: 8 km ,640 0 dm 5,640 0 m, 0,0 m m 0 kg V, dm =, m 0,700 kg/dm V r h :( r ) 9 V, m h m = 900 km r (0, 0 m) Vastaus: 9 00 km 9. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja korkeutena,0 cm. V Ap h 50, 0, 60 (cm ) Vastaus: 60 cm 94. Yksikkömuunnos 0,5 l = 500 cm V r h V 500 cm, h5 mm =,5 cm 500 r,5 :,5 500 r, r, 5 r 0,00... cm r cm Vastaus: cm 95.,4 kg:n nestemäärän tilavuus on dm,0 kg:n nestemäärän tilavuus on,0, 4 dm = 0,8 dm = 8, cm Lasketaan lieriön korkeus h 6

20 V Ah V 8, cm, A90 cm 8, h :90 8,... h 90 Vastaus: 9, cm 9, 96. Poistettavan maan tilavuus V 0000 m 0, 5 m = 5000 m V löyhtynyt, m 8000 m Kuormia Vastaus: 50 kuormaa 97. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla. A 4, 5, 8, 8, 8 5, 0 4, 48 Maalataan kahteen kertaan A = 8,96 8, 96 Maalia 0 litraa 80, Vastaus: 0 l 98. Kuution särmä a 4 Maapallon tilavuus (680 km) 4 a a km Vastaus: 0 00 km,8,8 4,5 99. V 7 km 95 km 0, 040 km 46, 6 km näkyvä Näkyvä osuus on kymmenesosa koko vuoresta, joten V kok 046, ( km ) V vesi V 09, 46609, 4067, 4000 (km ) kok Vvesi 406, 7 km 406, 7 km 4, Vkulutus 4, 0 m 40 km,4 vuotta v kk Vastaus: Tilavuus km, veden tilavuus km ja se vastaa v kk:n kulutusta. 7

21 400. h 000, mm = 0 mm V 0, 0 m 0, 07 m 0, 000 m = 6, 7 m 6,m A 0, 0 m 0, 97 m m m A80 g / m g 5000 kg Vastaus: cm, 6, m, kg 40. 9, 0 kg:n kultamäärän tilavuus on m 5 5 kg:n kultamäärän tilavuus on m 0, m = 95,0 cm 9,0 Kultaharkon pituus eli lieriön korkeus h 5, 0 9, 0 V Ah V 95,0..., A 5,4 5,0 9,0 95,0... 5,4h 95,0... 7,8 h : 7,8 95,0 h 4 7,8 Vastaus: 4 cm a) V suklaa 50, 5, 5... b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 0,0 cm,5 cm 4 V suklaa , 5, 5... c) Palloja on rasiassa 7 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde 0,0 cm on 6 4 0,0 500 V suklaa 7 5, Vastaus: a) 54 cm b) 54 cm c) 54 cm cm palloja mahtuu rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 7 V tyhjä = V kuutio V pallot = , 868,... cm,9 dm 5,0 cm palloja mahtuu 6 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä V tyhjä = V kuutio V pallot = , 868,... cm,9 dm Vastaus: Molemmissa,9 dm 8

22 404. Lieriön tilavuus V r h 5, Lasketaan lieriöiden pohjien säteet. V r h : h V r h V r h r r r r Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet r 50, r r 0, r r4 00, r r5 0, r Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio, Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on :, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä suuret. V Ah h h h h 68, h 68, F Apohja h H G I 68, K J 4985,... h h 9

23 A h h 68, F vaippa H G I K J A kok 4, , , 0 (m ) Vastaus: 5,0 m 9970, = särmiön pituus A 08, 08, 09, 09, 484, 484, = 0 V 08, 09, 80, (cm ) Vastaus: 70 cm 407. mv 4 m pallo 05,, 0 kg = 5,9... kg m 0 jalusta 065, 5, 5,, = 89,... kg Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa m segm F I HG 0,,,, K J, 0 m kok 89,... 5, , kg Vastaus: 700 kg b g =9,5... kg 408. a) r ulko 65, 9, b) r sisä 5, 50,... 4 Kerroksen paperimäärän keskiarvo = 9, 6..., , 5, 5 Kerroksia yhteensä 7,... 05, Paperia yhteensä 7,...6,8 cm 7 00 cm = 7 m Vastaus: a) 9 cm b) 4 cm c) 7 m 4 V r pallo ,... Vkuutio bg r joten ulkopuolelle jää 00 % 5,5 % 47,6 % Vastaus: 47,6 % 6, ,8 0,9 0

24 KARTIO 40. Yksikkömuunnos,5 m = 5 cm Kartion korkeus h h 5 80 h 80 5 h = 9,5... V r h (5 cm) 9, 5... cm cm, m A A A pohja vaippa Vastaus:, m,,0 m (5 cm) 5 cm 80 cm cm, 0 m 4. Yksikkömuunnos, dm = cm Kartion sivujana s s = 6 + s 80 s = 8,6... Avaippa rs8, (cm ) tan 6 65 Vastaus: 00 cm, V r h V 5,0 dm, h5,0 dm 5,0 r 5,0 75,0 r 5,0 : (5,0 ) 75,0 r 5,0 75,0 r 5,0 r,65... Pohjan halkaisija r 5, dm Vastaus:,5 dm

25 4. Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tasasivuisen kolmion korkeusjana a a + 5 =0 a 75 a = 8,66... A ,... 0 Pyramidin korkeus h h + 5 = a e j 5 h 75 h 50 7, V Ah ,... 0 Vastaus: Ala 70, tilavuus 40 a Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on,4 m. 7 A vaippa 4, 69, Kartion pohjaympyrän kehän pituus 7 r 60, 4 r = 0,48 A pohja = r 0, 48 0, A kok =,69 + 0,78 4, (m ) Kartion korkeus h h + 0,48 =,4 h 5, 596,5... V 0, 48, ,57 (m ) Vastaus: 4, m,0,57 m,4 m Kartion sivujana 5,0 Pohjaympyrän kehän pituus 0, 0 5, 0 Pohjaympyrän säde r r 50, r =,5 Kartion korkeus h h +,5 = 5,0 h 8, 75 4, 0...

26 V 5, 40,... 8 (cm ) Vastaus: 8 cm 46. Pyramidin korkeus h h + 40,0 = 0,0 h 800 h =,... V 80, 0, (cm ) = 4 (dm ) A = A pohja + A vaippa = , 00, (cm ) Vastaus: 4 dm, cm 47. Sivutahkokolmion korkeus a a +,5 = a 96, 75 a = 9,9... Pyramidin korkeus h h +,5 = a h h 96, 75, 5 64, 5 6, 6... V 6, (cm ) A 4 9, (cm ) Vastaus: 900 cm, 400 cm 48. Hiekkaa tunnissa 600, cm = 60 cm Kartion korkeus h h h 60, 0 h 80 9, (cm) Vastaus: 60 cm ja,9 cm 5, cm 49. Yksikkömuunnos, dm = cm Suppilon kartio-osaan mahtuvan öljyn tilavuus V 76, cm = 00,69... cm = 0,69... ml Suppilo täyttyy nopeudella 50 ml/s 50 ml/s = 00 ml/s, dm

27 Täyttyminen kestää Vastaus: s 0, s s Yhdenmuotoisista kolmioista h h 6, 7 6, 6,,6 h =,6h + 4,7 h = 4,7 Alaosan katkaistun kartion tilavuus V, 6 b4, 7 6, 7g ,,, Yläosan kartion tilavuus V ,,, 9... V kok = 9,97 +, =,46... mv, 46..., 7 0 kg 0000 kg = 0 t Vastaus: 0 t h 6,7,6 4. Katkaistut pyramidit Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun pyramidin korkeus on ison kuution särmä pienen kuution särmä = 8,0 m,4 m =, m. Kokonaisen pyramidin korkeus: h h,,44 h 8, 0, 4,8,4 h = 8,0 h 8,4 h = 4 Vkatkpyr 8, 0 4, 4 4, 0, 78, (m ) 8,0 Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja,4 m. Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla: Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on s, jossa s on neliön sivu) Pienen kuution pohjan lävistäjä,4 m,6 4

28 Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä saadaan kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on 8,0,4, 5... Puolisuunnikkaan muotoisia ja 0 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl. 8, 0, 4 Vkok Valin pyramidi 8,5... 0,0 0 (m ) mv 0, 00 kg 0000 kg = 0 t Vastaus: 0 t 4. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista. Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5, 0 ja 0 Pyramidien korkeudet: h F HG 5 h 5 I KJ h =,55... h F HG I KJ h h = 7,07... h F HG 0 I KJ h h = 4, V kok , , , (cm ) Vastaus: cm 5

29 YHDENMUOTOISTEN KUVIOIDEN JA KAPPALEIDEN PINTA-ALOJEN JA TILAVUUKSIEN SUHDE 4. Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan A: 0,5 m 6 m 0,56 8,4 8 (cl) =,8 dl Vastaus:,8 dl V l 500 l V 0, 076 l = 76 ml Vastaus: 76 ml 0, l 45. V 4 0, l 4 V 0, 47 l Vastaus: 0,47 l 46. k 5, , k , Vastaus: : k 4, k 5000 Vastaus: : Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen: F I HG K J 60 m 0 m = 60 0 g = g = 80 kg Vastaus: 80 kg 6

30 GEOMETRIAA KOORDINAATISTOSSA F HG I K J b g 49. a) P 6 8 8, 8, b g b g 8 d 6 ( ) 8 8 b) P F HG I K J b g 04 68, 77, b g b g, d F I HG K J b c) P 7, 45, ; 05, g b g b g 8 d 7( ) ( ) 4 5, Vastaus: a) (,8), 8 b) (7,7), 00 4, c) ( 4,5 ; 0,5), 4 58, 40. a) P g 075, ; 6 d 4) 5 7 9, b) P F 45, ( ) 5( ) I HG, K J b b g b g F 0( ) 4, 5I HG, K J b685 ;, g b g b g F 0 4 I, HG K J b6; 5, 5g b g c b gh d 0) 4, 5 00, 5 4, c) P d 0) 4 4 0, 8 Vastaus: a) (0,75; 6), 9, b) ( 6; 8,5), 4, c) (6, 5,5), 0,8 4. A 45, tan 8,4 tan,7 A C B y 7

31 B 908, 47,6 C 90, 756, A 80 (7,656, ) 5, Vastaus: Ala 4,5 ja kulmat 5,,56, ja 7,6 HARJOITUSKOE. a) 55 ja 5 b) 80 (055 ) 95, 90 0 = 60, 9060= 0 ja 80 (095 ) 55 b g b g 45 P F HG I K J b g c) d 5 7, 5, ; a) A0 (,0 cm),6 cm A (0,0 cm) (8,0 cm) 40 cm 50 b) b 0, m 7,6 m , m A (0, m) 78 m 60 Vastaus: a),6 cm, 40 cm b) 7,6 m, 78 m l l 5. a) sin0 5 5sin0 =,5 40, b) cos40 c 5,0 0 40, c 5, cos40, c) tan 80 50, 58, 0 Vastaus: a),5 b) 5, c) 58 5,0 c 40 4,0 8,0 8

32 h 4. a) tan4 8, h, 8tan49, 6 Vastaus: 9,6 m 5. V = Ah A V h 000 cm cm 000 m = 0 a, cm Vastaus: 0 a h, Kartion sivujana s 50, 0 40, s s 56 50, Avaippa rs4, 050, , V 40, 500, ,... Maalia tarvitaan 6 (l). 5 Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan, pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. m 0, ,0 6 l m 0,0045 l =4,5 ml 5000 Vastaus: A = 60 m, V = 840 m. Maalia kuluu pylvääseen 6 l ja pienoismalliin 4,5 ml. 7. a) Kuutio, jonka särmä on pallon halkaisijan 9,5 cm = 9 cm suuruinen. 4 b) V 95, pallo 0, ,...%. Tyhjää tilaa jää 00 % 5,... % 48 %. V kuutio 9 c) d = 9 9 9, 9 Vastaus: a) Kuutio, jonka särmä on 9 cm. b) 48 % c),9 cm 60, 40, 8 8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen, tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio 9

33 m 5977, 0 t F HG 08, , 0 t0,8 m Vastaus: a) 60 km I KJ 04, t=4kg b) 4 kg l l HARJOITUSKOE 6. a) 6, 8 b) = 80 56= 4 (tangenttikulmaa vastaava keskuskulma) = 90 (tangentin ja säteen välisenä kulmana) 6 (kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta) 90(tangentin ja säteen välisenä kulmana) δ γ β 56. Keskuskulman ja kehäkulman suhde on :, joten keskuskulma on Sektorin ala A V astaus: a) Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 05, m F I HG 8 K J m 05, (g) =,9 (kg) b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö Akol Astr Astr Akol 8 4 A kol V astaus: a),9 kg b) Alaltaan 4-kertainen F H G I K J 8 40

34 4. tan 50, h 0 h 0tan 5, 0, 7 Vastaus:,7 km 5. a) Ap r 0,, b) h +,0 =, h 044, 06, 6... V r h 0, 066,... 06, 9 c) Avaippa rs0,, 8, Vastaus: a), m b) 0,69 m c),8 m 6. Lasketaan kahden pallon tilavuuksien erotuksena F 4 4 I V HG b670 0, 0000g 670 K J 400 Vastaus: 400 km 7. Kanta 5, 5 b g = = 4 Kolmion korkeusjana h puolittaa kannan 4,0. h + = 5,5 h 6, 5 5,... A 45,... 0 Vastaus: 0 cm 8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b b) 66' 609' 7' 7 60 cos h +,5 +,5 h 670 h 670 4

35 b670 hgcos cos 7 h 60 cos 7 60 Vastaus: a) 54 km 5, b) 5, km HARJOITUSKOE. a) =80 ( ) = 7 b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto = 4 Vastaus: a) 7 b) Ala A muodostuu neliöstä,josta on leikattu,5 säteinen neljännesympyrä A 5, 5, 4 A varj = 5,0 8A 4 5,0 Vastaus: 4. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö 0 F A 6 I 6 K J HG 07 A 7, (m ) 6 b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. m F 85 6 I 6 K J HG 856 m 0, 049 kg = 49 g 7 Vastaus: a),7 m b) 49 g 5,0 A,5,5 4

36 0, 4. sin 8, 0, 69, (m) sin 8, Vastaus: 6,9 m 5. V 08,, 0, 05, 76(m ) mv 0, 576, kg < t eli voidaan nostaa Vastaus: Kyllä. 6. Oletetaan, että silmät ovat,6 m korkeudella. 0, cos 670, 006 0, , b km 60 Vastaus: noin 5 km Sivutahkokolmion korkeus a a + 0 = 5 a = 55 Pyramidin korkeus h h + 0 = a h 45 h = 0,65... V 0 0, (m ) 0,... tan Vastaus: 700 m, 64 4

37 8. (,4) (9,4) d d P h (,) b g b g, b7 g b 4g 5 F I, 4 K J = (5 ;,5) d d b) P HG 9 c) Suunnikkaan kanta a = 7 = 6 Suunnikkaan korkeus h = 4 = A ah 6 8 (7,) Vastaus: a) 7 ja 5 b) (5 ;,5) c) 8 a) 44

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6 MAB: Avaruuskappaleita 6 Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot