Työpistenosturin puomin analysointi

Transkriptio

1 Teknillinen tiedekunta LUT Metalli BK10A0400 Kandidaatintö Töpistenosturin puomin analsointi Timo Kautonen

2 SISÄLLYSLUETTELO 1 JOHDANTO KIEPAHDUS KIEPAHDUKSEN LASKENNALLINEN TARKASTELU Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti kiepahduksessa Standardi SFS-EN Kiepahduskestävs Kiepahduskärät Yleinen tapaus Avoimen profiilin vääntökeskiön määrittäminen Poikkileikkausluokitus Perusteet Luokitus Puristettujen taso-osien suurimmat leves-paksuussuhteet Taivutetut taso-osat Puristetut taso-osat KIEPAHDUSKESTÄVYYDEN MÄÄRITTÄMINEN ELEMENTTIMENETELMÄLLÄ Yleistä Elementtimenetelmän perusta Reunaehdot Eri elementtitppejä Epälineaarinen FEM-laskenta KOKEET JA TUTKIMUKSET Uka20-palkin staattinen kestävskoe Uka40-palkin staattinen kestävskoe JOHTOPÄÄTÖKSET YHTEENVETO...28 LÄHDELUETTELO

3 KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET A Pinta-ala Akok Poikkileikkauksen koko pinta-ala An Poikkileikkauksen osan pinta-ala (n=1 9) α LT Epätarkkuustekijä α Vääntökeskiön määrittämisessä kätettävä kerroin α z Vääntökeskiön määrittämisessä kätettävä kerroin b Profiilin poikkipinnan leves Bz Taivutusjäkks z-akselin suhteen β C Kiepahduksen laskennassa kätettävä parametri Vääntöjäkks Cw Käristmisjäkks χ LT Kiepahduskestävden pienennstekijä E Kimmomoduli e Vääntökeskiön asema -suunnassa ez Vääntökeskiön asema z-suunnassa e ε F Korkeus painopisteakselilta f :sta riippuva tekijä Voima Fn Normaalivoima f Mötöraja 3

4 φlt Kiepahduksen laskennassa kätettävä parametri G h γ Liukumoduli Profiilin poikkipinnan korkeus Vääntökeskiön määrittämisessä kätettävä kerroin I Jähsmomentti -akselin suhteen I z Keskipakomomentti I z Jähsmomentti z-akselin suhteen Iυ Vääntöneliömomentti Iω Käristmisjähs I ~ ω Sektoriaalinen keskipakomomentti -akselin suhteen I ~ ω z Sektoriaalinen keskipakomomentti z-akselin suhteen K κ L Jousivakio Kiepahduksen laskennassa kätettävä reunaehdoista riippuva parametri Palkin pituus λ LT Vakiopoikkileikkauksisten taivutettujen sauvojen muunnettu hoikkuus M b, Rd Kiepahduskestävden mitoitusarvo M cr Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti kiepahduksessa M Ed Taivutusmomentin mitoitusarvo m O ~ 0 Kerroin, joka riippuu palkin muotoilusta, kuormituksesta ja reunaehdoista Origo Pooli 4

5 ~ 0 1 S-koordinaatin aloituspiste Pcr Kriittinen kiepahdusvoima qcr Kriittinen jatkuva kuorma kiepahduksessa t z Poikkileikkausvakio u Siirtmä W Taivutusvastus w Vääntmä z s Vääntökeskiön z-koordinaatti σ m Mitoitusjännits σ sall Sallittu jännits ω ω ~ Vääntökeskiön suhteen laskettu sektoriaalinen koordinaatti Sektoriaalinen koordinaatti ~ω 0 Integroimisvakio ~ω 0vk Integroimisvakio vääntökeskiön suhteen 5

6 1 JOHDANTO Kandidaatintössä tutkimuskohteena on kääntöpuominosturi. Seinään tai plvääseen kiinnitettävää kääntöpuominosturia kätetään esimerkiksi töpisteissä ja tuotantolinjoilla tarvittavien raskaiden tavaroiden ja esineiden siirteln, kääntvän puomin ja puomia pitkin liikkuvan nostolaitteen avulla. Nosturin todennäköisimmät vauriomuodot ovat puomin kiepahdus ja väsmismurtumat. Tö rajattiin koskemaan puomin kiepahdusta, joka tulee kseeseen likuorma tilanteissa. Tö keskitt kätännön osuuteen, jossa laskennallisella tarkastelulla ja elementtimenetelmällä saatuja tuloksia verrataan laboratoriossa tehtjen staattisten kestävskokeiden tuloksiin. Jatkotutkimuskohteena olisi nosturin väsmiskestävden määrittäminen. Kuva 1. Kääntöpuominosturi. 6

7 2 KIEPAHDUS Kiepahdus on palkin stabiiliuden menets, jossa koko palkki kiert ja taipuu sivusuunnassa (kuva 2). Kiepahdusta esiint pääakselin suhteen jäkempään suuntaan kuormitetuilla palkeilla, joiden puristuslaippaa ei ole tuettu sivusuunnassa. Kiepahdus tapahtuu, kun kuorma on niin suuri, että sen tekemä tö F * w on htä suuri kuin palkin sivuttaistaipumaan ja vääntmään kuluva muodonmuutosenergia (kuva 2). Mitä kauempana kuorma sijaitsee palkin vääntökeskiöstä, sen suurempi on pienemmällä kuormalla se kiepahtaa. (Niemi 2003, 122.) w ja sitä Kuva 2. Avoimen poikkileikkauksen kiepahdusilmiö. (Niemi 2003, 122). Jäkempään suuntaan kuormitettu palkki voi menettää stabiiliutensa kiepahtamalla, pienemmällä kuormalla, kuin taivutusmurtumaan tarvittavalla kuormalla. Kiepahdusilmiöllä on htäläisksiä nurjahdusilmiön kanssa ja on usein riippuvainen palkin tehollisesta hoikkuusluvusta. Heikompaan suuntaan kuormitettuna kiepahdusta harvoin tapahtuu, koska siihen suuntaan kiepahduskestävs on paljon suurempi kuin taivutuskestävs. (Statens stålbggnadskommitté 1973, 76.) 7

8 3 KIEPAHDUKSEN LASKENNALLINEN TARKASTELU 3.1 Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti kiepahduksessa Seuraavassa on ratkaisuja kaksi tukisille palkeille, joiden poikkileikkaus on kaksoissmmetrinen ja käristmätön sekä palkeille, joiden poikkileikkaus on käristvä ja hden akselin suhteen smmetrinen. Ratkaisut ovat pääosin johdettu energiamenetelmällä ja kirjoitetaan seuraavasti: M cr Pcr L = m qcr L B C z L 2 ) 2 2 ( C + κ C ) 2 2 κ π m 1+ = B 2 z π ( kl L w (1) missä 2 κ = reunaehdoista riippuva parametri, m = kerroin, joka riippuu palkin muotoilusta, kuormituksesta ja reunaehdoista. Palkin muotoilun vaikutus kertoimeen m kuvataan parametreilla: C kl = L ja C w t 2 B C z z β =. w Ensiksi mainittu kuvaa palkin kkä vastustaa poikkileikkauksen kiertmistä. Parametriin β vaikuttaa hden akselin suhteen smmetristen poikkileikkausten epäsmmetriss. (Statens stålbggnadskommitté 1973, 114.) 8

9 Kseisessä kiepahdustapauksessa, kun tuentatapaus on otettu huomioon, voidaan kriittisen momentin lauseke kirjoittaa muotoon: M cr = κπ B C z L κπβ + kl ( kl) 2 ( 1+ ) 2 2 κ π 1+ β 2 (2) missä: κ = 2 reunaehdot; B z = EI z E on kimmomoduli ja I z on jähsmomentti z-akselin suhteen; C = GI υ G on liukumoduli ja I υ on vääntöneliömomentti; C kl = L L on palkin pituus; C w t 2 B C z z β = ; w C w = EI ω I ω on käristmisjähs; t z = z s ( z z)da I + A 2 s z on vääntökeskiön z-koordinaatti. (Statens stålbggnadskommitté 1973, ) 9

10 3.2 Standardi SFS-EN Kiepahduskestävs Vahvemman pääjähsakselin suhteen taivutettu sivusuunnassa tukematon sauva mitoitetaan siten, että kiepahduksen suhteen seuraava ehto on voimassa: M M Ed b, Rd 1,0 (3) missä M Ed on taivutusmomentin mitoitusarvo; M, on kiepahduskestävden mitoitusarvo. b Rd Sivusuunnassa tukemattoman sauvan kiepahduskestävden mitoitusarvo lasketaan kaavasta: M f b, Rd = χ LTW (4) γ Ml missä W on kseeseen tuleva taivutusvastus seuraavasti: - W W pl, = poikkileikkausluokissa 1 ja 2; - W W el, = poikkileikkausluokassa 3; - W W eff, = poikkileikkausluokassa 4. χ LT on kiepahduskestävden pienennstekijä. γ Ml on sauvojen kestävden osavarmuusluku, kun laskelmat tehdään sauvan stabiiliuden tarkastuksena. f on mötöraja (SFS-EN , 65.) 10

11 3.2.2 Kiepahduskärät Yleinen tapaus Vakiopoikkileikkauksisten taivutettujen sauvojen muunnettua hoikkuutta pienennstekijä χ LT lasketaan kaavasta: λ LT vastaava χ LT 1 = mutta χ LT 1, 0 (5) 2 φ + φ λ LT LT 2 LT missä φ = 0,5[1 + α ( λ LT 0,2) + λ LT ] LT LT α LT on epätarkkuustekijä; 2 λ LT = W M f cr M cr on kimmoteorian mukainen kriittinen momentti kiepahduksessa. M cr lasketaan bruttopoikkileikkauksen ominaisuuksien perusteella ottaen huomioon kuormitustilanne, todellinen momenttipinnan muoto ja reunaehdot. (SFS-EN , 66.) Taulukko 1. Kiepahduskärien suositeltavat epätarkkuustekijät. (SFS-EN , 66). Kiepahduskärä a b c d Epätarkkuustekijä α 0,21 0,34 0,49 0,76 LT 11

12 Taulukko 2. Suositus kiepahduskärän valitsemiseksi poikkileikkauksen mukaan kätettäessä htälöä (5). (SFS-EN , 66). Poikkileikkaus Rajat Kiepahduskärä Valssatut I-profiilit h/b 2 h/b > 2 Hitsatut I-profiilit h/b 2 h/b > 2 a b c d Muut profiilit - d 3.3 Avoimen profiilin vääntökeskiön määrittäminen 1) Määritetään painopistekoordinaatisto, sekä: A ; (6) I I kok = An z z = A = A = A 2 da ; (7) 2 z da; (8) I zda; (9) I z α = ; (10) I I z α z = ; (11) I z 1 γ = α α. (12) 1 z (Pennala 2002, 323.) 12

13 2) Valitaan pooli ~ 0 mielivaltaisesta kohdasta poikkileikkauksesta sekä profiilin ~ keskiviivaa pitkin kulkevan s-koordinaatin aloituspiste 01. Piirretään r ~ ds ~ jakautuma ja määritetään integroimisvakio ~ω 0 aloituspisteestä ) Piirretään ~ ω jakautuma ( ~ 0, s) ~ω. 4) Piirretään - ja z-jakautumat. 5) Lasketaan saatujen koordinaattipintojen ω ~, ja z avulla sektoriaaliset keskipakomomentit. = ~ ~ ωztds (13) Iω = ~ ~ ωtds (14) Iω z 6) Lasketaan vääntökeskiön asema ~ ~ z koordinaatistossa e ~ I ~ ω α z I ~ ωz = γ (15) I e ~ z I ~ ωz α I ~ ω = γ (16) I z s 7) Piirretään uusi (Pennala 2002, 323.) 0 r ~ ~ vk ds jakautuma vääntökeskiö poolina ja 0, 1 s:n nollakohtana. 13

14 8) Määritetään integroimisvakio ja vääntökeskiön suhteen laskettu (Pennala 2002, 323.) s rvk ds ~ tds 0 ~ω 0vk = (17) A kok s ω = ω = ~ vk ω0vk r ~ vkds (18) Poikkileikkausluokitus Perusteet Poikkileikkausluokituksen on tarkoitus tunnistaa missä laajuudessa poikkileikkausten paikallinen lommahdus rajoittaa poikkileikkausten kestävttä ja kiertmiskkä. (SFS-EN , 42) Luokitus Määritellään neljä poikkileikkausluokkaa seuraavasti: - Poikkileikkausluokat 1 ovat niitä, joissa poikkileikkaukseen voi sntä plastinen nivel, jolla on plastisuusteorian edellttämä riittävä muodonmuutoskk. - Poikkileikkausluokat 2 ovat niitä, joissa poikkileikkaukseen voi sntä plastinen nivel, jolla ei ole plastisuusteorian edellttämää riittävää muodonmuutoskkä. - Poikkileikkausluokat 3 ovat niitä, joissa jossakin poikkileikkauksen taso-osassa puristusjännits voi saavuttaa mötörajan, mutta paikallinen lommahdus estää plastisuusteorian mukaisen momenttikestävden kehittmisen. 14

15 - Poikkileikkausluokat 4 ovat niitä, poikkileikkaus lommahtaa ennen kuin mötöraja saavutetaan poikkileikkauksen jossakin pisteessä. (SFS-EN , 42.) Poikkileikkausluokitus määrät puristettujen taso-osien leves-paksuussuhteista ja materiaalista. Poikkileikkauksen puristettuun osaan kuuluu jokainen osa, johon kuormituksen vaikutuksesta snt täsi tai osittainen puristus. Poikkileikkauksen eri osat voivat kuulua eri poikkileikkausluokkiin, jolloin poikkileikkaus luokitellaan korkeimpaan luokkaan sen puristettujen osien perusteella. Osa, joka ei tätä poikkileikkausluokan 3 raja-arvoja, kuuluu poikkileikkausluokkaan 4. (SFS-EN , ) Puristettujen taso-osien suurimmat leves-paksuussuhteet Taivutetut taso-osat Poikkileikkausluokka 1: Poikkileikkausluokka 2: Poikkileikkausluokka 3: (SFS-EN , 44.) c t c t c t 72ε 83ε 124ε (19) (20) (21) 15

16 Puristetut taso-osat Poikkileikkausluokka 1: Poikkileikkausluokka 2: Poikkileikkausluokka 3: missä: c t c t c t 33ε 38ε 42ε (22) (23) (24) c on leves, joka määrät profiilintpin ja kuormitustavan mukaan; t on taso-osan seinämänpaksuus; 235 ε = (25) f jossa f on materiaalin mötöraja. (SFS-EN , 44.) 16

17 4 KIEPAHDUSKESTÄVYYDEN MÄÄRITTÄMINEN ELEMENTTIMENETELMÄLLÄ 4.1 Yleistä Elementtimenetelmä (FEM, Finite Element Method) on rakenteiden analsoimiseksi kehitett numeerinen laskentamenetelmä. Analsiä varten tutkittava rakenne jaetaan rakenneosiin eli elementteihin, jotka liittvät toisiinsa solmupisteiden välitksellä. Rakenteen kättätmisestä kuormitettuna luodaan siis ksinkertaistettu matemaattinen kuvaus. Menetelmässä keskeisintä on ketä määrittämään eri rakenneosien jäkksominaisuudet, joissa tulee huomioida kaikki ksittäisen rakenneosan jäkkteen vaikuttavat tekijät. (Tanskanen 2007, 1.) Yleisesti FEM-laskentaa voidaan pitää sstemaattisena tapana mallintaa ja analsoida monimutkaisiakin rakenteita ekvivalenttien jousissteemien avulla. Elementtimenetelmä on luonteeltaan approksimoiva. Elementit kättätvät usein liian jäkästi, mutta menetelmän keskeisin ominaisuus on se, että kasvatettaessa elementtien lukumäärää laskennan tarkkuus paranee eli tulos konvergoi kohti oikeaa arvoa. Staattisesti kuormitettuja ja lineaarisesti kättätviä rakenteita analsoitaessa laskennasta saatavat ensisijaiset suureet ovat siirtmiä. Näiden lisäksi laskennasta saadaan muun muassa rakenteen sisäisiä jännitksiä ja venmiä. (Tanskanen 2007, 1-2.) 17

18 4.2 Elementtimenetelmän perusta Elementtimenetelmä perustuu jousen tasapainohtälön kätölle: K u = F (26) Jos jousivakio K ja voima F tunnetaan, voidaan siirtmä u ratkaista. Analsoitavana on leensä usean tuntemattoman siirtmän eli vapausasteen ssteemi, jolloin määritetään koko rakenteen jousivakio. Tätä ei voida kuvata hdellä skalaarilla, joten se esitetään matriisimuodossa. Koko rakenteen jousivakiota kutsutaan rakenteen globaaliksi jäkksmatriisiksi [K]. Usean vapausasteen jousissteemin tasapainohtälöt voidaan esittää matriisimuodossa: [ ]{ u} { F} K = (27) Jousissteemin tasapainohtälöt muodostavat lineaarisen htälörhmän, jossa on htä monta vaaka- ja pstriviä kuin ssteemissä on mahdollisia siirtmiä eli vapausasteita. Rakenteen tuntemattomat siirtmät { u } voidaan ratkaista, jos globaali jäkksmatriisi [ K] ja solmuvoimavektori { F } tunnetaan: 1 { u} [ K ] { F} = (28) Jotta htälörhmä olisi ratkaistavissa, pitää jäkksmatriisille pstä siis määrittämään käänteismatriisi. (Tanskanen 2007, 3-4.) 18

19 4.3 Reunaehdot Laskennassa usein osa siirtmistä on tunnettuja ja vastaavasti osa voimista tuntemattomia. Tunnettuja siirtmiä kutsutaan reunaehdoiksi ja ne ovat useimmiten suuruudeltaan nollia, esimerkiksi palkin kiinnitett pää. Tällöin voidaan reunaehtojen huomioimisessa kättää ksinkertaistettua menetelmää, jossa alkuperäisestä htälörhmästä kaikki 0-siirtmiä vastaavat vaaka- ja pstrivit poistetaan. Näin saatu redusoitu tehtävä voidaan ratkaista tuntemattomien siirtmien suhteen esim. redusoidun jäkksmatriisin käänteismatriisin avulla. Tuntemattomat voimat voidaan tarvittaessa ratkaista alkuperäisestä htälörhmästä sijoittamalla lasketut siirtmäarvot poistetuille vaakariveille. (Tanskanen 2007, 5.) 4.4 Eri elementtitppejä FEM-laskennassa kätettäviä elementtitppejä on kmmeniä erilaisia, joilla jokaisella on oma jäkksmatriisinsa. Yleisimpiä elementtitppejä ovat: sauva-, palkki-, kuori- ja tilavuuselementit. Jokaiseen elementtitppiin liitt ns. aktiivisia vapausasteita, näillä tarkoitetaan niitä suuntia, joissa oletetaan elementillä olevan jäkkttä. Tässä tössä on mallinnukseen kätett sekä palkki- että kuorielementtejä. Kuvissa 3 ja 5 on kuvaus näistä elementtitpeistä sekä niiden aktiivisista vapausasteista. (Tanskanen 2007, 6-8.) 19

20 Kuva 3. Palkkielementti. (Tanskanen 2007, 6). Kuva 4. Palkkielementeillä mallinnettu rakenne. 20

21 Kuva 5. Kuorielementti. (Tanskanen 2007, 7). Kuva 6. Kuorielementeillä mallinnettu Uka40-palkki. 21

22 4.5 Epälineaarinen FEM-laskenta Rakenteiden analsoinnissa leensä oletetaan niiden kättätvän lineaarisesti eli ulkoisen kuormituksen muuttaminen muuttaa mös rakenteen siirtmiä ja jännitksiä samassa suhteessa. Todellisuudessa rakenteiden kättätminen on kuitenkin enemmän tai vähemmän epälineaarista ja ilmiön voimakkuudesta riippuu tätkö se ottaa huomioon laskennassa. Rakenteen epälineaarista kättätmistä voidaan havainnollistaa voimasiirtmä-kärän avulla (kuva 7). (Tanskanen, 1.) Kuva 7. Epälineaarinen voima-siirtmä-kärä. (Tanskanen,1). Kuten kuvasta 7 nähdään pienillä kuormilla rakenteen voiman ja siirtmän välinen riippuvuus on lineaarinen mutta suurilla kuormilla/siirtmillä vaste voi olla hvinkin epälineaarinen. Epälineaarisuus johtuu pääosin neljästä eri sstä: 1) Geometrinen epälineaarisuus 2) Materiaalin epälineaarisuus 3) Muuttuvat reunaehdot (= kontaktien sntminen) 4) Muuttuva kuormitus (= kuormituksen suunta muuttuu deformaation mötä) 22

23 Geometrinen epälineaarisuus johtuu siitä, että rakenteen muodonmuutokset ovat suhteellisen suuret verrattuna dimensioihin. Tällöin mös deformoituneen ja deformoitumattoman rakenteen voimajakautumat eroavat merkittävästi toisistaan. Geometrisen epälineaarisuuden alaluokkia ovat suuret siirtmät, suuret kiertmät ja suuret venmät. Materiaalin epälineaarisuus johtuu siitä, että jännitsten ja venmien välinen htes on epälineaarinen. Nämä kaikki neljä ilmiötä voivat esiintä mös htä aikaa, mikä voi tehdä rakenteen analsoinnin erittäin hankalaksi. (Tanskanen, 1.) 23

24 5 KOKEET JA TUTKIMUKSET Lappeenrannan teknillisen liopiston teräsrakenteiden laboratoriossa tehtiin Uka20- ja Uka40-palkeille staattiset kestävskokeet. Kokeessa slinteri kiinnitetään kuvien 8 ja 10 mukaisesti palkin päähän. Slinterin kuormitusta kasvatetaan, kunnes palkki kiepahtaa tai rakenne pettää jonkin muun sn takia. 5.1 Uka20-palkin staattinen kestävskoe Kuva 8. Uka20-palkin staattisen kestävskokeen koejärjestelt. 24

25 Kuva 9. Staattisessa kestävskokeessa kiepahtanut Uka20-palkki. 25

26 5.2 Uka40-palkin staattinen kestävskoe Kuva 10. Uka40-palkin staattisen kestävskokeen koejärjestelt. 26

27 Kuva 11. Staattisessa kestävskokeessa kiepahtanut Uka40-palkki. 27

28 6 JOHTOPÄÄTÖKSET Kiepahdusvoimien määrittämisessä vertailupohjana kätettiin staattisista kestävskokeista saatuja tuloksia. Elementtimenetelmällä määritett kiepahdusvoimat olivat pääsääntöisesti hvin lähellä todellisia kiepahdusvoimia. FEM-laskennassa palkki ei kiepahtanut pelkällä pstsuuntaisella voimalla, johtuen siitä, että mallinnettu palkki on täsin suora ja jännitksetön, kun taas todellisessa rakenteessa on profiilin muokkauksen, hitsauksen ja kätön jäljiltä pieniä muodonmuutoksia sekä jäännösjännitksiä. Kiepahdus saatiin aikaan kättämällä pientä sivusuuntaista voimaa. Kuorielementeillä tehtjen analsien tulokset osoittautuivat luotettavammiksi kuin palkkielementeillä tehtjen analsien tulokset. Kiepahduksen laskennallisella tarkastelulla saadut kiepahdusvoimat olivat pienempiä kuin todelliset kiepahdusvoimat. Laskennasta haastavan tekee profiilien poikkileikkauksen monimutkainen geometria, mistä johtuen poikkipintasuureisiin snt helposti virheitä, jotka vääristävät tuloksia. 7 YHTEENVETO Tässä tössä tutkimuskohteena oli kääntöpuominosturin puomi. Puomin kiepahdusta tutkittiin laboratoriossa tehdillä staattisilla kestävskokeilla, FEM-laskennalla ja laskennallisella tarkastelulla. Vertailupohjana kätettiin laboratoriokokeiden tuloksia. Tutkittavana oli kolmesta eri profiilista valmistettuja palkkeja, Uka20-, Uka30- ja Uka40- profiilit. Uka20- ja Uka40-palkeille tehtiin laboratoriossa staattiset kestävskokeet. Uka30- palkkia tutkittiin vain FEM-laskennalla ja laskennallisella tarkastelulla. FEM-laskennalla määritett kiepahdusvoimat vastasivat hvin laboratoriokokeista saatuja voimia, mutta laskennallisella tarkastelulla saadut kiepahdusvoimat olivat selkeästi pienempiä kuin laboratoriokokeissa. 28

29 LÄHDELUETTELO Niemi, E Levrakenteiden suunnittelu. Helsinki. Teknologiateollisuus r Pennala, E Lujuusopin perusteet. Helsinki. Otatieto Valtanen, E Tekniikan taulukkokirja. Jväsklä. Genesis-Kirjat O Statens stålbggnadskommitté Knäckning, vippning och buckling. Stockholm. Statens stålbggnadskommitté Tanskanen, P. FE-analsin jatkokurssi. Luentomateriaali. Epälineaarinen FE-analsi. 14. Tanskanen, P Moniste luentojen tueksi. FE-analsin peruskurssi. 45. Suomen standardisoimisliitto SFS r Standardi SFS-EN Eurocode 3. Teräsrakenteiden suunnittelu. Osa 1-1. Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt