Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1"

Transkriptio

1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

2 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

3 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta vastemuuttujaan tilanteessa, jossa tekijöillä on vain kaksi tasoa? Esitiedot: Yksisuuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Useampisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

4 2 k -faktorikokeet Avainsanat F-testi Faktorikoe Interaktio Jäännösneliösumma k-suuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Kolmisuuntainen varianssianalyysi Koodaus Kontrasti Luonnollinen muuttuja Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Ryhmä Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Vastemuuttuja Vastepintamalli Yhdysvaikutus TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

5 2 k -faktorikokeet >> 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

6 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää A, B joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala ()ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 2 -faktorikokeen tilastollinen malli on kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

7 2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 2 -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 2 = 2 2 = 4 käsittelykombinaatiota: A B Käsittelykombinaatio A = matala B = matala A = korkea B = matala A = matala B = korkea A = korkea B = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

8 2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen /2 Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A ja B korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a ja b. (ii) Merkitään tekijöiden A ja B matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon molempien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

9 2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen 2/2 Käsittelykombinaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: A B Merkintä () a b ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

10 2 2 -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 2 n = 2 2 n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: () = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () a = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () b = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 0

11 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 2 2 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa neliöllä: b ab B () a A TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

12 2 2 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala (): a () n B b Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea (): ab b A n Tekijän A päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: ab b a () A= = [ ab ab ()] 2 n n 2n () a ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

13 2 2 -faktorikokeet Tekijän B päävaikutus Tekijän Bvaikutus, kun tekijän A taso on matala (): b () n B b Tekijän Bvaikutus, kun tekijän A taso on korkea (): ab a A n Tekijän B päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: ab a b () B= = [ ab a b ()] 2 n n 2n () a ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

14 2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus /2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän A vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän B tasolla. Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on korkea (): (ab b)/n Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on matala (): (a ())/n b ab B () a A TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

15 2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus 2/2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: ab b a () AB = 2 n n ab a b () = 2 n n ab () a b = 2 n n b ab B () a A = [ ab a b ()] 2n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

16 2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat kontrasteja Tekijöiden A ja B päävaikutukset sekä yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): A= [ ab ab ()] 2n b ab B () a A B= [ ab a b ()] 2n AB = [ ab a b ()] 2n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

17 2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksen neliösummat Koska tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSA = [ ab a b ()] 4n SSB = [ ab a b ()] 4n SSAB = [ ab a b ()] 4n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

18 2 2 -faktorikokeet Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =, 2,, n, i =, 2, j =, 2 Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on 2 2 n 2 2 n SST = ( ykij y ) = iii ykij T 4n jossa iii i= j= k= i= j= k= 2 2 n T = y = ab a b () iii i= j= k= on kaikkien havaintoarvojen summa. kij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

19 2 2 -faktorikokeet Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: 2 2 SSE = ( y y ) n i= j= k= n k = kij ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. iij jossa n y ij = i ykij, i=,2, j =,2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

20 2 2 -faktorikokeet Varianssianalyysihajotelma Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SSA SSB SSAB SSE jossa SSE on kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20

21 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 2 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

22 2 2 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko 2 2 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H AB, H A, H B perustuvat seuraavaan varianssianalyysitaulukkoon: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE 4(n ) MSE = SSE/df Kokonaisvaihtelu SST 4n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22

23 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A ja B ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon A = Tekijän A arvo, kun tekijän A taso on korkea () A = Tekijän A arvo, kun tekijän A taso on matala () B = Tekijän B arvo, kun tekijän B taso on korkea () B = Tekijän B arvo, kun tekijän B taso on matala () TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23

24 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat A ( A A)/2 x =, A= A, A ( A A )/2 B ( B B)/2 x2 =, B= B, B ( B B )/2 Koodattujen muuttujien x ja x 2 arvot:, jos A = A x =, jos A = A x 2 =, jos B = B, jos B = B TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24

25 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/ faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y= β β x β x β x x ε y x x = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutusta A vastaava koodattu selittäjä = Päävaikutusta B vastaava koodattu selittäjä x x 2 = Tekijöiden A ja B interaktiota vastaava koodattujen selittäjien x ja x 2 tulo TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25

26 2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β β x β x β x x ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo 2b = A = Tekijän A päävaikutus 2b = B = Tekijän B päävaikutus 2b = AB = Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26

27 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet >> 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27

28 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kolme faktoria eli tekijää A, B, C joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 3 -faktorikokeen tilastollinen malli on kolmisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28

29 2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 3 -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa = 2 3 = 8 käsittelykombinaatiota: A B C A = matala B = matala C = matala A = korkea Käsittelykombinaatio A = matala B = korkea B = matala C = matala C = matala A = korkea B = korkea C = matala A = matala B = matala C = korkea A = korkea A = matala B = korkea B = matala C = korkea C = korkea A = korkea B = korkea C = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29

30 2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen /2 Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A, B, C korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, b ja c. (ii) Merkitään tekijöiden A, B, C matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien kolmen tekijän matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30

31 2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen 2/2 Käsittelykombinaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: A B C Merkintä () a b ab c ac bc abc TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

32 2 3 -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on n = 2 3 n = 8n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: (), a, b, ab, c, ac, bc, abc TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32

33 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 2 3 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa kuutiolla: bc abc c ac C b ab () a B A TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33

34 2 3 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus /2 Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala () ja tekijän C taso on matala (): (a ())/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea () ja tekijän C taso on matala (): (ab b)/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala () ja tekijän C taso on korkea (): (ac c)/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea () ja tekijän C taso on korkea (): (abc bc)/n Tekijän A päävaikutus on edellisten keskiarvo: A = [( a ()) ( ab b) ( ac c) ( abc bc)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34

35 2 3 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus 2/2 Tekijän A päävaikutus saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijän A vaikutusten keskiarvo, kun tekijän A taso on korkea (): ( abc ab ac a)/(4 n) (ii) Lasketaan tekijän A vaikutusten keskiarvo, kun tekijän A taso on matala (): ( bc b c ())/(4 n) (iii) Tekijän A päävaikutus on edellisten erotus: A = [( abc ab ac a) ( bc b c ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35

36 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden B ja C päävaikutukset Samalla tavalla kuin tekijän A päävaikutus saadaan tekijöiden B ja C päävaikutukset: B = [( abc ab bc b) ( ac a c ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) C = [( abc ac bc c) ( ab a b ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36

37 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus /2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän A vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän B tasolla. Tekijän A vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän B taso on korkea (): [(abc bc) (ab b)]/(2n) Tekijän A vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän B taso on matala (): [(ac c) (a ())]/(2n) Siten tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on AB = [( abc bc) ( ab b) ( ac c) ( a ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37

38 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus 2/2 Tekijöiden A ja B interaktio saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijöiden A ja B vaikutusten keskiarvo, kun molempien tekijöiden A ja B taso on samanaikaisesti korkea () tai matala (): ( abc ab c ())/(4 n) (ii) Lasketaan tekijöiden A ja B vaikutusten keskiarvo, kun toisen tekijän A ja B taso on korkea () ja toisen matala (): ( ac bc a b)/(4 n) (iii) Tekijöiden A ja B interaktio on edellisten erotus: AB = [( abc ab c ()) ( ac bc a b)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38

39 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja C ja tekijöiden B ja C yhdysvaikutukset Samalla tavalla kuin tekijöiden A ja B yhdysvaikutus saadaan tekijöiden A ja C ja tekijöiden B ja C interaktioiksi eli yhdysvaikutukset: AC = [( abc ac b ()) ( ab bc a c)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) BC = [( abc bc a ()) ( ab ac b c)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39

40 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C yhdysvaikutus Tekijöiden A, B, C interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän AB interaktioiden erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän C tasolla: ABC = [( abc bc) ( ac c) ( ab b) ( a ())]/(4 n) = [( abc a b c) ( ab ac bc ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 40

41 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A, B ja C pää- ja yhdysyhdysvaikutuksien geometrinen havainnollistaminen 2 3 -faktorikokeeseen liittyviä pää- ja yhdysvaikutuksia voidaan havainnollistaa seuraavilla kaavioilla: c ac b A B C () a bc abc ab AB AC CB ABC TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

42 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat kontrasteja Tekijöiden A, B, C päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): A = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) B = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) C = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) AB = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) AC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) BC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) ABC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42

43 2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummat Koska tekijöiden A, B, C päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX jossa = 2nX X = A, B, C, AB, AC, BC, ABC viittaa vastaavaan kontrastiin. 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43

44 2 3 -faktorikokeet Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon jossa y lijk = l. havainto tekijän A tason i, tekijän B tason j ja tekijän C tason k määräämässä ryhmässä (i, j, k) l =, 2,, n, i =, 2, j =, 2, k =, 2 Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on SST = y y = y T T iiii = n n ( ) lijk iiii lijk iiii i= j= k= l= i= j= k= l= 8n n i= j= k= l= = abc ab ac bc a b c () on kaikkien havaintoarvojen summa. y lijk TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44

45 2 3 -faktorikokeet Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: SSE = ( y y ) n i= j= k= l= n l = lijk ryhmän (i, j, k) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. iijk jossa n y ijk = i ylijk, i=,2, j =,2, k =,2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45

46 2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysihajotelma Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC SSE jossa SSE on kolmisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46

47 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 3 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H ABC : Ei yhdysvaikutusta ABC H AB H AC H BC H A H B H C : Ei yhdysvaikutusta AB : Ei yhdysvaikutusta AC : Ei yhdysvaikutusta BC : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta : Ei C-vaikutusta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47

48 2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko / faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H ABC, H AB, H AC, H BC, H A, H B, H C perustuvat seuraavan kalvon varianssianalyysitaulukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48

49 2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko 2/2 Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB MSB = SSB/df F B = MSB/MSE C SSC MSC = SSC/df F C = MSC/MSE AB SSAB MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE AC SSAC MSAC = SSAC/df F AC = MSAC/MSE BC SSBC MSBC = SSBC/df F BC = MSBC/MSE ABC SSABC MSABC = SSABC/df F ABC = MSABC/MSE Jäännös SSE 8(n ) MSE = SSE/df Kokonaisvaihtelu SST 8n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49

50 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A, B, C ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () jossa X = A, B, C TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50

51 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/2 x=, X = X, X ( X X)/2 Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X X x = =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

52 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/ faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y= β β x β x β x y x i x i x j β xx β xx β xx β xxx ε = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia vastaavat koodatut selittäjät = Tekijöiden A, B, C pareittaisia interaktioita vastaavat koodattujen selittäjien tulot x x 2 x 3 = Tekijöiden A, B, C interaktiota vastaava koodattujen selittäjien tulo TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52

53 2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β β x β x β x β2xx 2 β3xx 3 β23xx 2 3 β23xxx 2 3 ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo 2bi = Tekijöiden A, B, C päävaikutukset 2b = Tekijöiden pareittaiset yhdysvaikutukset ij 2b = Tekijöiden A, B, C yhdysvaikutus Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53

54 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet >> 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54

55 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten k faktoria eli tekijää A, B, C,, K joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 k -faktorikokeen tilastollinen malli on k-suuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55

56 2 k -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 k -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2#$%$& 2 " 2= 2 k k kpl käsittelykombinaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56

57 2 k -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, b, c,, k. (ii) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). 2 k -faktorikokokeen koeasetelmaa voidaan havainnollistaa k-dimensionaalisella kuutiolla; ks. esimerkkejä kappaleissa 2 2 -faktorikokeet ja 2 3 -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57

58 2 k -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 k n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: () a, b,, k ab, ac,, jk abc, abd,, ijk abc k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58

59 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen /2 Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja interaktiot eli yhdysvaikutukset voidaan määrätä kaavalla X = a± b± k± n k ( )( ) "( )/( 2 ) jossa X viittaa määrättävään päävaikutukseen tai yhdysvaikutukseen ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavan säännön mukaan: Merkki =, jos vastaava tekijä on mukana määrättävässä vaikutuksessa Merkki =, jos vastaava tekijä ei ole mukana määrättävässä vaikutuksessa Lisäksi on korvattava laskutoimitusten jälkeen merkinnällä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59

60 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen 2/2 Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja; ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 60

61 2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummien määrääminen Koska tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX = n X k jossa X viittaa vastaavaan kontrastiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

62 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko Testit 2 k -faktorikokeen nollahypoteeseille perustuvat seuraavilla kalvoilla esitettävään varianssianalyysitaulukkoon. Täydellisestä taulukosta esitetään seuraavat neljä osaa: (i) Päävaikutukset (ii) Kahden tekijän interaktiot (iii) Kolmen tekijän interaktiot (iv) k:n tekijän interaktiot, jäännösvaihtelu, kokonaisvaihtelu TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 62

63 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Päävaikutukset Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA F A = MSA/MSE B SSB MSB F B = MSB/MSE C SSC MSC F C = MSC/MSE K SSK MSK F K = MSK/MSE Päävaikutusten lukumäärä: k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 63

64 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Kahden tekijän interaktiot Tekijöiden A, B, C,, K kahden tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE AB SSAB MSAB F AB = MSAB/MSE AC SSAC MSAC F AC = MSAC/MSE JK SSJK MSJK F JK = MSJK/MSE Kahden tekijän interaktioiden lukumäärä: k 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 64

65 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Kolmen tekijän interaktiot Tekijöiden A, B, C,, K kolmen tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE ABC SSABC MSABC F ABC = MSABC/MSE ABD SSABD MSABD F ABD = MSABD/MSE IJK SSIJK MSIJK F IJK = MSIJK/MSE Kolmen tekijän interaktioiden lukumäärä: k 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 65

66 2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: k:n tekijän interaktio, jäännös- ja kokonaisvaihtelu Tekijöiden A, B, C,, K k:n tekijän interaktio, jäännösvaihtelu ja kokonaisvaihtelu: Vaihtelun lähde ABC K Kokonaisvaihtelu Jäännösvaihtelu SS SSABC K SSE SST 2 k (n ) 2 k n MSABC K MSE k:n tekijän interaktioiden lukumäärä: df MS = SS/df k = k F = MS/MSE F ABC K = MSABC K/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 66

67 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A, B, C,, K ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () jossa X = A, B, C,, K TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 67

68 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/2 x=, X = X, X ( X X)/2 Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 68

69 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/4 2 k -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y x i = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia A, B, C,, K vastaavat koodatut selittäjät x i x j = Kahden tekijän interaktioita vastaavat tulot x i x j x l = Kolmen tekijän interaktiota vastaavat tulot 0 k " y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 69

70 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b0 = Kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo 2bi = Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset 2b = Kahden tekijän yhdysvaikutukset ij 2b = Kolmen tekijän ijl 0 k " y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l yhdysvaikutukset " Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 70

2 2 -faktorikokeen määritelmä

2 2 -faktorikokeen määritelmä TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta

Lisätiedot

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien

Lisätiedot

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking) 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa 5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla

Lisätiedot

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa 5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486. Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit

Lisätiedot

Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista.

Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla.

Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. 5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa. 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen

Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N = 2

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking) 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät

Tilastolliset menetelmät Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.

6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa (high, low). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa. 6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

9. Muita koeasetelmia. Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

9. Muita koeasetelmia. Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1 Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

4.2 Useampi selittävä muuttuja (kertausta)

4.2 Useampi selittävä muuttuja (kertausta) 14.2.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet Luento 14.2.2019 4.2 Useampi selittävä muuttuja (kertausta) Selittäjien lukumäärä k (k-ra) = + + + + Malliin liittyvät oletukset i ~ N(0, 2 ) ja i:t ovat

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate).

nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). 8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi

Lisätiedot