Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!"

Transkriptio

1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

2 LYHYT KEVÄT, YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. 1. a) Ratkaise yhtälö 2( x 4) 3( x 3) 0. b) Laske lukujen 3 4 ja 6 käänteislukujen keskiarvo. 5 c) Sievennä lauseke 3 a 6 a 3 a a) Millä muuttujan x arvoilla 4 x 17 on suurempi kuin 2 x? 2 b) Ratkaise yhtälö x 14 x 49. c) Suora kulkee origon ja pisteen (2, 3) kautta. Kulkeeko se myös pisteen (48, 75) kautta? 3. a) Laske derivaatta f '(1), kun f ( x ) x ( x 2) 5. 3x 1 x 3 x 1 b) Ratkaise yhtälö Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää 21,90, Sannan jäädessä 28,20 ja matkan loppusumma on 33,50. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan? 5. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma maanpinnan tasosta katsottuna? 39 m α α 26 m 50 m

3 2 6. Tennispalloja myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa, johon mahtuu neljä palloa tiiviisti päällekkäin pakattuna. Tennispallon halkaisija on 6,68 cm. Kuinka monta prosenttia pakkauksen tilavuudesta pallot täyttävät? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. Lähde: tour davis cup official tennis balls 12 dozen/p (Luettu <http://www.fruugo.fi/wilson-tour-davis-cup-official-tennis-balls-12-dozen/p > ) Luettu Mitä arvoja funktio 3 2 f ( x) 2x 2x 10x 5 saa välillä [0, 2]? 8. Vuonna 2005 yksityishenkilöiden maksuhäiriöiden lukumäärä Suomessa oli , ja vuonna 2011 se oli a) Kuinka monta prosenttia maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. b) Vuonna 2011 ministeriö asetti tavoitteeksi vähentää maksuhäiriöiden määrän neljässä vuodessa takaisin vuoden 2005 tasolle. Kuinka monta prosenttia määrä vähenee vuodessa, kun vuotuinen vähenemisprosentti on sama? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella Uudet maksuhäiriöt Henkilöille Yrityksille Lähde: <http://www.asiakastieto.fi/asiakastieto/tilastot/maksuhairiot/>. Luettu (Luettu ) 9. Neliön piiri on yhtä pitkä kuin ympyrän kehä. a) Kuinka monta prosenttia neliön pinta ala on pienempi kuin ympyrän pinta ala? b) Kuinka monta prosenttia ympyrän pinta ala on suurempi kuin neliön pinta ala? Anna vastaukset prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

4 3 10. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä a) silmälukujen summa on vähintään kahdeksan? b) silmälukujen summa on suurempi kuin niiden tulo? Lukujonossa ( a n ) on a 1 2 ja a 2. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa, 5 kun jono on a) aritmeettinen b) geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella. 12. Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta on 1,25 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? 13. Mikropiirin transistoreiden lukumäärä N N( t ) on kasvanut alla olevan kuvan mukaisesti. Ajanhetkellä t 0 (vuosi 1971) lukumäärä oli 2 300, ja hetkellä t 40 (vuosi 2011) se oli Lukumäärä noudattaa mallia N( t) N(0) e. a) Määritä vakion a kaksidesimaalinen likiarvo näiden tietojen perusteella. b) Perustele a kohdan avulla niin sanottu Mooren laki, jonka mukaan transistoreiden lukumäärä kaksinkertaistuu noin kahden vuoden välein. at lkm lkm Core Xeon Westmere EX 10 Core 10 Core Xeon Westmere EX Westmere EX Pentium Pentium Intel Intel vuosi vuosi

5 4 14. Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat 12,30 kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat euroa. Koteloita myydään aluksi 17,99 eurolla, mutta viimeiset 25 % myydään varaston tyhjentämiseksi 14,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta. a) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän x avulla lausuttuna. b) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän x avulla lausuttuna. c) Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla? 15. Alla on funktion f ( x) Asin( bx ) kuvaaja välillä x [ 720, 720 ]. Määritä kuvaajan perusteella a) vakion A arvo b) vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L 0 ja f ( x L) f ( x ) kaikilla x. y

6 &'()(*'((+(**7,, / ,63 H7 827,92381, ,,1,331 I(JK+*J+)5 2,97733 LLLMNOPQROSNTUUVWMPX1/ Y : Y77, =LLLMNOPQROSNTUUVWMPX 32,=XUPZ[NOPQROSNTUUVWMPX 28879=\#]^$_`#%$a$ E77 EFG E5,3 E3- E ,9, ,39, ; ! , , , / ,99,988189,28 8,63596,2989<5=9,2331,361896, , , , : bfg ,= , , , 37633, , : !"#1$1"#%$ !0, ,1891; b5, ,95-51D , ! , ,989,9, /,3 99,9873 3, ,23,

7 13 788!" !#"9:;<= !#"9:5$= !#"9 8!"3#6$$9%&'(&)* ,-./ & & GHHIH

8 #$%&3'7'88()*8)+89,-./3,-.'3*30/%*898951*273%92%*%3 456!"" " '8&%)95448 $%&3951*273%946 9*')*339*%*8*33'%()*8,:-.%&3951*2739;?3*3;$%&38)'7/8()*889,:-.'3* <8"8=: 8 > E G HI GJ I G HK GJ E G HL GJ E G HM GJ

9 !"#$%&',/0 +/0/0 +/0/0/0 +/0/ /0, /0("#$%)/0(&') + / "#$%#,- 51 A C DE CF A C DG CF A C DH CF A C DI CF A C DJ CF "#$%*&' "#$%()&'

10 %7&2333$$' ) $*$' &.87 /33%7&2333($ $$,! "+,.)3993+, " "($ *'#$ ($ #$ 3-37,(,,(, +, : 5 7 8; 7:

11 "!0123!45 (72)*+3), %'/ %&'7#$! !"# =337( :#$2!01! ?5 :#1#!!012892! 1#!:#8;1#!23<5 "#$!%&' B D EH DGB D EI DG B DB D EF DG B D EK DG B D EJ DG

12 %5&78&'93%352%5&989323!!"3 &8(") (")!!"#$ * ,-./"01 352%5&78&' ( ")+,-./ I &JKL &J & G33H3756*F =!)!!" CDDD E*F ")9:;< =!)(?0>B6>( 1* M O PQ OR M O PS OR M O PU OR Q O PT OR

13 19 %!!8% 18# : :!! <"896!7 =332333#6"$36!7!! "73"+*32, # 8 7!49!3 "9# "93#6"1 /034 6! % ;# 7!"786 7!&;'1 9$3% 3*8# " #6" "73"+* /. 93#6"6! #6"6!7 7!&'1(87)556!6! !;1 A C DG CF A C DE CF A C DI CF E C DH CF 9

14 D EFG# E5# !, /6083 3!"36#$9% A / %,36 33%, // %3391,891' ' &4'&( & '( $12' 3'&4( + $ )*** %3 16'136 32' 3':&;<=> 4' (?$60831 ***87B&C K J LO JN K J LP JNK J LQ JN K J LM JN H J

15 !"#$ "! , &-"( F GHI G % &'9&'()"!*("(+( 3./55509&-1&' &-23"24( ( : 3"24(2 =>>> A./55509&-1&' &'23"24( (2 ;<!BC!>>>?!B<C0 :159 "1: J L MR LO J L MQ LO J L MP LO J L MN LO J L MS LO

16 : :559*12' & ;<!"# % ,!"# $% +,<-)..*')12*1//4445*12'7 -)./*')/.0)123.'' '(')*' B D EH DG B D EF DG B D EJ DG F D EI DG

17 )3* ,!( 2%$&""" 433, ' //(01!"#!"#$ ! //.01 :; (/ 2%:& <1 = ": ":# B D EH DG B D EI DG B D EF DG

18 +,, / / / (33)*2239"%&' !"### 6 8 9: 8; $"%&' 6 8 9< 8;

19 18369 &''8''9(899') " #$ 7'' :; ; < 43356(899')559 *+#,$ *+,!-*+#,$ 31 #!$! $ %-$.+ 1 $!! 2 %!01 3/

20 B ;CDEF ;C5:F ;G 6" : ;39:;892;838988;31 3" =33>? ;39:;892;838988;39: &'()'$% #$%*+ 2/0((&,-... ((&,-...*/0 /01$% 3/0((&,-...*+ 3/0*+3!2/0 3& &5 (&<-<... 4&6:3!*/0 3*913&-...!*+! H J KO JM H J KL JM H J KN JM H J KP JMH J KQ JM

21 B CDEF C5F G ()*+255, )""1.33, ! , ! $##* ! *+255, /$$1.33, /2"*4"#$$$&$!983998"#$$$ &)""$)*'/$$$*&2""* % &1 &2""*4'"#$$$ &/2"*4"#$$$ /2"*&"#$$$:;/2"* )""$)* /$$$* &'"#$$$ 3 4% &$##/#"<<< =$##* H JK J LM JN K J LP JN K J LO JN K J LQ JN

22 019#2 : $%559*8575$593#*78 9=>()1?33<&=>()1 "21#$%33&!'()* 9#$%33&3() &(*#92&!'() #$3 /3()&!'()673() +,-&.!'() ;< &!'() J H IN HK.& &./! &(89 &!1& F H IJ HKF H IL HK !1 F H IM HK

Pitkän matematiikan kertaustehtävät

Pitkän matematiikan kertaustehtävät Pitkän matematiikan kertaustehtävät Kurssit 1-10 Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja kappalejako

Lisätiedot

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015

Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015 Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä

AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio 2: Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 9 lk. Osio : Trigonometriaa ja geometrian tietojen syventämistä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä. 1 Osio : Trigonometriaa ja geometrian

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden

Kreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Lukiotason matematiikan tietosanakirja

Lukiotason matematiikan tietosanakirja niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja

AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 8 lk. Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 1: Yhtälöitä ja prosentteja 1. Yhtälö... 4. Yhtälön

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta

Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta Mekaniikka 1 Lukion fysiikan kertausta 21.7.2009 Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Kiihdyttäviä autoja, lipsuvia hihnoja, loistavia tehtäviä, loistavaa filosofiaa LAske! Sisältö Alustavia lähtökohtia mekaniikkaan...

Lisätiedot

$ $($( )) * + $ $((,%- # $((,%- $ ($(. +/ $ (( 0 $ (( 0 1 $

$ $($( )) * + $ $((,%- # $((,%- $ ($(. +/ $ (( 0 $ (( 0 1 $ "# %%&% ' (( )) * + ((,%- # ((,%- ((. +/ (( 0 (( 0 1 ((, # ( (, ' ( ( 2)'/) ( ( / (#( &30 (#( +))'+) (#( +))'+) " (#( 0 (#( &30 4 ("( &30 # ("( +)/) # ("( 5 * " ("( 6* # ("( 7 ) # (( ' #4 (( 2 #4 (( &30

Lisätiedot

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus

b) Ampeerin määritelmä perustuu kahden pitkä yhdensuuntaisen virtajohtimien väliseen voimavaikutukseen, joka on magneettinen vuorovaikutus Fotoni 6 6-1 Kertaustehtäviä Luku 1 1. a) Tee lyhyesti selkoa sähkövirran vaikutuksista. b) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuu ampeerin määritelmä? c) Mihin sähkövirran vaikutukseen perustuvat akun

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Solmu 1/2000 2001 Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Taustana tarinallemme on tämän kevään lyhyen matematiikan yo-tehtävä, jossa käskettiin osoittamaan, että yhtälöllä f(x) = x 3 4x 2 = 0 on juuri

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat

Palloja voi pyörittää kevyellä liikkeellä normaaliasennosta (harmaa) vaakatasossa niin, että numerot tulevat PELIOHJE 1 (14) Pelaajat: 2-4 pelaajaa Ikäsuositus: 6+ SISÄLTÖ / PELIVÄLINEET 1 kääntyvä satataulu 100 lukukorttia (sis. luvut 1-100) 6 jokerikorttia 2 noppaa (sis.luvut 1-10) 30 pelimerkkiä PELI OPETTAA

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä

AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA Tilastoja ja todennäköisyyksiä Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Tilastoja ja todennäköisyyksiä 1. Kuvaajien tulkintaa... 4 2.

Lisätiedot

LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 1 MAT1LH001

LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 1 MAT1LH001 HAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Liiketalous, Pasila LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 1 MAT1LH001 Katri Währn Syksy 2013 ESIPUHE Tämä luentorunko on tarkoitettu oppikirjan tueksi eikä suikaan korvaamaan sitä. suosittelen

Lisätiedot

HYÖDYKEMARKKINAT. Sisältö. Matti Estola. 5. marraskuuta 2013. 1 Erilaiset markkinatilanteet 4. 2 Miksi erilaisia markkinatilanteita esiintyy 5

HYÖDYKEMARKKINAT. Sisältö. Matti Estola. 5. marraskuuta 2013. 1 Erilaiset markkinatilanteet 4. 2 Miksi erilaisia markkinatilanteita esiintyy 5 HYÖDYKEMARKKINAT Matti Estola 5. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Erilaiset markkinatilanteet 4 2 Miksi erilaisia markkinatilanteita esiintyy 5 3 Yritys täydellisesti kilpailluilla markkinoilla 8 3.1 Hinnan

Lisätiedot

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi

Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Solmu 1/2008 1 Miten nostaa yläasteen oppilaitten kiinnostusta matematiikan sanallisia tehtäviä kohtaan? Esimerkkejä, neuvoja, analyysi Pavel Shmakov MAFYKE-lehtori, Käpylän peruskoulu, Helsinki shpavel@luukku.com

Lisätiedot

Hinnoittelun ABC Opas tietotuotteiden ja palveluiden hinnoitteluun

Hinnoittelun ABC Opas tietotuotteiden ja palveluiden hinnoitteluun Hinnoittelun ABC Opas tietotuotteiden ja palveluiden hinnoitteluun Julkaistu vuonna 2005 osana HIMA Hinnoittelumallit asiakassuhteessa projektia Sisältö Lukijalle...3 Oppaan keskeisiä käsitteitä... 5 Miksi

Lisätiedot

Mitä valtuutetun on syytä tietää kunnallisesta eläketurvasta

Mitä valtuutetun on syytä tietää kunnallisesta eläketurvasta Mitä valtuutetun on syytä tietää kunnallisesta eläketurvasta Kunnanvaltuutettuna päätät myös eläkeasioista Valtuutettuna olet mukana tekemässä strategisia päätöksiä, jotka vaikuttavat eläkeasioihin, siihen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Talouskoulu TILINPÄÄTÖS

Talouskoulu TILINPÄÄTÖS OSA 1: MIKÄ ON TILINPÄÄTÖS? OSA 2: TULOSLASKELMA JA TASE OSA 3: YRITYKSEN TOIMINNAN LAAJUUS JA KANNATTAVUUS OSA 4: VAKAVARAISUUS OSA 5: MAKSUVALMIUS JA TEHOKKUUS OSA 6: KERTAUS JA YHTEENVETO Mikä on tilinpäätös?

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

Tehokkaan Tuotannon Tutkimussäätiö JULKAISUSARJA 3. Työvoima tehokkaaseen käyttöön

Tehokkaan Tuotannon Tutkimussäätiö JULKAISUSARJA 3. Työvoima tehokkaaseen käyttöön Tehokkaan Tuotannon Tutkimussäätiö JULKAISUSARJA 3 Työvoima tehokkaaseen käyttöön JUHANA VARTIAINEN Työvoima tehokkaaseen käyttöön eli miksi työn tarjonnan lisääminen ratkaisee kestävyysvajeemme Tehokkaan

Lisätiedot