Ilpo Halonen Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ilpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2"

Transkriptio

1 uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia tuloksia ja joka harvinaisen kauneutensa ansiosta on älyllisen nautinnon lähde kaikille sen esikartanoiden läpi kulkeneille." Anders Wedberg: Johdatus nykyiseen logiikkaan, uonnehdintoja logiikasta 2 "ogiikka formaalisena oppiaineena on pirullisen vaikeaa, ja se onkin parasta jättää omiin oloihinsa." Jim Hankison: Bluff Your Way in Philosophy, 1985, 38. Russell langetti keskustelujemme kuluessa usein tuomion: ogiikka on yhtä helvettiä!. udwig Wittgenstein, Yleisiä huomautuksia, 1979, Päätelmistä ja niiden pätevyydestä Kertausta: Esimerkki loogisesti pätevästä päätelmästä: Kaikki linnut osaavat lentää. Tipi on lintu. Siis: Tipi osaa lentää. = lintujen joukko F = lentotaitoisten yksilöiden joukko t = Tipi (-niminen yksilö) premissi: 2. premissi: F 5 6 1

2 Yhdessä: F Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 5 Siis jos oletamme premissit tosiksi tulee myös johtopäätös todeksi. Emme pysty piirtämään kuviota, jossa premissit olisivat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis toisin sanoen: kun päätelmä on loogisesti pätevä emme pysty kuvittelemaan tilannetta, jossa premissit olisivat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis (jos olemme rationaalisia) kaikissa niissä mahdollisissa maailmoissa, joissa hyväksymme kaikki pätevän päätelmän premissit, meidän on hyväksyttävä myös johtopäätös. 7 8 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 6 Esimerkki loogisesti epäpätevästä päätelmästä: Tipi on lintu. Tipi osaa lentää. Siis: Kaikki linnut osaavat lentää. = lintujen joukko F = lentotaitoisten yksilöiden joukko t = Tipi (-niminen yksilö) 1. premissi: premissi: Yhdessä: F F

3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 10 Nyt pystymme helposti piirtämään kuvion, jossa premissit ovat tosia ja johtopäätös epätosi. Siis toisin sanoen: kun päätelmä ei ole loogisesti pätevä, pystymme kuvittelemaan päätelmää vastaavan tilanteen, jossa premissit ovat tosia mutta johtopäätös epätosi. Siis voimme kuvitella sellaisia mahdollisia maailmoja (tai olosuhteita), joissa kaikki päätelmän premissit ovat tosia mutta johtopäätös epätosi. Päätelmistä ja niiden pätevyydestä 11 Esim. 1. iisa ja Matti ovat shakinpelaajia. Siis: iisa on shakinpelaaja. - ON PÄTEVÄ! Esim. 2. iisa ja Matti ovat shakinpelaajia. Siis: iisa on ihminen. - EI OE PÄTEVÄ! ja mitä logiikka ei ole? 1 Käsitystä, jonka mukaan logiikka on oppi oikeasta ajattelusta ja että logiikan lait ovat ajatuslakeja, kutsutaan psykologismiksi. Psykologismin mukaan logiikan tutkimuskohde on inhimillinen ajattelu, ihmisten mielessä tosiasiallisesti tapahtuvat ajatusprosessit. Psykologismin mukaan logiikasta tulisi psykologian osa - logiikka olisi empiirinen tiede, jonka lakien pätevyys olisi riippuvainen siitä, miten ihmiset sattuvat tosiasiassa ajattelemaan ja mitä logiikka ei ole? 2 Mutta: ogiikka nykyään tieteenalana pyrkii olemaan ehdottomasti psykologismin vastainen. Itse asiassa modernin logiikan kehitysvaiheet 1800-luvulla liittyvät kiinteästi psykologismin kritisoimiseen. Keskeisistä 1800-luvulla vaikuttaneista psykologismin kriitikoista mainittakoon Frege ja Husserl. Siis logiikka siinä mielessä kuin me sen tälläkin opintojaksolla ymmärrämme ei ole empiirinen tiede ja mitä logiikka ei ole? 3 ogiikka ei ole deskriptiivinen, kuvaileva tiede, jonka lakien pätevyys riippuu satunnaisista tosiasioista. Sen sijaan logiikka on normatiivinen tiede muodollisesti pätevän päättelyn säännöistä - se pyrkii antamaan normit tai kriteerit päättelyn muodolliselle pätevyydelle.... ja mitä logiikka ei ole? 4 "ogiikka" ja "looginen" -termejä käytetään arkikielessä yleensä laajemmassa merkityksessä kuin esimerkiksi tällä kurssilla. Kun puhutaan "naisen logiikasta", "islamilaisesta logiikasta", "kertomuksen logiikasta", "tietokoneen logiikasta", "naurun logiikasta" tai "unen logiikasta" olemme tekemisissä selkeästi psykologististen näkemysten kanssa

4 ... ja mitä logiikka ei ole? 5 Mutta logiikka tieteenalana on kiinnostunut systeemistä, jonka lainalaisuudet ja päättelyaskeleet ovat voimassa kaikkien mahdollisten asiaintilojen vallitessa. Tällöin ei ole mitään merkitystä sillä, kuka tai mikä päättelyaskeleen suorittaa - vai suorittaako sitä kukaan. 2 AUSEOGIIKKAA 2.1 Yleistä luonnehdintaa auseet auseiden formalisointi Sulkujen käyttö Yleistä luonnehdintaa auseet 1. Kajaani on Suomen pääkaupunki. 2. Taivas on sininen, ja ruoho on vihreää. 3. Jos kuu on juustoa, niin minä olen hiiri. 4. Rakastatko minua? 5. Sulje ikkuna! 6. Voi, voi! auseet auselogiikassa tutkitaan väitelauseita ja niiden välisiä suhteita. Klassinen logiikka on kaksiarvologiikkaa. Sen mukaan jokaisella väitelauseella on täsmälleen yksi kahdesta mahdollisesta totuusarvosta. Tällä tarkoitetaan, että jokainen väitelause on joko tosi tai epätosi. Sovitaan, että lauseilla tarkoitetaan ilmaisuja, joilla on totuusarvo (edellä 1 3) auseen totuus auseen totuus riippuu siitä, vastaako se objektiivista asiantilaa vai ei. Alfred Tarski: ause P on tosi, jos ja vain jos P. Esim. ause Kajaani on Suomen pääkaupunki on tosi, jos ja vain jos Kajaani on Suomen pääkaupunki. Ero maininnan ja käytön välillä: kun sana tai lause mainitaan, se laitetaan lainausmerkkeihin. vrt. Kissa on matolla. Kissa on viisikirjaiminen. 23 4

5 Valehtelijaparadoksi 1 Pohdiskele seuraavaa: Epimenides kreetalainen sanoo: "Kaikki kreetalaiset valehtelevat aina". Onko se mitä Epimenides sanoo totta vai epätotta? Tästä esimerkistä käytetään nimitystä "valehtelijaparadoksi". Valehtelijaparadoksi 2 Koska Epimenides itsekin on kreetalainen, hänkin siis valehtelee aina. Siis myös sanoessaan, että kaikki kreetalaiset valehtelevat aina. Eli kaikki kreetalaiset eivät valehtelekaan aina. Mutta tällöinhän Epimenides saattoikin puhua totta. Eli kaikki kreetalaiset kuitenkin valehtelevat aina Semanttiset paradoksit 1 Tarkastellaan seuraavaksi lausetta (*)Tämä lause on epätosi. a)oletetaan, että (*) on tosi. Silloin se, mitä (*) sanoo, pitää paikkansa, eli (*) on epätosi. Mutta tällöin (*) ei ole tosi, mikä on ristiriidassa tekemämme oletuksen kanssa. Siis (*) ei voi olla tosi. Semanttiset paradoksit 2 b)oletetaan, että (*) on epätosi. Silloin se, mitä (*) sanoo, ei pidä paikkaansa, eli (*) ei ole epätosi. Mutta tämä on ristiriidassa tekemämme oletuksen kanssa. Siis (*) ei voi olla epätosi Semanttiset paradoksit 3 ause (*) on esimerkki ns. semanttisista paradokseista. Kyseessä on aito paradoksi, joka tarkoittaa sitä, että uskottavista tai hyväksyttävistä lähtökohdista seuraa hyväksyttävillä päättelysäännöillä jotain epäuskottavaa tai ei-hyväksyttävää. Russellin paradoksi 1 Paradoksin mukaan joukko M sisältää kaikki ne joukot, jotka eivät sisällä itseään. Joukko A on siis joukon M jäsen (alkio) vain, jos joukko A ei ole oma jäsenensä. Paradoksi: kuuluuko joukko M itseensä? Matemaattisesti: Olkoon M = {x x x}. Tällöin jos M M, määritelmän mukaan M M. Vastaavasti jos M M, määritelmän mukaan M M

6 Russellin paradoksi 2 Asian voi esittää myös esimerkin avulla (vrt. valehtelijaparadoksi): Kylässä on miehiä, joista osa ajaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran vain niiltä miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen. Nykyään onkin tapana sanoa, että M = {x x x} on luokka eikä joukko. Konnektiivit auselogiikassa tutkitaan lauseita ja niiden välisiä suhteita ilmaisujen ei, ja, tai, jos...niin ja jos ja vain jos ( joss ) kannalta. Näitä ilmaisuja sanotaan (lause)konnektiiveiksi Atomilauseet ja molekyylilauseet Esim. 1. Ulkona sataa. 2. ogiikka ei ole vaikeaa. 3. Frege ja Russell ovat loogikkoja. 4. Jos ulkona sataa, niin en viitsi mennä luennolle. auseita, joissa ei esiinny konnektiiveja, sanotaan atomilauseiksi. auseita, joissa esiintyy ainakin yksi konnektiivi, sanotaan molekyylilauseiksi auseiden formalisointi Formalisoitaessa luonnollisen kielen väitelauseita lauselogiikassa käytetään isoja kirjaimia. Erityisesti atomilauseisiin viitataan aakkosten alkupään isoilla kirjaimilla A, B, C jne. Esim.A = Maija on opiskelija. B = Vompatti on pussieläin auseiden formalisointi 2 Aakkosten loppupään kirjaimia P, Q, R jne. käytetään silloin, kun viitataan mihin tahansa lauseisiin (eli kun halutaan korostaa, että kyseessä voi olla joko atomilause tai molekyylilause). Esim.P = Vompatit elävät Tasmaniassa. Q = Jos sataa, niin tuulee. ause ei P P ja Q P tai Q Jos P niin Q P joss Q Formalisointi P P Q P Q P Q P Q Nimi Negaatio Konjunktio Disjunktio Implikaatio Ekvivalenssi Negaatiota sanotaan yksipaikkaiseksi, muita kaksipaikkaisiksi konnektiiveiksi. 35 6

7 Formalisoi lauselogiikassa seuraavat suomen kielen lauseet: 1. "Ulkona sataa tai tuulee. Symbolit: A = "Ulkona sataa" B = "(Ulkona) tuulee ause: A B 2. "Kajaani ei ole Ruotsin eikä Norjan pääkaupunki. Symbolit: A = "Kajaani on Ruotsin pääkaupunki" B = "Kajaani on Norjan pääkaupunki ause: A B "Jos illalla sataa, niin menemme elokuviin tai ravintolaan. Symbolit: A = "Illalla sataa" B = "Menemme elokuviin" C = "Menemme ravintolaan ause: A (B C) 4. "iisa menee lenkille ja kuntosaliin tai ravintolaan. Symbolit: A = "iisa menee lenkille" B = "iisa menee kuntosaliin" C = "iisa menee ravintolaan ause voidaan ymmärtää kahdella toisistaan poikkeavalla tavalla: tulkinta: "iisa menee lenkille - ja (sitten) kuntosaliin tai ravintolaan. ause: A (B C) 2. Tulkinta: "iisa menee lenkille ja kuntosaliin - tai (pelkästään) ravintolaan Sulkujen käyttö Jokainen lause on atomilause tai jotain taulukossa näkyvää muotoa. Jälkimmäisessä tapauksessa ko. konnektiivia sanotaan lauseen pääkonnektiiviksi. auseen muodon osoittamiseksi tarvitaan sulkuja. ause: (A B) C

8 Sulkujen käyttö 2 Esim. auseesta A B C ei tiedetä, kumpi on pääkonnektiivi. Sen sijaan lause A (B C) on muotoa P Q, joten siitä tiedetään, että pääkonnektiivi on konjunktio. ause (A B) C puolestaan on muotoa P Q, eli sen pääkonnektiivi on disjunktio. Sulkujen käyttö 3 Sopimus suluista: konjunktio-, disjunktio-, implikaatio- tai ekvivalenssilauseen ympärille laitetaan sulut, jos se on osana laajempaa lausetta Poikkeuksia: 1. auseita A (B C) ja (A B) C kutsutaan ketjukonjunktioiksi. auseita A (B C) ja (A B) C kutsutaan ketjudisjunktioiksi. Näiden lukemisjärjestystä ei tarvitse osoittaa suluilla. Voidaan siis kirjoittaa seuraavasti: A B C ja A B C Poikkeuksia (jatkoa): 2. Esim. A B C Tarkoitetaanko: (A B) C? vai A (B C)? Usein noudatetaan seuraavaa sopimusta konnektiivien vahvuusjärjestyksestä (ei edellytetä tällä kurssilla): (vahvin),, (heikoimmat) 45 Siis: A B C (A B) C vrt = (3 2)+4 = 10 3 (2+4) = Sulkujen käyttö 3 Siis symbolijono A B C voidaan tulkita kahdella eri tavalla, joten se ei tästä eteenpäin kelpaa lausekalkyylin lauseeksi. auseet A (B C) ja (A B) C poikkeavat toisistaan merkitystensä ja rakenteidensa puolesta. Ero lauseiden rakennustavassa nähdään muodostamalla lauseiden rakennepuut (tästä lisää harjoituksissa). Seuraavaksi 2.2 auselogiikan syntaksia 2.3 auselogiikan semantiikkaa

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan

Lisätiedot

Induktio kaavan pituuden suhteen

Induktio kaavan pituuden suhteen Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005 LISÄÄ KIRJALLISUUTTA. 5. Logiikan rooli argumentaatiossa LISÄÄ KIRJALLISUUTTA LISÄÄ KIRJALLISUUTTA. Mitä logiikka on?

Ilpo Halonen 2005 LISÄÄ KIRJALLISUUTTA. 5. Logiikan rooli argumentaatiossa LISÄÄ KIRJALLISUUTTA LISÄÄ KIRJALLISUUTTA. Mitä logiikka on? 5. Logiikan rooli argumentaatiossa KIRJALLISUUTTA: Allwood Jens, Lars-Gunnar Andersson, Östen Dahl 1980, Logiikka ja kieli, Gaudeamus, Helsinki. Haaparanta Leila 1995, "Modernin logiikan synty", teoksessa

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste

Lisätiedot

Lauselogiikka Tautologia

Lauselogiikka Tautologia Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka. Luento 6: Merkitys ja kieli

Kieli merkitys ja logiikka. Luento 6: Merkitys ja kieli Kieli merkitys ja logiikka Luento 6: Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Sanat ja käsitteet Kompositionaalisuus Propositiologiikka Kysymykset Merkityksen luonne Miten ihminen hahmottaa

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan (Fte170)

Johdatus logiikkaan (Fte170) Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

3. Predikaattilogiikka

3. Predikaattilogiikka 3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole

Lisätiedot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden

Lisätiedot

Logiikka. Kurt Gödel ( )

Logiikka. Kurt Gödel ( ) Logiikka Tutustumme seuraavaksi propositio- eli lauselogiikkaan, jossa tarkastellaan formaalien lauseiden ominaisuuksia, ennenkaikkea niiden totuusarvoja. Formalisoimalla luonnollisen kielen lauseet propositiologiikan

Lisätiedot

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.

Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.

Lisätiedot

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( )

Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a ( ) Logiikkaa Matematiikan mestariluokka, kevät 2010 Harjoitus 1a (23.1.2010) 1. Merkitään P := Elokuva on kiinnostava., Q := Käyn katsomassa elokuvan., R := Elokuvassa on avaruusolioita.. Kirjoita seuraavat

Lisätiedot

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.

Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 8 Kieli merkitys ja logiikka Luento 8: Merkitys ja logiikka Luku 10: Luennon 7 kertaus: propositiologiikka predikaattilogiikka Kvanttorit ja looginen muoto Määritelmät, analyyttisyys ja synteettisyys

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,

Lisätiedot

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni?

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Jyväskylä 31.5.2017 Petteri Niemi Relativismi ja Sosiaalinen konstruktivismi Relativismi (Swoyer 2010) Relativismi on näkemysten

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

LOGIIKAN PERUSKURSSI. Veikko Rantala Ari Virtanen

LOGIIKAN PERUSKURSSI. Veikko Rantala Ari Virtanen LOGIIKAN PERUSKURSSI Veikko Rantala Ari Virtanen Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Kokeilumoniste, elokuu 2003 ESIPUHE Tämä kokeilumoniste perustuu Tampereen yliopistossa

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E

Kant Arvostelmia. Informaatioajan Filosofian kurssin essee. Otto Opiskelija 65041E Kant Arvostelmia Informaatioajan Filosofian kurssin essee Otto Opiskelija 65041E David Humen radikaalit näkemykset kausaaliudesta ja siitä johdetut ajatukset metafysiikan olemuksesta (tai pikemminkin olemattomuudesta)

Lisätiedot

Ilpo Halonen 2005. Luonnehdintoja logiikasta 11. Poikkeavista logiikoista. Poikkeavista logiikoista 2. Poikkeavista logiikoista 3. Johdatus logiikkaan

Ilpo Halonen 2005. Luonnehdintoja logiikasta 11. Poikkeavista logiikoista. Poikkeavista logiikoista 2. Poikkeavista logiikoista 3. Johdatus logiikkaan Luonnehdintoja logiikasta 11 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta Modaalilogiikan renessanssi ja sille sukua olevien loogisten

Lisätiedot

Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa

Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa VIHJELAPPUSET C.2 I O U I O U A I O B U O O U (U O) (O U) C D I: Aaro rakastaa Inkaa. O: Aaro rakastaa Outia. U: Aaro rakastaa Ullaa. A: I U B: ( I O) U C: ((U O) (O U)) D: O Aaro rakastaa Inkaa tai Ullaa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

8. Kieliopit ja kielet 1 / 22

8. Kieliopit ja kielet 1 / 22 8. Kieliopit ja kielet 1 / 22 Luonnollinen kieli Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää

Lisätiedot

Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta

Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Savolainen Äärellisen mallin ominaisuus filtraation kautta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.

Lisätiedot

9.2.2012. 2 Tiede, tieto ja totuus

9.2.2012. 2 Tiede, tieto ja totuus 2 Tiede, tieto ja totuus 2012 Ilpo Halonen Materiaalia saa käyttää ainoastaan henkilökohtaisiin opiskelutarkoituksiin! Doksiadis, Apostolos, Logicomix: nerouden ja hulluuden rajalla, Avain, Helsinki 2010.

Lisätiedot

Merkitys, totuus ja kielto

Merkitys, totuus ja kielto Ilmestynyt teoksessa Heta Gylling, S. Albert Kivinen & Risto Vilkko (eds.) Kielto (Yliopistopaino) Merkitys, totuus ja kielto Panu Raatikainen Filosofisessa merkitysteoriassa asetetaan usein vastatusten

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 7 Kieli merkitys ja logiikka Luennot 7 ja 8: sivut 237-274 Luento 7: Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Merkitys ja kieli Kompositionaalisuus Propositiologiikka Kieli ja tulkinta Predikaattilogiikka

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi

Matematiikan johdantokurssi Matematiikan johdantokurssi Martti Pesonen, Pekka Smolander,... 7. joulukuuta 05 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

13. Loogiset operaatiot 13.1

13. Loogiset operaatiot 13.1 13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Mahdollisten maailmojen semantiikan synty ja kehitys

Mahdollisten maailmojen semantiikan synty ja kehitys Mahdollisten maailmojen semantiikan synty ja kehitys (Fte264/265, Kf330n) FT Ilpo Halonen to klo 12-14 S20A sh 303 3. luento 3.2.2005 Mottoja Wittgensteinilta 1 Lauseet osoittavat, mitä ne sanovat. Tautologia

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

KIRJALLISUUTTA 1. Tieteenfilosofia KIRJALLISUUTTA 3 KIRJALLISUUTTA 2. Inhimillinen tieto - mitä se on ja mitä se ei ole... 2

KIRJALLISUUTTA 1. Tieteenfilosofia KIRJALLISUUTTA 3 KIRJALLISUUTTA 2. Inhimillinen tieto - mitä se on ja mitä se ei ole... 2 KIRJALLISUUTTA 1 Tieteenfilosofia 2 Tiede, tieto ja totuus 2009 Ilpo Halonen, Haaparanta, Leila ja Ilkka Niiniluoto, Johdatus tieteelliseen ajatteluun, Helsingin yliopiston filosofian laitoksen julkaisuja

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3 Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

FILOSOFIAN KUOHUVAT VUODET KATSAUS 1900-LUVUN ALUN FILOSOFIAAN SIRKKU IKONEN

FILOSOFIAN KUOHUVAT VUODET KATSAUS 1900-LUVUN ALUN FILOSOFIAAN SIRKKU IKONEN FILOSOFIAN KUOHUVAT VUODET KATSAUS 1900-LUVUN ALUN FILOSOFIAAN SIRKKU IKONEN 27.10. Miten tietoisuus rakentuu? Husserlin fenomenologiaa 3.11. Elämänfilosofian nousu ja tuho 10.11. Mitä on inhimillinen

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................

Lisätiedot

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä

Lisätiedot

Johdatus modaalilogiikkaan. Veikko Rantala Ari Virtanen

Johdatus modaalilogiikkaan. Veikko Rantala Ari Virtanen Johdatus modaalilogiikkaan Veikko Rantala Ari Virtanen 1 Sisältö 1 Johdanto 4 1.1 Modaalioperaattoreita............................. 4 1.2 Mahdollisen maailman käsitteestä....................... 6 1.3

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42.

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat 16. 6 Predikaattilogiikkaa 31. 8 Relaatiot 42. Diskreetit rakenteet, syksy 2015 Itä-Suomen yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Ville Heikkinen 14.12.2015 15:18 Sisältö 1 Johdanto, Tavoitteet 2 2 Lähteitä 2 3 Propositiologiikkaa 2 4 Karnaugh'n

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Propositionaalinen dynaaminen logiikka

Propositionaalinen dynaaminen logiikka TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saana Isoaho Propositionaalinen dynaaminen logiikka Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Kesäkuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016 VII Logiikkaohjelmointi Sisältö 1. Johdanto 2. Predikaattilogiikan käsitteistöä 3. Prolog 815338A Ohjelmointikielten periaatteet, Logiikkaohjelmointi 2

Lisätiedot

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka

Kieli merkitys ja logiikka Luento 9 Kieli merkitys ja logiikka Luento 9: Merkitys ja logiikka, kertaus Luku 10 loppuun (ei kausatiiveja) Ekstensio, intensio ja käsitteet Primitiivisten ilmaisujen merkitys Käsitteellis-intentionaaliset

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka

Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka Tietotekniikassa Epäjatkuvan matematiikan (diskreetin matematiikan) välineitä. Ongelmien ja ratkaisujen kuvaus. Tavoite: Perehdytään tavanomaisimpiin käytetyistä

Lisätiedot

Matematiikan peruskäsitteitä

Matematiikan peruskäsitteitä 2 Matematiikan peruskäsitteitä Nimensä mukaisesti kurssilla käsitellään matematiikan peruskäsitteitä, mutta lähinnä vain diskreetin matematiikan näkökulmasta. Lukiostakin tuttuja lineaarialgebran ja analyysin

Lisätiedot

8. Kieliopit ja kielet

8. Kieliopit ja kielet 8. Kieliopit ja kielet Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Tieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia

Tieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia Tieteenfilosofia 2/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Viisauden sanoja Aristoteleelta Aristoteles (De int. 1.): Ääneen puhutut sanat ovat sielullisten vaikutusten symboleja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka 2010

Matematiikan mestariluokka 2010 Matematiikan mestariluokka 00 Martti E. Pesonen 3. huhtikuuta 00 Mitä matematiikka on? Matematiikan määritteleminen lienee turhaa, kenties myös mahdotonta. Matemaatikot sanovatkin usein leikillisesti,

Lisätiedot