Adaptiiviset verkontihennysmenetelmät lujuuslaskentaohjelmistossa

Transkriptio

1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Rakenne ja rakennustuotantotekniikan laitos Rakennetekniikan tutkinto ohjelma Adaptiiviset verkontihennsmenetelmät lujuuslaskentaohjelmistossa Kandidaatintö Mari Vuorinen

2 Teknillinen korkeakoulu Rakenne ja rakennustuotantotekniikan laitos Rakennetekniikan tutkinto ohjelma Kandidaatintön tiivistelmä Tekijä: Mari Vuorinen Tön nimi: Adaptiiviset verkontihennsmenetelmät lujuuslaskentaohjelmistossa Päiväs: Sivumäärä: Vastuuopettaja: Professori Jukka Aalto. Rakenteiden mekaniikka. Ohjaajat: TkT Jarkko Niiranen & DI Timo Manninen, TKK. Rakenne ja rakennustuotantotekniikan laitos. Adaptiivinen verkontihenns prkii pienentämään elementtimenetelmän numeerisuudesta aiheutuvaa virhettä vähillä laskentakustannuksilla. Tässä tössä selvitetään Abaqus ohjelmiston automaattisten adaptiivisten verkontihennsmenetelmien toimintaperiaatteita sekä tutkitaan niiden toimintaa ohuilla laattarakenteilla. Laattarakenteiden ksinkertaisimmat laskentamallit eli Kirchhoffin Loven sekä Reissnerin Mindlinin laattamallit selitetään. Lisäksi kerrotaan elementtimenetelmän perusperiaatteet ja adaptiivisen verkontihennksen idea. Abaqus ohjelmiston kättämän Zienkiewiczin ja Zhun kehittelemän verkontihennksen perusperiaatteet selostetaan lhesti. Tutkimus painottuu adaptiivisella verkontihennsmenetelmällä tihennetn verkon vertailuun tasaisesti tihennetn verkon kanssa. Vertailun kohteena tasaisesti tihennetn verkon kanssa ovat laskentakustannukset eli ratkaisun tarkkuus suhteessa elementtien lukumäärään, ja vertailuarvona kätetään laatan venmäenergiaa sekä maksimitaipumaa. Tutkimuksen tuloksia vertaillaan aikaisempiin tutkimuksiin. Vertailun kohteena aikaisempien tutkimuksien kanssa on pääasiassa adaptiivisesti tihennetn verkon muoto. Tutkimustapauksia on kolme: ensimmäisessä laatassa on singulaarinen nurkkapiste; toisen laatan reunoilla on nopeasti muuttuvia jännitssuureita; kolmas laatta on kuormitettu osittain. Ensimmäisen laatan kanssa Abaqus ohjelmiston adaptiivinen verkontihenns tuottaa suuria hötjä, toisen laatan kanssa sillä ei huomata juurikaan eroa tasaiseen tihennkseen, ja kolmannelle laatalle sillä saadaan hieman tarkempia tuloksia suhteessa elementtien lukumäärään kuin tasaisen tihennksen kanssa. Tulokset vastaavat melko hvin vertailututkimuksia, mutta toisen tutkimustapauksen kanssa saadaan osittain poikkeavia tuloksia. Avainsanat: Kieli: Elementtimenetelmä, FEM, Adaptiivinen verkontihenns, Superconvergent Patch Recover, laattarakenne, Abaqus Suomi

3 Sisällsluettelo 1 Johdanto...1 Laattarakenteiden matemaattiset mallit Laattamallien kinemaattiset oletukset Kirchhoff Love laattamalli Reissner Mindlin laattamalli Muodonmuutokset Jännitsresultanttien määritelmät Tasapainoehdot Reunaehdot Materiaalimalli Elementtimenetelmä Pääperiaatteet Elementtimenetelmän tarkkuus Adaptiivinen verkontihenns Abaqus lujuuslaskentaohjelmisto Laattaelementit Abaqus ohjelmistossa Adaptiiviset verkontihennsmenetelmät Abaqus ohjelmistossa Virheindikaattorit Tihennsmenetelmät Rajoitteet Esimerkkitapaukset Tutkimusongelmat ja menetelmät Mallinnusperiaatteet Tasaisesti kuormitettu, L:n muotoinen laatta Tasaisesti kuormitettu neliölaatta Osittain kuormitettu neliölaatta Tulokset Tasaisesti kuormitetun L laatan tutkimustulokset Tasaisesti kuormitetun neliölaatan tutkimustulokset Osittain kuormitetun neliölaatan tutkimustulokset Johtopäätökset... 0

4 1 Johdanto Elementtimenetelmä (finite element method, FEM) on tapa ratkaista matemaattinen ongelma pilkkomalla ratkaisualue osiin. Sen kättö rakennesuunnittelussa alkoi 1950 luvulla [1, s. ], ja matemaattisesti sitä alettiin tutkia 1960 luvulla, jolloin se mös sai nkisen nimensä [, s. 13]. Tietokoneiden kehits on helpottanut numeerista analsia, ja mallinnus ja laskentaohjelmistojen kehits on tehnt elementtimenetelmästä differentiaalihtälöiden ratkaisemisen [, s. 14; 3, s. 4] sekä tietokoneavusteisen insinöörisuunnittelun (computer aided engineering, CAE) [1, s. 1] leisimpiä tökaluja. Yksi leisesti kätett ohjelmisto on Dassault Sstèmes:in 3D mallinnus ja FEMlaskentaohjelmisto Abaqus [4]. Vaikka laskentaohjelmistojen kehits on mahdollistanut hä vaativampien rakenteiden suunnittelun, laskennan vieminen tietokoneen harteille on vähentänt tietokonelaskelmien taustalla vaikuttavien matemaattisten mallien ja ksinkertaistusten mmärtämistä. Matemaattinen malli (general mathematical model) on aina todellisuuden idealisointia, ja sen tarkkuus riippuu siitä, miten hvin otetaan huomioon tulokseen vaikuttavat tekijät [5, s. 3]. Kätännön insinööritössä matemaattisesta mallista tehdään ksinkertaistettu matemaattinen malli (simplified mathematical model), jolla otetaan kantaa siihen, mikä kseisessä tehtävässä on tärkeää. Sen tarkkuus määrät insinöörikokemuksen perusteella, ja siihen vaikuttavat kätössä olevat laskentaresurssit [5, s. 3.] Elementtimenetelmä on numeerinen menetelmä, jolla saadaan likiarvoratkaisu ksinkertaistetulle matemaattiselle mallille. Yleisen matemaattisen mallin luominen johtaa poikkeamiin todellisuudesta (idealization error) [6, s. 9 10] ja tämän mallin ksinkertaistaminen poikkeamiin leisestä matemaattisesta mallista eli mallinnusvirheeseen (modeling error). Yksinkertaistetun mallin numeerinen laskenta johtaa puolestaan poikkeamiin ksinkertaistetun mallin tarkasta ratkaisusta eli diskretointivirheeseen (discretization error). [6, s. 9 10; 7, s. 1414; 8, s. 5.] Tämä poikkeaminen todellisuudesta useassa kohdassa analsia voi johtaa suuriinkin virheisiin, jos ksinkertaistuksia ei mmärretä. Virheanalsistä onkin tullut hä merkittävämpi osa rakenneanalsiä. Diskretointivirheitä voidaan vähentää elementtien lukumäärää lisäämällä. Tällöin elementtien muodostama laskentaverkko tihenee. Näin ratkaisu saadaan tarkemmaksi, mutta samalla laskentatehtävä muuttuu raskaammaksi. Teollisuudessa ei leensä pritä mahdollisimman tarkkaan ratkaisuun vaan parhaaseen kompromissiin ratkaisun laadun ja laskennan viemien ajan sekä resurssien (computation cost) välillä [7, s. 140]. Rajallisten tietokoneresurssien vuoksi onkin järkevää kohdentaa elementtiverkon tihenns ainoastaan kohtiin, joissa laskentasuureet muuttuvat eniten [3, s. 4]. Tätä kutsutaan

5 adaptiiviseksi verkontihennkseksi (adaptive mesh refinement). Lujuuslaskentaohjelmistoihin on kehitett menetelmiä, jotka tekevät verkon tihentämisen automaattisesti. Mös Abaqus ohjelmistoon on kehitett automaattisesti toimiva adaptiivinen verkontihennstoiminto. Tämän tutkimuksen tarkoituksena on perehtä Abaqus ohjelmiston automaattisiin verkontihennsmenetelmiin. Tutkimuksen painopiste on kolmen esimerkkitapauksen analsoinnissa. Ne on valittu vastaamaan aikaisempia tutkimuksia [9; 10; 11], jotta saatuja tuloksia voidaan verrata toisten tutkijoiden tuloksiin. Ensimmäisenä esimerkkitapauksena kätetään tasaisesti kuormitettua L:n muotoista laattaa, toisena esimerkkitapauksena on neliönmuotoinen laatta tasaisella kuormituksella, ja kolmanneksi adaptiivista verkontihennstä kokeillaan neliölaatalla, jota kuormittaa osittainen kuormitus. Esimerkkitapauksien laatat ovat ohuita ja kevesti taipuvia, joten niitä voidaan tarkastella tasomuodonmuutostilassa olevina, Kirchhoffin Loven tai Reissnerin Mindlinin laattateorioita noudattavina laattamalleina. Lisäksi laatat ovat homogeenista ja isotrooppista materiaalia. Tön alussa on esitett Kirchhoffin Loven ja Reissnerin Mindlinin laattamallit sekä elementtimenetelmän perusperiaatteet.

6 3 Laattarakenteiden matemaattiset mallit.1 Laattamallien kinemaattiset oletukset Kuva 1. Laatta karteesisessa koordinaatistossa [1, s. 3] Seuraavassa tarkastellaan jakaantuneella kuormalla q kuormitettua, h:n paksuista laattaa, joka on sijoitettu kuvan 1 mukaisesti karteesiseen koordinaatistoon siten, että ja akselit ovat laatan keskipinnassa ja z akseli osoittaa kuorman ja taipuman suuntaan. Siirtmävektorin =(u, u, u z ), tai leisimmin kätetin merkinnöin =(u, v, w), komponenteille voidaan kirjoittaa [5, s. 47]: 3 ui = ui0 (, ) ui 1(, ) z ui (, ) z ui3(, ) z..., i =,, z. (1) Kun siirtmävektoria approksimoidaan huomioimalla sen sarjakehitelmästä (1) äärellinen määrä termejä, saadaan erilaisia laattamalleja. Kun termejä lisätään, päädtään lopulta kolmiulotteiseen kimmoteoriaan. [5, s. 57.] Siirtmävektoria approksimoidessa tehdään mallinnusvirhe [5, s. 57] ja määrätään suurin tarkkuus, johon laskenta voi ltää. Onkin mmärrettävä, ettei paraskaan laskentaohjelmisto korjaa mallissa tehtjä virheitä [3, s. 6]. Mallin valinta perustuu ratkaisun matemaattiseen sileteen ja reunaehtoihin sekä siihen, mikä laskentatulos on kiinnostuksen kohteena [5, s. 57; 9, s. 1850]. Yleisimmin kätett laattamallit ovat Kirchhoffin Loven ja Reissnerin Mindlinin laattateoriat [9, s. 1850], joita kutsutaan klassisiksi laattateorioiksi [5, s ]. Ne olettavat laatan olevan ohut ja ksinkertaistavat sen kaksiulotteiseksi malliksi [3, s. 335]..1.1 Kirchhoff Love laattamalli Kirchhoffin Loven laattateoria (1850) [3, s. 344] vastaa palkkien Bernoulli Eulerpalkkiteoriaa [1, s. 3]. Sitä kutsutaan mös muun muassa lineaariseksi laattateoriaksi [13, s. 38], ja se perustuu seuraaville kinemaattisille oletuksille [6, s. 11 1; 13, s. 38]: Keskipinta ei ven, eli se on niin sanottu normaalipinta. Keskipinnan normaalit säilvät suorina ja kohtisuorassa deformoitunutta keskipintaa vasten. Keskilinjan pisteet siirtvät ainoastaan z akselin suunnassa.

7 Oletukset ovat luonnollisesti todellisuuden ksinkertaistuksia, mutta Kirchhoff Lovelaattateoria antaa usein riittävän tarkkoja tuloksia ohuen laatan tapauksessa, jos taipumat ovat pieniä laatan paksuuteen nähden [1, s. ; 13, s. 38]. Kirchhoffin Loven kinemaattiset oletukset pelkistävät siirtmäkomponentit (1) seuraavasti [5, s. 5; 6, s. 1]: 4 u w(, ) = z, u w(, ) = z, u w(, ) z =. ().1. Reissner Mindlin laattamalli Reissnerin Mindlinin laattateoria (Reissner, 1945 & Mindlin, 1951) [3, s. 344] vastaa palkkien puolella Timoshenkon palkkiteoriaa [1, s. 3]. Se perustuu seuraaville kinemaattisille oletuksille [6, s. 11]: Keskipinta ei ven, eli se on niin sanottu normaalipinta. Keskipinnan normaalit säilvät suorina, mutta eivät välttämättä kohtisuorassa keskipintaa vasten. Keskilinjan pisteet siirtvät ainoastaan z akselin suunnassa. Oletukset siis ksinkertaistavat todellisuutta vähemmän kuin Kirchhoffin Loven oletukset. Reissner Mindlin laattateoria päteekin suhteellisen ohuille laatoille [9, s. 1850]. Siirtmäkomponentit (1) pelkistvät oletuksista seuraavasti [10, s. 3]: u = β (, z, u = β (, z, u z = w(, ). (3) ) ) Lausekkeissa β (, ) on kiertmä akselin ja β (, ) akselin mpäri.. Muodonmuutokset Jos siirtmien oletetaan olevan pieniä, lineaarisen kimmoteorian (linear theor of elasticit) mukaan muodonmuutoksille eli venmille ja liukumille saadaan johdettua [14, s. 1 3] niiden määritelmistä seuraavanlaiset lausekkeet [5, s. 47; 14, s. 3]: u ε =, u u γ =, u ε =, u u z γ z =, z u ε z z =, z u u z γ z =. z (4)

8 5 Kirchhoffin Loven laattamallilla muodonmuutoksiksi saadaan [6, s. 1] w(, ) ε = z, = z w(, ) ε, ε z = 0, w(, ) γ = z, γ z = 0, γ z = 0, (5) ja Reissnerin Mindlinin laattamallilla puolestaan [6, s. 1] β (, ) β (, ) ε = z, ε = z, ε z = 0, γ z 1 w 1 w z β β = ( β ), γ z ( β = ), γ = ( ). (6).3 Jännitsresultanttien määritelmät Kuva. Kalvovoimat [1, s. 9] Kuva 3. Leikkausjännitkset sekä taivutus ja vääntömomentit [1, s. 10] Kalvovoimat N, N ja N, leikkausjännitkset Q ja Q, taivutusmomentit M ja M sekä vääntömomentit M määritellään seuraavasti [5, s. 48]: h / N = σ dz, N = σ dz, N = N = τ dz, (7) h / h / z h / h / h / h / Q = τ dz, Q = τ z dz, (8) h / h / h / h / M = σ z dz, M = σ z dz, M = M = τ z dz. (9) h / Lausekkeissa on normaalijännits ja on leikkausjännits. Koska laattaa kuormittaa nt vain pstsuora kuormitus, ja koska siirtmien oletetaan olevan pieniä, laatta noudattaa tasomuodonmuutostilaa ja kalvovoimat häviävät [3, s. 337]. h / h / h / h /

9 6.4 Tasapainoehdot Virtuaalisen tön periaatteen mukaan sisäisten ja ulkoisten voimien virtuaalisten töiden summa häviää kaikille reunaehdot toteuttaville virtuaalisille siirtmille [15, s. 5]: int et δ W δw = 0, u r int δ U. W = δε r et r r δ r dv, δ W = V δu f dv. (10) V σ Kun laatan kuormitus jaetaan tilavuusvoimiin f ja pintavoimiin t, saadaan [16, s. 5] V ( f δu V f δu ( σ δε σ δε τ z z f δu ) dv δγ τ A z ( t δu Koska nt kalvovoimat häviävät, f = f = t = t = 0. δγ z τ t δu z z t δu z δγ ) dv z = 0. ) da Kun virtuaalisen tön periaatteen lausekkeeseen (11) sijoitetaan jännitsresultanttien määritelmät (7) (9), saadaan laatan tasapainoehdot [6, s. 13; 13, s. 40] (11) Q Q q = 0 M M, Q = 0 M M, Q = 0, (1) jotka Kirchhoffin Loven laattamallin tapauksessa hdistetään seuraavasti [13, s. 41]: M M M q = 0. (13).5 Reunaehdot Reunaehdoista tiedetään joko taipuma tai leikkausjännits sekä joko kiertmä tai taivutusmomentti [5, s. 53]. Kirchhoffin Loven laattamallin leisimpiä reunaehtoja ovat [5, s. 53; 6, s. 14] w( s) jäkkä tuenta (clamped), w ( s) = 0, = 0 n, ja vapaa tuenta (simpl supported), w ( s) = 0, M n ( s) = 0. Reissnerin Mindlinin laattamallin leisimmät reunaehdot ovat [5, s. 57; 6, s. 13] jäkkä tuenta, w( s) = β ( s) = β ( s) = 0, n s vapaa tuenta (hard simpl supported), w( s) = β ( s) = 0, ( s) = 0, ja nivelellinen tuenta (soft simpl supported), w ( s) = 0, M ( s) = M ( s) = 0 s M n n s.

10 7 Lausekkeissa w(s) tarkoittaa taipumaa reunalla s ja s tarkoittaa kiertmää reunan mpäri. n puolestaan tarkoittaa kiertmää reunan normaalin n mpäri. Vastaavasti M s tarkoittaa momenttia reunan mpäri ja M n momenttia reunan normaalin mpäri. Kirchhoffin Loven laattamalli ei tunne soft simpl supported tuentaa [6, s. 14]..6 Materiaalimalli Materiaalimalli ktkee jännitkset ja muodonmuutokset toisiinsa. Tässä keskittään homogeeniseen ja isotrooppiseen materiaaliin, joka noudattaa Hooken lakia = z z E σ σ σ ν ν ν ν ν ν ε ε ε , = z z z z E τ τ τ ν γ γ γ ) (1. (14) Laatan tasomuodonmuutosotaksuma jättää jännitksen z pienenä huomioimatta. Materiaalimallista (14) sijoitetaan joko jännitkset tai siirtmät edellisiin lausekkeisiin. Ensimmäistä ratkaisutapaa nimitetään siirtmämenetelmäksi, toista voimamenetelmäksi, ja niiden hdistämistä kutsutaan sekamenetelmäksi [, s. 1]. Kun materiaalimalli (14) sijoitetaan jännitsresultanttien htälöihin (7) (9), Kirchhoffin Loven jännitsresultanteille saadaan [5, s. 5] ) ( w w D Q =, ) ( w w D Q =, (15) ) ( w w D M = ν, ) ( w w D M = ν, w D M = ) 1 ( ν, Reissner Mindlinin jännitsresultanteiksi puolestaan tulee [5, s. 55] ) ( w G h Q = β κ, ) ( w G h Q = β κ, (16) ) ( D M = β ν β, ) ( D M = β ν β, ) ( 1 3 Gh M = β ν β. ) (1 ν = E G on liukumoduuli [5, s. 47], ) 1 (1 3 ν = E h D taivutusjäkks [5, s. 5], ja on Poissonin vakiosta riippuva vakio (shear correction factor) [5, s. 55]. Laattaongelmalle ei leensä saada analttistä, suljetussa muodossa esitettävää ratkaisua. Usein laatat ratkaistaan approksimoimalla taipumafunktiota ja hödntämällä energiaperiaatteita. Elementtimenetelmä perustuu tällaiseen menetteln.

11 8 3 Elementtimenetelmä 3.1 Pääperiaatteet Kuva 4. Elementtimenetelmä [ 8, s. 5] Elementtimenetelmän ideana on jakaa tarkasteltava alue äärellisiin osa alueisiin eli elementteihin (finite element) e, jotka muodostavat elementtiverkon (finite element mesh). Seuraavassa h tarkoittaa elementin kokoa erotuksena aikaisempaan. Jokaiselle elementille osoitetaan oma approksimaatio, joka kuvaa halutun laskenta arvon, esimerkiksi taipuman tai lämpötilan, jakauman elementin solmupisteiden (nodal point) välillä, kun arvot niissä tunnetaan [, s. 13; 3, s. 1 4]. Approksimaatio on leensä polnomifunktio [3, s. ]. Näin tuntemattomien suureiden lukumäärä vähenee solmupisteiden lukumääräksi, koska loput arvot saadaan johdettua solmupistearvoista. Tuntemattomia arvoja kutsutaan vapausasteiksi (degrees of freedom) [3, s. 4]. Esimerkiksi jos u e (,,z) kuvaa jatkuvaa siirtmätilaa elementin e alueella, sille voidaan muodostaa approksimaatio u h,e (,,z) muotofunktion N e (,,z) ja elementin solmuvapausasteiden U e avulla seuraavasti [, s. 184; 8, s. 10]: u e(,, z) uh, e(,, z) = [ N e(,, z]{ U e} 1e ne e1,..., en, (17) = [ N,..., N ]{ u u } Τ missä n kuvaa solmuvapausasteiden lukumäärää. Kun vapausasteita on vain elementin nurkissa, u e,h saa ensimmäisen asteen polnomifunktion muodon ja puhutaan lineaarisesta elementistä [3, s. 98; 8, s. 10]. Kun vapausasteita lisätään elementin reunoille ja sisälle, polnomifunktion kertaluku kasvaa ja puhutaan korkeamman kertaluvun elementeistä, joista alin on kvadraattinen eli toisen kertaluvun elementti [3, s. 106; 8, s. 1]. Jatkuvasta, äärettömän määrän vapausasteita sisältävästä ssteemistä (continous sstem) on tällä menetelmällä saatu nt rajallinen eli diskreetti (discrete sstem) [, s. 19; 3, s. 4]. Elementtimenetelmä onkin jatkuvan ssteemin korvaamista pistejoukolla, mitä kutsutaan diskretoinniksi (discretization) [, s. 19].

12 Virtuaalisen tön periaatteen ja potentiaalienergian minimin periaatteen avulla saadaan johdettua [, s ] elementtimenetelmän tasapainohtälö { F } = [ K]{ U}, (18) jossa [K] on koko diskretoidun ssteemin jäkksmatriisi, {F} solmupisteisiin redusoitu voimavektori ja {U} on koko ssteemin solmuvapausasteiden muodostama vektori [, s ]. Ne muodostetaan summaamalla elementtien vastaavat ratkaisut. Elementtien jäkksmatriisit saadaan integroitua materiaali ja muodonmuutoshteksistä [, s. 187]. Lauseke (18) on siirtmämenetelmän mukainen ratkaisutapa. Voimamenetelmässä saadaan vastaava tulos kättämällä komplementaarisen virtuaalisen tön ja komplementaarienergian minimin periaatteita [, s. 17 ja 5]: { U} = [ K] 1 { F}. (19) Approksimaatio on leensä jatkuva (compatibilit requirement), ja eritisesti sen tulee johtaa alkuperäisen ssteemin suuruiseen ratkaisuun, kun vapausasteiden lukumäärä kasvaa (completeness requirement). Tätä kutsutaan approksimaation lähestmiskriteeriksi (converge criterion) [3, s. 9 93]. Laattamallien ksinkertaisimpien elementtiapproksimaatioiden derivaatat eivät leensä ole jatkuvia, mutta ne lähestvät jatkuvaa ratkaisua, kun vapausasteiden lukumäärä kasvaa [, s. 393 ja 396; 3, s. 361] Elementtimenetelmän tarkkuus Koska jatkuva ssteemi korvataan äärellisellä määrällä vapausasteita, snt diskretointivirhe [8, s. 5], joka määritellään seuraavasti [1, s. 68; 8, s. 5]: r r e = u, (0) h u h missä u on jatkuvan ssteemin, u h on diskreetin ssteemin ratkaisu ja tarkoittaa valittua matemaattista normia eli virhemittaria. Virhe voidaan määrittää sekä hdelle elementille (local error) [1, s. 188] että koko rakenteelle (global error) [7, s. 1416]. Virhettä voidaan arvioida etukäteen sen tiedon avulla, joka elementtimenetelmän kaavoihin laitetaan, jolloin puhutaan a priori virhearviosta (a priori error estimate) [1, s. 110]. Se antaa teoreettista tietoa ratkaisun tarkkuudesta [6, s. 18]. A posteriori virhearviot (a posteriori error estimate) puolestaan muodostetaan tehtävän ratkaisemisen jälkeen, ja ne ovat tärkeitä tulosten luotettavuuden arvioimisen välineitä [1, s ]. A priori virhearvio on leensä kvalitatiivinen ja globaali; a posteriori virhearvio antaa mös kvantitatiivista ja lokaalia tietoa [6, s. 18]. Tpillisesti virhearviot mitataan energianormissa (energ norm) [10, s. 6]. Arvioitava suure voi olla periaatteessa mikä tahansa, mutta Babuška ja Strouboulis muistuttavat, että suure tulee valita huolella laskentaongelman mukaan, ja että sen tulee olla mitattavissa ja kustannustehokkaasti lasketta

13 vissa [1, s. 417]. A posteriori virhearvion tarkkuutta ja tehokkuutta mitataan tehokkuusindeksillä (effectivit inde) [7, s. 1416] e ~ h 10 h ψ =, (1) e jossa h on approksimaatio oikeasta virheestä e h. Yleensä pritään todellista virhettä suurempaan arvioon eli tehokkuusindeksiin 1 [7, s. 1416]. Elementtimenetelmän tarkkuutta voidaan parantaa joko lisäämällä elementtien vapausasteita tai tihentämällä elementtijakoa [1, s. 7; 3, s ]. Ensimmäistä lähestmistapaa kutsutaan p menetelmäksi (p version) ja toista h menetelmäksi (h version) [1, s. 7; 7, s. 1418; 8, s. 4]. Molemmat vaikuttavat siten, että laskentasolmujen lukumäärä lisäänt. Ne voidaan mös hdistää hp menetelmäksi (hp version) [1, s. 7]. 3.3 Adaptiivinen verkontihenns Kun laskentaa tarkennetaan vain alueilla, joilla laskentasuureissa on suuria vaihteluja, puhutaan adaptiivisesta verkontihennksestä. Yleensä kätetään elementtien lukumäärää lisäävää menetelmää, mutta mös adaptiivinen vapausasteiden lisäs on mahdollista [7, s. 1418]. Adaptiivisen verkontihennksen tarkoituksena on saavuttaa tiett tarkkuus mahdollisimman pienillä laskentakustannuksilla [7, s. 1418]. Ideana on saavuttaa ratkaisu, jonka elementtikohtaiset virhenormit ovat pienempiä kuin jotkut määrätt arvot [10, s. 15]. Adaptiivinen verkontihenns toimii siten, että ensin melko harvalle verkolle suoritetaan laskenta ja lasketaan virheet sekä elementeille että koko alueelle. Tämän jälkeen h menetelmään perustuvassa menettelssä lasketaan uudet elementtikoot, jotka huomioivat, missä on suurin virhe, missä laskenta arvo muuttuu jrkimmin, ja miten paljon elementtien annetaan muuttua uudelleenverkottamisen aikana [7, s ]. Tämä tehdään virheindikaattoreiden (error indicator) avulla [1, s. 417; 10, s. 17]. Tihennstä toistetaan kunnes määrätt tarkkuus on saavutettu jokaiselle elementille [10, s. 17].

14 11 4 Abaqus lujuuslaskentaohjelmisto 4.1 Laattaelementit Abaqus ohjelmistossa Abaqus ohjelmistossa ei ole erikseen laattaelementtejä, vaan laattojenkin laskenta suoritetaan kuorielementeillä [17, luku 3.6.1]. Vaikka laattarakenteiden laatta ja kuorielementeillä ei ole geometrista eroa, kuorielementti eroaa laattaelementistä siinä, että kalvovoimat otetaan huomioon laskennassa [, s. 410]. Abaqus laskee laatat niin sanottujen leiselementtien mukaan [18, luku 3.6.1]. Ne laskevat ohuet laatat Kirchhoffin Loven kinemaattisten oletusten mukaisina, ja paksuuden kasvaessa siirrtään Reissnerin Mindlinin kuoriteoriaan [17, luku 3.6.]. Tutkimus suoritettiin siten, että ensimmäiselle tutkimustapaukselle kätettiin kolmioelementtejä, joita Abaqus ohjelmassa merkitään koodeilla S3 ja STR165 [17, luku 3.6.7]. Toiselle ja kolmannelle tutkimustapaukselle kätettiin koodeilla S4R ja S8R nimitettjä [17, luku 3.6.7] neliöelementtejä. 4. Adaptiiviset verkontihennsmenetelmät Abaqus ohjelmistossa Abaqus ohjelmiston adaptiivinen verkontihennsmenetelmä valitaan verkontihennssäännön (remeshing rule) avulla. Siinä mallille määrätään alue ja kuormitustapaus, johon sääntöä kätetään, virheindikaattori (error indicator), elementtien koon määräävä tihennsmenetelmä (sizing method) sekä rajoitteet. [19, luku ] Säännön avulla Abaqus suorittaa iteratiivista verkontihennstä, jossa virheindikaattorin avulla elementeille lasketaan uudet koot. Se siis perustuu h menetelmään. Adaptiivista verkontihennstä jatketaan kättäjän määräämien iteraatiokertojen verran tai niin kauan kunnes verkontihennssäännössä määrätt tarkkuus on saavutettu [17, luku 1.3.1] Virheindikaattorit Virheindikaattorit ovat koko elementtiä kuvaavia muuttujia, jotka osoittavat virheen suuruutta. Abaqus ohjelmiston manuaalissa muistutetaan, että ne ovat likimääräisiä, ja että niiden laatu voi olla hvinkin heikko, jos verkko on harva. Abaqus kättää Zienkiewiczin ja Zhun kehittämää indikaattoritppiä [17, luku 1.3.], jota nimitetään Superconvergent Patch Recover (SPR) menetelmäksi [0, s. 07]. Mös Okstad et al. [11, s. 698] sekä Lee ja Hobbs [10, s. 1] ovat tutkineet tätä menetelmää. Se muodostetaan leensä jännitksien avulla. Jännitskenttä r h saadaan elementtimenetelmän ratkaisun u h funktiona. Virhearviota parannetaan korvaamalla jännitskentän approksimaatio r h niin sanotulla parannetulla arvolla (recovered value) r h *. Parannettuja arvoja kerätään solmupisteistä kuten elementtimenetelmässäkin, ja solmupistearvojen väliä kuvataan

15 samanalaisilla, mutta korkea asteisemmilla muotofunktioilla kuin htälössä (17) on esitett. Elementin parannettu jännitskenttä (recovered stress field) ilmaistaan polnomifunktiona elementtijoukon li [11, s. 698], ja virhettä e h,r approksimoidaan arvolla e h,r * [0, s. 08]: r r r r e, e, * = *. () h r h Saadut virhearviot lähestvät oikeaa virhettä tarkkuuden kasvaessa [11, s. 698]. SPRmenetelmällä suoritettu verkontihenns kulkee Leen ja Hobbsin mukaan [10] pääpiirteittäin seuraavasti: Suhteellisen virheen (relative error) [10, s. 15] approksimaatioksi * tulee [10, s. 16] h r h h 1 eh eh * η = r η* = r, (3) u u * jossa u on ratkaisun energianormi ja u h * parannettujen arvojen avulla arvioitu energianormi (estimated energ norm) [10, s. 6] ja e h on virhenormi (error norm) ja e h * parannettujen arvojen avulla arvioitu virhenormi (estimated error norm) [10, s. 10]. Ne perustuvat erilaisiin laskentasuureisiin. Adaptiivisen verkontihennksen tavoitteena on saavuttaa ratkaisu, jossa suhteellinen virhe on enintään määrätt arvo *. Tästä saadaan paikallinen luvallinen virhenormi (local allowable total error norm) [10, s. 17] r uh * ea = η *, (4) n jossa n e on elementtien nkinen lukumäärä. Elementtikohtaiseksi tihennsindikaattoriksi elementille i saadaan [10, s. 17] a h e eh * e η Ω i* =, (5) e jolla elementille lasketaan uusi koko, kun ilmaisee tihennksen nopeutta [10, s. 17]: vanha uusi hi h i =, 1/(1 µ ) (6) ( η *) i Abaqus ohjelmistossa valitaan, kätetäänkö elementin energiatiheteen, Misesjännitksiin, ekvivalenttiin plastiseen venmään, plastiseen venmään, virumaan, lämpövirtaan, sähkövuohon vai sähköpotentiaalin gradienttiin perustuvia virheindikaattoreita. Niitä voidaan mös hdistää. [17, luku 1.3..] Laattaongelmaan sopivat elementin energiatiheteen perustuva eli ohjelmistossa lhenteellä ENDENERI merkitt [17, luku 1.3.] ja Mises jännitksiin perustuva eli lhenteellä MISESERI merkitt [17, luku 1.3.] indikaattori.

16 Tihennsmenetelmät Menetelmälle, jolla elementtien uudet koot määritellään, on kaksi vaihtoehtoa: niin sanottu minimi/maksimi menetelmä (minimum/maimum control) sekä tasaisen virhejakautuman menetelmä (uniform error distribution). Oletusarvoisesti Abaqus kättää tasaisen virhejakautuman menetelmää ENDENERI virheindikaattorin kanssa ja minimi/maksimi menetelmää MISESERI:n kanssa. Minimi/maksimi menetelmä tekee kaksi tavoitetta virheelle: toinen kontrolloi elementtien kokoa alueilla, joilla laskentatulos on korkein ja toinen alueilla, joilla ratkaisutulos on pienin. Sitä, miten virhetavoitteet vaihtelevat näiden arvojen välillä, voidaan säätää bias factor tekijällä (bias factor) arvojen heikko (weak) ja vahva (strong) välillä. Heikolla bias factor arvolla elementtien koot vaihtuvat jrkimmin minimiarvosta maksimiarvoon, ja vahvalla arvolla muutos on heikoin. Oletusarvoisesti Abaqus asettaa bias factor arvon enemmän vahvan puolelle. Tavoitevirheiden suuruudet voidaan päättää itse tai voidaan kättää Abaqus ohjelmiston oletusasetuksia, jotka laskevat virheen edellisten iteraatioiden perusteella. Tasaisen virhejakauman menetelmä prkii samaan virheeseen koko alueella. Mös tässä menetelmässä virhe on mahdollista määrittää itse, ja Abaqus oletusarvoisesti määrittää virheen edellisten iteraatioiden perusteella. Abaqus ohjelmiston manuaalissa suositellaan, että virheiden suuruuksien oletusasetuksia kätetään silloin, kun ei ole eritistä virhetavoitetta, mutta halutaan tietää verkontihennksen vaikutuksia tuloksiin. [17, luku ] 4..3 Rajoitteet Verkontihennssäännön rajoitteet koskevat elementtien kokoa ja tihennsmenetelmän aggressiivisuutta. Elementtien kokoa säädetään määräämällä niille minimi ja maksimikoot. Oletusarvoisesti Abaqus asettaa minimiarvoksi hden prosentin oletuselementtikoosta ja maksimiarvoksi 10 kertaa oletuselementtikoon. [17, luku ] Oletuselementtikoko on elementin koko, jonka Abaqus oletusarvoisesti asettaa elementtiverkolle. Tihennsmenetelmän aggressiivisuus säädetään tihenns ja harvennustekijöiden (refinement and coarsening factors) avulla: refinement tekijä kontrolloi verkon tihettä tai pienten elementtien luomista; coarsening tekijä kontrolloi verkon harvuutta tai suurten elementtien luomista [17, luku 1.3.3]. Ohjelmiston manuaalissa suositellaan kättämään rajoituksia etenkin singulaaristen pisteiden kanssa, sillä adaptiivinen verkontihennsprosessi voi alkaa tihentää verkkoa liikaa singulaarisen pisteen alueelle [17, luku 1.3.1]. Tutkimuksessa on kätett ohjelmiston oletusarvoja, jotka on suunniteltu estämään sekä liiallista harvuutta että laskennallisesti kallista hienoutta [17, luku 1.3.3].

17 14 5 Esimerkkitapaukset 5.1 Tutkimusongelmat ja menetelmät Abaqus ohjelmiston verkontihennsmenetelmiä tutkittiin kolmella esimerkkitapauksella. Tutkimus suoritettiin versiolla Abaqus/CAE 6.7 1, ja sen painopisteenä oli verrata adaptiivista verkontihennstä tasaiseen verkon tihentämiseen. Vertailu suoritettiin tarkastelemalla valittujen laskenta arvojen kehitstä elementtien lukumäärän lisääntessä Mallinnusperiaatteet Esimerkkitapaukset mallinnettiin siten, että geometria otettiin vertailututkimuksista ja kuorman suuruus skaalattiin sellaiseksi, että siirtmät säilivät realistisina ja suhteellisen pieninä, jotta ne toteuttavat vertailututkimuksissa kätettjen laattamallien ehdot. Malliin luotiin tasainen, melko harva elementtiverkko, jolle suoritettiin laskentaanalsi, ja tulokset kirjattiin lös. Verkko luotiin uudestaan tiheämpänä, ja analsi suoritettiin uudelleen. Tihennstä jatkettiin joko kunnes tulokset alkoivat vakiintua tai kunnes tietokoneresurssit loppuivat. Tämä tasainen verkontihenns suoritettiin sekä lineaarisilla että kvadraattisilla elementeillä. Seuraavaksi mallille suoritettiin adaptiivinen verkontihenns eri menetelmin, ja laskennan tuloksia verrattiin tasaiseen tihennkseen. Adaptiivinen verkontihenns loppui joko kmmeneen iteraatioaskeleeseen tai kun verkontihennssäännössä annetut ehdot tättivät. Seuraavassa tasaisella verkontihennsmenetelmällä saatuja tarkimpia tuloksia merkitään suhdeluvulla 1, ja muut tulokset ilmoitetaan suhteessa tähän. Ideaalitapauksessa vertailuarvona kätettäisiin tehtävän tarkkaa ratkaisua, mutta koska tarkka ratkaisu ei ole tiedossa, ja koska kiinnostuksen kohteena on suhde tasaiseen tihennkseen, esitstapaa voidaan pitää selkeänä. Vertailusuureiksi valittiin maksimitaipuma sekä venmäenergia. Näihin päädttiin, koska ongelmaa haluttiin katsoa kahdesta eri näkökulmasta: maksimitaipuman tarkastelu tarjoaa kätännönläheisen ja insinöörimäisen lähestmistavan, sillä taipuma on eräs laskentasuureista, joita tarvitaan rakennesuunnittelussa; venmäenergian seuraaminen puolestaan on teoreettisempi ja kattavampi tarkastelusuure. Vertailusuureet valittiin ennen tutkimusta, ja tutkimuksen aikana huomattiin, että toiset vertailusuurevalinnat olisivat voineet johtaa toisenlaisiin tuloksiin. Maksimitaipuma osoittautui heikoksi tarkkuuden arvioimisessa, minkä vuoksi tulokset on esitett pääosin venmäenergian avulla. Vertailun kohteena olivat laskentakustannukset eli vapausasteiden lukumäärä suhteessa vertailusuuresarvon kehitkseen. Tössä ei keskittt vertailemaan laskentasuureiden eroja, kun kätettiin samaa vapausastelukumäärää, mutta eri tihennsmetodeja, vaan tutkimuksen pääpaino oli vertailussa tasaisen tihennksen kanssa.

18 Tasaisesti kuormitettu, L:n muotoinen laatta Ensimmäisen tutkimustapauksen laatta valittiin Beirão da Vegan et al:n [9, s. 1861] tutkimuksesta. Kseiseen valintaan päädttiin mös, koska L muotoinen laatta on ksinkertainen esimerkki singulaarisesta pisteestä eli pisteestä, johon snt jännitskeskittmiä. Singulaarisen pisteen vuoksi esimerkkitapauksen jännitsresultantin jakaumasta tulee rajoittamaton [10, s. 11]. Se siis sopii hvin kuvaamaan virhekeskittmiä ja laskentatarkkuuden merkitstä [7, s. 141]. Se on mös tapaus, jossa adaptiivinen verkontihenns tuottaa suuria hötjä [10, s. ja 1]. Reunaehdot valittiin siten, että sivut on tuettu vapaasti eli hard simpl supported tuennalla. Tutkimustapauksen geometria on esitett kuvassa 5. Kuva 5. Ensimmäinen tutkimustapaus Tasaisesti kuormitettu neliölaatta Toisen tutkimustapauksen laatta valittiin vastaamaan Leen ja Hobbsin tutkimustapausta [10, s. 0 ja 7]. Snä Leen ja Hobbsin kiinnostukseen tapausta kohtaan on jännitsresultanttien nopea muutos reunojen alueella [10, s. ja 1 15]. Tuentana on nt soft simpl supported tuenta. Se on realistisempi kuin hard simpl supported tuenta [10, s. 1]. Geometria ja tuenta on esitett kuvassa Osittain kuormitettu neliölaatta Kolmannen tutkimustapauksen geometria ja tuenta noudattavat edellistä tapausta, mutta kuormitusalue on siirrett Okstadin et al:n tutkimustapauksen [11, s. 708] mukaiseksi. Geometria, tuenta ja kuormitus on esitett kuvassa 6. Lisäksi kuormituksen suuruutta lisättiin, jotta se tuottaa saman suuruusluokan tuloksia kuin tutkimustapaus. Kuorman suurentamisen idea saatiin Okstadin et al:n tutkimuksesta [11, s. 709]. Kuva 6. Kolmas tutkimustapaus [10, s. 708]

19 16 5. Tulokset 5..1 Tasaisesti kuormitetun L laatan tutkimustulokset Adaptiivinen verkontihenns suoritettiin lineaarisille elementeille hteensä 17 eri kriteerein. Kaikilla kriteereillä verkko tihenti laatan nurkkaan sekä hieman laatan reunoille. Tihennetn verkon muoto on esitett liitteessä 1, ja se vastaa Beirão da Vegan et al:n tuloksia [9, s. 1860]. Huomattiin, että tasaiseen virhejakaumaan prkivä menetelmä tuotti johdonmukaisimpia tuloksia, ja että ENDENERI ja MISESERI virheindikaattoreilla saatiin samansuuntaisia tuloksia. Tasaisen virhearvion menetelmällä suoritettiin analsi mös kvadraattisilla elementeillä. Sekä lineaarisilla että kvadraattisilla elementeillä laskettaessa saatiin hieman tarkemmat tulokset suhteessa elementtien lukumäärään ENDENERI indikaattorin kuin MISESERI indikaattorin kanssa. Näin ollen lopulliset vertailut tasaisen tihennksen kanssa suoritettiin tasaiseen virhejakautumaan perustuvalla ENDENERI indikaattorin verkontihennssäännöllä. Elementtien lkm Tasaisesti kuormitettu L laatta Iteraatiokerta Vahva bias factor arvo. Keskivahva bias factor arvo. Heikko bias factor arvo. Kuva 7. Elementtien lukumäärän vaihtelu minimi/maksimi menetelmän aikana. Tapaus 1. Kuvassa 7 on esitett elementtien lukumäärän kehits minimi/maksimi menetelmällä suoritetun verkontihennsprosessin iteraatioiden mukaan. Neljännen iteraation jälkeen minimi/maksimi menetelmän adaptiivinen verkontihennsprosessi alkoi vähentää elementtien lukumäärää ja tehdä verkosta hvin harvan muualle kuin singulaarisen pisteen alueelle. Tarkistukseksi menetelmälle suoritettiiin 0 iteraation prosessi, ja huomattiin, että elementtien lukumäärä heilahteli prosessin kuluessa, eikä vakiintunut minnekään. Laskentatarkkuus väheni elementtien lukumäärän vähentessä ja kasvoi elementtien lisääntessä. Menetelmää kokeiltiin eri bias factor arvoilla, ja parhaat tulokset antoi vahvan bias factor arvon menetelmä. Se antoi jopa suuremman tarkkuuden suhteessa elementtien lukumäärään kuin tasaisen virhejakautuman menetelmä. Tämä tarkin arvo oli 0,9, ja se saavutettiin alle 700 elementillä, kun vastaavaan tarkkuuteen päästiin tasaisen virhejakautuman menetelmän kanssa vasta noin 1000 elementillä. Kuitenkin tasaisen virhejakautuman menetelmä johti lopulta parempiin ja vakiintuneempiin tuloksiin,

20 joten sitä voidaan pitää sopivampana vertailuun tasaisen tihennksen kanssa. Huomattiin, että minimi/maksimi menetelmä oli melko aggressiivinen oletusrajoitusten suhteen, ja tähän menetelmään olisi ehkä kannattanut säätää omat rajoitukset. Toisaalta mös minimi/maksimi menetelmä antoi tasaista verkontihennstä tarkempia tuloksia suhteessa elementtien lukumäärään, ja tarkinta 0,9:n tulosta voitaisiin jo pitää riittävänä. Minimi/maksimi menetelmä onkin ilmeisesti parhaimmillaan, kun kätetään suhteellisen vahvaa bias factor arvoa, vain muutama iteraatiokertaa sekä tarkoin säädettjä rajoituksia. Verkontihennssääntöjen oletusarvoista parhaan tuloksen antoi ENDENERI ja MI SESERI virheindikaattorien hdistelmä, jolloin päästiin suurin piirtein samoihin tuloksiin tasaiseen virheeseen prkivien ENDENERI ja MISESERI indikaattorien kanssa. Muiden indikaattorien hdistämisessä huomattiin, että hdistett menetelmä noudatti ENDENERI indikaattorin antamia tuloksia. 17 Venmäenergia Tasaisesti kuormitettu L laatta 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0, Elementtien lukumäärä Tasainen verkontihenns, Lineaariset elementit Tasainen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Lineaariset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Kuva 8. Venmäenergian tarkkuuden kehits elementtien lisääntessä. Tapaus 1. Tasaisen virhejakautuman menetelmällä suoritettu, kvadraattisiin elementteihin perustuva adaptiivinen verkontihenns antoi suuremmat laskenta arvot kuin tasaisella tihennksellä saadut tarkimmat arvot. Suurempien arvojen pääteltiin olevan tarkempia, koska ne vakiintuivat iteraatioprosessin edetessä ja elementtien lukumäärän lisääntessä. Jo 400 elementtiä antoi tarkemman tuloksen kuin tasainen kvadraattinen tihenns, jonka tarkin arvo saavutettiin vasta noin elementillä. Nämä verkot on esitett liitteessä 1. Mös lineaarisilla elementeillä adaptiivinen verkontihenns saavutti tasaista tihennstä tarkemmat arvot, jotka saavutettiin noin elementillä. Lineaaristen elementtien tasainen verkontihenns ei päässt samaan tarkkuuteen muiden kanssa edes elementillä. Kuva 8 esittää venmäenergian tarkkuuden kehitstä elementtien lukumäärän funktiona. Mös maksimitaipuman tarkkuus noudattelee samanlaista kärää.

21 Tasaisesti kuormitetun neliölaatan tutkimustulokset Tasaisesti kuormitetulla neliölaatalla adaptiivisesti tihennett verkko tihenti hieman laatan reunoihin, laatan keskellä oli suurempia elementtejä ja suurin osa alueesta oli melko tasaista verkkoa. Verkon muoto on esitett liitteessä. Verkon tihentmisen painopisteet vastasivat Leen ja Hobbsin tuloksia [10, s ]. Mös tälle tapaukselle tasaiseen virheeseen perustuva ENDENERI virheindikaattori tuotti parhaat tulokset, ja muille indikaattoreille saatiin tutkimustapauksen 1 mukaisia tuloksia. Huomattiin, että adaptiivisen elementtiverkon kanssa saavutettiin suurin piirtein htä tarkkoja tuloksia suhteessa elementtien lukumäärään kuin tasaisella tihennksellä. Venmäenergian tarkkuus elementtien lukumäärän suhteen on esitett kuvassa 9. Venmäenergia Tasaisesti kuormitettu neliölaatta 1,05 1,00 0,95 0,90 0, Elementtien lukumäärä Tasainen verkontihenns, Lineaariset elementit Tasainen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Lineaariset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Kuva 9. Venmäenergian tarkkuuden kehits elementtien lisääntessä. Tapaus. S siihen, miksi adaptiivisella tihennksellä ei saavutettu tasaista tihennstä tarkempia tuloksia suhteessa elementtien lukumäärään, voi olla se, että indikaattori ei ehkä havaitse tihennstarvetta, minkä vuoksi tihenns ei johda optimaaliseen verkkoon. Toisaalta menetelmällä tulisi saada tasaista tihennstä tarkempia arvoja suhteessa elementtien lukumäärään, koska verkko muistuttaa Leen ja Hobbsin tutkimusta, jossa adaptiivinen tihenns tuotti parempia tuloksia [10, s. 8]. Lee ja Hobbs vertailivat kuitenkin jännitsresultantteja, ja s voikin olla siinä, että adaptiivisesti tihennett verkko johtaa vain taipuman ja venmäenergian suhteen samoihin tuloksiin tasaisen tihennksen kanssa, ja jännitsarvoja vertailemalla saadaan aivan toisenlaisia tuloksia. Leen ja Hobbsin mukaan adaptiivisella tihennksellä saadaan tasaista tihennstä tarkemmat reunojen taivutusmomenttien jakaumat suhteessa elementtien lukumäärään [10, s. 34]. Väitettä voidaan pitää järkevänä, ja se voi toimia mös Abaqus ohjelmiston kanssa, koska adaptiivinen verkko on tiheämpi laatan reunoilla. Lee ja Hobbs saivat tutkimuksessaan tuloksen, että reunojen elementtikoon tulee olla laatan paksuinen, jotta taivutusmomentit

22 saadaan huomioitua [10, s. 34]. Mös Abaqus ohjelmiston kanssa huomattiin, että suurin piirtein laatan paksuuden kokoisilla elementeillä saatiin riittävän tarkat tulokset, vaikka vertailuarvona olikin venmäenergia. Ei voidakaan sanoa, että adaptiivinen tihenns ei toiminut, vaikka se ei ltänt venmäenergian suhteen tarkempiin tuloksiin kuin tasainen verkko. Neliölaatan tapauksessa huomattiin maksimitaipuman sopimattomuus vertailuarvoksi. Arvojen seuranta kärsi siitä, että jos elementti osui laatan keskelle, aivan laatan keskipisteessä olevaa taipumaa ei saatu laskettua, sillä siinä ei ollut solmupistettä. Kun elementtien lukumäärä lisäänti, ongelma poistui. Maksimitaipumalle saatiin kuitenkin riittävä tarkkuus jo parillakmmenellä elementillä. Mös venmäenergialle saavutettiin riittävä tarkkuus melko pienillä elementtimäärillä. Energiaa ja taipumaa parempi vertailuarvo olisikin ehkä ollut jokin jännitssuure Osittain kuormitetun neliölaatan tutkimustulokset Kolmannelle tutkimustapaukselle saatiin melko samanlaisia tuloksia kuin tutkimustapaukselle. Ero tuli siinä, että adaptiivinen prosessi tihensi nopeammin kuorman alueelle sekä kuormitetun ja kuormittamattoman alueen rajapintaan. Tämän vuoksi adaptiivinen verkontihennsmenetelmä saavutti tarkempia arvoja suhteessa elementtien lukumäärään, kun elementtejä oli melko vähän, ja saavutti riittävän tarkkuuden pienemmillä elementtimäärillä kuin tasainen verkontihenns. Tämä näki selvemmin lineaaristen elementtien kanssa. Venmäenergian tarkkuus elementtien lukumäärän funktiona on esitett kuvassa 10. Adaptiivinen verkko muistutti toisen tutkimustapauksen verkkoa sillä erolla, että kuorman läheisteen muodostui hieman tiheämpää verkkoa, mikä vastaa mös Okstadin et al:n tutkimuksia [11, s. 709]. Verkon muoto on esitett liitteessä. Venmäenergia Osittain kuormitettu neliölaatta 1,01 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0, Elementtien lukumäärä Tasainen verkontihenns, Lineaariset elementit Tasainen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Lineaariset elementit Adaptiivinen verkontihenns, Kvadraattiset elementit Kuva 10. Venmäenergian tarkkuus elementtien lisääntessä. Tapaus 3.

23 0 6 Johtopäätökset Tässä tössä on selostettu laattamallit ja elementtimenetelmän perusperiaatteet, virheiden teoriaa on avattu, ja adaptiivinen verkontihenns on esitett keinona vähentää diskretointivirhettä kustannustehokkaasti. Abaqus ohjelmiston verkontihennsmenetelmät on lhesti selvitett, ja niitä on tutkittu kolmen esimerkin avulla. Tutkimuksessa keskitttiin adaptiivisen ja tasaisen verkontihennksen laskentakustannusten vertailuun. Ensimmäisessä esimerkkitapauksessa adaptiivisen verkontihennksen avulla saatiin tasaista tihennstä huomattavasti tarkempia tuloksia suhteessa elementtien lukumäärään. Adaptiivinen verkontihenns johti jopa tarkempiin tuloksiin kuin laskentakapasiteetin äärirajoilla suoritettu tasainen verkontihenns. Toinen tutkimustapaus ei tuottanut eroa adaptiivisen ja tasaisen tihennksen välillä, kun tarkasteltiin venmäenergia arvon tarkkuuden ja elementtilukumäärän suhdetta. Adaptiivisesti tihennett verkko oli kuitenkin tiheämpi laatan reunoilla, joilla oli nopeasti muuttuvia jännitksiä. Jos vertailusuureena olisivat olleet jännitsarvot, olisi tutkimuksessa voitu havaita parempaa tarkkuutta niiden suhteen. Koska vertailuarvot valittiin etukäteen ja prittiin htenäisteen kaikkien tutkimustapausten kanssa, jännitsarvojen tarkkuus jää avoimeksi. Tutkimustapaus osoittautuikin hödlliseksi siinä, että se osoitti vertailuarvojen valinnan tärkeden ja sen, että laskentaverkolla voidaan saavuttaa riittävä tarkkuus halutulle laskenta arvolle, vaikka muilla arvoilla ei saavutettaisikaan hvää tarkkuutta. Olisi kuitenkin kiinnostava tietää, tuottaako Abaqus ohjelmiston adaptiivinen verkontihenns tasaista tihennstä tarkempia jännitsresultanttituloksia. Jos parempaa tarkkuutta ei saavuteta, tämä tarkoittaa, että joko ohjelmiston indikaattorit eivät kkene havaitsemaan optimaalisinta tihennstarvetta tai verkontihennssäännön asetuksia tulee säätää paremmiksi. Asiaa voitaisiin selvittää lisätutkimuksilla. Kolmas tapaus osoitti, että adaptiivista verkontihennstä voidaan kättää tarkkuuden parantamiseen mös kuormituskeskittmäalueilla. Adaptiivinen verkontihenns ei tuottanut tässä tapauksessa htä suurta eroa tasaiseen tihennkseen kuin ensimmäisen tutkimustapauksen kanssa, mutta tasaista tihennstä suurempi tarkkuus suhteessa elementtien lukumäärään on nähtävissä, kun elementtejä on vähän. Abaqus ohjelmiston automaattisten adaptiivisten verkontihennsmenetelmien voidaankin sanoa toimivan kohtalaisen hvin. Niiden kättö vaatii kuitenkin hvää virheidenhallinnan mmärtämistä, sillä pelkkä hienolta kuulostavan ominaisuuden kättöönotto ei riitä. Adaptiivinen verkontihenns voi johtaa jopa heikompiin tuloksiin, jos ohjelmiston rajoituksia ei säädetä sopiviksi, kuten minimi/maksimi menetelmän kanssa saavutetut tulokset osoittavat.

24 1 Lähteet [1] Babuška, Ivo & Strouboulis, Theofanis. The Finite Element Method and its Reliabilit. Clarendon Press, 001. [] Hakala, Matti. Lujuusopin elementtimenetelmä. Otatieto, [3] Ottosen, Niels & Petersson, Hans. Introduction to the finite element method. Prentice Hall, 199. [4] Abaqus/CAE [verkkosivut]. Dassault Sstèmes, 004, 008. [Viitattu ] Saatavilla [5] Szabó, Barna & Babuška, Ivo. Finite Element Analsis. John Wile & Sons, Inc., [6] Niiranen, Jarkko. A Priori and a Posteriori Error Analsis of Finite Element Methods for Plate Models. Väitöskirja. Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitoksen tutkimusraporttisarja A534, 007. [7] Bellenger, Emmanuel & Coorevits, Patrice. Adaptive mesh refinement for the control of cost and qualit in finite element analsis. Finite Elements in Analsis and Design. Vol. 41: S DOI: /j.finel ISSN X. [8] Freund, Jouni. Luento 6/11; Elementtiapproksimaatio [verkkodokumentti]. Otaniemi TKK, Konetekniikan osasto, 008. [Viitattu ]. Saatavilla [9] Beirão da Vega, Lourenço & Niiranen, Jarkko & Stenberg, Rolf. A famil of C 0 finite elements for Kirchoff plates II: Numerical results. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 197: S DOI: /j.cma ISSN: [10] Lee, C. K. & Hobbs, R. E. Automatic Adaptive Refinement for Plate Bending Problems Using Reissner Mindlin Plate Bending Elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol: 41: S DOI: /(SICI) ( )41:1<1::AID NME64>3.0.CO; O. ISSN:

25 [11] Okstad, Knut Morten & Kvamsdal, Trond & Mathisen, Kjell Magne. Superconvergent Patch Recover for Plate Problems Using Staticall Admissible Stress Resultant Fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol: 44: S DOI: /(SICI) (199900)44:5<697::AID NME56>3.0.CO; L. ISSN: [1] Aalto, Jukka. Laattarakenteiden kimmoiset menetelmät [verkkodokumentti]. Otaniemi TKK, Rakennus ja mpäristötekniikan osasto, 007. [Viitattu ]. Saatavilla [13] Mikkola, Martti. Levjen, laattojen ja kuorien teoriaa. Otakustantamo, [14] Paavola, Juha. Muodonmuutostila [verkkodokumentti]. Otaniemi TKK, Rakennusja mpäristötekniikan osasto, 008. [Viitattu ]. Saatavilla [15] Freund, Jouni. Luento 5/11; Virtuaalisen tön periaate [verkkodokumentti]. Otaniemi TKK, Konetekniikan osasto, 008. [Viitattu ]. Saatavilla [16] Paavola, Juha. Suorat ja kaarevat tasosauvat [verkkodokumentti]. Otaniemi TKK, Rakennus ja mpäristötekniikan osasto, 008. [Viitattu ]. Saatavilla [17] ABAQUS Analsis User s Manual. ABAQUS Inc., 006. Saatavilla lisenssiä vastaan. [18] ABAQUS Theor Manual. ABAQUS, Inc., 006. Saatavilla lisenssiä vastaan. [19] ABAQUS/CAE User s Manual. ABAQUS, Inc., 006. Saatavilla lisenssiä vastaan. [0] Zienkiewicz, O. C. & Zhu, J. Z. The superconvergent patch recover (SPR) and adaptive finite element refinement. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol: 101: S ISSN:

26 Liite 1 Kuva 1. Tasaisesti tihennett, noin 700 lineaarisen elementin verkko ja ENDENERIvirheindikaattorin jakauma. Tapaus 1. Kuva. Adaptiivisesti tihennett, noin 400 kvadraattisen elementin verkko, jolla saatu tarkkuus littää alla kuvassa 3 esitetllä tasaisesti tihennetllä verkolla saadun tarkkuuden. Tapaus 1. Kuva 3. Tasaisesti tihennett, noin kvadraattisen elementin verkko, jolla saatu tarkkuus alittaa llä kuvassa esitetllä adaptiivisesti tihennetllä verkolla saadun tarkkuuden. Elementit ovat niin pieniä, ettei niitä nä. Tapaus 1.

27 Liite Kuva 1. Adaptiivisesti tihennett, noin 00 kvadraattisen elementin verkko. Tapaus. Kuva. Adaptiivisesti tihennett, noin 700 kvadraattisen elementin verkko. Huomataan, että verkko muistuttaa llä olevan kuvan 1 verkkoa sillä erolla, että kuormituksen alueella on tihennettä verkkoa. Tapaus 3.