Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi."

Transkriptio

1 Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä näkökulma aiheeseen, ja kyky esittää asiat täsmällisesti ja ytimekkäästi. Vastauksen maksimipituus on noin 300 sanaa. 300 sanan tultua täyteen uudessa virkkeessä alkavaa tekstiä ei huomioida osana vastausta!

2 Esseetehtävän pisteytys Jäsennys ja käsitteellinen selkeys 10% 50% 5% Informaatio on aina koodattu johonkin muotoon. 10% Geneettinen informaatio lineaarinen digitaalikoodi, merkkijonoja (esim. ACGTGCTTGCTAG. jotka koostuvat emäskolmikoista (kodoni. Informaatioteoreettisesti tehokas tapa käsitellä ja välittää informaatiota. 10% Koodattu informaatio toteutuu aina jossain aineellisessa substraatissa tai mediassa. 5% Biologiassa se on DNA. 5% Geneettisen informaation tulkintansa t. merkityksensä vasta suhteessa fenotyyppiin. Perintötekijöiden vaikutukset määrittelevät mistä informaatiosta on kysymys (esim. ruskeasilmäisyyden geeni on sitä vain silmän geenien kontekstissa, organismissa jossa pigmenttiproteiini vaikuttaa silmien väriin. 5% Pelkkä rakenne (bittijono, emäsjärjestys ei määrittele fenotyypin ominaisuutta muuten kuin organismin kontekstissa. 5% Organismin rakenne = proteiinien rakenne. 5% Geneettinen informaatio, kuten informaatio ylipäätään, ei ole vielä täysin tyydyttävästi ymmärretty käsite. 30% Biologisissa järjestelmissä on valtavasti informaatiota Syynä kombinatoriikka. Geneettinen informaatio on mikrotasolla (molekyylitasolla Genomi koodaa tiiviisti, pakatussa muodossa, organismin perinnöllistä rakennetta. Genomin muoto säätelee kehittyvän organismin muotoa. Kehitystä säätelee geneettinen ohjelma, ominaisuudet eivät ole sellaisenaan 1:1 löydettävissä geeneistä. Geenejä on vähän organismin monimutkaisuuteen nähden (vrt. mato tämä tarkoittaa että informaatitoa on pakattu. Ei vain informaatiosisällön kvantitatiivinen määrä. Geneettinen informaatio on merkityksellistä, ei vain bittejä. Merkitys ei ole kuitenkaan sama kuin merkitysinformaatio ihmiselle merkityksellisen informaation tapauksessa (esim. teksti, jonka ymmärtäminen vaatii subjektiivisen tulkinnan. Geenien keskinäiset vuorovaikutukset tuovat monimutkaisuutta. Risteytymislait. Molekyylitasolla aine ja energia käyttäytyy kvantittuneesti, rakenne on riittävän pysyvä (vain kvantittuneisuuden ansiosta näin pieni rakenne ei hajoa lämpimässä. 10% Holistinen, emergentistinen systeemitason organismin rakenteen suhteuttaminen molekkyylirakenteeseen tarvitaan, ei vain bottom up reduktionismi, joka on sävyttänyt molekyylibiologiaa tähän asti? Laskostuminen. Variaatio määräytyy geenien koodaamasta emäsjärjestyksestä käsin, mutta tämän järjestyksen tunteminen ilman fysikaalista kontekstia ei kerro miten laskostuminen todella tapahtuu. Mutaatiot ne eivät ole vain poikkeamia. Ne voivat olla yksilölle tuhoisia, mutta variaatio on myös yksilöllisyyden ja evoluution perusta! Roska DNA (jonka merkitys tai merkityksettömyys ei kuitenkaan ole vielä nykyään ihan selvä. Geneettisen informaation merkitys ei ole sama asia kuin mentaalisen informaation propositionaalinen merkitys

3 Tehtävä B1 a Millä lausejoukon M lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon M lauseet ovat tosia? { S ( P P,( A B ( Q R, A B, B S}. M = VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: P & ~P on ristiriita, ja siten aina epätosi (P voi olla tosi tai epätosi. Näin ollen disjunktio S V P & ~P on tosi vain jos S on tosi. Koska S on tosi, implikaatio B ~S on tosi vain jos B on epätosi. Näin ollen implikaatio A B on tosi vain jos A on epätosi. Koska A on epätosi, on disjunktio ~A V B tosi, ja näin ollen (~A V B (~Q & R tosi vain jos Q on epätosi ja R on tosi.

4 b Millä lausejoukon N lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon N lauseet ovat tosia? N = { B ( A ( Q S, ( B Q, S R}. VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: B & ~Q perusteella B on tosi, ja Q on tosi. Muista lauseista ei voi sanoa mitään. (Tai tarkalleen ottaen voidaan sanoa että A, S ja R ovat joko kaikki tosia tai kaikki epätosia. Ei voi kuitenkaan sanoa, kumpia.

5 c Millä lausejoukon O lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon O lauseet ovat tosia? { S Q, ( A B ( P P,( A B R, Q, B}. O = VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: B on annettu, eli B on tosi. ~Q perusteella Q on epätosi. Koska Q on epätosi ja S V Q tosi, S on tosi. Koska P & ~P on ristiriita, ja siten aina epätosi (P voi olla tosi tai epätosi on toisen lauseen implikaation etujäsen ~(A B epätosi, eli A B on tosi. Näin ollen implikaation (A B R nojalla R on tosi. Koska B on tosi, A voi olla tosi tai epätosi.

6 Tehtävä B Premissit: Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. Tarja on joko Suomen presidentti tai Ruotsin presidentti. Jos joku pitää Suomen presidentistä, niin kukaan ei pidä Tarjasta. Suomen presidentti pitää itsestään. Johtopäätös: Tarja on Ruotsin presidentti. a b Formalisoi lauseet predikaattilogiikassa ja johda johtopäätös premisseistä. Onko premissien nojalla mahdollista, että Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti ovat sama henkilö? Perustele suomeksi.

7 a Symbolien tulkinnat: ( y a P, pitää y:stä (predikaatti t a Tarja (yksilötermi, erisnimi VAIHTOEHTO 1, formalisoidaan ilmaisut Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti predikaatti ilmaisuina: ( y a B, :n on y:n presidentti (predikaatti s a Suomi (yksilötermi, erisnimi r a Ruotsi (yksilötermi, erisnimi TAI F ( a on Suomen presidentti (predikaatti S( a on Ruotsin presidentti (predikaatti VAIHTOEHTO, formalisoidaan ilmaisut Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti vakioina: s a Suomi (yksilötermi, erisnimi r a Ruotsi (yksilötermi, erisnimi B :n presidentti (funktiotermi, määräinen kuvaus TAI ( a p a Suomen presidentti (yksilötermi, erisnimi q a Ruotsin presidentti (yksilötermi, erisnimi

8 Premissit (malli vaihtoehto 1 mukaan (1 Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. ( P(, yp( y, ( Tarja on joko Suomen presidentti tai ruotsin presidentti. ( t, s B( t r B, (3 Jos joku pitää Suomen presidentistä niin kukaan ei pidä Tarjasta. (( B(, s P( y, z ( B( z y, (4 Suomen presidentti pitää itsestään. ( B(, s P(,

9 Premissit (malli vaihtoehto mukaan (1 Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. ( P(, yp( y, ( Tarja on joko Suomen presidentti tai ruotsin presidentti. ( s t B( r t = B = (3 Jos joku pitää Suomen presidentistä niin kukaan ei pidä tarjasta. ( P(, B( s y( P( y, (4 Suomen presidentti pitää itsestään. ( B( s B( s P,

10 Mallitodistus 1 ( Suomen presidentti formalisoitu predikaattina [ B( t, s ] 1 4, ( B(, s P( [ B( t, s ] 1 B ( t, s P( t, 3 y( ( B(, s P( y, z ( B( z, [ B( t, s P ( t, 4 ] 1 T ( B(, s P(, ( B ( t, s P( t, z ( B( z, B ( t, s P( t, E 1 B ( t, s P( t, z ( B( z, E E P ( t, P ( t, T P ( t, P( t, T ( B ( t, r B ( t, s B( t, r B ( t, E r [ B ( t,r ] 1 B ( t, r E Mallitodistus ( Suomen presidentti formalisoitu vakiona, tässä funktioterminä [ t = B( s ] 1 4 P, t = B = ( B( s B( s P ( t, ( s t B( r = E 3, ( B( s B( s 4 P, ( P( y B( s y, ( B( s P, ( P(, B( s y( P( y ( P(, B( s y ( P( y, P ( t, T P ( t, P( t, T ( t = B( r E t = B( r [ t = B( r ] 1 E t = B( r ( P(, yp( y 1, ( B( s, B( s yp( y B( s P, T E E

11 b Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään, ja Suomen presidentti pitää itsestään, joten kaikki pitävät Suomen presidentistä. Jos joku pitää Suomen presidentistä, kukaan ei pidä Tarjasta. Kukaan ei siis pidä Tarjasta. Tarjakaan ei siis pidä itsestään. Mutta Suomen presidentti pitää itsestään, joten hän ei voi olla Tarja. Tarja on kuitenkin joko Suomen tai Ruotsin presidentti. Koska hän ei ole Suomen presidentti on hänen oltava Ruotsin presidentti. Suomen presidentin on näin ollen oltava joku muu kuin Tarja, ts. Tarja on Suomen presidentti ja joku muu on Ruotsin presidentti. Jos voimassa on presuppositiot, että jokaisella maalla on vain yksi presidentti, on tästä seurauksena se että sama henkilö ei voi olla sekä Suomen että Ruotsin presidentti, koska Suomen presidentti on Tarja ja Ruotsin presidentti joku tuntematon. Näitä presuopositioita ei kuitenkaan ole sinällään annettu premisseissä. Eli sikäli kuin nämä presuppositiot eivät ole voimassa, voi hyvin olla olemassa joku muu kuin Tarja, joka on sekä Ruotsin presidentti että Suomen presidentti.

12 Tehtävä B3 Todista induktion avulla että n ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun summa on n(n+1/, eli lause P( n 1: n = n( n + 1 Väite pätee ensimmäiselle positiiviselle kokonaisluvulle, eli P(n on tosi kun n = 1: 1(1 + 1 P(1 :1 =. Oletetaan P(n mielivaltaiselle n (induktio oletus ja johdetaan väite sen seuraajalle, P(n+1: Olkoon (induktio oletus P( n : n = nyt n( n + 1. P(n nojalla n( n n + ( n + 1 = + ( n + 1 n( n ( n + 1 = n + 3n + = ( n + 1( n + = ( n + 1(( n =. Eli oletuksella P(n on johdettu väite ( n (( n P( n + 1 : n + ( n + 1 =. On siis osoitettu lause P(n P(n+1 mielivaltaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n. Todistuksen täydentää induktio askel P(1 P(n P(n+1 Siis: P(n pätee kaikille positiivisille kokonaisluvuille.

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R): Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 2/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Viisauden sanoja Aristoteleelta Aristoteles (De int. 1.): Ääneen puhutut sanat ovat sielullisten vaikutusten symboleja

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3 Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan (Fte170)

Johdatus logiikkaan (Fte170) Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

måndag 10 februari 14 Jaana Ohtonen Kielikoulu/Språkskolan Haparanda

måndag 10 februari 14 Jaana Ohtonen Kielikoulu/Språkskolan Haparanda GENETIIKKA: KROMOSOMI DNA & GEENI Yksilön ominaisuudet 2 Yksilön ominaisuudet Perintötekijät 2 Yksilön ominaisuudet Perintötekijät Ympäristötekijät 2 Perittyjä ominaisuuksia 3 Leukakuoppa Perittyjä ominaisuuksia

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( ) Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42. Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot