ARK-A3000 Rakennetekniikka: Käytettävien yhtälöiden koonti

Transkriptio

1 ARK-A3000Rakennetekniikka:Käytettävienyhtälöidenkoonti Tässä dokumentissa esitellään ja eritellään kurssilla tarvittavat yhtälöt. Yhtälöitä ei tulla antamaan tentin yhteydessä, joten nämä on käytännössä osattava ulkoa. Toivottavasti tästä dokumentista on apua niin tehtäviä tehdessä kuin tenttiinkin valmistautuessa. Tukivoimat on esitetty omassa monisteessaan. Mekaniikka: Voimien jakaminen ja yhdistäminen Kaikki vinot voimat voidaan jakaa niiden vaaka- ja pystysuoriin osakomponentteihin eli x- ja y-akselin suuntaisiin voimiin. Jakaminen tapahtuu joko kulman/trigonometrian tai voimakolmion avulla. Voima F, jota ollaan jakamassa, on esitetty punaisella nuolella. Tämän voiman F ja vaakatason (x-akselin) välillä on kulma, jonka avulla osavoimat voidaan määrittää. Kulman viereisen voiman (kuvassa x-akselin suuntainen sininen voima) suuruus on alkuperäinen voima F kertaa Kosiini kulmasta. Kulman vastainen voima (kuvassa y-akselin suuntainen vihreä voima) saadaan kertomalla alkuperäinen voima F kulman sinillä. Osakomponentit voidaan vaihtoehtoisesti määrittä voimakolmiota käyttämällä. Tämä on tehokas tapa silloin kun ainakin kaksi kolmion sivunmitoista on tunnettuja. Yllä esitetyssä kuvassa on vaiheittain voimakolmion kasaaminen. Tehtävän annossa on annettu kolmion kahden sivun mitat, jolloin kolmas mitta voidaan määrittää Pythagoraan lauseella (a 2 + b 2 c 2 ). Kolmion hypotenuusa (vinosivu) kuvaa voimaa ja vaaka- sekä pystysuuntaiset sivut sen osakomponentteja (x- ja y-akselin suuntaisia voimia). Joskus

2 sivunmitoille löydetään yksi yhteinen jakaja, jolloin lukuja saadaan sievennettyä. Tämä ei ole välttämätöntä, mutta kuvan tapauksessa kummassakin rivissä tämä yhteinen jakaja on viisi. Kun voima F (hypotenuusa) halutaan jakaa sen osavoimiin, käytetään kolmion sivujen mittojen suhteita hyväksi. Kunkin osavoiman voimakertoimena käytetään sen sivun pituutta jaettuna hypotenuusan pituudella. Näin saadulla voimakolmiolla voidaan korvata aikaisemmat sini ja kosiini ilmaisut. Voimatasapaino Kaikki kurssilla käsitellyt mekaniikan laskut ovat staattisia laskuja eli kaikkien voimien lausekkeiden summa on aina nolla. Aina kun laskettavana on tuntemattomia voimia, tulee meillä olla käytettävissä yhtä monta lauseketta kun on tuntemattomiakin. Vain silloin voidaan ratkaista tehtävä. Ristikko tehtävissä tämä tarkoittaa kahta tasapainolauseketta (vaaka- ja pystysuuntaiset voimat) ja staattisesti määrättyjen palkkisekä pilaritehtävien tapauksessa kolmea tasapainolauseketta (vaaka- ja pystysuuntaiset voimat + momenttitasapaino). Vaaka- ja pystysuuntaisten voimien tasapaino on yksinkertainen plus-miinus-lasku, jossa ensin lasketaan kaikki pystysuuntaiset voimat yhteen ennalta sovitun positiivisen suunnan mukaisesti (+ on ylöspäin) ja määrätään ne nollaksi. Sitten sama tehdään vaakasuunnassa (+ on oikealle). Momentintasapainossa tulee ensin valita momenttipiste eli se piste minkä suhteen momenttitasapaino lasketaan. Yleensä hyvä tällainen piste on jokin tukipisteistä. Mitä useampi voima kulkee suoraan momenttipisteen läpi (on silloin 0-voima), sitä parempi. Momentti voiman plus ja miinus merkki määräytyy sen mukaan, kumpaan suuntaan voima lähtisi pyörimään momenttipisteen ympäri, jos se pystyisi liikkumaan. Plus suunnaksi on yleisesti sovittu vastapäivä. Momentti voimana koostuu voimasta [N] ja momenttivarresta [m]. Momentti varsi on voiman kohtisuora etäisyys valitusta momenttipisteestä. Esim. x-

3 akselin suuntaiselle voimalle momenttivarsi on y-akselin suuntainen etäisyys ja toisinpäin. Momenttitasapaino lasketaan kertomalla voima sen momenttivarrella ja laskemalla näin saadut momentit yhteen ja määräämällä summa nollaksi. Jos momenttipisteessä vaikuttaa tukimomentti, merkitään se yhtälöön suoraan merkinnällä M [Nm], koska se on jo momenttivoima. Kaatuminen vs. Liukuminen Kurssilla on käsitelty yksi dynamiikkaa sivuava tehtävä, jossa laskettiin kaatumis- ja liukumisvarmuutta. Varmuutta tarkasteltaessa verrataan aina kahta voimaa toisiinsa. Ulkoisen voiman vaikutusta verrataan sisäisen voiman vaikutuksiin. Kun ulkoinen voima jaetaan sisäisellä voimalla, saadaan tapahtumalle varmuusluku (ts. käyttöaste). Kun varmuusluku on alle yhden, ulkoisen voiman vaikutus ei näy. Jos se taas on yli yhden, ulkoisen voiman vaikutus näkyy. Kaatumisvarmuus: Liukumisvarmuus: Ä [] ] [] ] ] ] ] ] [] ] ] Kun K 1, esine kaatuu ja kun L 1, esine liukuu. Esine ei voi sekä kaatua että liukua samaan aikaan.

4 Rakennusfysiikka Lämpö Rakennusfysiikassa keskeinen arvo, kun kyseessä on lämmönliike, on rakenteen U-arvo [W/m 2 K] eli lämmönläpäisykerroin. U-arvo kertoo kuinka paljon lämpöenergiaa [W] läpäisee yhden neliömetrin suuruisen alueen, kun lämpötilaero rakenteen yli on yhden asteen [K tai C]. Pienin sallittu U-arvo vuoden 2010 määräysten mukaisesti on: ulkoseinä 0,17 W/m 2 K, yläpohja 0,09 W/m 2 K, alapohja 0,16 W/m 2 K, ikkunat ja ovet 1,0 W/m 2 K. U-arvon laskemiseksi meidän tulee määrittää ensin koko tarkasteltavan rakenteen lämmönvastus R TOTAL [m 2 K/W], mikä koostuu tarkasteltavan rakenteen rakennekerrosten lämmönvastuksista sekä sisä- ja ulkopintojen pinnanvastuksista. Kunkin rakennekerroksen lämmönvastus koostuu sen materiaalin normaalisesta lämmönjohtavuudesta [W/mK] ja kerroksen paksuudesta d [m]. Rakennekerroksen lämmönjohtavuus saadaan, kun jakamalla kerroksen paksuus sen materiaalin lämmönjohtavuudella. Rakenteessa voi olla hyvin ohuita verraten tiiviitä ainekerroksia kuten muovikalvo, rakennuspaperi, pahvija huopakerrokset. Tällaisille kerroksille annetaan suoraan lämmönvastus R q [m 2 K/W]. Ohuen kerroksen lämmönvastus R q on 0,02 m 2 K/W, jos vain toinen ainekerroksen pinnoista on jäykkää alustaa (esim. lautaseinä) vasten. Lämmönvastus R q on 0,04 m 2 K/W, jos ainekerros on jäykkien pintojen välissä. Jokaisen rakenteen pinnalla oletetaan olevan häviävän ohut liikkumaton ilmakerros, joka otetaan huomioon pintavastuksella. Sisäpuolenpintavastuksen R si suuruus riippuu lämpövirran suunnasta: vaakasuora 0,13 m 2 K/W, alaspäin 0,17 m 2 K/W ja ylöspäin 0,10 m 2 K/W. Ulkopuolenpintavastus R se on kaikissa suunnissa 0,04 m 2 K/W. Jos rakenteessa on hyvin tuuletettu ilmarako, tulkitaan tämä ilmarako ulkotilaksi ja sen ulkopuolisia rakenteita ei huomioida laskuissa. Hyvin tuuletetussa ilmaraossa ulkopinnanpintavastuksena käytetään sisäpinnanpintavastusta. [] äö[ ], missä i on kunkin rakennekerroksen numero U-arvo on rakenteen kokonaislämmönvastuksen R TOTAL käänteisarvo. Kun rakenteen rakennekerroskohtaiset lämmönvastukset R i :t sekä rakenteen kokonaislämmönvastus R TOTAL on tiedossa, voidaan sille laskea lämpötilajakauma kaavalla: ( Ä ), missä T i on halutun kerrosvälin lämpötila, T i-1 on edellinen tunnettu lämpötila, R i on ylitettävän kerroksen lämmönvastus, R TOTAL on koko rakenteen lämmönvastus ja (T SISÄ T ULKO ) on koko rakenteen yli oleva lämpötilaero.

5 Tässä muodossa yhtälö toimii vain laskettaessa jakaumaa sisältä ulospäin. Jos jakauma halutaan laskea ulkoa sisäänpäin, tulee T i-1 :en jälkeinen miinus korvata plussalla. Laskenta aloitetaan aina tunnetusta lämpötilasta (sisätilasta tai ulkotilasta) ja toteutetaan askelittain jokaisen lämpöä vastustavan kerroksen yli. Laskentaa jatketaan siten, että lämpötila josta vähennetään (johon lisätään) on aina edellinen laskettu. Kosteus Ilmalla on lämpötilasta riippuva kapasiteetti kaasumaiselle kosteudelle (vesihöyry). Tätä mitataan suhteellisella kosteudella RH (Relative Humidity) [%], joka ilmoittaa kuinka lähellä vesihöyryn maksimikapasiteettia tietyn lämpöinen ilma on. Mitä lämpimämpää ilma on, sitä enemmän siihen mahtuu vesihöyryä. Kun suhteellinen kosteus saavuttaa arvon 100 %, on ilman kapasiteetti vesihöyrylle täynnä ja ylimääräisen vesihöyryn täytyy tiivistyä vedeksi. Jos ilman sisältämän vesihöyryn pitoisuus [g/m 3 ] tai sen osapaine [Pa] tunnetaan, voidaan taulukoista katsoa ilmalle kastepiste eli pienin mahdollinen lämpötila, jossa se pystyy vielä pitämään kyseisen kosteuden sisällään vesihöyrynä. Kun käsitellään kosteutta, on jokaisella rakennekerroksella sen materiaalista ja paksuudesta riippuva kosteudenläpäisyvastus Z [(m 2 spa)/kg], joka vastaa lämpöteknistä lämmönvastusta. Kosteudenläpäisyvastus ja sen laskenta eroaa lämmönvastuksesta kahdella tavalla. Toisin kuin lämmönvastuksella kosteudenläpäisyvastuksella ei ole pintavastuksia. Toisin sanoen siinä missä ohuen ohut seisova ilmakerros rakenteen pinnassa vastustaa lämmön etenemistä se ei estä kosteuden liikettä millään tavalla. Materiaalien kosteudenläpäisyvastus on ilmoitettu valmiiksi kerrospaksuusriippuvaisena arvona Z P, esim Betoni (100 mm) Z P 50*10 9 (m 2 spa)/kg ja laastitasoite (10 mm) Z P 1*10 9 (m 2 spa)/kg. Koska materiaalikohtainen kosteudenläpäisyvastus Z P ilmoitetaan jo valmiiksi kerrospaksuudelle laskettuna, tulee meidän korjata arvoa suhteessa todelliseen kerrospaksuuteen ] ] spa [ kg ], missä Z i on rakennekerroksen i kosteudenläpäisyvastus [(m 2 spa)/kg], d i on materiaalikerroksen i todellinen paksuus [m], d ip on materiaalin kosteudenläpäisyvastuksen määrityksessä käytetty ainepaksuus [m] ja Z ip on rakennekerroksen i materiaalille määritetty kosteudenläpäisyvastus [(m 2 spa)/kg]. Kosteusjakauman määrittäminen rakenteelle alkaa lämpötilajakauman määrittämisellä. Kun lämpötilajakauma rakenteelle on selvillä, poimitaan taulukoista jokaiselle saadulle lämpötilalle kriittinen vesihöyryn osapaine p k [Pa]. Vesihöyryn kriittinen osapaine on vesihöyryn maksimi osapaine (RH on 100 %)

6 tarkasteltavassa lämpötilassa. Näitä arvoja tarvitaan rakenteen kosteusteknistä toimivuutta arvioitaessa sekä ulko- ja sisätilan todellisen vesihöyryn osapaineen (p SISÄ ja p ULKO ) määrittämiseksi. Tehtävän annossa on annettu sisä- ja ulkotilojen lämpötilat sekä suhteellinen kosteus, joten esim. Ä Ä [] [%], missä p SISÄ on sisätilan todellinen vesihöyryn osapaine [Pa], p k on vesihöyryn kriittinen osapaine sisätilan lämpötilassa [Pa] ja RH SISÄ on tehtävän annossa annettu sisätilan suhteellisen kosteuden arvo [%]. Ulkotilan todellinen vesihöyryn osapaine p ULKO [Pa] lasketaan samalla tavalla. Kun rakenteen rakennekerroskohtaiset kosteudenläpäisyvastukset Z i :t sekä rakenteen kokonaiskosteudenläpäisyvastus Z TOTAL on tiedossa ja sisä- ja ulkotilojen vesihöyryn osapaineet on laskettu, voidaan rakenteelle laskea kosteusjakauma kaavalla: ( Ä ), missä p i on halutun kerrosvälin vesihöyryn osapaine, p i-1 on edellinen tunnettu vesihöyryn osapaine, Z i on ylitettävän kerroksen kosteudenläpäisyvastus, Z TOTAL on koko rakenteen kosteudenläpäisyvastus ja (p SISÄ p ULKO ) on koko rakenteen yli oleva vesihöyryn osapaine-ero. Tässä muodossa yhtälö toimii vain laskettaessa jakaumaa sisältä ulospäin. Jos jakauma halutaan laskea ulkoa sisäänpäin, tulee p i-1 :en jälkeinen miinus korvata plussalla. Laskenta aloitetaan aina tunnetusta vesihöyryn osapaineesta (sisätilasta tai ulkotilasta) ja toteutetaan askelittain jokaisen kosteutta vastustavan kerroksen yli. Laskentaa jatketaan siten, että lämpötila josta vähennetään (johon lisätään) on aina edellinen laskettu. Kosteusjakauma lasketaan rakenteelle siksi, että halutaan tarkastella suhteellisen kosteuden kehitystä rakenteessa. Ainekerrosten välissä oleva suhteellinen kosteus saadaan jakamalla kullekin välille saatu vesihöyryn osapaineen arvo p i siinä välissä olevalla vesihöyryn kriittisellä osapaineella p k. Jos suhteellinen kosteus ylittää arvon 1 (eli 100 %) tiivistyy siihen väliin kosteutta ja rakenne on kelvoton.